Biểu diễn ma trận của các toán tử sinh, huỷ Boson biến dạng

LỜI CẢM ƠN
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng sau đại học, Ban chủ 
nhiệm và thầy cô giáo khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo 
điều kiện và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và làm luận văn. Đặc biệt 
tôi  xin  gửi  lời  cảm  ơn  chân  thành  và  bày  tỏ  lòng  biết  ơn  sâu  sắc  tới 
PGS.TS.Lưu  Thị  Kim  Thanh  đã  tận  tình  hướng  dẫn,  động  viên,  giúp  đỡ  tôi 
trong quá trình nghiên cứu và hoàn thiện luận văn. 
Cuối cùng tôi xin tỏ  long biết ơn tới gia đình, bạn bè,những người đã 
động viên, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và làm luận văn. Mặc dù đã 
rất  cố gắng song bản luận  văn này  không tránh khỏi những hạn chế và thiếu 
sót. Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và các bạn. 
 
Hà nội, tháng 11 năm 2011
Tác giả
 
 
Đoàn Thị Thu Hường
 


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này 
trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng 
mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và thong tin 
trích dẫn trong luận văn đã được ghi rõ nguồn gốc. 
 
Tác giả
 
 
Đoàn Thị Thu Hường
 

 
 
 
 
 
 
 


1

MỞ ĐẦU
Vật lý lý thuyết là một chuyên ngành của vật lý học, được phát triển mạnh 
mẽ cả về bề rộng và bề sâu. Vật lý lý thuyết có nội dung vật lý và phương pháp 
toán học. Vật lý lý thuyết nghiên cứu những quy luật tổng quát nhất, phản ánh 
được bản chất vật lý của các hiện tượng tự nhiên [1, 2, 3, 4, 5]. 
Vật lý lý thuyết có hai nhiệm vụ: 
a) Diễn tả các quy luật vật lý dưới dạng các hệ thức định lượng và thành 
lập mối liên hệ nội tại giữa các sự kiện quan sát được trong thực nghiệm. Xây 
dựng những thuyết bao gồm và giải thích được một số phạm vi rộng rãi nhiều 
hiện tượng vật lý. 
b) Dùng phương pháp toán học để tìm ra những quy luật mới những quy 
luật  tổng  quát  hơn  các  quy  luật  đó  biết,  đoán  trước  được  những  mối  liên  hệ 
giữa các hiện tượng vật lý mà thực nghiệm chưa quan sát được. 
Thuyết  lượng  tử,  là  một  trong  những  lý  thuyết  cơ  bản  của  vật  lý  lý 
thuyết học, trong đó cơ học lượng tử đó làm thay đổi cơ bản quan niệm về thế 
giới vi mô, là phần mở rộng và bổ sung của cơ học Newton (cũn gọi là cơ học 
cổ điển). Nó còn là cơ sở của rất nhiều các chuyên ngành khác của vật lý và 
hoá học như vật lý chất rắn, hóa lượng tử, vật lý hạt... Trong cơ học lượng tử, 
mỗi  đại  lượng  vật  lý  đều  được  đặc  trưng  bởi  một  toán  tử.  Ví  dụ  như:  năng 

lượng, động lượng, tọa độ, mô men góc, …đều sẽ có một toán tử tương ứng. 
Mặt khác, cơ học lượng tử được xây dựng bằng một hệ các tiên đề, bằng một 
loạt các công cụ toán, trong số đó toán tử giữ một vị trí quan trọng [6,7,8,9]. 
Việc  hiểu  rõ  toán  tử  và  tính  chất  của  chúng  là  rất  cần  thiết  đối  với  người 
nghiên cứu vật lý hiện đại.  
Ngày nay, lí thuyết trường lượng tử là cơ sở để  giải thích bản chất của 
các hạt vi mô về cấu trúc và các tính chất của nó. Lí thuyết trường lượng tử đó 
mở ra con đường để nhận biết các quá trình vật lý xảy ra trong thế giới hạt vi 


2

mô, lí thuyết trường lượng tử đóng vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực của 
vật lý. Đặc biệt trong việc nghiên cứu hệ nhiều hạt và xây dựng các định luật 
phân bố thống kê lượng tử. Các phương pháp này bổ sung cho nhau để làm rõ 
được bản chất vật lý của các quá trình vật lý trong hệ nhiều hạt. 
Các tính toán lí thuyết được xây dựng đối với mô hình lý tưởng, do đó 
vẫn có những sai khác giữa kết quả lí  thuyết và thực nghiệm thu được. Khi đó 
người ta thường dùng các phương pháp gần đúng để giải quyết. Nhóm lượng tử 
mà cấu trúc nó là đại số biến dạng  phù hợp với nhiều mô hình của vật lý, là 
một phương pháp gần đúng của lí thuyết trường lượng tử . 
Nhóm lượng tử và đại số biến dạng được khảo sát thuận lợi trong hình 
thức  luận  dao  động  tử  điều  hoà  biến  dạng.  Trong  những  năm  gần  đây  việc 
nghiên  cứu  nhóm  lượng  tử  và  đại  số  biến  dạng  được  kích  thích  thêm  bởi  sự 
quan tâm ngày càng nhiều đến các hạt tuân theo các thống kê khác với thống 
kê Bose - Einstein và thống kê Fermi - Dirac như thống kê para Bose, para - 
Fermi, thống kê vô hạn, các thống kê biến dạng...., với tư cách là các thống kê 
mở  rộng [10, 11,  12, 13, 14]. Cho đến nay  cách  mở  rộng đáng chú ý nhất là 
trong khuôn khổ của đại số biến dạng. Với những lý do trên tôi đã chọn đề tài 
“Biểu diễn ma trận của các toán tử sinh, hủy boson biến dạng”.

Mục đích của đề tài là tìm hiểu các toán tử trong vật lý, một công cụ hữu 
hiệu dựng trong nghiên cứu các hệ hạt vi mô. Xây dựng biểu diễn ma trận của 
các toán tử boson biến dạng q, thỏa mãn các hệ thức giao hoán tương ứng và 
xây dựng các thống kê lượng tử biến dạng bằng phương pháp lí thuyết trường 
lượng tử.  


3

NỘI DUNG
Chương 1:
CƠ SỞ TOÁN HỌC CỦA CÁC PHÉP TÍNH TOÁN TỬ
 
Trong chương này, chúng ta sẽ giới thiệu vắn tắt sự mô tả các trạng thái 
của cơ học lượng tử bởi Dirac và lí thuyết biểu diễn. 
Trước hết, trạng thái của hệ lượng tử là gì? Chúng ta thừa nhận rằng nếu 
biết trạng thái của hệ chúng ta sẽ biết các thông tin về hệ. Một hệ lượng tử ở 
một  trạng  thái  xác  định  nào  đó  khi  mọi  điều  ta  muốn  biết  về  nó  đều  có  thể 
được biết, ngoại trừ sự vi phạm các qui luật của cơ học lượng tử. 
Các trạng thái của hệ lượng tử có thể mô tả bởi các hàm sóng ψ. Sự mô 
tả trạng thái lượng tử khác nhiều các trạng thái trong cơ học cổ điển. Ví dụ, đối 
với các trạng thái lượng tử ta không thể đồng thời xác định chính xác cả tọa độ 
và xung lượng của hệ do nguyên lí bất định Heisenberg. Hơn nữa, ta chỉ có thể 
tiên đoán xác suất của các sư kiện tương lai mà thôi. Sự khác biệt thứ hai của 
các trạng thái lượng tử là ở chỗ các hàm sóng mô tả chúng tuân theo nguyên lí 
chồng chất trạng thái. 
Các trạng thái lượng tử có thể mô tả bởi các vectơ trạng thái |ψ> (tương 

ứng  với  hàm  sóng   (r , t) )  trong  không  gian  vectơ.  Không  gian  này  gọi  là 
không gian Hilbert với các vectơ cơ sở kí hiệu bởi |uj> gọi là các trạng thái cở 

sở hay các ket cơ sở {|uj>}. 
1.1. Không gian vectơ E - không gian vectơ Euclide
1.1.1. Không gian vectơ E
Định nghĩa: Không gian vectơ E là một tập hợp các phần tử (x, y, z…) 
với phép cộng hai phần tử x,  y bất kì và phép nhân một phần tử x bất kì với 
một số thực λ thỏa mãn các tính chất sau đây: 


4

Phép cộng: ∀x, y ∈ E đã định nghĩa z = x + y ∈ E thỏa mãn các điều kiện: 
 

1. Giáo hoán: 

 

 

2. Kết hợp:   

(x + y) + k = x + (y + k) 

 

3. Tồn tại phần tử không (0) sao cho: x + 0 = 0 + x    ∀x ∈ E 

 

4. Với mỗi phần tử x, tồn tại phần tử đối xứng (-x) sao cho 

 

 

 

Phép nhân:  ∀x ∈ E, ∀λ ∈ R (R - tập hợp các số thực) đã định nghĩa z = 

 

 

 

x + y = y + x 

x + (-x) =  (-x) + x = 0 

λx ∈ E thỏa mãn các điều kiện sau: 
 

5. Kết hợp: λ1(λ2x) = λ1λ2x 

 

6. Phân bố đối với phép cộng vecto: λ(x + y) = λx + λy 

 

7. Phân bố đối với phép cộng số λ: (λ1 + λ2)x = λ1x + λ2x 

 

8. Tồn tại λ = 1 thỏa mãn λx = 1.x = x 

 

Mỗi phần tử x,  y,  z, … của tập hợp E gọi là một vectơ.  Không gian E 

định nghĩa với λ ∈ R gọi là không gian thực, với λ là số phức (λ ∈ C, C là tập 
hợp số phức) E gọi là không gian phức. 
 

Các vectơ x1, x2, …, xn ∈ E là phụ thuộc tuyến tính, tồn tại các số thực 

λ1, λ2, …, λn không bằng không tất cả sao cho: 
 

 

 

 

 

λ1x1 + λ2x2 + … + λnxn = 0 

 

Nếu  1   2  ...   n  0 thì các vecto  x1, x 2 ,..., x n là độc lập tuyến tính. 

 

Số cực đại vectơ độc lập tuyến tính của một không gian gọi là số chiều 

của không gian đó. Trong không gian tuyến tính n chiều, người ta có thể chọn 
n vectơ bất kì độc lập tuyến tính  (x1 , x 2 ,..., x n )  (x i ,i  1,2,...,n) làm cơ sở. Khi 
đó một vectơ bất kì z ∈ E có thể khai triển duy nhất dưới dạng tổ hợp tuyến 
tính của các vectơ cơ sở: 
n

z   aixi  E  
i 1

 

  

 

 

 

     (1.1) 


5

hệ số ai là thực (nếu E là không gian vectơ) hoặc phức (nếu E là không gian 
phức). 
Thông thường người ta kí hiệu các vectơ cơ sở là{ei}  
(e1  x1 ,e 2  x 2 ,...,e n  x n )  và các tọa độ của vectơ z là  z1 ,z 2 ,...,z n  nghĩa là ta 

có: 
n

 

 

 

 

z   z i ei    

 

 

 

                (1.2) 

i 1

 

Sau khi đã chọn cơ sở {ei} thì các tọa độ zi của một vectơ z nào đó (z ∈ 

E) là xác định. Có thể biểu diễn vectơ z bằng một ma trận cột có n phần tử là n 
tọa độ zi: 
 z1 
 
 z2 
z  .   Z  
 
. 
z 
 n

 

 

 

                         (1.3) 

Ma trận cột kí hiệu là z phụ thuộc vào việc chọn cơ sở. Cùng một vectơ 

z trong hai cơ sở khác nhau sẽ có tọa độ khác nhau và biểu diễn bởi hai ma trận 
cột khác nhau. 
1.1.2. Không gian vectơ Euclide
 

Trong không gian vectơ thực E đã cho, tích vô hướng của hai vectơ x, y 

∈ E, kí hiệu là (x, y) là một số thực sao cho: 
 

1. (x, y) = (y, x) 

 

 

∀x, y ∈ E (giao hoán) 

 

2. (x, λy) = λ(x, y)  

 

∀x, y ∈ E, λ ∈ R (kết hợp) 

 

3. (x + y, z) = (x, z) + (y, z) 

∀x, y, z ∈ E (phân phối) 

khi đó E gọi là không gian vectơ với tích vô hướng. 
 

Nếu thỏa mãn thêm điều kiện xác định dương: 

 

4. (x, x) ≥ 0, ∀x ∈ E và (x, x) = 0 khi và chỉ khi x = 0 thì E gọi là không 

gian Euclide thực. 


6

 

Trong  không  gian  Euclide  độ  dài  (hay  môđun)  của  vectơ  x  được  định 

nghĩa: 
x  (x, x)   

 

 

 

 

 

 

Góc θ giữa hai vectơ x và y bất kì được định nghĩa như sau: 

(x, y)
 
 
 
 
            
cos 
x y

(1.4) 

(1.5) 

 

Hai vectơ trực giao với nhau nếu tích vô hướng bằng không: 

 

 

 

Từ định nghĩa của cơ sở {ei} suy ra trong không gian Euclide các vectơ 

 

 

 

(x, y) = 0 

cơ sở e1, e2, …, en trực giao nhau 
 

 

 

 

 

(ei, ej) = 0   

nếu i # j 

và có độ dài bằng đơn vị (chuẩn hóa): (ei, ej) = 1 
 

Tính chất trực chuẩn của hệ cơ sở như vậy có thể viết lại như sau: 
(ei ,e j )  ij    

 

 

 

 

 

 

(1.6) 

Đối với không gian phức Z, tích vô hướng của hai vectơ bất kì x, y ∈ Z 

kí hiệu là (x, y) và thỏa mãn những điều kiện sau: 
 

1. (x, y) = (y, x) 

 

 

∀x, y ∈ Z 

 

2. (x, λy) = λ(x, y)  

 

∀x, y ∈ Z, λ ∈ C (tập hợp số phức) 

 

3. (x + y, z) = (x, z) + (y, z) 

 

Nếu không gian phức với tích vô hướng còn thỏa mãn thêm điều kiện: 

 

4. (x, x) ≥ 0   

 

 

∀x, y, z ∈ Z 

∀x ∈ Z và (x, x) = 0 khi và chỉ khi x = 0 

thì không gian Z gọi là không gian Euclide phức hay không gian Unita. 
 
 

Trong không gian Unita các tọa độ xi của vecto x;  x  (x1 , x 2 ,..., x n )  nói 

chung là các số phức. Tích vô hướng của hai vectơ x, y có dạng: 
(x, y)  x1y1  x 2 y2  ...  x n y n    

 

 

(1.7) 


7

 

Các khái niệm độ dài của một vectơ, tính trực giao của hai vectơ trong 

không gian Unita vẫn giữ như trong không gian Euclide thực. 
 

Trong không gian phức n chiều Z, sau khi đã chọn cơ sở thì các tọa độ 

của mỗi vectơ được xác định. Biểu diễn mỗi vectơ bằng một ma trận cột 
 x1 
 
 x2 
x  .   X
 
. 
x 
 n

 y1 
 
 y2 
y   .   Y x, y  Z  

 
. 
y 
 n

tích vô hướng của hai vectơ (1.7) có thể biểu diễn dưới dạng tích của một ma 
trận hàng nhân với một ma trận cột 
 y1 
 
 y2 
* *
*
(x, y)  (x1 x 2 ...x n )  .   X*Y    
 
. 
y 
 n

 

 

(1.8) 

1.2. Không gian Hilbert
1.2.1. Định nghĩa
 

Không gian Hilbert H là một không gian Unita đầy đủ, có nghĩa là mọi 

tổ hợp tuyến tính của các vecto trong không gian cũng là vectơ của không gian 
đó. Tính chất này suy ra từ định nghĩa của không gian vectơ. Nếu không gian 
có số chiều vô hạn thì tính chất đầy đủ có nghĩa là mọi chuỗi của các vectơ hội 
tụ về một vectơ của không gian đó. 
 

Không gian Hilbert là tách được nếu nó chứa một tập hợp trù mật đếm 

được của các vectơ. Tập hợp trù mật là tập hợp mà trong đó mỗi vectơ có thể 
là giới hạn của một chuỗi vectơ của tập hợp (ví dụ các số hữu tỷ hợp thành một 
tập hợp trù mật trong tập hợp trù mật trong tập hợp các số thực). 


8

 

Không gian Hilbert là tách được, nếu người ta tìm được ít nhất một cơ 

sở đếm được của không gian đó. 
 

Thí dụ: Tập hợp các đơn thức 1, x, x 2 ,..., x k ,... (với k là số nguyên) là một 

cơ sở đếm được của không gian các đa thức có bậc bất kì. Tập hợp các sóng 
phẳng eikx (với k là số sóng, có thể có các giá trị liên tục) không phải là một cơ 
sở đếm được. 
 

Đối  với  cơ  sở  đếm  được  ei ,i  1, 2,...,n : e1 ,e 2 ,...,e n   thì  một  vecto  z 

được khai triển như sau: 


z   zk ek    

 

 

 

 

 

(1.9) 

                   

 

(1.10) 

k 1

k là chỉ số nguyên. 
 

Đối với cơ sở không đếm được thì: 

z   zed  

 

  là thông số biến đổi liên tục. 
1.2.2. Một số tính chất của không gian Hilbert vô hạn chiều
 

Không  gian  Hilbert  vô  hạn  chiều  có  một  số  tính  chất  khác  lạ  so  với 

không gian hữu hạn chiều. 
 

a. Không gian Hilbert tách được có ít nhất một cơ sở đếm được, ngoài ra 

có thể có cơ sở không đếm được. Như vậy, một vecto của không gian vừa có 
thể khai triển trong một cơ sở không đếm được. 
 

b. Một vectơ  của không gian  Hilbert  có thể khai triển trong một cơ  sở 

gồm các vectơ nằm ngoài không gian đó. 
 

c.  Thành phần thứ i (φi) của vectơ φ trong không gian có N (hữu hạn) 

chiều bằng hình chiếu của vectơ φ lên vectơ cơ sở thứ i (ei). 
 

 

 

Muốn xác định được vectơ φ ta cần biết tất N hình chiếu của nó lên các 

vectơ cơ sở. 

 

 

 

i  (ei , )  


9

1.3. Vecto ket, bra
 
 



Mọi vecto tọa độ  A  đều được khai triển theo các vectơ cơ sở  e i  


 
 

 
            A   A i ei  
                                   (1.11) 
i


 

với  ei .e j  ij  và Ai là hình chiếu của  A  theo phương  e i  và bằng: 
 
 
 
 
 
 
  A i  (ei , A)   
 
 

 

      

(1.12) 
 

Khai triển hàm sóng  (x)  theo các hàm riêng trực chuẩn  u i (x)  của một 


tốn tử ecmite  A : 

 

 

 

 

 

(x)   ci x i (x)    

 

           (1.13) 

i

và so sánh với phương trình (1.11), ta rút ra sự tương tự sau: 

Cá
c hà
m riê
ng ui  cá
c vectơ cơ sởei

 
 
 
 

Hà
m só
ng 
 cá
c vectơ A
 
Hệsốkhai triể
n ci  tích vôhướ
ng (ei , A)
 

Giữa khơng gian vectơ và khơng gian trạng thái Hilbert có sự tương tự 

sâu sắc, do đó ta có thể dự đốn các tốn tử trong khơng Hilbert từ các tốn tử 
tương  ứng  tác  dụng  trong  khơng  gian  vectơ  tuyến  tính.  Tổng  của  hai  vectơ 
trạng thái lại là một vectơ trạng thái và vectơ trạng thái mới này là tích của một 
vectơ trạng thái với một số phức bất kì. 
 

Tương tự (1.12), tích vơ hướng của hai hàm sóng ui và ψ cho phép ta xác 

định hệ số khai triển ci trong cơng thức (1.13) 
 

 

 

ci   dx u*i   

 

 

 

Kí hiệu tích vơ hướng trong khơng gian vectơ bởi <ui|ψ> 

ci  ui |    dx u*i ( x)( x)                      

 

(1.14) 


10

 

Kí hiệu   u i |    gọi là bracket, <ui| gọi là một bra còn |ψ> - ket. 

 

Với kí hiệu mới này, phương trình (1.13) được viết như sau: 
|     ui |  | ui  

 

 

         

(1.15) 

i

Hay:   
 

 



|     | u i u i |     u i u i                    (1.16) 
i
 i


Nói  cách  khác,  khai  triển  (1.16)  đòi  hỏi  các  vectơ  cơ  sở  két  phải  thỏa 

mãn: 
 

 

 

 

u

 

ui  1  

i

 

 

 

(1.17) 

i

 

Hệ thức này gọi là hệ thức khép kín. Hệ thức khép kín diễn tả tính chất 

đầy đủ của hệ các vecto cơ sở  u1 , u 2 ,..., u n . 
 

Tương tự, từ điều kiện trực chuẩn của các hàm riêng ui(x) 

 

 

 

*
i

 dxu (x)u (x)  

 

 

                     (1.18) 

u i | u j  ij  

 

 

j

ij

 

Và định nghĩa bracket (1.14), ta rút ra: 
 

 

 

 

 

 

(1.19) 

 

Do tính chất của tích vô hướng của hai hàm sóng, ta có các tính chất sau 

đối với các bracket: 
|   |

*

  | 11   2 2  1   | 1    2   |  2 
*
1

    

 

(1.20) 

*

2

 11   22 |     1 |     2 |  
  |   0;   |    0  |    0

 
cột: 

Trong cơ sở  { | u i  }  vectơ ket |ψ> có thể biểu diễn dưới dạng ma trận 


11

 

 

 

 c1    u1 |   
  

 c2    u 2 |   
 
|   :  .    .
  

.
.
  


 c    u |   
 n  n


 

 

 

    (1.21) 

 

Như vậy vectơ ket |ψ> chính là vectơ    Z . Vectơ bra <ψ| không phụ 

thuộc vào không gian Z, tập hợp các vectơ bra hợp thành một không gian Z* 
gọi là không gian đối ngẫu của Z. Dưới dạng ma trận, vectơ bra <ψ| là một ma 
trận hàng: 
 

 

  |: (c1* , c*2 ,..., c*n )  ( u1 |  * ,...,  u n |  * )

                

(1.22) 

Thỏa mãn điều kiện: 
 c1 
 
 c2  n
2
n
*
*
* 
*

 |  : (c1 , c 2 ,..., c n ) .   ci ci   ci                  
  i 1
i 1
. 
 c 
 n

 

 

(1.23) 

Như vậy, có một sự tương ứng một - một    | |    giữa một vectơ 
bra ∈ Z* và một vecto ket ∈ Z. 
 
Có  thể  thử  lại  rằng  sự  tương  ứng  một  -  một  giữa  hai  không  gian  thỏa 
mãn các điều kiện sau đây: 
 

 

  |    | |    |  

 

 

 

Nếu như đã chuẩn hóa thì  ci  là xác suất tìm hệ ở trạng thái riêng, và 

*   |

 | 

 

2

thỏa mãn điều kiện tổng tất cả các xác suất phải bằng 1. 


12

c

2
i

i

 

 1   c*i ci    u i |  *  u i |           

 

(1.24) 

  

 

(1.25) 

 

 

(1.26) 

i

Từ điều kiện chuẩn hóa của ψ và (1.16) ta có: 
  |       | u i  u i |    

 

i

 

So sánh (1.24) và (1.25) dễ dàng rút ra hệ thức: 

  | u i   u i |  *  

 

 

 


 

Phương trình trị riêng của toán tử ecmite  A  tác dụng trong không gian 

hàm sóng có dạng: 


A u j ( x )  a ju j ( x )  

 

Phương trình này trở thành phương trình vectơ 

 

 



 

A |uj  aj |uj    

 

 

 

   

(1.27) 



Với |uj> gọi là vecto riêng của toán tử ecmite  A  ứng với trị riêng aj. 
 

Trong  không  gian  Hilbert,  các  trạng  thái  có  thể  dùng  các  cơ  sở  khác 

nhau để nghiên cứu. Cơ sở là các hàm riêng (hay vectơ riêng) trực chuẩn của 
các toán tử động lực ecmite. Tập hợp các hệ số Fourier của hàm sóng sẽ  xác 
định hàm sóng đó trong cơ sở đó, cũng như ma trận của toán tử khác nhau sẽ 
xác định hoàn toàn các toán tử đó trong cơ sở đang xét. Tương ứng ta nói có 
hàm  sóng  và  toán  tử  trong  biểu  diễn  tọa  độ  hay  xung  lượng  khi  cơ  sở  được 

chọn là các hàm riêng của toán tử tọa tử tọa độ hay xung lượng. Tất nhiên, tất 
cả các biểu diễn đều tương đương nhau. Việc chọn biểu diễn này hay biểu diễn 
khác chỉ do tính thuận lợi của những bài toán vật lý cụ thể. 


13

1.4. Toán tử
1.4.1. Ma trận của toán tử liên hợp
Ta  biết  rằng  tác  dụng  của  toán  tử  A lên  vectơ  trạng  thái     dẫn  đến 
trạng thái mới mô tả bởi vectơ trạng thái   . Định nghĩa này được viết dưới 
dạng phương trình: 
                                                   A                                                     (1.28) 
Bây  giờ  ta  khai  triển   và    theo  cơ  sở   u n ;   ( u n   là  các  vectơ 
riêng của toán tử  A :  A u n  a n u n )  
                            c n u n  ;  cn  u n   
n

                            b n u n ; bn  u n   
n

Nhân hai vế của phương trình (1.38) với bra vectơ    ta thu được: 
 A     un un A um um 
m,n

                        

                                (129) 

  b*n a n c n

n

*

Ở đây ta đã sử dụng   u n  u n   và 
                         u n A u m  a m u n u m  a m mn  a n  
Tương tự, ta có: 



                           A 

*



*



   c*n a n b n    c n a *n b*n                               (1.30) 
 n

n

Xét  các  vectơ  bra     (tương ứng với ket   ) và    (tương ứng với 
ket   ) trong không gian đối ngẫu  Z*  
                                             


                                     A    A                                           (1.31) 


14


A  là  toán tử tác  dụng trong không gian  đối ngẫu  Z* , chuyển  bra    thành 


bra   . Toán tử  A  gọi là toán tử liên hợp với  A .  
*

Dựa  vào  biểu  thức  của  tích  vô  hướng:   ,     ,     tức  là 
*

      đồng thời thay    và    bằng biểu thức của nó trong (1.31) 

ta thu được: 


*

                                      A    A                                               (1.32) 
Dựa vào định nghĩa (1.32), dễ dàng suy ra các tính chất cảu việc lấy liên 
hợp toán tử như sau: 
 

  A

1. A



                                      



 
3.  A  B   A  B
4.  AB   B A
2.  A

 * A








                                          (1.33) 




Toán  tử  A   tác  dụng  trong  không  gian  Z   có  cơ  sở  trực  chuẩn   en

 

được biểu diễn bởi một ma trận A có các phần tử là: 
                                      Aij  ei A e j                                                        (1.34) 


Ma trận biểu diễn toán tử  A  liên hợp với  A  sẽ được biểu diễn bởi ma 


*

*

trận có các phần tử là:   A    ei A e j  e j A ei  A ji  
ij

*

Cuối  cùng  ta  có   A    A* ji   A T  .  Như  vậy  ma  trận  A    biểu  diễn 
ij

ij



toán  tử  A    biểu  diễn  toán  tử  A   thì  bằng  ma  trận  A  (biểu  diễn  toán  tử  A ) 
chuyển vị và lấy liên hợp phức. 


15

1.4.2. Toán tử ecmite



Định nghĩa toán tử ecmite: Toán tử  A  gọi là ecmite nếu  A  A , trong 


đó  A  là toán tử liên hợp ecmite với  A  và được xác định bởi hệ thức 
tương tự (1.42)


*

 A    A                                          

   (1.35) 



Như vậy nếu  A  là toán tử ecmite thì ta có: 
 
*

                                              A    A                                          (1.36) 
Sử dụng (1.29), (1.30) và (1.36) thu được:  a n  a *n , nghĩa là trị riêng  a n  
của toán tử ecmite  A  là số thực. 


Từ  định nghĩa  A  A  và công thức (1.34) ta  có thể suy  ra  ma trận  A 
biểu diễn một toán tử ecmite có tính chất sau: 
                                                     A   A                                                     (1.37) 
hay ma trận A gọi là ma trận ecmite với các phần tử A có tính chất sau: 

                                                   Aij  A*ji                                                      (1.38) 
1.5. Vectơ riêng và trị riêng của toán tử
1.5.1. Định nghĩa
Cho một toán tử tuyến tính  A , ket  x  0  gọi là vectơ riêng của  A  nếu: 
                                                 A x  x                                                     (1.39) 
hệ số tỉ lệ    gọi là trị riêng của  A  ứng với vectơ riêng  x . 
Nếu  x  là một vectơ riêng của  A  thì mọi vectơ  a x  cũng nghiệm đúng  
                                            A a x  a x       


16

nghĩa là  a x  đều là vectơ riêng của  A  ứng với cùng giá trị riêng   . Nếu ứng 
với một trị riêng    có một vectơ riêng  x  (xác định sai kém một hằng số nhân 
a) thì trị riêng    gọi là không suy biến. 
 

Nếu  ứng với  một  trị riêng    có g vectơ  riêng độc  lập tuyến  tính,  thỏa 

mãn các phương trình trị riêng  
                               A x1   x1 ; A x 2   x 2 ; ; A x g   x g  
thì trị riêng này được gọi là suy biến bậc g. 
 

Dễ  thấy  rằng  tổ  hợp  tuyến  tính  bất  kì  của  các  vectơ  riêng  x1 , 
x 2 ,…, x g  

                                 x  a 1 x1  a 2 x 2  ...  a g x g                                 (1.40) 
Cũng là một vectơ riêng của  A  ứng với cùng trị riêng   . 
A x  a1 A x1  a 2 A x 2  ...  a g A x g

                            



  a1 x1  a 2 x 2  ...  a g x g



                       (1.41) 

 x

 

Tập  hợp  các  vectơ  x   hợp  thành  một  không  gian  con  g  chiều,  gọi  là 

không gian con riêng tương ứng với trị riêng suy biến   . 
 

 

Xét trị riêng của hàm toán tử  f A . Nếu  x  là vectơ riêng của  A  ứng 

với trị riêng của    thì ta có: 
2

                                 A x  A.A x  A x   A x   2 x  
 

n

Tương tự ta có thể chứng minh rằng  n  là trị riêng của toán tử  A  ứng 

với cùng vectơ riêng  x  
n

                                                 A x   n x  


17

 

 

Đối với hàm  toán  tử  f A   khai  triển thành  chuỗi  Taylor,  ta  có thể  áp 

 

dụng cách tính trên để xác định trị riêng của  f A . Thí dụ, nếu ta định nghĩa 
hàm toán tử 


0
1 k
A    (với quy ước 0!=1 và  A  1 ) thì ta có: 
k 0 k!

 

                    f A  e A  
                     e A x  e x  
 

Tổng quát, nếu  x  là vectơ riêng của  A  ứng với trị riêng    thì nó cũng 

 

là vectơ riêng của hàm toán tử  f A  ứng với trị riêng  f    : 

 

                     f A x  f    x                                                                 (1.42) 
1.5.2. Tính chất của trị riêng và vectơ riêng của toán tử ecmite
1. Các trị riêng của một toán tử ecmite là thực
 

Thực vậy, lấy liên hợp hai vế phương trình trị riêng của  A  

                           A x   x                                                                      (1.43) 


ta được                x A  * x                                                                  (1.44) 
 

Nhân trái hai vế của (1.43) với  x  

                                          x A x  x  x  
và nhân phải hai vế của (1.44) với  x  



                                          x A x  * x x  


lưu ý rằng  A  là ecmite nên  A  A , do đó hai vế sau của hai phương trình trên 
bằng nhau: 
                                            x x  * x x  


18

           Theo định nghĩa vectơ riêng  x  0  nên  x x  0 , suy ra    là một số 
thực  
                                                    *                                                         (1.45) 
2. Vectơ riêng ứng với các trị riêng khác nhau của một toán tử Ecmite thì trực
giao với nhau
 

Cho  x1  và  x 2  là hai vectơ riêng ứng với hai trị riêng khác nhau  1 , 

2  của toán tử ecmite  A   

                                      A x1  1 x1  

                                           (1.46) 

                                       A x 2   2 x 2                                                       (1.47) 
           Nhân trái (1.46) với bra  x 2  
                                  x 2 A x1  1 x 2 x1  

           Lấy liên hợp phương trình (1.47): 


                                       x 2 A   2 x 2  
và nhân kết quả thu được với  x1  về bên phải  


                                   x 2 A x1   2 x 2 x1  


vì  A  A  nên suy ra  
                                     1 x 2 x1   2 x 2 x1  
          Theo giả thiết  1   2 , ta phải có hai vectơ riêng  x 2  và  x1  trực giao 
nhau  
                                                x 2 x1  0                                                   (1.48) 
1.5.3. Phương trình đặc trưng của toán tử
          Trong cơ sở trực chuẩn   u n  , vectơ  x  có thể khai triển một cách duy 
nhất: 


19

                                      x  a1 u1  a 2 u 2  ...  a n u n                          (1.49) 
          Với các hệ số  a1 , a 2 ,..., a n  là các tọa độ của vectơ  x  trong cơ sở đang 
xét . Vectơ  x  có thể biểu diễn dưới dạng một ma trận cột 
 a1 
 
 a2 
                                                    x :  .   X
 

. 
a 
 n

1.50 
  

           Trong  cơ  sở   u n  ,  toán  tử  A   được  biểu  diễn  bởi  ma  trận  A  có  các 
phần tử là:  A nm  u n A u m .                                
           Bây giờ phương trình trị riêng của  A  (1.39) có thể biểu diễn dưới dạng 
ma trận  
                                                          A X  X  
           Phương  trình  ma  trận  (1.50)  có  thể  viết  thành  hệ  n  phương  trình  bậc 
nhất với n ẩn số  a1 , a 2 ,..., a n  như sau: 
 A11    a1  A12a 2  ...  A1n a n  0

  A 22    a 2  ...  A 2n a n  0
A 21a1

                                        .
           (1.51) 
.

A1n a1  A n 2a 2  ...   A nn    a n  0


           Để cho hệ phương trình này có nghiệm khác không thì định thức của hệ 
phải bằng không 

20

 A11    A12
A 21
 A11   
                                        

A1n
A 2n
 0                    (1.52)    

.
.
A n1

An2

 A nn   

         Giải phương trình bậc n đối với   , ta tìm được n nghiệm,  đó là các trị 
riêng của toán tử  A  
                                                  1 , 1, ...,  n  
 
(1.52) là phương trình đặc trưng của toán tử  A . Phương trình này có thể viết 
lại dưới dạng: 
                                                  A  I  0                                                   (1.53) 
           Chú ý rằng nếu chuyển sang cơ sở khác thì  A  I  vẫn không thay đổi, 
tức là các trị riêng của  A  không thay đổi. 
1.6. Phép biến đổi cơ sở Unita và các bất biến
1.6.1. Phép biến đổi Unita

            Khi  thay  đổi  cơ  sở  là  các  vectơ  ket  trong  không  gian  Hilbert,  ta  biết 
rằng phép biến đổi cơ sở trực chuẩn đó được thực hiện bởi các toán tử Unita và 
các vectơ trạng thái của hệ lượng tử đang xét cũng như các toán tử biểu diễn 
các đại lượng vật lí đo được cũng sẽ thay đổi dạng. Tuy nhiên khi thay cơ sở, 
có những tính chất của hệ phản ánh bản chất nội tại nào đó của hệ không thay 
đổi. Các lượng không biến đổi khi thay đổi cơ sở gọi là các bất biến. Ta sẽ lần 
lượt xét các vấn đề trên. 
            Trước hết, phép biến đổi cơ sở trực chuẩn được thực hiện bởi các toán 
tử Unita. Thật vậy, cho một cơ sở trực chuẩn trong không gian Hilbert   em   
                                   em en  mn                                               

(1.54) 


21

và một cơ sở trực chuẩn khác   e'm   
                                   e'm e'n   mn                                            (1.55) 
          Gọi  S  là toán tử biến đổi cơ sở, tử cơ sở   em

   e'   sao cho: 
m

                                   e 'm  S em                                              (1.56) 
          Thay (1.55) vào (1.56), ta được: 

 Se

                                   Se
m

n   mn  


hay:                           e m S Se
n   mn  

          Như vậy,  S  phải là toán tử Unita, nghĩa là: 

                                    S S  I  

          Ta sẽ tìm mối liên hệ trực tiếp giữa các vectơ ket mô tả cùng một trạng 
thái của hệ lượng tử trong các biểu diễn khác nhau. Gỉa sử trạng thái của hệ mô 
tả bởi vectơ trạng thái    trong cơ sở   em  có dạng:  
                                       c n e n  
n

                                    cn  en                                          

 (1.57) 

           Các  hệ  số  c n   là hàm  sóng  mô  tả trạng thái  của hệ trong cơ  sở   en
Trong cơ sở   e'n  , vectơ trạng thái    được viết là: 
                                       c 'n e'n                                  

 (1.58) 

n

          Sử dụng (1.56) ta được kết quả: 
                                     c n e n   c'k e'k   c'k S e k  

n

n

k

                                      c'k en en S ek   c'k Snk ek  
k.n

k.n

trong đó  Snk  e n S e k  là yếu tố ma trận của toán tử biến đổi cơ sở. 

 . 


22

           So sánh hai vế của biểu thức ta tìm được mối liên hệ giữa các hàm sóng 
mô tả cùng một trạng thái trong các biểu diễn khác nhau: 
c k   Skn c 'n                                         (1.59) 

                                    

n

hay dưới dạng ma trận:    C  SC'                                             

(1.60) 

           Nhân hai vế của (1.60) với  S , ta được: 
 

 

 

C'  S C                                            

 

(1.61) 

            Xét  yếu  tố  ma  trận  của  một  toán  tử  A   trong  cơ  sở   en

   của  không 

gian Hilbert: 

 e  S e
                        A mn  e n A em  e n S SA
m
n



                             =  e'n







 e
 SA

 

m

 e  e' SAS
   S e  e ' SAS
   e'  
SA
m
n
m
n
m

           Do toán tử  S  là Unita,   S  S1  nên kết quả này chứng tỏ ma trận của 
toán tử  S  trong cơ sở   e'n   có dạng: 
                                                     A'  SAS1                                  (1.62) 
1.6.2. Các bất biến
             Khi  biến  đổi  cơ  sở,  các  trị  riêng  và  vết  của  các  toán  tử  là  bất  biến. 
Thực vậy, theo định nghĩa vết một toán tử của một ma trận A là lượng: 
                                               TrA   e n A e n                            (1.63) 
n

 

Tức là tổng các phần tử trên đường chéo chính của ma trận A. 

             Xét sự biến đổi cơ sở, từ cơ sở   en

   sang cơ sở   e'  . Khi đó vết 
n

TrA biến đổi thành: 

 

e
n

n


A en   e n  e'm e'm
n
m
  en e'm e'm A e n
n,m


 A en

 
  e'm A e n e n e'm

n,m


23

  Do   e n e n  1, nên vết của toán tử  A  trong cơ sở   e'n   không thay 
n

đổi so với TrA trong cơ sở   en


n

   

e n A e n   e'm A e'm  

                             

  (1.64) 

m

 Tương tự, ta có thể dễ dàng kiểm tra được các hệ thức sau: 
                           TrAB  TrBA  
                          TrABC  TrBCA  TrCAB                                              (1.65) 
Ví dụ, ta có:  
TrAB   en AB en   en A e'm e'm B en

                         

n

n,m

  e'm B e n e n A e'm   e'm BA e'm  TrBA
n,m

 

m

Xét phương trình trị riêng của toán tử   A : 
                                   A u n  a u n  
Hay dưới dạng ma trận: 
                                     A  aI  u n  0                                                        (1.66) 
Với I là ma trận đơn vị, a và  u n  là trị riêng và vectơ riêng của toán tử 
A 

Trị riêng của toán tử  A , kí hiệu là a’ sẽ là nghiệm của phương trình sau 
gọi là phương trình thế kỉ: 
                                         det A ' a 'I  0                                                     (1.67) 
Sử dụng (1.67) được viết như sau: 
                        

det A' a 'I  det S  A  a 'I  S1  detSdet A  a 'I detS1
 det  SS1  det A  a 'I  det A  a 'I

 

Kết quả này chứng tỏ các trị riêng của toán tử  A  là không đổi: a=a’