đề tsl 10 Lam Son ( có đáp án)

Đề thi học sinh giỏi cấp huyện lớp 9
Môn toán - thời gian 15 0 phút
Năm học: 2006 - 2007
Bài 1: (4đ). Cho biểu thức:
P =
x
x
x
x
xx
xx

+
+
+




3
3
1
)3(2
32
3
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tính giá trị của P với x = 14 - 6
5
c) Tìm GTNN của P.
Bài 2( 4đ). Giải các phơng trình.
a)

34
1
2
++
xx
+
5
1
6316
1
3512
1
158
1
222
=
++
+
++
+
++
xxxxxx
b)
12611246
=+++++
xxxx
Bài 3: ( 3đ). Cho parabol (P): y = x
2
và đờng thẳng (d) có hệ số góc k đi qua điểm
M(0;1).

a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của k, đờng thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm
phân biệt A và B.
b) Gọi hoành độ của A và B lần lợt là x
1
và x
2
. Chứng minh rằng : |x
1
-x
2
| 2.
c) Chứng minh rằng :Tam giác OAB là tam giác vuông.
Bài 4: (3đ). Cho 2 số dơng x, y thỏa mãn x + y =1
a) Tìm GTNN của biểu thức M = ( x
2
+
2
1
y
)( y
2
+
2
1
x
)
b) Chứng minh rằng :
N = ( x +
x
1

)
2
+ ( y +
y
1
)
2

2
25
Bài 5 ( 2điểm). Cho tam giác ABC vuông ở A có AB = 6cm, AC = 8cm. Gọi I là giao
điểm các đờng phân giác, M là trung điểm của BC. Tính góc BIM.
Bài 6:( 2đ). Cho hình chữ nhật ABCD, điểm M

BC. Các đờng tròn đờng kính AM,
BC cắt nhau tại N ( khác B). BN cắt CD tại L. Chứng minh rằng : ML vuông góc với
AC.
Bài 7 ( 2điểm). Cho hình lập phơng ABCD EFGH. Gọi L và K lần lợt là trung điểm
của AD và AB. Khoảng cách từ G đến LK là 10.
Tính thể tích hình lập phơng.
Đáp án
Bài 1 ( 4 điểm).
Câu a: 2 điểm.
Điều kiện để giá trị của biểu thức P xác định : x0; x 9 ( 0,5 đ).
Rút gọn:
P =
3
3
1
)3(2

)3)(1(
3

+

+


+

x
x
x
x
xx
xx
=
)1)(3(
)1)(3()3(23
2
+
++
xx
xxxxx
=
)1)(3(
33181223
+
+
xx

xxxxxxx
=
)1)(3(
2483
+
+
xx
xxxx
=
)1)(3(
)8(3)8(
+
++
xx
xxx
=
1
8
+
+
x
x
( 1,5 điểm)
Câu b :1 điểm
x = 14 - 6
5
= (
5
)
2

- 2.3.
5
+ 9 = (
5
- 3)
2

x
= 3 -
5
Khi đó P =
153
85614
+
+
=
54
5622


=
11
5258

Câu c: 1 điểm
P =
42922
1
9
1

1
9
1
1
91
1
8
=
+
++=
+
+=
+
+
=
+
+
x
x
x
x
x
x
x
x
( áp dụng BĐT CôSi cho 2 số dơng
1
9
;1
+

+
x
x
)
Dấu"=" xảy ra
1
9
1
+
=+
x
x
x = 4 ( thỏa mãn điều kiện)
Vậy minP = 4, đạt đợc khi x = 4.
Bài 2: 4 điểm ( mỗi câu 2 điểm).
a) x
2
+ 4x + 3 = ( x + 1)( x+ 3)
x
2
+ 8x + 15 = ( x +3)(x+5)
x
2
+ 12x + 35 = ( x +5)( x + 7)
x
2
+ 16x + 63 = ( x + 7)( x + 9)
ĐKXĐ : x -1; x -3; x -5; x -7; x -9 ( 0,5đ)
pt
5

1
)9)(7(
1
)7)(5(
1
)5)(3(
1
)3)(1(
1
=
++
+
++
+
++
+
++
xxxxxxxx

5
1
)
9
1
7
1
7
1
5
1

5
1
3
1
3
1
1
1
(
2
1
=
+

+
+
+

+
+
+

+
+
+

+
xxxxxxxx

5

1
)
9
1
1
1
(
2
1
=
+

+
xx

5( x + 9 - x -1) = 2( x+1)( x+9)
2x
2
+ 20x + 18 - 40 = 0
x
2
+ 10x - 11 = 0
Phơng trình có dạng a + b + c = 0 x
1
= 1; x
2
= -11.
x
1
; x

2
thỏa mãn ĐKXĐ.
Vậy tập nghiệm của phơng trình là : S =
{ }
1;11

b) ĐKXĐ: x -2. ( 0,5 điểm)
Pt
1)32()22(
22
=+++
xx
|
|22
+
x
+ |
2
+
x
-3| = 1
|
|22
+
x
+ | 3 -
2
+
x
| = 1

áp dụng BĐT |A|+ |B| | A + B| ta có : |
|22
+
x
+ | 3 -
2
+
x
| 1
Dấu "=" xảy ra khi : (
22
+
x
)( 3 -
2
+
x
) 0
2
2
+
x
3 2 x 7
Vậy tập nghiệm của phơng trình là : S =
{ }
72/ xx
Bài 3: 3 điểm ( mỗi câu 1 điểm)
Đờng thẳng (d) có hệ số góc k và đi qua điểm M (0;1) nên (d0 có tung độ gốc là
1. Phơng trình đờng thẳng (d) là : y = kx+1
a) Phơng trình hoành độ giao điểm của ( P) và (d) là: x

2
- kx - 1 = 0 (1)
= k
2
+ 4 > 0 với mọi k
Phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt đpcm.
b) Ta có : x
1
+ x
2
= k ; x
1
.x
2
= -1 x
2
= -
1
1
x
| x
1
- x
2
| = | x
1
+
1
1
x

| = |x
1
| +|
1
1
x
| ( vì x
1
và
1
1
x
cùng dấu)
mà |x
1
| +|
1
1
x
| 2. Vậy | x
1
- x
2
| 2
Cách 2: ( x
1
- x
2
)
2

= k
2
+ 4 4 | x
1
- x
2
| 2
c) Giải sử A(x
1
;y
1
) và B(x
2
; y
2
).
Gọi phơng trình đờng thẳng OA là y= k
1
x
,
ta có : y
1
= k
1
.x
1

k
1
=

1
1
x
y
=
1
1
2
1
x
x
x
=
Gọi phơng trình đờng thẳng OB là y= k
2
x
,
ta có : y
2
= k
2
.x
2

k
1
=
2
2
x

y
=
2
2
2
2
x
x
x
=
Ta có : k
1
.k
2
= x
1
.x
2
= -1 . Vậy OA OB AOB vuông.
Bài 4: ( 3 điểm) ( mỗi câu 1,5 điểm)
a) Ta có : M = ( x
2
+
2
1
y
)( y
2
+
2

1
x
) =
2
22
222
)
1
(
)1(
xy
xy
yx
yx
+=
+
Mặt khác : xy +
xy
1
= ( xy +
)
16
1
xy
+
xy16
15
( 1).
áp dụng BĐT Côsi : xy +
xy16

1
2
16
1
=
2
1
(2).
2
1
2
=
+

yx
xy
xy
4
1
( 3)
Từ (1), (2) và (3) ta có : xy +
xy
1

2
1
+
4
1
.16

15
=
4
17
(xy +
xy
1
)
2
(
4
17
)
2
=
16
289
Vậy minM =
16
289
, đạt đợc khi





=
=
yx
xy

xy
16
1
x = y =
2
1
b) áp dụng BĐT : A
2
+ B
2

2
)(
2
BA
+
, ta có :
N = ( x +
x
1
)
2
+ ( y +
y
1
)
2

2
)(

2
xy
yx
yx
+
++
=
2
)
1
1(
2
xy
+
Mặt khác : (x + y)
2
4xy ( do ( x -y)
2
0)
1 4xy xy
4
1
N
2
25
2
4
1
1
1

2
)
1
1(
2
2
=












+

+
xy
. Vậy N
2
25
.
Dấu "=" xảy ra khi

=
=+
yx
yx 1
x = y =
2
1
Bài 5: ( 2 điểm).
Vẽ hình đúng, ghi GT, KL . ( 0,5 điểm).
Tính góc BIM. ( 1,5 điểm)
Từ giả thiết ABC vuông tại A có:
AB = 6cm, AC = 8cm. BC =
)(10
22
cmACAB
=+

MC = MB = 5cm
Gọi B' là giao điểm của BI và AC. Ta có :
CB
CB
IB
IB
AB
AB '''
==

2
1

106
8''''
=
+
=
+
=
+
+
==
CBAB
AC
CBAB
CBAB
CB
CB
AB
AB
AB' =
2
1
.AB = 3cm
CB' =
2
1
.CB = 5cm CB' = CM IMC = IB'C ( c.g.c)
góc IMC = IB'C góc AB'B = góc IMB
Tam giác AB'B đồng dạng với tam giác IBM góc BIM = góc BAB'
mà góc BAB' = 90
0

góc BIM = 90
0
Bài 6: ( 2 điểm).
Gọi E là giao điểm của AC và ML
Ta có: góc NCD = gócNCB
(cùng phụ với goc BCN)
góc NBC = góc NAM ( cùng chắn cung MN)
Tam giác NCL đồng dạng với
tam giác NAM
NM
NL
NA
NC
=
Mặt khác : góc ANC = góc MNL
( cùng bằng 90
0
+ gócMNC)
tam giác ANC đồng dạng với tam giác
MNL góc NAC = góc NML hay góc NAE = góc NME
Tứ giác AMEN nội tiếp E thuộc đờng tròn đờng kính AM
góc AEM = 90
0
hay ML vuông góc với AC ( đpcm).
Bài 7: ( 2điểm).
Vẽ hình đúng, ghi GT, KL : ( 0,5điểm).
Gọi I là chân đờng vuông góc kẻ từ G
đến LK.
Gọi độ dài cạnh hình lập phơng là 2a
( a>0), ta có: Tam giác ALK vuông tại A

LK =
22
AKAL
+
=
22
aa
+
A
M
B
C'
I
C
B'
E
D
A
B
M
C
N
L
L
B
D
C
F
GH
E

K
I
A
= a
2
Tam giác DHG vuông tại H.
DG
2
=DH
2
+ HG
2
= 8a
2
Tam giác LDG vuông góc tại D
( Vì AD mp(DCGH) ADDG)
LG
2
= LD
2
+ DG
2
=a
2
+ 8a
2
= 9a
2
Từ LDG = KBG (c.g.c)
( Vì có : góc LDG = góc KBG = 90

0
,
LD = KB , DG = BG).
GL = GK GLK cân tại G.
I là trung điểm của LK IL =LK : 2 =
2
2a
LIG vuông tại I nên ta có: LG
2
= LI
2
+ IG
2
hay 9a
2
= 2a
2
:4 + 100 a
2
= 200: 17 a =
17
210
Vậy độ dài cạnh hình lập phơng là
17
220
Thể tích hình lập phơng là
1717
216000
( đơn vị diện tích).
*-------&--------*