Tuyển chọn các bài toán đặc sắc về phương trình và hệ phương trình và bất phương trình

PT-BPT-HPT mới và hiện đại nhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2016.

Huỳnh Kim Kha

 Dành cho học sinh luyện thi THPT Quốc Gia .
 Tài liệu tham khảo cho học sinh và giáo viên.





x 2  x  x  x 2  1   x x  x 2  1


 x2 1  x  x2  1
Bài số 1: Giải phương trình sau:
2x  x  x2 1

Bài số 2: Giải bất phương trình sau: 7 x  10 x  1  3 

2  x  6  x  1  5  x  3
x 1  x  3


y 2  x  2 y( x  y)
7(
x

y
)


 2 3  4 x 2  8 xy  3 y 2 

x y

Bài số 3: Giải hệ phương trình: 
2y
x

 10 
 5 x4 4
2y  4


Facebook: Huỳnh Kim Kha

Page 1


PT-BPT-HPT mới và hiện đại nhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2016.

Huỳnh Kim Kha

Phần 1:
Phương
trình
Facebook: Huỳnh Kim Kha

Page 2

PT-BPT-HPT mới và hiện đại nhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2016.

Huỳnh Kim Kha

Bài số 1: Giải phương trình sau: (5x  4) 3x  2  5 2  x  (6 x  1) x  3
Lời giải chỉ tiết
Điều kiện:

2
 x  2 . Phương trình tương đương:
3

(5 x  4) 3x  2  5 2  x  (6 x  1) x  3  0








3x  2  2  x  x  3 3x  3  3x  2 2  x  3x  2 x  3  0

 3x  2  2  x  x  3  0

3x  3  3x  2 2  x  3x  2 x  3  0
Ta có:

3x  2  2  x  x  3

x  1
 2 x  2 3x  2 2  x  x  3  
 x  25
13

Ta lại có: 3x  3  3x  2 2  x  3x  2 x  3  0

 6 x  6  2 3x  2 2  x  2 3x  2 x  3
Suy ra 6 x  6   3x  2    2  x    3x  2   6 x  1 (Vô lí)
Vậy phương trình có nghiệm x  1; x 

Facebook: Huỳnh Kim Kha

25
13

Page 3


PT-BPT-HPT mới và hiện đại nhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2016.
Bài số 2: Giải phương trình sau:

Huỳnh Kim Kha

x  1  2 2 x  3  ( x  1)( x2  2)
Lời giải chỉ tiết

Điều kiện: x  1
Nhận thấy x  1 thoả mãn phương trình.
Xét x  1 , phương trình tương đương

4



 

x 1  2  2



2 x  3  3  x3  x 2  2 x  12

4( x  3)
4( x  3)

 ( x  3)( x 2  2 x  4)
x 1  2
2x  3  3
4
4


 ( x  3) 

 ( x  1) 2  3   0
2x  3  3
 x 1  2



Vì x  1 nên

Hay

x  1  0; 2 x  3  1 . Suy ra

4
4

 3
x 1  2
2x  3  3

4
4

 ( x  1)2  3  0 .
x 1  2
2x  3  3

Do đó phương trình tương đương: x  3  0  x  3
Vậy phương trình có 2 nghiệm x  1 ; x  3

Facebook: Huỳnh Kim Kha

Page 4


PT-BPT-HPT mới và hiện đại nhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2016.

Bài số 3: Giải phương trình sau:

Huỳnh Kim Kha

4  x 2  2 3 x 4  4 x3  4 x 2  ( x  1)2  1  x
Lời giải chi tiết

Điều kiện: 4  x2  0  2  x  2
Phương trình đã cho tương đương : x  4  x 2  x 2  2 x  2 3 ( x 2  2 x)2  2
Ta có:



x  4  x2



2

(1)

 4  2 x 4  x 2  4, với mọi x   2;2

Suy ra x  4  x 2  2,

với mọi x   2;2

(2)

Dấu “=” ở (2) xảy ra khi x  0; x  2 .

Đặt t 

3

x 2  2 x . Điều kiện t   1;2 với mọi x   2;2

Khi đó VP (1) chính là f (t )  t 3  2t 2  2, t   1;2

t  0
 f '(t )  3t  4t  0   4
t 
 3
2

 4  22
Hơn nữa, ta lại có f (1)  1, f (0)  2, f   
, f (2)  2
 3  27
Suy ra f (t )  2 với mọi t   1;2
Do đó: x 2  2 x  2 3 ( x 2  2 x)2  2  2 với mọi x   2;2

(3)

Dấu “=” xảy ra ở (3) khi x  0; x  2 .
Từ (2) và (3) chúng ta có nghiệm của phương trình (1) là x  0; x  2
Vậy phương trình trên có 3 nghiệm x  0; x  2

Facebook: Huỳnh Kim Kha

Page 5

PT-BPT-HPT mới và hiện đại nhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2016.

1 

Bài số 4: Giải phương trình sau:

x 1





2 x2  2 x  1  x 1  x x

Huỳnh Kim Kha
(*)

Lời giải chi tiết
Điều kiện: x  0
Xét x  0 không là nghiệm phương trình.
Xét x  0 . Phương trình tương đương



x
x 1 1





2 x2  2 x  1  x  1  x x

 2 x2  2 x  1  x  1  x
 x2  x
x x
Suy ra









x 1 1



x 1 1



x  1 1





x 1 1



2x2  2x  1  x  1



2x2  2x  1  x  1

 

2 x2  2 x  1  x  1  1  x  1





2x2  2x  1  x  1

 2 x2  2 x  1  (1  x) x  1 (điều kiện x  1)
 2 x 2  2 x  1  (1  x) 2 ( x  1)
 x( x 2  3x  1)  0
x  0
3 5

x
x  3  5

2

2
Vậy phương trình có nghiệm x 

Facebook: Huỳnh Kim Kha

3 5
2

Page 6


PT-BPT-HPT mới và hiện đại nhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2016.

Bài số 5: Giải phương trình sau:

Huỳnh Kim Kha

6
1
1


x4
2 x
2  3 2  x
Lời giải chi tiết



14
2  x  0
x
9

2  3 2  x  0

Điều kiện: 

Đặt t 

2
 x  t2  2
3

2 x 

6
1
1
 
t 2 t
3t  2
2
2
t 2 t 2


6
t

3t  2
t2  2
t2  2

3
3  0
t
3t  2
PT 

2

t 2  3t  2 t 2  2  3 3t  2


0
t
3t  2





2
t 2  3t  2 t  3t  2  3 t  3t  2


0
t
3t  2

t  3t  2 
2

t 2  3t  2


t

3  t 2  3t  2 

t  3t  2  0
3t  2
3


1

1
t  3t  2   0
  t 2  3t  2   
3t  2
t






Do t 

2 1
 
3
t

1

3
t  3t  2
3t  2

 2 x 1
t  1
x  2
 t 2  3t  2  0  


t  2
 x  1
 2  x  2
Vậy phương trình có nghiệm x  2; x  1

Facebook: Huỳnh Kim Kha

Page 7


PT-BPT-HPT mới và hiện đại nhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2016.

x

Bài số 6; Giải phương trình sau:

2

 x  1 2 

Huỳnh Kim Kha

1  2 1
1

  x   2  x 1  4x 2x   3
x 
x
x


Lời giải chi tiết

 1
2  x  0

Điều kiện:  x  1  0

1
2 x   3  0
x



1
(2 x  1)( x  1)
1
a  2   0
Đặt 
 ab 
 2x   3
x
x
x
b  x  1  0

PT  ( x 2  b2 )a  ( x 2  a 2 )b  4abx(*)

Áp dụng bất đẳng thức Cosi, ta có:

 x2  b2  0
 ( x 2  b 2 )a  2 x ab  2 xab

a  0
 x2  a2  0
 ( x 2  a 2 )b  2 x ab  2 xab

b  0
Cộng lại, ta có VT (*)  VP(*)
Dấu “=” xảy ra  x  a  b  x 

Vậy phương trình có nghiệm x 

Facebook: Huỳnh Kim Kha

1 5
1 5
, mà x  0  x 
2
2

1 5
2

Page 8


PT-BPT-HPT mới và hiện đại nhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2016.

Huỳnh Kim Kha

1
3x
1
2 1  x2  1  x  1  x



Bài số 7: Giải phương trình sau:
4
1  1  x 2 1  1  3x 1  1  5 x





Lời giải chi tiết
Giả sử ta có: x  0, y  0 .


Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:

x  y  2( x  y)

Nên 1  x  1  5 x  2 1  x  1  5 x   2 1  3x


Nên

Áp dụng bất đẳng thức Cosi-Svac:

1 1
4
 
x y x y

1
1
4
4




1  1  x 1  1  5 x 2  1  x  1  5 x 1  1  3x

Đặt a  1  3x , ta có:

2
a2 1
2
2a  2
VT (1) 



1
1  a 2(1  a) 1  a 2(1  a)
Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: 1  x  1  x  2 1  x  1  x   2
Nên 4.VP(1) 



1 x  1 x



2

 1  x  1  x  2  22  2  2  4

Do đó ta luôn có: VT (1)  1  VP(1)
Dấu “=” xảy ra khi x  0 .
Vậy phương trình có nghiệm x  0 .

Facebook: Huỳnh Kim Kha

Page 9


PT-BPT-HPT mới và hiện đại nhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2016.

1

Huỳnh Kim Kha

1

Bài số 8: Giải phương trình sau: 4 1  4 x 2  4 x 2  4 x  1  2 x  2 x  1  4
Lời giải chi tiết

x  0
Điều kiện: 
 x  1

2
Đặt t  2 x  t  0  . Phương trình trở thành : 4 1 

1
1

 t2  t  4
2
2

t
(t  1)

1
1
(t 2  t )2  (t  1)2  t 2 t 4  2t 3  3t 2  2t  1


Ta có: 1  2 
t (t  1)2
(t 2  t )2
(t 2  t )2
(t 2  t  1)2 
1 

 1  2

2
2
(t  t )
 t t 
Nên  4 1 

2

1
1
1 



 4 1  2

2
2
t
(t  1)
 t t 




Do đó, ta viết lại phương trình: 4 1 

4



1 
2
  t t 4
t t 
2

t2  t



3

 t 2  t  3 16

 4 x 2  2 x  3 16  0

1  1  4 3 16
x 
4


3
 x  1  1  4 16

4
Vậy phương trình có 2 nghiệm x 

Facebook: Huỳnh Kim Kha

1  1  4 3 16
1  1  4 3 16
;x 
4
4

Page 10


PT-BPT-HPT mới và hiện đại nhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2016.

Huỳnh Kim Kha


x6 

x


 4 4  x  x  6   x  1 6 4  x  x  6
Bài số 9: Giải phương trình sau: 
4  x 

Lời giải chi tiết
Điều kiện: 6  x  4
Đặt y 

Xét

x6
y6
;z 
4 x
4 y



4  x  0 và khác 0. Chia 2 vế cho 4  x PT   x  x  6  4  x  6  ( x  1) 6  x  6




Xét hàm số: f (t) 

4 x 

4 x

4 x

t 6
là hàm đồng biến.
4t

 ( x  y)  ( x  1) z  x  y  z  xz


 x  y  z  xz


x6
Ta có hệ  y 
4 x


y6
z 
4 y

Giả sử x  y . Do hàm f (t ) 

Ta có: x  y  x 
Mà z  y 

t 6
đồng biến nên x  y  z .

4t

x6
 x3  4 x 2  x  6  0
4 x

 x   6; 1   2;3  t   0;1  2;3

y6
 y  y   0;2  3;  
4 y

Kết hợp điều kiện  y   0;1  2;3
Với y  2 không thoả mãn.
Với y  3  x  z  3 thoả mãn.
Với  y   0;1 thì x   6; 1 thì x  y thì trái với điều giả sử.
TH2: x  y  z thì cmtt.
Vậy phương trình có nghiệm x  3

Facebook: Huỳnh Kim Kha

Page 11


PT-BPT-HPT mới và hiện đại nhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2016.

2

Huỳnh Kim Kha

18 x

Bài số 10: Giải phương trình sau: 25 x  9 9 x  4  x  x 2  1
2

Lời giải chi tiết

2

x   3
Điều kiện: 
x  2

3
+) Nếu x 

2
2 18 x
9 9 x2  4 2
18
. Ta có: 25 x  9 9 x 2  4   2
 25 
 2 2
3
x x 1
x
x
x 1

 VT  25

 VP 

2
2
 
3

2



18
2

2
  1
3



9 162

 25
2 13

Do đó phương trình với trường hợp này.

2
9 9 x2  4 2
18

4
2
18
 2 2
 25  9 9  2  2  2
+) Nếu x  . Ta có: PT  25 
3
x
x
x 1
x
x
x 1
Đặt t 

1 
9
0  t   , phương trình trở thành:
2 
x 
4

18t
t 1
2t  t  1  18t  16  t  1
 9  9 9  4t 
t 1
36  t  2  2  t  2  t  4 



t 1
1  9  4t
25  9 9  4t  2t 

t  2

18
t4
3


 1
(*)
t 1
1  9  4t t  1
Với 0  t 

9
1
9
18
9
 4  . Do đó phương trình (*) vô nghiệm
, ta có:
 ; 1
4
1 t
2
1  9  4t 2

Với t  2  x  

1
2

Vậy phương trình có nghiệm x  

Facebook: Huỳnh Kim Kha

1
2

Page 12


PT-BPT-HPT mới và hiện đại nhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2016.

Bài số 11: Giải phương trình sau:

x 8



x  27 x  8 x



2

 729  2  x



Huỳnh Kim Kha





x  3 


Lời giải chi tiết

Điều kiện: x  0
Đặt t  x  0 . Phương trình tương đương với:

t

2





 8t  27  t 2  8t   729 2  t 2  t  3   t 2  8t   27  t 2  8t   2916  1458  729 t 2  t  3  0
2

3

2

2 
 (t  1)(t  2) 2 

2
2
  0  (t  1)   t  9   t 2  8t  18   729(t  2)   0
  t 2  8t  9  t 2  8t  18   729 
 2  t 2  t  3 

2  t 2  t  3 



t  1

2
2
2
2
 t  9   t  8t  18  2  t  t  3  729(t  2)










Ta có:  t  9   t 2  8t  18 2  t 2  t  3  2  t  9   t 2  8t  18  18  t 2  8t  18 
2

2

2

 18t 4  288t 3  1800t 2  5184t  5832  18t 4  288t 3  1071t 2  2268t  2916  729(t  2)2  729(t  2)2
Do đó phương trình vô nghiệm . Với t  1  x  1
Vậy phương trình có nghiệm x  1
Cách 2: Đặt t 

t

2

x  0 . Phương trình tương đương với:



 8t  27  t  8t   729 2  t  t  3
2

3

2

2



2

 t 2  8t
 t 2  8t 

 3 
  2t
 9
 9 

 t  3

2

 t 2  8t 
 t 2  8t 
 t 2  8t 
 t 2  8t 


3

3

1

3
 1   t  3 t  3  3 t  3







 9 
 9 
 9 
 9

3

 t 2  8t 
 t 2  8t 

 1  3 
 1 
 9

 9






3

t 3 3 t 3

2

 t 2  8t
   t 2  8t   t 2  8t 

1 t  3   
 1  
 1 t  3  t   0

 9
   9
  9


2


 t 2  8t   t 2  8t 
t 2  8t

 1  t  3  do : 
 1  
 1 t  3  t  0, t  0 


9
 9
  9





  t 2  8t  9   81 t  3  (t  1)(t 3  17t 2  99t  162)  0  t  1  x  1
2

Vậy phương trình có nghiệm x  1
Facebook: Huỳnh Kim Kha

Page 13


PT-BPT-HPT mới và hiện đại nhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2016.

Huỳnh Kim Kha

1
2  x2
2
1


(
x

1)(
x

1)


x

Bài số 12: Giải phương trình sau:
x
x
Lời giải chi tiết
Điều kiện: 0  x  2
 Xét TH1: 0  x  1, ta sẽ đi chứng minh:
+)

1
( x  1)( x 2  1)  x  . Thật vậy, ta có: x ( x  1)( x 2  1)  x  1
x
 x 2 ( x  1)( x 2  1)  x3  1  0
  x  1  x 4  x 2  x 2  x  1  0
  x  1  x 4  2 x 2  x  1  0

Bất đẳng thức trên luôn đúng với mọi x   0;1

+)

2  x2
 1 . Thật vậy, ta có: 2  x2  x  ( x  1)( x  2)  0
x

Bất đẳng thức trên luôn đúng với mọi x   0;1 .

2  x2 1
  1  VT
Do đó, ta suy ra VP  ( x  1)( x  1)  x 

x
x
2

Dấu “=” xảy ra  x  1
 Xét TH 2 :1  x  2 ta sẽ đi chứng minh:
+)

1
( x  1)( x 2  1)  x  . Thật vậy, ta có:  x  1  x 4  2 x 2  x  1  0
x



Bất đẳng thức trên luôn đúng với mọi x  1; 2  .

+)



2  x2
 1 . Thật vậy, ta có: ( x  1)( x  2)  0
x



Bất đẳng thức trên luôn đúng với mọi x  1; 2  .

2
Do đó, ta suy ra VP  ( x  1)( x  1)  x 



2  x2
1
 1   VT . Do đó phương trình vô nghiệm.
x
x

Vậy phương trình trên có nghiệm x  1
Facebook: Huỳnh Kim Kha

Page 14


PT-BPT-HPT mới và hiện đại nhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2016.
Bài số 13: Giải phương trình sau:

Huỳnh Kim Kha

7 x 2  13x  8  2 x 2 3 x 1  3x  3x 2 

Phân tích: Đối với bài này nhìn vào vế bên phải của phương trình ta nghĩ ngay bài này sẽ chia cho x rồi xét hàm. Ta
có như sau: PT 

1
7 13 8
1 3
 2  3  2 3 2   3(1) . Đặt y  , y  0 , ta có: 8 y3  13 y 2  7 y  2 3 y 2  3 y  3
x

x x
x
x
x

  2 y  1  2  2 y  1 
3





3

3

y 2  3 y  3  2 3 y 2  3 y  3 , tới đây ta xét hàm là xong bài toán.
Lời giải chi tiết

Do x  0 không là nghiệm của phương trình. Chia 2 vế của phương trình cho x 3 , ta được:

PT 

7 13 8
1 3
 2  3  2 3 2   3(1)
x x
x
x
x

Đặt y 

1
, y  0 . Khi đó PT(1) tương đương với:
x

(1)  8 y 3  13 y 2  7 y  2 3 y 2  3 y  3
  8 y 3  12 y 2  6 y  1  2  2 y  1   y 2  3 y  3  2 3 y 2  3 y  3
  2 y  1  2  2 y  1 
3





3



3

y2  3y  3  2 3 y2  3y  3







2
2


 2 y  1  3 y 2  3 y  3   2 y  1   2 y  1 3 y 2  3 y  3  3 y 2  3 y  3  2   0


2
2


 2 y  1  3 y 2  3 y  3  do :  2 y  1   2 y  1 3 y 2  3 y  3  3 y 2  3 y  3  2  0 


3
2
2
 8 y  12 y  6 y  1  y  3 y  3





 8 y 3  13 y 2  3 y  2  0

y 1 x 1


4
5  89

 y 
x
4
5  89


4
5  89
y 
x
4
5  89

Vậy phương trình có ba nghiệm x  1; x 

5  89
5  89
;x 
4
4

Bình luận: Bài này khó nhận ra hàm để xét nên các bạn nhớ chú ý là vế phải có căn bậc ba nên chúng ta phải nghỉ
đến việc thứ nhất là xét hàm bậc ba và chia cho x sao cho có 2 vế đều biểu diễn sang hàm bậc ba.

Facebook: Huỳnh Kim Kha

Page 15


PT-BPT-HPT mới và hiện đại nhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2016.

Huỳnh Kim Kha

Bài số 14: Giải phương trình sau: 4 x  14 x  11  4 6 x  10
2

Phân tích: Khi ta gặp nhưng bài có phương trình bậc cao và chứa căn thức, ta liền nghĩ đến các cách như là liên hợp
hoặc đặt ẩn phụ. Nhưng mà khi bấm máy ta thấy rằng nghiệm rất xấu nên ko thể tìm được pp liên hợp. Nghĩ ngay
đến việc đặt ẩn phụ mà phương trình chỉ chứa căn thức nên là đặt ẩn phụ không hoàn toàn.
Ta làm như sau: Đặt t  6 x  10  0 nhưng mà trước khi làm nhớ tìm hệ số  đứng trước t 2 để đen-ta của chúng
ta phải là một bình phương. Ta có phương trình tương đương như sau:

  6 x  10  4 6 x  10  4 x2  14  6  x  11  10  0



Khi đó:  '  4   4 x 2  14  6  x  11  10



 4 x2   14  6  x   11  10   4
Để đen ta phẩy là bình phương ta chọn an pha bằng các số âm bắt đầu bằng -1
Với   1   '  4 x 2  14  6  x  11  10  4  4 x 2  20 x  25   2 x  5 . Rất may mắn ra luôn. Tới đây coi
2

như xong bài toán.
Lời giải chi tiết
2
Phương trình ban đầu tương đương:   6 x  10   4 6 x  10  4 x  20 x  21  0

Ta có:  '  4 x 2  14  6  x  11  10  4  4 x 2  20 x  25   2 x  5 .
2

 2  2x  5
5

 2 x  7  VN , do : 2 x  7  0, x   
t 
1
3

Khi đó  
 2  2x  5
 2x  3
t 
1
2  2x  5
 6 x  10 
 2x  3
1
3

x   2

3

2 x  3  0
3  13
3  13
x  




 x 
x
2
2
4
4
6 x  10  4 x  12 x  9
4 x 2  6 x  1  0



3  13
x 
4

Vậy phương trình có nghiệm x 

Facebook: Huỳnh Kim Kha

3  13
4

Page 16


PT-BPT-HPT mới và hiện đại nhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2016.



x2 x2  x  x2 1  2
Bài số 15: Giải phương trình sau:

x  x  x2 1



Huỳnh Kim Kha

x3  x 2 x 2  1  1
x  x2 1

Phân tích: Bài phương trình này rất rắc rối và dài dòng do đó ta nghĩ đến việc đặt ẩn phụ. Ta thấy rằng

x  x 2  1 xuất hiện khá nhiều lần trong phương trình. Do đó ta đặt t  x  x 2  1 rồi giải phương trình theo
ẩn phụ không hoàn toàn.
Lời giải chi tiết
Điều kiện: x  1
Đặt t 

x  x2 1  0  x 

t 4 1
 1  t 4  2 xt 2  1 suy ra 0  t  1 .
2
2t

Phương trình tương đương với :

x2  x2  t 2  2

xt  1
xt
t2
 t 2 x 4  t 4 x 2  2 x 2t 2  x 2t  x  xt 2  t
PT 



 t 4 x 2   x 4  2 x 2  x  t 2  1  x 2  t  x  0
  2 xt 2  1 x 2   x 4  2 x 2  x  t 2  1  x 2  t  x  0
  x  1  t 2 x3  3t 2 x 2  t 2 x  tx  t  x   0
Do: t 2 x3  3t 2 x 2  t 2 x  tx  t  x

 t 2 x  x 2  3x  1  tx  t  x

 5 x 2t 2  tx  t  x
1
 5 x 2t 2   t  x
t
8
4
5t  8t  4t 3  4t  2

 0, 0  t  1
4t 2
Phương trình tương đương với x  1 .
Vậy phương trình tương đương với x  1

Facebook: Huỳnh Kim Kha

Page 17


PT-BPT-HPT mới và hiện đại nhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2016.

Huỳnh Kim Kha

3
Bài số 16: Giải phương trình sau: 14 x  10 x  2   4 x  1 . 2  2 x  1 3x  1
2

2

Lời giải chi tiết
Với x 

1
không thoả mãn phương trình. Ta có phương trình tương đương với:
2

 3x  1
 10 x  2  2  4 x  1 2 x  1 3
2
4  2 x  1
2

14 x

2

(*)

1

x

2
2
Vì 14 x  10x  2  0 suy ra  4 x  1 2 x  1  0  
x  1

4
+) TH 1: x 

1
. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:
2

14 x 2  10 x  2   4 x  1 . 3 2  2 x  1 3x  1   4 x  1 .
2



2  2 x  1   3x  1   3x  1
3

2

2
 x  1  0
3

 3x  1  1  1
2
2
3x  1
4  2 x  1

41x 2  38 x  9
3


2
2
3
4  2 x  1
12  2 x  1
2

+) TH 2 : x 

1
. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:
4

Do đó (*) tương đương với: 14 x

2

 4 x  1 2 x  1  41x 2  38 x  9 
 10 x  2 
2
6  2 x  1

 x  1  4 x  3 2 x  1  0  vn, x  1 



2
4

6  2 x  1
2

Vậy phương trình có nghiệm x  1 .

Facebook: Huỳnh Kim Kha

Page 18


PT-BPT-HPT mới và hiện đại nhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2016.

x

Bài số 17: Giải phương trình sau:

33x 2  32 x  8



2  2 x  1
20 x 2  12 x  1

1

Huỳnh Kim Kha

(1)

Lời giải chi tiết
Điều kiện: x 

1
1
;x  .
2
10

+) Xét TH 1: x 

1
2

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:

2  2 x  1
20 x 2  12 x  1



6  2 x  1
9  2 x  110 x  1

x

Vì thế VT (1) 

33x 2  32 x  8

Ta đi chứng minh





12  2 x  1
6  2 x  1

9  2 x  1  10 x  1 14 x  5

6  2 x  1
x
2x  1
 1

14 x  5
33x 2  32 x  8 14 x  5

x
33x 2  32 x  8



(*)

2x 1
14 x  5

 14 x  5 x   2 x  1 33x 2  32 x  8   x  1  2 x  1 32 x  8  0 (**)
2

Ta có (**) luôn đúng x 

1
. Do đó VT (1)  1  VP . Dấu “=” xảy ra  x  1
2

+) Xét TH 2 : x  0 , ta có: VT (1)  0  1 . Do đó phương trình vô nghiệm với trường hợp này.

 1

 10 

+) Xét TH 3: x   0;

Ta có:
Do đó

33x 2  32 x  8 
x
33x  32 x  8
2



 2  5x    x 18x  4   2  5x
2

x
6x  2
 1
1
2  5x
2  5x

Điều này kéo theo VT (1)  1 . Do đó phương trình vô nghiệm trong trường hợp này.
Vậy phương trình có nghiệm x  1

Facebook: Huỳnh Kim Kha

Page 19


PT-BPT-HPT mới và hiện đại nhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2016.

3x  3

Bài số 18: Giải phương trình sau:

Huỳnh Kim Kha

x  3   3x  21 x  10  x3  3x 2  13x  27
Lời giải chi tiết

Điều kiện: x  3
+) TH1: x  1 . Phương trình tương đương với:

 3x  3 

x
2x  1

x  3     3 x  21  x  10     2 x3  x 2  57 x  54 
2
3  2


 x 1
 4x 5 
   6  x
   6  x 1
4 2
9 3

 3  x  1 .
 3 x  7. 
  x  6   2 x 2  11x  9 

x
2x
2
x3 
x  10 
2
3


 3  x  1 x  2  3  x  7  4 x  15  1

  x  6 

  2 x 2  11x  9    0
 4  x  3  x  9  x  10  2 x  2




 

2
3



 

 x6

Do

3  x  1 x  2  3  x  7  4 x  15 1

  2 x 2  11x  9   0, x  1
x
2x  2


4  x  3   9  x  10  
2
3 



+) TH 2 : x   3; 1 , phương trình tương đương với:

3  x  3



 

 



x  3  x  10  7 x  10  6 x  3  5 x  10  x3  3x 2  13  0

Ta có:





 5 x  10  x3  3x 2  13  39  x3  3x 2  13   x  3 13  x 2  0


3  x  3





x  3  x  10  0

 7 x  10  6 x  3  0
Do đó VT (2)  0 với x   3; 1
Vậy phương trình có nghiệm x  6

Facebook: Huỳnh Kim Kha

Page 20


PT-BPT-HPT mới và hiện đại nhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2016.
Bài số 19: Giải phương trình sau:

x

3

Huỳnh Kim Kha

 x 2  x   5x 2  10 x  6   2 x 2  7 x  6  x  1
2

Lời giải chi tiết
Điều kiện: x  1. Phương trình tương đương với:

x

3

 x 2  x   2 x 3  12 x 2  6 x  6   2 x 2  7 x  6 
2



x 1  x

  x 2  x  1 x 4  3x 3  7 x 2  10  6    2 x 2  7 x  6 


 x 


x  1   x 








x 1  x



 x  x  1 x  x  1  x 4  3x 3  7 x 2  10  6    2 x 2  7 x  6 



x 1  x





x  1  x 4  3x 3  7 x 2  10  6    2 x 2  7 x  6    0


x  x 1

 x  x  1  x 4  3 x 3  7 x 2  10  6    2 x 2  7 x  6   0







1 5
x 
2
+) Với x  x  1  x 2  x  1  0  

1 5
(l )
x 

2



+) Với x  x  1

 x

4

 3x3  7 x2  10  6   2 x2  7 x  6  0





Vì x 4  3x3  7 x 2  10  6   x  1 x3  2 x2  5x  5  1  1
2

Do đó ta có: A  x  2 x  7 x  6  2  x  1 x  3  0

Dấu “=” xảy ra  x  1 .
Vậy phương trình có nghiệm x 

Facebook: Huỳnh Kim Kha

1 5
; x  1
2

Page 21


PT-BPT-HPT mới và hiện đại nhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2016.

Bài số 20: Giải phương trình sau:

Huỳnh Kim Kha

1
2

 
3 1  2  x 2    x   x 2  2
x
 x
 
Lời giải chi tiết

Điều kiện: x  0
Phương trình tương đương với:

3  x 4  x 2  1  x  x 2  2  3  x 2  2 
Áp dụng bất đẳng thức Am-Gm, ta có:

x 3  x 2  2   3x. x 2  2 

3x 2  x 2  2
 2 x2  1
2

Do đó ta có:

3  x 4  x 2  1   x 2  2  2 x 2  1
 x4  2x2  1  0
  x 2  1  0
2

 x2  1
x  1

 x  1(l )
Vây phương trình có nghiệm x  1

Facebook: Huỳnh Kim Kha

Page 22

PT-BPT-HPT mới và hiện đại nhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2016.

x2

x3

Bài số 21: Giải phương trình sau: x  3 

 x  1 x  3  1

Huỳnh Kim Kha

1
x 1
2
x3
x2



Lời giải chi tiết
Điều kiện: x  1. Phương trình tương đương với:

x2
x 1
2

x3
x3

1

x2

x3

 x  1 x  3  1





x2

 x  1 x  3
x3

 

2 x2  4 x  3  x  2  x  4  2 x2  5x  6
x  2  x2  4x  3


x3
2 x  2  x  1 x  3  1



x  22
2

x

4
x

3

x

2



2



x  2  x  4x  3

x3
2

2 x2







 x  1 x  3  2  2 x  3
2 x  2   x  1 x  3  1

2




x2  4x  3 2 x2  4x  3  x  2



x  4  2 x2  5x  6
 x  1 x  3  1



 2 x2  4x  3  x  2 
2 x 2  4 x  3  x  2 1 

 x  4  2 x2  5x  6 
x  2  x2  4x  3




x3
2 x  2  x  1 x  3  1









 x  2  x 2  4 x  3  0(1)


2 x2  4x  3  x  2
1

x  4  2 x 2  5 x  6  0(2)
 1 
 x  3 2 x  2  x  1 x  3  1







6  2 3
x 
3
+) Ta có: (1)  4  x 2  4 x  3  x 2  4 x  4  3 x 2  12 x  8  0  

6  2 3
(l )

x 
3

+) Ta sẽ đi chứng minh 1 

2 x2  4 x  3  x  2
x  4  2 x2  5x  6

 0 với mọi x  1, ta có:





x  4  2 x2  5x  6  2 x2  4 x  3  x  2  0  x2  4 x  3  1  x2  5x  6




1  x2  5x  6

 x  4 2
2



x2  5x  6  1  x2  5x  6

Do đó VT(2)>0=VP(2), suy ra phương trình (2) vô nghiệm
Vậy phương trình có nghiệm x 

Facebook: Huỳnh Kim Kha

6  2 3
3
Page 23


PT-BPT-HPT mới và hiện đại nhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2016.

Huỳnh Kim Kha

Bài số 22: Giải phương trình sau:

x

4 x2  8x
x 1
 2  x 2  2 x  1 2
 2  x 4  4 x3  3x 2  4 x  1  x 2  x  1
x 1
x  2x
Lời giải chi tiết

Điều kiện: x   1;0   2;  
Phương trình tương đương với:

2x

x

2

 2 x  1  1
x 1

 2  x 2  2 x  1

2
x 1
 2  x 2  2 x  1  x 2    x 2  2 x  1  x

 x  2 x  1  1 
2

Đặt y  x 2  2 x  1  2 . Phương trình trở thành:

2x

y 1
x 1
 2y
 2  y2  x2   y  x
x 1
y 1


y 1
x 1 
2
2

 2  x
y
  y  x  2  y  x   2  x  y 
y 1 
 x 1
x

y 1
x 1
y
 x y
x 1
y 1

y 1 2 x 1
y .
 2 xy  x 2  2 xy  y 2
x 1
y 1
y 1 2 x 1
 x2 .
y .
 x2  y2
x 1
y 1
 x2 .

 x 2  y  1  y 2  x  1   x 2  y 2   x  1 y  1
2

2

 2 x 2 y 2  2 xy  x  y   x 2  y 2  x 2  y 2  xy  x 2  y 2    x  y   x 2  y 2 
  x  y  x  y   xy  x  y   0
2

2

  x  y   x  y  xy   0
2


3  13
x 
2
+) Với x  y  xy  0  x  y  x  x 2  2 x  1  x 2  3x  1  0  

3  13
x 

2
+) Với x  y  xy  0 , thì bất đẳng thức trên luôn đúng với mọi x,y.
Vậy phương trình có nghiệm x 

Facebook: Huỳnh Kim Kha

3  13
3  13
;x 
.

2
2

Page 24


PT-BPT-HPT mới và hiện đại nhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2016.
Bài số 23: Giải phương trình sau:

3  x 

Huỳnh Kim Kha

2x  x  x  x  0
Lời giải chi tiết

Điều kiện: x  0
+) Với x  0 thoả mãn phương trình.
+) Với x  0 ,phương trình tương đương với:

1
3 
1  0
  1 2 x  x 
x
x 
1
 0 . Phương trình trở thành:
x

Đặt t 

 3t

2

 1

2t
 t 1  0
t2

  3t 2  1 t  2  t 2  t  0
1 t2  t
 3t  
0
t t t2
1
1 t
 3t  
t t t2
1
3
 3t  
 t2
t
t2
3
1
 3t  t  2 


t2 t
3t  t  2
t t2
1 

 3t  t  2 1 
0
 t t2 
 3t  t  2 







 t t  2  1 do : 3t  t  2  0
t



1  5
3 5
x
2
2

Vậy phương trình có nghiệm x  0; x 

3 5
2



Bài tập tương tự: 4 x  2 x  x  2  x 1  2 x

Facebook: Huỳnh Kim Kha



Page 25