Bài giảng toán kinh tế

Bài giảng toán kinh tế

2. Giới hạn vô hạn của hàm số:
lim f ( x) = +∞

x → x0

∀N > 0 lớn tuỳ ý, δ∃ > 0: 0 < |x – x0| < δ ⇒ f(x) > N
lim f ( x) = −∞

x → x0

∀N < 0 nhỏ tuỳ ý, δ∃ > 0: 0 < |x – x0|< δ ⇒ f(x) < N
Ví dụ: chứng minh
1
= +∞
x→a ( x − a ) 2

lim

3. Các tính chất của giới hạn hàm số:
Định lý: nếu lim f(x) = L1 và lim g(x) = L2 thì
• Lim [f(x) ± g(x)] = L1 ± L2
• Lim [f(x)g(x)] = L1L2
• Lim [f(x)/g(x)] = L1/L2 (L2 ≠ 0)
• Lim [f(x)]m = L1m (L1m ∈ R)
• Lim C = C
• Lim [Cf(x)] = CL1
Ghi chú: Nếu gặp các dạng vô định 0/0, 0.∞, ∞ - ∞, 1∞ thì phải biến đổi để
khử chúng.
Ví dụ: Tìm

2
3
sin x
x→ 2 3 x + x + 1

a ) limπ

2

b) lim
x →1

x −1
x −1

c) lim
x →2

x −8
x−2

Định lý: Giả sử g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) đối với mọi x thuộc lân cận của x0. Nếu
lim g ( x) = lim h( x ) = L =>

x → x0

x→ x0

lim f ( x) = L

x → x0

Định lý: Trong một quá trình, nếu lim u(x) = L và f là hàm sơ cấp xác định
trong lân cận của L, thì lim f[u(x)] = f(L) = f[lim u(x)]
Ví dụ: Tìm
 πx 2 + 1 

lim sin  2
x →∞
 2x − x 

4. Một số giới hạn đặc
biệt:
x

ax −1
 1
sin x
lim
= ln a
lim
1
+
=
e


lim
= 1 x→∞
x →0

x
x→0
 x
x

lim(1 + x )
x →0

www.nguyenngoclam.com

1/ x

=e

lim
x →0

ln(1 + x)
=1
x

1


Bài giảng toán kinh tế
Ví dụ: Chứng minh:
tgx
=1
x →0 x

lim

Ví dụ: Tìm:x
3+ x
lim

x →∞
 x 

arctgx
=1
x →0
x

arcsin x
=1
x →0
x

lim

lim

 x + 2
lim

x →∞ x − 1



x +3

5. So sánh vô cùng bé
Định nghĩa: Hàm số f(x) được gọi là vô cùng bé trong một quá trình nếu
limf(x) = 0
Định nghĩa: Cho f(x), g(x) là hai VCB trong một quá trình:
• Nếu lim[f(x)/g(x)] = 0, f(x) là VCB bậc cao hơn g(x)
• Nếu lim[f(x)/g(x)] = ∞, f(x) là VCB bậc thấp hơn g(x)
• Nếu lim[f(x)/g(x)] = A, f(x), g(x) là hai VCB cùng bậc
• Nếu lim[f(x)/g(x)] = 1, f(x), g(x) là hai VCB tương đương. Ký hiệu
f(x)~g(x)
• Nếu lim[f(x)/g(x)] không tồn tại, ta nói f(x), g(x) là hai VCB không
so sánh được
Định lý: Nếu f(x), g(x) là hai VCB, Nếu f(x)~f1(x), g(x)~g1(x) thì
lim[f(x)/g(x)] = lim[f1(x)/g1(x)]
Định lý (qui tắc ngắt bỏ VCB bậc cao): Nếu g(x) là VCB bậc cao hơn f(x)
trong cùng quá trình thì
f(x) + g(x) ~ f(x)
Ví dụ: Chứng minh
sin 2 x + arcsin 2 x − arctg 2 x 2
lim
=
x →0
3x
3
sin x x ~ x 2 + x 3

Khi x →0

6. So sánh vô cùng lớn:

Định nghĩa: Hàm số F(x) gọi là một vô cùng lớn trong một quá trình nếu
lim F(x) = ∞
• Trong cùng quá trình, nếu f(x) là CVB thì 1/f(x) là VCL
• Ngược lại, F(x) là VCL thì 1/F(x) là VCB
Định nghĩa: Cho F(x), G(x) là hai VCL trong một quá trình:
• Nếu lim[F(x)/G(x)] = ∞, F(x) là VCL bậc cao hơn G(x)
• Nếu lim[F(x)/G(x)] = 0, F(x) là VCL bậc thấp hơn G(x)
• Nếu lim[F(x)/G(x)] = A (A ≠ 0, A ≠ ∞), ta nói F(x), G(x) là hai VCL
cùng bậc.
www.nguyenngoclam.com

2


Bài giảng toán kinh tế
•

Nếu lim[F(x)/G(x)] = 1, F(x), G(x) là hai VCL tương đương. Ký hiệu
F(x)~G(x)
Định lý: Nếu F(x), G(x) là hai VCL trong cùng quá trình, Nếu F(x)~F1(x) ,
G(x)~G1(x) thì
lim[F(x)/G(x)] = lim[F1(x)/G1(x)]
Định lý (qui tắc ngắt bỏ VCL bậc thấp): Nếu G(x) là VCL bậc thấp hơn F(x)
trong cùng quá trình thì F(x) + G(x) ~ F(x)
Ví dụ: Tìm
7 x3 − x5 + 6 x
x →∞ 12 x 3 + x 2 − 6 x

lim

Định nghĩa: Hàm số f được gọi là liên tục tại x0 nếu:
lim f ( x) = f ( x0 )

x → x0

f ( x) = f ( x0 )
Nếu chỉ cóxlim
→x +
0

lim f ( x) = f ( x0 )
hoặc
x→ x −
0

thì f được gọi là liên tục bên phải (bên trái) tại x0
Định nghĩa: Hàm số f(x) được gọi là gián đoạn tại x 0 nếu nó không liên tục
tại x0. Vậy x0 là điểm gián đoạn của hàm số f(x) nếu:
- Hoặc f(x) không xác định tại x0
- Hoặc f(x) xác định tại x0 nhưng lim f(x) ≠ f(x0) khi x → x0
- Hoặc không tồn tại lim f(x) khi x → x0
Ví dụ: Xác định tính liên tục tại x0 = 0
 x + 1 khi x ≤ 0
f ( x) = 
 x − 1 khi x > 0

f ( x) =

1
x

Định nghĩa: f được gọi là liên tục trong khoảng mở (a,b) nếu nó liên tục tại
mọi điểm thuộc khoảng đó,
• f được gọi là liên tục trong khoảng đóng [a,b] nếu nó liên tục tại mọi
điểm thuộc khoảng mở (a,b), liên tục bên phải tại a và liên tục bên trái
tại b
Định lý: Nếu f, g là các hàm số liên tục tại x 0 thì các hàm số sau cũng liên
tục tại x0: kf (k hằng số), f+g, fg, g/f (g(x0)≠0).
Định lý: Trong cùng một quá trình nếu limu(x) = u 0 và f liên tục tại u0 thì
Lim f[u(x)] = f[lim u(x)] = f(u0)
Định lý: Nếu f liên tục trên (a,b) và f(a)f(b) < 0 thì ∃x0 ∈ (a,b): f(x0) = 0
Định lý: Nếu f liên tục trên [a,b] thì f đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên [a,b]
Chương 2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN
www.nguyenngoclam.com

3


Bài giảng toán kinh tế

ξ1. ĐẠO HÀM HÀM SỐ MỘT BIẾN
Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trong (a,b) và x0 ∈ (a,b). Nếu tồn tại
lim

x → x0

f ( x) − f ( x0 )
x − x0

thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại x 0. Ký hiệu f’(x0),

y’(x0)
Đặt ∆x = x – x0, ta có x = x0 + ∆x và
∆y
đặt ∆y = f(x0 + ∆x) – f(x0) thìy ' = ∆lim
x →0 ∆x
Ký hiệu dy/dx, df/dx
∆y

Đạo hàm bên phải:y ' = ∆lim
x →0+ ∆x
∆y

Đạo hàm bên trái: y ' = ∆lim
x → 0 − ∆x
- Hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) nếu nó có đạo hàm tại mọi
điểm trong khoảng đó,
- f(x) có đạo hàm trên đoạn [a,b] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trong
khoảng (a,b), có đạo hàm phải tại a và đạo hàm trái tại b
Ví dụ: Tìm đạo hàm của y = x2, y = sinx
Đạo hàm của tổng thương tích của hai hàm số:
Nếu các hàm số u, v có đạo hàm tại x thì:
• u + v cũng có đạo hàm tại x và (u + v)’ = u’ + v’
• u.v cũng có đạo hàm tại x và (u.v)’ = u’v + v’u
'

 u  u ' v − v' u
 và
 =
u/v cũng có đạo hàm tại x\V(x)≠0
v2

v

•
Đạo hàm của hàm số hợp:
Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm theo x, hàm y = f(u) có đạo hàm tương ứng
u = u(x) thì hàm số hợp f(u) có đạo hàm theo x và y’(x) = y’(u).u’(x).
Đạo hàm của hàm số ngược:
Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x, f’(x) ≠ 0 và có hàm số ngược x
-1
= f (y) thì hàm số x = f-1(y) có đạo hàm tại y = f(x):
( f −1 )' ( y ) =

1
1
=
f ' ( x ) f '[ f −1 ( y )]

Ví dụ, tìm đạoA hàm của y = arcsinx
Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản:
www.nguyenngoclam.com

4


Bài giảng toán kinh tế
(c)’ = 0
(xα)’ = αxα-1
(ax)’ = axlna
(ex)’ = ex
(sinx)’ = cosx

(cosx)’ = -sinx
(tgx)' =

1
cos 2 x

(log a x)' =

1
x ln a

(arcsin x)' =
(cot gx)' = −

(ln x)' =

1
1− x

2

1
sin 2 x

(arc cot gx )' = −

1
x

(arccos x)' = −

(arctgx )' =

1
1 − x2

1
1+ x2

1
1 + x2

Đạo hàm cấp cao :
Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm thì y’ = f’(x) gọi là đạo hàm cấp 1.
Đạo hàm, nếu có, của đạo hàm cấp 1 gọi là đạo hàm cấp 2. Ký hiệu: y’’(x),
f’’(x)
d2y d2 f
,
dx 2 dx 2

Tương tự, đạo hàm của đạo hàm cấp (n-1) là đạo hàm cấp n. Ký hiệu: f(n)
(x), y(n)(x).
dny dn f
,
dx n dx n

Ví dụ: Cho y = xα (α ∈ R, x > 0), y = kex, tìm y(n)
Công thức Leibniz:
Giả sử hàm số u, v có đạo hàm liên tiếp đến n. Khi đó ta có:
(u + v)(n) = u(n) + v(n)
n

(uv )( n ) = ∑ Cnk u ( n−k ) .v k
k =0

trong đó u(0) = u, v(0) = v

ξ2. VI PHÂN
Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) khả vi, ta ký hiệu dy = y’dx (df = f’dx)
được gọi là vi phân cấp 1 của hàm
vdu − udv
 u số f.
d  =
Vi phân của tổng, tích, thương: v 
v2
d(u + v) = du + dv
d(u.v) = vdu + udv
Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) và f(n-1) khả vi, ta ký hiệu d(n)y =
y(n)dxn (d(n)f = f(n)dx) được gọi là vi phân cấp n của hàm số f.

ξ3. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ ĐẠO HÀM
www.nguyenngoclam.com

5


Bài giảng toán kinh tế

Định lý Rolle: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) và f(a) =
f(b) thì tồn tại c ∈ (a,b) sao cho f’(c) = 0.
Định lý Lagrange: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) thì

tồn tại c ∈ (a,b) sao cho
f (b) − f ( a)
= f ' (c )
b−a

Nhận xét: Định lý Rolle là một trường hợp đặc biệt của định lý Lagrange
trong trường hợp f(b) = f(a).
Định lý Cauchy: Nếu f , g cùng liên tục trên [a,b], khả vi trong khoảng (a,b)
và g’(x) ≠ 0, ∀x ∈ (a,b) thì tồn tại c ∈ (a,b) sao cho
f (b) − f ( a) f ' (c)
=
g (b) − g (a ) g ' (c )

Nhận xét: Định lý Lagrange là một trường hợp đặc biệt của định lý Cauchy
trong trường hợp g(x) = x.
Định lý Taylor: Nếu hàm số f khả vi đến cấp (n+1) trong lân cận D của x 0
thì ∀x ∈ D, x ≠ x0 thì tồn tại cf nằm
' ( x ) giữa x vàf "x(0xsao
) cho:
f ( x) = f ( x0 ) +

... +

f

0

1!

( x − x0 ) +

0

2!

( x − x0 ) 2 + ...

( n +1)

(n)

( x0 )
f
(c )
( x − x0 ) n +
( x − x0 ) n +1
n!
(n + 1)!

Số hạng cuối cùng được gọi là phần dư Lagrang
Rn ( x) =

• Đa thức Taylor:
n

Pn ( x) = ∑
k =0

f ( n +1) (c )
( x − x0 ) n +1

(n + 1)!
f k ( x0 )
( x − x0 ) k
k!

Khi x0=0 thì công thức Taylor trở thành công thức Maclaurin
f ' (0)
f " (0) 2
f ( n ) (0) n f ( n +1) (c ) n +1
f ( x) = f (0) +
x+
x + ... +
x +
x
1!
2!
n!
(n + 1)!

L’Hospital khử dựng vô định khi tìm giới hạn
Định lý: Giả sử f, g khả vi trong (a,b), g’(x) ≠ 0 với mọi x ∈ (a,b)
lim f ( x) = lim g ( x) = 0
x→a

x →a

lim
x →a

f ' ( x)

f ' ( x)
= lim
=L
g ' ( x) x→a g ' ( x)

www.nguyenngoclam.com

6


Bài giảng toán kinh tế

Nhận xét: Qui tắc L’Hospital vẫn đúng nếu:
lim f ( x ) = lim g ( x) = 0
x →∞

x →∞

lim f ( x) = lim g ( x) = ∞
x →a

x →a

lim f ( x) = lim g ( x ) = ∞
x →∞

x →∞

• Qui tắc L’Hospital có thể áp dụng nhiều lần.
1. Dạng 0/0, ∞/∞

Ví dụ:3 Tìm các giới hạn sau (dạng 0/0)
lim
x →3

x − 27
2
x − 4x + 3

lim
x →0

tgx − x
x − sin x

lim
x →0

x − sin x
x3

Ví dụ: Tìm giới hạn sau (dạng ∞/∞)
xn
x → +∞ e x

ln x
x → +∞ x n

ln x
x →0+ cot gx
lim

π
− arctgx
2
lim
x →∞
1
x

lim

lim

2. Dạng 0.∞, ∞ - ∞: Chuyển chúng về dạng 0/0, ∞/∞.
Ví dụ:
1
lim (

lim( 4 − x 2 )tg (πx / 4)

lim x 5 ln x

x →0+

x →π / 2

x →2

cos x

− tgx )

3. Dạng vô định: 00, 1∞, ∞0:
Ta xét [f(x)]g(x) = eg(x).ln f(x) (f(x) > 0)
Ví dụ:
2
1
lim x x

x →0 +

2

lim x1− x
x→1

lim(cot gx) ln x
x→1

CỰC TRỊ
Định nghĩa: Hàm số f được gọi là đạt cực đại (cực tiểu) tại x 0 nếu tồn tại
một lân cận của x0 sao cho f(x) ≤ f(x0) (f(x) ≥ f(x0)).
Chiều biến thiên của hàm số:
Định lý: Cho f khả vi trong (a,b):
1. Nếu f’(x) > 0 với mọi x ∈ (a,b) thì f tăng.
2. Nếu f’(x) < 0 với mọi x ∈ (a,b) thì f giảm.
Điều kiện cần của cực trị:
Định lý Fermat: Nếu hàm số đạt cực trị tại điểm x = x 0 và có đạo hàm tại
điểm đó thì f’(x0) = 0.
Ví dụ: Hàm số y = x3, f’(0) = 0 nhưng tại x = 0 hàm số không đạt cực trị.

Hàm số y = x đạt cực tiểu tại x = 0 nhưng f’(0) không tồn tại.
www.nguyenngoclam.com

7


Bài giảng toán kinh tế
Định nghĩa: Các điểm thoả một trong các điều kiện sau thì được gọi chung
là điểm tới hạn của f:
a) Không tồn tại f’(x)
b) f’(x) = 0
Định nghĩa: Các điểm thoả điều kiện sau f’(x) = 0 được gọi là điểm dừng
của f.
Điều kiện đủ của cực trị:
Định lý: Giả sử f khả vi trong (a,b) chứa điểm x0
a) Nếu x vượt qua x0 mà f’(x) đổi dấu từ dương sang âm thì f(x) đạt
cực đại tại x0.
b) Nếu x vượt qua x0 mà f’(x) đổi dấu từ âm sang dương thì f(x) đạt
cực tiểu tại x0.
c) Nếu x vượt qua x0 mà f’(x) không đổi dấu thì f(x) không đạt cực trị
tại x0.
Định lý: Giả sử f(x) có đạo hàm cấp 2 liên tục ở lân cận điểm x0 và f’(x) = 0.
a) Nếu f”(x0) > 0 thì f(x) đạt cực tiểu.
b) Nếu f”(x0) < 0 thì f(x) đạt cực đại.
Giá trị lớn nhất bé nhất của hàm số trên một đoạn:
1. Tính giá của f tại các điểm tới hạn và tại điểm hai đầu mút.
2. Giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trong các giá trị được tính trên là giá trị lớn
nhất (nhỏ nhất cần tìm).
Ví dụ: tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số:
f(x) = x3 – 3x2 +1 trên đoạn [-1/2, 4]

Biến kinh tế:
Q
QS
QD
P
C
TC
R
TR
Pr
K
L
FC

Quantity
Quantity Supplied
Quantity
Demanded
Price
Cost
Total Cost
Revenue
Total Revenue
Profit
Capital
Labour
Fix Cost

Sản lượng
Lượng cung

Lượng cầu
Giá cả
Chi phí
Tổng chi phí
Doanh thu
Tổng doanh thu
Lợi nhuận
Tư bản
Lao động
Định phí

www.nguyenngoclam.com

8


Bài giảng toán kinh tế
VC

Variable Cost

Biến phí

Hàm số kinh tế:
• Hàm sản xuất
: Q = f(K,L)
• Hàm doanh thu : TR = PQ
• Hàm chi phí
: TC = f(Q)
• Hàm lợi nhuận : π = TR - TC

Ví dụ: Một quán bún bình dân, hãy tính mỗi ngày bán bao nhiêu tô thì có lời
với giá bán 5.000đ/tô và chi phí như sau:
Thuê mặt bằng, 50.000đ/ngày
điện nước
Bún
300đ/tô
Gia vị
200đ/tô
Thịt bò, heo
2.000đ/tô
Nhân viên
500đ/tô
Ý nghĩa đạo hàm trong kinh tế:
• Sản lượng biên MQ: (Marginal quantity) Đo lường sự thay đổi của
sản lượng khi tăng lao động hay vốn lên một đơn vị.
Q=5 L

• Ví dụ: Hãy tìm sản lượng biên của một doanh nghiệp và cho nhận xét
khi L=100 cho bởi hàm sản xuất sau:
• Chi phí biên MC: (Marginal Cost)
Hàm chi phí: TC = TC(Q)
MC là đại lượng đo lường sự thay đổi của chi phí khi sản lượng tăng lên một
đơn vị.
• Ví dụ: Tìm MC và MC là bao nhiêu khi Q = 50 và cho nhận xét.
TC = 0,0001Q3 – 0,02Q2 + 5Q + 100
• Doanh thu biên MR: (Marginal Revenue)
Hàm doanh thu: TR = PQ
• Nếu: Q do thị trường quyết định, giá do doanh nghiệp quyết định thì
MR là đại lượng đo lường sự thay đổi của doanh thu khi sản lượng
tăng thêm 1 đơn vị.

• Nếu: Q do doanh nghiệp quyết định, giá do thị trường quyết định thì
MR là đại lượng đo lường sự thay đổi của doanh thu khi giá tăng thêm
1 đơn vị.
• Ví dụ: Một sản phẩm trên thị trường có hàm cầu là:
Q = 1.000 – 14P
Tìm MR khi p = 40 và p = 30
www.nguyenngoclam.com

9


Bài giảng toán kinh tế
• Lợi nhuận biên MP: (Marginal Profit)
Hàm lợi nhuận: π = TR – TC = PQ – (FC + VC(Q))
Lợi nhuận biên là đại lượng đo lường sự thay đổi của lợi nhuận khi giá hay
sản lượng tăng thêm 1 đơn vị
• Tối đa hóa lợi nhuận:
Hàm chi phí: TC = TC(x)
Hàm cầu: x = QD = f(P)
Giả sử thị trường độc quyền:
Hàm lợi nhuận: π = TR – TC = Px – TC(x)
 dπ
 d (TR − TC )
=
0
=0
 dx

dx
⇔ 2

 2
d
π

 d (TR − TC ) < 0
<0
 dx 2

dx 2

• Ví dụ: Một công ty độc quyền, phòng kinh doanh cung cấp thông tin:
Định phí: FC = 600
Biến phí: VC = 1/8 x2 + 6x
Hàm cầu: x = -7/8 P + 100
Hãy tìm sản lượng để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tốt đa.

www.nguyenngoclam.com

10


Bài giảng toán kinh tế

www.nguyenngoclam.com

11