BÁO CÁO LỊCH SỬ TOÁN GIẢI TÍCH PP DẠY HỌC TOÁN

Nhóm 5
1) LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN GIẢI TÍCH.
2) MỘT SỐ NHÀ TOÁN HỌC TIÊU BIỂU VÀ
CÁC SỰ KIỆN LIÊN QUAN
3) MỘT SỐ ỨNG DỤNG VÀO DẠY HỌC
4) TRÒ CHƠI


MỞ ĐẦU
Trong lịch sử toán học, có thể thấy có bốn giai đoạn khác nhau rõ ràng về
chất.

Giai đoạn 1: Thời kì “ Ra đời của toán học” với tư cách là một ngành khoa học độc lập.
Nó bắt đầu từ mãi đâu trong chiều sâu của lịch sử và kéo dài đến khoảng thế kỉ 6-5 trước
CN.
Giai đoạn 2: Thời kì của “ Toán học sơ cấp” toán học các đại lượng không đổi, kéo dài
đến khoảng cuối thế kỉ 17, khi mà ngành toán học mới, toán học “ cao cấp” cũng đã phát
triển khá sâu.
Giai đoạn 3: Thời kì của “ Toán học biến thiên” với sự ra đời và phát triển của giải tích
toán học, sự nghiên cứu các quá trình vận động và phát triển của chúng.
Giai đoạn 4: Thời kì của “Toán học hiện đại” với nét đặc trưng là nghiên cứu có ý thức và
có hệ thống các loại hình khả dĩ của các quan hệ định lượng và của các hình thể không
gian. Hình học không chỉ nghiên cứu không gian ba chiều có thực, mà cả các hình thể
không gian tương tự. Giải tích toán học xét các đại lượng “ biến thiên phụ thuộc” không chỉ
một biến bằng hằng số, mà cả một đường (hàm) nào đó; điều này đã đưa tới các khái niệm
“ phiếm hàm” và “ toán tử”. “ Đại số học” chuyển thành lí thuyết các phép tính đại số với các
phần tử có bản chất bất kì, miễn là các phép tính ấy có thể thực hiện với chúng. Thời kì này
của toán học bắt đầu từ nửa đầu thế kỉ 19.


LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN

GIẢI TÍCH


I.Lịch sử phát triển của giải tích
Bắt đầu ở thế kỉ 17 lúc mà ý tưởng chuyển động và biến thiên thâm nhập rõ ràng vào toán học.
Việc khảo sát các đại lượng biến thiên và mối liên hệ giữa chúng đã dẫn đến các khái niệm
hàm, đạo hàm và tích phân, đưa tới sự ra đời của một bộ môn toán học mới – giải tích toán
học.
Giải tích toán học ( Mathematical Analysis) còn có tên là phép tính các đại lượng vô cùng bé
và vô cùng lớn ( calculus of Infinitely Small and Large Quantities) hoặc phép tính vi tích phân
(calculus of Differentiation and Integration)hoặc gọi tắt là Calculus,ra đời vào cuối thế kỉ thứ 17.
Trong lịch sử, hai phép tính vi phân và tích phân được phát hiện độc lập với nhau. Mầm mống
của phép tính tích phân đã có từ thời kì Hy Lạp cổ đại, trong công trình của Archimede, liên
quan đến vấn đề cầu phương, cầu tích, cầu trường.
Vào thế kỷ XVII, hoàn toàn độc lập với phép tính tích phân, những tư tưởng của phép tính vi
phân mới được hình thành qua nghiên cứu của Fermat trên việc giải các bài toán, tìm tiếp
tuyến, cực đại, cực tiểu của hàm số và việc nghiên cứu các chuyển động.
Chính từ việc xác định đường cong khi biết tiếp tuyến của nó mà Barrow đã thiết lập cầu
nối giữa bài toán cầu phương và bài toán dựng tiếp tuyến. Quan hệ thuận nghịch giữa hai
phép tính vi phân và tích phân thể hiện rất rõ qua các công thức do Newton, Leibniz,
Cauchy chứng minh, mà ngày nay ta gọi đó là định lí cơ bản của hai phép tính này.


I.Lịch sử phát triển của giải tích
Vào thời cổ đại, bài toán xác định diện tích các hình và thể tích các vật thể được đặt ra. Người
Ai Cập và Babylone cổ đã có thể tính diện tích và thể tích của một số hình đơn giản theo đúng
những công thức chúng ta dùng ngày nay.
Nhà bác học cổ Hy Lạp Democritus, vào thế kỉ thứ 5 trước CN đã đưa ra thuyết nguyên tử,
cho rằng mọi vật thể đều cấu thành bởi một tập hợp vô hạn các nguyên tử nhỏ bé mà ông gọi
đó là “ đại lượng cơ sở”. Áp dụng thuyết nguyên tử vào toán học, Democritus tính được diện

tích của một số hình bằng cách chia nhỏ chúng. Quan niệm của ông được xem là nguồn gốc
của khái niệm vô cùng bé.
Điều đó đặt ra yêu cầu “ cần phải nghiên cứu và sử dụng những phương pháp mà bên cạnh
các hình thức suy luận khác nhau về đại lượng vô cùng bé còn có các yếu tố của sự chuyển
qua giới hạn” ( K.A. Rư-ni-côp, 1967, trang70).
Người đầu tiên xây dựng một phương pháp cho phép chuyển qua giới hạn là Eudoxe (410356 trước CN). Phương pháp của ông gọi là phương pháp “ vét kiệt” .
Và phương pháp này đã được Archimedes (287-212 trước CN) sử dụng thành thạo để cầu
phương các hình, cầu tích các thể, cầu trường các cung và xác định trọng tâm của vật thể.


I.Lịch sử phát triển của giải tích
Phép tính vi phân và tích phân được sáng tạo ra nhằm giải quyết bốn vấn đề khoa học của thế
kỉ 17:
1)Tìm vận tốc và gia tốc của một vật thể chuyển động theo thời gian khi biết phương trình

giờ của vật thể ấy.
2)Tìm tiếp tuyến của đường cong.
3)Tìm cực đại và cực tiểu của một hàm số.
4)Tìm độ dài của đường cong
Các nhà toán học cổ Hy Lạp đã dùng phương pháp “vét kiệt” một cách khéo léo, các nhà
toán học ở thế kỉ 17 đã dần cải tiến, và họ nhanh chóng phát minh ra phép tính vi-tích phân
để giải quyết các vấn đề khoa học trên.


I.Lịch sử phát triển của giải tích
Có nhiều nhà toán học đã kế thừa và cải tiến dần phương pháp "vét kiệt" và dần tiếp cận tới
phép tính vi tích phân như : Kepler, Galileo, Wallis, Fermat, Cavalieri, Huygens, ...
Ví dụ như:
Kepler đã tính xấp xỉ được diện tích của các vật thể tròn xoay; Galileo đã nhận biết rằng
diện tích phần giới hạn bởi thời gian và đường cong vận tốc biểu diễn quãng đường đi

được.
Wallis áp dụng phương pháp phân chia nhỏ vô hạn để tính được nhiều bài toán về cầu
phương và nhiều kết quả hữu ích khác.
Phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm đa thức của Fermat thì tương
đương với phương pháp hiện đại của chúng ta là tìm đạo hàm của một hàm số rồi cho đạo
hàm bằng không.
Fermat, Roberval, Torircelli và Cavalieri đã đạt được một cách độc lập về việc cho diện
tích phần dưới đường cong ‘‘luỹ thừa bậc n’’
Tuy nhiên họ chưa biết dùng nguyên hàm để tính những diện tích như vậy, ...


I.Lịch sử phát triển của giải tích
Tất cả những cố gắng của họ đã đạt đến đỉnh cao khi Newton và Leibniz hoàn thiện phép
tính vi - tích phân.
Hai ông đã tạo ra một hệ thống tập hợp kí hiệu tổng quát và một hệ thống các quy
tắc giải tích hình thức cho phép tính vi - tích phân.



Theo Frederick – một nhà lịch sử giải tích ở Bowling Green University, nguyên nhân có thể
hoàn thiện phép tính vi-tích phân của Newton và Leibniz trên nền móng phương pháp vét
kiệt của Eudoxus:

1) Những công trình sớm hơn gần như là một tập hợp các công cụ thông minh áp dụng vào đa
thức, có tính tổng quát và có thể áp dụng cho nhiều loại toán khác nhau.
2) Sự phát triển của thuật toán và ký hiệu. Newton và Leibniz đã phát triển những giải
thuật tổng quát, nhờ vậy mà các phương pháp trước đó có thể áp dụng. Các kí hiệu

dy
dx

cho đạo hàm và

∫

Cho tích phân đều là của Leibniz


I.Lịch sử phát triển của giải tích

3) Sự thấu hiểu phép tính vi phân và phép tính tích phân là hai quá trình ngược nhau và
khai thác dữ kiện này là vấn đề chính yếu đối với môn phép tính vi – tích phân.
4) Newton và Leibniz ý thức được việc sáng tạo ra một ngành toán học mới hết sức quan
trọng. Cả hai người được hiểu rằng họ đang phát triển một phương pháp tổng quát hết sức
quan trọng.
Về sau, Cauchy và những người tiếp sau trong thế kỷ XIX đã phát triển các khái niệm
cơ bản của giải tích trên cơ sở chặt chẽ.

Tuy nhiên, để đạt được sự chặt chẽ như ngày nay, các nhà nghiên cứu phép tính vi phân và tích
phân đã đối mặt các vấn đề về mối quan hệ giữa liên tục và rời rạc, giữa hữu hạn và vô
hạn, giữa chuyển động và đứng yên.


MỘT SỐ NHÀ TOÁN HỌC TIÊU BIỂU


II. Một số nhà toán học tiêu biểu
I. ISAAC NEWTON (1642-1727)

II. Một số nhà toán học tiêu biểu
1.TIỂU

SỬ ISAAC NEWTON:

Isaac Newton là một trong những thiên tài lớn nhất thế giới, Newton là nhà toán học và thiên
văn học, ông cũng là nhà vật lý và cơ học, hóa học, về lý thuyết lẫn thực nghiệm. Chế ra kính
thiên văn, phát minh Toán vi phân và nhất là khám phá lực hấp dẫn.
Newton sinh ra trong một gia đình nông dân. May mắn cho nhân loại, Newton không làm ruộng
giỏi nên được đưa đến đại học Cambridge để trở thành luật sư. Tại đây Newton bị ấn tượng
mạnh từ Euclid. Một đợt dịch bệnh đã khiến trường Cambridge đã đóng cửa và trong thời gian ở
nhà, Newton đã có những phát kiến khoa học quan trọng; trong đó phương pháp tính vi phân và
tích phân hoàn toàn mới đã thống nhất và đơn giản hóa nhiều phương pháp tính khác nhau thời
bấy giờ để giải những bài toán có vẽ không liên quan trực tiếp.
Cũng trong lúc đó, Gottfried Leibniz (1646-1716), nhà bác học Đức cũng tìm ra cách tính này.
Do đó sinh ra một cuộc bút chiến giành quyền tác giả ưu tiên, một cuộc bút chiến dữ dội và lâu
dài vì Newton xây dựng khái niệm về toán vi phân trước Leibniz rất lâu, nhưng Leibniz lại in
đề tài này ra trước.


II. Một số nhà toán học tiêu biểu

Mùa hè năm 1666 tại Woolsthorpe, Isaac Newton sửa soạn trình bày một thí nghiệm sẽ là nguồn
gốc của tất cả những lý thuyết hiện đại về ánh sáng và màu sắc.
Năm 1670, ông được nhận làm giảng viên của trường Đại học Cambridge
Năm 1672 Newton được bầu vào Hội Khoa học Hoàng gia Anh
Năm 1684, Newton xuất bản quyển Philosoph iae Naturalis Principia Mathematica (Các
Nguyên lý Toán học của Triết lý về Tự nhiên).
Năm 1693, Newton từ bỏ khoa học, rời Cambridge để về nhận chức trong chính quyền tại Luân
Đôn.

Năm1703, Newton được bầu làm chủ tịch Hội Khoa học Hoàng gia Anh.
Năm 1705, ông được Nữ hoàng phong bá tước


II. Một số nhà toán học tiêu biểu
2. NHỮNG THÀNH TỰU KHOA HỌC CỦA ISAAC NEWTON
2.1. Thành tựu trong vật lý và thiên văn học:
-Phát minh ra đồng hồ mặt trời.
- Đã tìm ra ”Định luật vạn vật hấp dẫn” .
- Một trong những công trình nền tảng quan trọng nhất cho vật lý của mọi thời đại
của Newton là cuốn Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Các Nguyên lý
Toán học của Triết lý về Tự nhiên), hoàn thành năm 1688, viết bằng tiếng Latin,
gồm 3 tập.
- Vào năm 1668, Newton chế tạo được mô hình một kiểu kính viễn vọng mới.


II. Một số nhà toán học tiêu biểu
2.2. Thành tựu trong Toán học
a. Phép tính vi - tích phân
Được xem là công lao sáng tạo của Newton, công trình này được hoàn thành năm
1671. Nhưng đến năm 1736, mới được công bố. Đây cũng là nguyên nhân gây ra
cuộc tranh luận kéo dài giữa Newton và Leibniz.
b. Nhị thức Newton
c. Một số thành tựu toán học khác:
 Công trình toán học: Các đường bậc ba (1704): Phân loại và nghiên cứu tính
chất các đường cong bậc ba bằng hình học giải tích.
 Công trình toán học: Về phép cấu phương các đường cong (1704).
 Công trình toán học: Arithmetica universalis ( 1707 ) đạt được nhiều kết quả quan
trọng trong lý thuyết các phương như:
+ Nghiệm ảo của một đa thức thực phải có từng cặp một.

+ Quy tắc tìm cận trên của các nghiệm của một đa thức.
+ Công thức biểu thị ổng các luỹ thừa thứ n của các nghiệm của một đa thức theo hệ số
của đa thức ấy
 Newton là người giải được bài toán giải tích biến phân đầu tiên trên thế giới.


II. Một số nhà toán học tiêu biểu
II. GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ (1646-1716)


II. Một số nhà toán học tiêu biểu
1. Tiểu sử của Leibniz
Leibniz nhà bác học, triết học lỗi lạc của nước Đức.
Ông là con của một giáo sư triết học. Từ nhỏ ông đã được cha quan tâm bồi dưỡng những
năng khiếu tự nhiên. Mẹ là một phụ nữ thông minh biết nhiều ngoại ngữ có ảnh hưởng sâu
sắc tới tài năng và đức tính của ông sau này.
Năm 14 tuổi, ông được nhận vào trường đại học Laixich. Ông tỏ ra thông minh đặc biệt
và có nhiều công trình nghiên cứu về toán.
Năm 20 tuổi, ông đã cho xuất bản cuốn “ Lược khảo về sự phân tích tổ hợp”.
Những phát minh của ông cùng thời với các nhà bác học lớn trên thế giới như: phép
tính vi phân tương đương của Newton, lý thuyết bảo tồn năng lượng với Descartes.
Leibniz là một nhà bác học về nhiều ngành khoa học tự nhiên như: Toán học, Sử học,
nhà nghiên cứu pháp lý mới, nhà cải cách ngôn ngữ và triết gia.


II. Một số nhà toán học tiêu biểu
2. NHỮNG THÀNH TỰU KHOA HỌC CỦA GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ
2.1. Toán học:
a. Phép tính vi tích phân
Leibniz đã phát minh phép vi tích phân từ năm 1673 đến 1676. Nhiều quy tắc

sơ cấp về lấy vi phân thường được trình bày trong các giáo trình đại học là của
Leibniz.
Quy tắc tìm đạo hàm bậc n của tích 2 hàm số vẫn được coi là quy tắc Leibniz.
Mùa thu 1676 Leibniz đã phát minh ra mối quan hệ d(xn)=n.xn-1.dx
Năm 1686, Leibniz cho xuất bản tác phẩm “Về hình học sâu sắc”. Leibniz đã trình bày
các quy tắc tính tích phân của hình học sơ cấp.
Năm 1692, Leibniz đặt nền móng cho lý thuyết về hình bao, vào năm 1694, ông giới thiệu
về giới hạn tọa độ, trục tọa độ.
Năm 1693, Leibniz đã mở rộng phép tính mới cho những hàm số siêu việt.
Năm 1695, Leibniz đã xuất bản qui tắc vi phân của hàm lũy thừa tổng quát và công thức
vi phân của tích
dm(xy)=dm(x)d0y + d(m-1)(x)dy + d(m-2)(x)d2(y) + …
Năm 1702, Leibniz đã tìm thấy cách lấy vi phân của phân số hữu tỉ.
Năm 1714, Leibniz viết “ Lịch sử và nguồn gốc của phép tính vi phân”.


II. Một số nhà toán học tiêu biểu
b. Máy tính của Leibniz:

Máy tính nhân của ông, thực hiện năm 1671, đã
đưa ra một ý tưởng mới: việc quay đồng thời
những bánh răng khác nhau tương ứng với các
hàng lẻ của những số máy đang tính.


II. Một số nhà toán học tiêu biểu
c. Tổng của các hiệu của các số hạng liên tiếp trong dãy số:
Cho một dãy số a0, a1, a2,…, an
Xét dãy số d1, d2,…,dn với di = ai – ai-1. Lúc này ta có:
d1 + d2 + d3 +…+ dn = (a1 – a0) + (a2 –a1) + ….+ (an – an-1)

= an – a0 (*)
Do đó, tổng của các hiệu số liên tiếp bằng hiệu của số hạng đầu và số hạng cuối của dãy.

1
1

d. Tam giác điều hòa:

=
+

1
6

=

1
1 2
3
1
1
+
4
12
1
1
5
20

1

2

1
3

1
12
1
30

1
4
1
20

1
5


II. Một số nhà toán học tiêu biểu
2.2. Vật lý:
- Leibniz đã có ý tưởng sử dụng năng lượng gió và nước để điều khiển máy bơm.
- Năm 1671, Leibniz công bố giả thuyết Vật lý về thiên văn học.
- Từ năm 1678-1679, ông đã xúc tiến một bộ sưu tập trọn vẹn những công trình chuyên
môn về địa chất.
- Năm 1685, ông viết luận văn để tìm áp xuất sử dụng bởi năng lượng (w) giữa hai mặt
phẳng nghiêng đã bổ sung độ nghiêng
- Năm 1689, Leibniz viết bài về sự chuyển động của hành tinh “làm cân bằng sự chuyển
động”
2.3. Triết học:

- Leibniz là một triết gia duy tâm, khách quan có nhiều yếu tố biện chứng.
- Leibniz là người mở đường cho phái triết học duy tâm cổ điển và phái triết học duy tâm
biện chứng ở Đức.


II. Một số nhà toán học tiêu biểu
3. ARCHIMEDES (284-212)


II. Một số nhà toán học tiêu biểu
3.1. Tiểu sử
Acsimet sinh năm 284 và mất năm 212 trước Công nguyên. Ông sống ở thành phố
Syracuse, trên đảo Sicile, con một một nhà thiên văn và toán học nổi tiếng Phidias. Người
cha đích thân dạy dỗ và hướng ông đi vào con đường khoa học tự nhiên.
Acsimet được cha cho đi du học ở thành phố Alexandrie, Ai Cập, trở thành học sinh
của nhà toán học nổi tiếng Ơclit; rồi sang Tây Ban Nha và cuối cùng về định cư vĩnh viễn
tại thành phố quê nhà xứ Sicile. Ðược hoàng gia tài trợ về tài chính, ông cống hiến cả
cuộc đời mình cho nghiên cứu khoa học và đạt được những thành tựu đồ sộ.
3.2. Thành tựu
a. Các công trình của Acsimet
1. Công thức tính diện tích, thể tích của hình lăng trụ, hình cầu.
2. Số thập phân của số Pi (nằm giữa 223/7 và 22/7)
3. Phương pháp tính gần đúng chu vi vòng tròn từ những hình lục giác đều nội tiếp
trong vòng tròn.
4. Những tính chất của tiêu cự của Parabole
5. Phát minh đòn bẩy, bánh xe răng cưa…
6. Chế tạo vũ khí mới đánh quân La Mã.


II. Một số nhà toán học tiêu biểu

7. Chế ra vòng xoắn ốc không ngừng …
8. Tính diện tích parabole bằng cách chia ra thành tam giác vô tận
9. Nguyên lý thủy tĩnh, sức đẩy Acsimet, trọng tâm Barycentre
10. Những khối Acsimet (Solides Acsimet)
11. Những dạng đầu tiên của tích phân.
b. Tác phẩm Acsimet đã viết:
- Sự cân bằng các vật nổi
- Sự cân bằng của các mặt phẳng dựa trên lý thuyết cơ học
- Phép cầu phương của hình Parabole
- Hình cầu và khối cầu cho Toán. Tác phẩm này xác định diện tích hình cầu theo bán
kính, diện tích bề mặt của hình nón từ diện tích mặt đáy của nó.
Ông còn viết những sách khác như:
- Hình xoắn ốc (đó là hình xoắn ốc Acsimet, vì có nhiều loại xoắn ốc)
- Hình nón và hình cầu (thể tích tạo thành do sự xoay tròn của mặt phẳng quanh một
trục (surface de révolution), những parabole quay quanh đường thẳng hay hyperbole


II. Một số nhà toán học tiêu biểu
4. AUGUSTIN LOUIS CAUCHY (1789-1857)