Không gian hàm thường gặp, W8, E40

TUYỂN TẬP BÀI TẬP PHỔ THÔNG, ĐẠI HỌC, SAU ĐẠI HỌC
LUẬN ÁN-ĐỒ ÁN-LUẬN VĂN-KHOÁ LUẬN-TIỂU LUẬN

LUẬN VĂN THẠC SĨ

CÁC KHÔNG GIAN HÀM THƯỜNG GẶP

1


LỜI NÓI ĐẦU
Bản luận văn giới thiệu về các không gian hàm . Các không gian là các không gian
hàm được định nghĩa thông qua việc sử dụng một chuẩn tổng quát hóa một cách tự nhiên từ
chuẩn p của không gian véc tơ hữu hạn chiều (nhiều khi chúng được gọi là các không gian
Lebesgue). Theo Bourbaki, chúng được đưa ra đầu tiên bởi Riesz Frigyes (nhà toán học gốc
Hungary). Các không gian lập nên một lớp quan trọng của các không gian Banach trong
giải tích hàm, không gian véc tơ tô pô, chúng có ứng dụng quan trọng trong vật lí, xác suất
thống kê, toán tài chính, kỹ thuật và nhiều lĩnh vực khác.
Mặc dù là lớp không gian hàm quan trọng và có nhiều ứng dụng nhưng trong các giáo
trình giải tích hàm cũng như lí thuyết độ đo và tích phân cơ bản, các không gian này chưa
được mô tả chi tiết. Với mong muốn trình bày các ý tưởng chung cũng như đi sâu nghiên
cứu về các không gian , nhằm giúp cho việc sử dụng các không gian này một cách có hệ
thống và thuận tiện, tác giả đã chọn đề tài luận văn của mình là:
“Về một số không gian hàm thường gặp”.
Luận văn được chia thành 3 chương:
Chương I: Các kiến thức cơ sở.
2


Chương II: Các không gian hàm.
Chương III: Một số dạng hội tụ quan trọng và khả tích đều.

Trong chương I, tác giả nêu các khái niệm và các định lí cơ bản của giải tích hàm. Đó là
khái niệm về không gian metric, không gian đo với khái niệm về độ đo, hàm đo được cùng
với các tính chất hội tụ và khả tích, khái niệm về không gian định chuẩn, các khái niệm
trong không gian tô pô. Đây là những kiến thức cơ sở sẽ được sử dụng trong chương II và
chương III của luận văn này.
Mục đích chính của chương II là thảo luận về các không gian hàm
và các tính
chất. Điều đặc biệt là ta coi các không gian đó là không gian con của một không gian lớn
hơn gồm các lớp tương đương của các hàm (hầu như) đo được. Chính vì vậy, các không
gian hàm lần lượt được trình bày là không gian , không gian (không gian các hàm đo được
khả tích), không gian (không gian các hàm bị chặn cốt yếu), không gian (không gian các
hàm số có lũy thừa bậc p của mô đun khả tích trên X). Các không gian này được trình bày
một cách hệ thống theo từng nội dung: xây dựng khái niệm, chỉ ra cấu trúc thứ tự, xét
chuẩn trong nó, xét tính đối ngẫu, chỉ ra một vài không gian con trù mật quan trọng, áp
dụng vào lí thuyết xác suất (xét kì vọng có điều kiện) và cuối cùng luôn là mở rộng cho
không gian phức.
Trong chương III, tác giả mô tả một số dạng hội tụ quan trọng trong các không gian .
Đó là sự hội tụ theo độ đo trong và hội tụ yếu trong . Ngoài ra trong chương này, tác giả
cũng chỉ ra các tính chất ổn định trong phạm vi rộng của lớp các tập khả tích đều trong
hay .
Do thời gian có hạn cũng như việc nắm bắt kiến thức còn hạn chế nên trong khóa luận
không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự chỉ bảo tận tình của các thầy cô và sự
góp ý chân thành của các bạn đọc.

3


4

Chương I. Các kiến thức cơ sở
1.1 Không gian metric
Định nghĩa 1.1. Giả sử X là một tập khác rỗng, một metric trong X là một ánh xạ
các số thực, thỏa mãn các điều kiện:

i)
ii)
iii)
Tập hợp X cùng với khoảng cách d đã cho trong X, được gọi là không gian metric, kí hiệu
là (X,d).
Hàm
là một metric trong tập
Không gian metric tương ứng gọi là đường thẳng thực.

(khoảng cách thông thường).

Định nghĩa 1.2.

a) Dãy

trong không gian metric X gọi là dãy cơ bản nếu:

∀ε > 0, ∃N (ε ), ∀ m, n ≥ N suy ra d (x m , x n ) < ε

b) Không gian metric X gọi là không gian metic đầy đủ nếu mọi dãy cơ bản của không
gian X đều hội tụ đến một phần tử nào đó của không gian này.
Chẳng hạn, không gian Euclide ¡
đầy đủ.

n

là không gian đầy đủ. Không gian

C[ a ,b]

là không gian

Định nghĩa 1.3. Giả sử E là một tập con của X. Tập hợp tất cả các điểm dính của E, được
gọi là bao đóng của tập hợp E, kí hiệu E
Định nghĩa 1.4 Giả sử E là một tập con của X. Tập E gọi là:

i)
ii)

Tập đóng nếu tập E chứa tất cả các điểm tụ của nó
Tập mở nếu mọi điểm của nó đều là điểm trong.

Tập hợp tất cả các điểm trong của E gọi là phần trong của E, kí hiệu int E
5


iii)

Tập hợp E được gọi là trù mật trên tập hợp A nếu như bao đóng của E chứa A.

Đặc biệt, nếu tập E trù mật trong không gian X thì E gọi là trù mật khắp nơi trong X.

1.2 Không gian đo và Độ đo
Định nghĩa 1.5.
1) Cho tập

rỗng, một họ
mãn các điều kiện sau:
i.

và nếu

các tập con của X được gọi là một σ - đại số nếu nó thỏa

thì

trong đó

ii. Hợp của đếm được các tập thuộc cũng thuộc .
là σ - đại số các tập con của X thì cặp

2) Nếu
được với

hoặc

gọi là một không gian đo được (đo

- đo được)

Định nghĩa 1.6. Chomột không gian đo được

1) Một ánh xạ

được gọi là một độ đo nếu:

i)
ii)

có tính chất σ – cộng tính, hiểu theo nghĩa:

2) Nếu

là một độ đo xác định trên

Định nghĩa 1.7. Cho

a)

là không gian đo đủ (Carathéodory) nếu với mọi
thì

nghĩa là mọi tập con bỏ qua được của X là đo

được.

b)

gọi là một không gian đo.

là một không gian đo. Khi đó

là độ đo đủ, hay
và

thì bộ ba

là không gian xác suất nếu

6


Trong trường hợp này,

c)

gọi là một xác suất hay độ đo xác suất.

là độ đo hoàn toàn hữu hạn, hay

gọi là không gian đo hoàn toàn hữu hạn

nếu

d)

là độ đo
dãy

- hữu hạn, hay

gọi là không gian đo

- hữu hạn nếu tồn tại

sao cho:

,

e)

là độ đo nửa hữu hạn, hay
mọi

f)

và

là một không gian đo nửa hữu hạn nếu với

thì tồn tại

thỏa mãn

là độ đo khả địa phương hóa, hay

(ii)

.

là một không gian đokhả địa phương

hóanếu nó là nửa hữu hạn và với mọi

(i)

và

, tồn tại một

thỏa mãn:

là bỏ qua được với mọi
Nếu

và

là bỏ qua đượcvới mọi

thì

là bỏ qua được.

Sẽ thuận tiện hơn nếu ta gọi tập H như trên là essential suppremum của

g) Một tập

gọi là một nguyên tử đối với

vàvới mỗi tập F thỏa mãn

,

thì

hay

trên .

- nguyên tử nếu

là bỏ qua được.

P (X) = { A : A ⊂ X }
µ * : Σ → [ 0, ∞ ]
Định nghĩa 1.8. Một ánh xạ
xác định trên
được gọi là
một độ đo ngoài nếu thỏa mãn các điều kiện

i)

µ * (A) ≥ 0, ∀ A ⊂ Σ

ii)
iii)

Nếu

thì
7


Định lí 1.1 (Carathéodory). Giả sử
con A của X sao cho:

là một độ đo ngoài trên X và là lớp tất cả các tập

(*)
Khi đó là một σ - đại số và hàm tập
trên

Độ đo

gọi là tập

Σ

(thu hẹp của

gọi là độ đo cảm sinh bởi độ đo ngoài

trên

) là một độ đo

. Tập A thỏa mãn điều kiện (*)

- đo được.

Định lí 1.2 (thác triển độ đo).
thì

µ = µ*

Giả sử m là một độ đo trên đại số.Với mỗi A ⊂ X , ta đặt .

là một độ trên X và đồng thời mọi tập thuộcσ - đại số đều

đo được.

1.3 Độ đo Lebesgue
1.3.1 Độ đo Lebesgue trên
Tồn tại một σ - đại số

các tập con của

mà mỗi

Lebesgue (hay (L) – đo được) và một độ đo
trên

gọi là một tập đo được theo

xác định trên

(gọi là độ đo Lebesgue

) thỏa mãn các tính chất sau:

i)

Các khoảng (hiểu theo nghĩa rộng), tập mở, tập đóng … là (L) – đo được. Nếu I
là khoảng với đầu mút a, b (

) thì

ii)

Tập hữu hạn hoặc đếm được là (L) – đo được và có độ đo Lebesgue bằng 0

iii)

Tập

là (L) – đo được khi và chỉ khi với mọi

mở G sao cho

iv)

,

Nếu A là tập (L) – đo được thì các tập
,

v)

tồn tại tập đóng F, tập

Độ đo Lebesgue là đủ và σ – hữu hạn.

8

cũng là tập (L) – đo được và

1.3.2 Độ đo Lebesgue trên
Trong không gian Euclid k chiều
số

Độ đo

lớp

độ đo m có thể khuếch thành độ đo
này gọi là độ đo Lebesgue trên

gọi là tập đo được (L) trong

trên một σ - đại

và các tậphợp thuộc

F (C k ) chính là σ - đại số Borel trong

1.4 Hàm số đo được
Định nghĩa 1.9. Cho một không gian X, một σ - đại số

gọi là đo được trên tập A đối với σ - đại số

. Một hàm số

Khi trên σ - đại số

nếu

có một độ đo μ ta nóif(x)đo được đối với độ đoμ hay μ – đo được.

Trong trường hợp
(σ - đại số Borel trong
nghĩa Borel, hay f(x) là một hàm số Borel.

1.4.1

những tập con của X, và một tập

) thì ta nóif(x) là đo được theo

Cấu trúc của hàm số đo được

Định nghĩa 1.10. Cho một tập bất kì A trong không gian X, ta gọi hàm chỉ tiêu của A là
hàm số

xác định như sau:

0 khi x ∉ A
χ A (x) = 
1 khi x ∈ A

Định nghĩa 1.11. Một hàm số f(x) gọi là hàm đơn giản nếu nó hữu hạn, đo được và chỉ lấy
một số hữu hạn giá trị. Gọi
thì các tập

là các giá trị khác nhau của nó và nếu
đo được, rời nhau và ta có

Ngược lại, nếuf(x) có dạng đó và các tập
giản

đo được, rời nhau thì f(x) là một hàm đơn

9


Định lí 1.3. Mỗi hàm số f(x) đo được trên tập đo được A là giới hạn của một dãy hàm đơn
giản

,

Nếu
và ∀x ∈ A

sao cho f n (x) ≥ 0 và f n+1 (x) ≥ f n (x) với mọi n

thì có thể chọn các

1.4.2 Các dạng hội tụ
Định nghĩa 1.12. Trong không gian X bất kì, cho một σ - đại số

và một độ đo μ trên

. Ta nói hai hàm số f(x) và g(x) bằng nhau hầu khắp nơi (h.k.n), viết

nếu:

và
Hai hàm sốf(x), g(x) bằng nhau thì gọi là tương đương với nhau. Dĩ nhiên, hai hàm
số cùng tương đương với một hàm số thứ ba thì chúng cũng tương đương với nhau.
Định lí 1.4. Nếu μ là một độ đo đủ thì mọi hàm số g(x) tương đương với một hàm số đo
được f(x) cũng đều đo được.
Định nghĩa 1.13. Dãy hàm
gọi là hôi tụ hầu khắp nơi về hàm sốf(x)trên A ∈ Σ nếu tồn
lim f (x) = f (x)
tại B ⊂ A, B ∈ Σ, µ (B) = 0 sao cho n→∞ n
với mọi ∀x ∈ A \ B
Định nghĩa 1.14. Cho những hàm số
nói dãy

và f(x) đo được trên một tập A. Ta

hội tụ theo độ đo μ tớif(x) và viết

nếu

Giả thiết μ là một độ đo đủ, ta có định lí sau nói về sự liên hệ giữa hội tụ theo độ đo
và hội tụ hầu khắp nơi
Định lí

1.5. Nếu một dãy

sốf(x) thìf(x) đo được và nếu

đo được trên một tập A hội tụ hầu khắp nơi tới một hàm
thì
10

1.5 Không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.15. Giả sử E là không gian vec tơ trên trường vô hướng K, các số thực
hay các số phức
điều kiện sau:

. Hàm

xác định trên E gọi là một chuẩn trên E nếu nó thỏa mãn các

i)

và

ii)

với mọi

iii)
Định nghĩa 1.16. Không gian véc tơ E cùng với một chuẩn
định chuẩn.

trên nó là một không gian

Có thể chứng minh không gian định chuẩn E là một không gian metric với khoảng cách
sinh bởi chuẩn

Chú ý: Ta kí hiệu

thay cho

và gọi là chuẩn của véc tơ x.

Nếu không gian metric này là đầy đủ thì E gọi là không gian Banach.
Ví dụ: Không gian các hàm liên tục trên đoạn hữu hạn

, kí hiệu

là một không

gian Banach vì nó là đầy đủ đối với chuẩn:
Định lí 1.6 (Hausdorff). Tập con X trong không gian Banach E là compact nếu và chỉ nếu
X là đóng và hoàn toàn bị chặn.
Định nghĩa

1.17. Không gian định chuẩn E gọi là khả ly nếu E có một tập con đếm được

trù mật trong E, nghĩa là tồn tại một dãy

sao cho với mọi

tồn tại một dãy

con
Định nghĩa 1.18 Cho X là tập con của không gian định chuẩn E, ta nói X là:

i)

Tập bị chặn nếu

11


ii)

Hoàn toàn bị chặn nếu với mọi

iii)

Com pắc nếu mọi dãy

Nhận xét: a) Tập con hữu hạn

tồn tại tập hữu hạn

sao cho:

có một dãy con

hội tụ tới một phần tử

thỏa mãn (ii) gọi là một

- lưới hữu hạn của X

b) Dễ chứng minh mọi tập hoàn toàn bị chặn X là bị chặn.
Định nghĩa 1.19. Cho X là một không gian vectơ. Một hàm số f(x) xác định trên X và lấy
giá trị là số (thực hoặc phức, tùy theo X là không gian thực hoặc phức) gọi là một phiếm
hàm trên X. Phiếm hàm đó gọi là tuyến tính nếu:

i)

với mọi

ii)

với mọi

và mọi số

Giả sửX là một không gian định chuẩn, khi ấy, một phiếm hàm tuyến tínhf gọi là bị chặn
nếu có một hằng số

Số

để cho

nhỏ nhất thỏa mãn đẳng thức trên được gọi là chuẩn của phiếm hàm và kí hiệu là
. Dễ dàng chứng minh

Trong nhiều vấn đề quan trọng , người ta thường xét không gian định chuẩn lập thành
bởitập hợp tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X gọi là không gian đối ngẫu (hay
còn gọi là không gian liên hợp) của X, và được kí ký hiệu X*.
Dễ thấyX* là một không gian vectơ với các phép toán thông thường. Ngoài ra, với mỗi
phần tử f thuộc X*, đặt
Hơn nữa X* còn là không gian Banach.

thì X* trở thành một không gian định chuẩn.

12

Định nghĩa 1.20. Cho
tính hữu hạn
a)

được gọi là liên tục tuyệt đối đối với
thỏa mãn

b)

là một không gian đo và

với mọi

(thường viết

) nếu

, tồn tại

và

được gọi là thực sự liên tục đối với

là hữu hạn và

là một phiếm hàm cộng

nếu

, tồn tại

,

thỏa mãn

với

1.6Tích phân Lebesgue
f : A → [ −∞, ∞ ]
Định nghĩa 1.21. Cho A là tập đo được,
là hàm đơn giản, đo được trên
A. Gọi f1 , f 2 , f3 ,..., f n là các giá trị khác nhau đôi một của f(x). Đặt
Ak = { x ∈ A : f (x) = f k } , k = 1, 2,..., n
n

A= ∪

k =1

và

Khi đó tích phân của hàm đơn giản f(x) trên A với độ đo
Định lí 1.7. Cho A là tập đo được Lebesgue, hàm
tồn tại dãy đơn điệu tăng các hàm đơn giản đo được

là số
là hàm đo được. Khi đó,
hội tụ h.k.n về f(x) trên A.

Định nghĩa 1.22. Tích phân của hàm f(x) không âm trên A đối với độ đo

Định nghĩa 1.23. Cho A là tập đo được Lebesgue, hàm
Khi đó ta có:
với
13

là:

là hàm đo được trên A.


Các hàm số

có tích phân tương ứng trên A là

Nếu hiệu

,

có nghĩa thì tích phân của f(x) trên A là :

Các định lí sau cho ta các điều kiện qua giới hạn dưới dấu tích phân (đối với tích phân
Lebesgue)
Định lí 1.8 (định lí hội tụ đơn điệu Beppo Levi).
đến f(x) trên A thì

Định lí 1.9 (định lí Dini). Nếu
hàm f(x) liên tục trên

thì

Định lí 1.10 (Bổ đề Fatou).Nếu

Nếu

và

đơn điệu tăng

là dãy hàm liên tục, đơn điệu, hội tụ điểm đến một
hội tụ đều đếnf(x).
thì

Định lí 1.11 (định lí hội tụ bị chặn Lebesgue). Nếu

, g(x) khả tích và

( hội tụ h.k.n) hay hội tụ theo độ đo trên A thì

1.7 Không gian tô pô
Định nghĩa 1.24. Cho một tập X bất kì. Ta nói một họ những tập con của X là mộttô pô
(hay xác định một cấu trúc tô pô) trên X nếu:
14


i)

Hai tập

ii)

đều thuộc

kín đối với phép giao hữu hạn, nghĩa là giao của một số hữu hạn tập thuộc họ
thì cũng thuộc họ đó.

iii)

kín đối với phép hợp bất kì, nghĩa là hợp của một số bất kì (hữu hạn hoặc vô
hạn) tập thuộc họ

Tập X cùng với một tô pô
Các tập thuộc họ

thì cũng thuộc họ đó.
trên X gọi là không gian tô pô

(hay không gian tô pô X).

gọi là tập mở.

Định nghĩa 1.25. Cho X, Y là hai không gian tô pô. Một ánh xạf đi từ X vàoY gọi là liên
tục tại

nếu với mọi lân cận

sao cho

của điểm

đều có một lân cận

, nghĩa là

của điểm

Ánh xạf gọi là liên tục nếu nó liên

tục tại mọi
Hiển nhiên định nghĩa này bao hàm định nghĩa về ánh xạ liên tục từ một không gian
metric vào một không gian metric khác.
Định lí 1.12. Một ánh xạ f đi từ không gian tô pô X vào không gian tô pô Y là liên tục khi
và chỉ khi nó thỏa mãn một trong hai điều kiện sau:

(i)
(ii)

Nghịch ảnh của một tập mở (trong Y) là một tập mở (trong X)
Nghịch ảnh của một tập đóng (trong Y) là một tập đóng (trong X)

Choflà một ánh xạ đi từ tập X vào Y. Nếu trên Y cho một tô pô thì do toán tử
các phép toán tập nên

bảo toàn

sẽ là một tô pô trên X. Nếu X vốn đã có sẵn một tô pô

định lí 1.12 cho biết rằng f là ánh xạ liên tục khi và chỉ khi

thì

nghĩa là khi

nghịch ảnh của tô pô trên Y (tức
)yếu hơn tô pô trên
. Cũng từ đó ta thấy,
nếu trên Y có một tô pô mà trên X chưa có tô pô thì có thể biến X thành không gian tô pô
bằng cách gán cho nó tô pô
xạ f.

đó là tô pô yếu nhất đảm bảo cho sự lien tục của ánh
15


Sự hội tụ của dãy điểm trong tô pô được định nghĩa tương tự như trong không gian
metric. Tuy nhiên, ở đây cần đưa vào một khái niệm rộng hơn khái niệm dãy hội tụ.
Một họ S những tập con không rỗng của một tập X gọi là một lọc trên X nếu:

(i)
(ii)
Bây giờ cho một tô pô X. Ta nói một lọc S trên Xhội tụ tới x nếu mỗi lân cận của x đều
bao hàm một tập thuộc S. Một ánh xạ f đi từ một không gian tô pô X vào không gian tô
pô Y liên tục tại x khi và chỉ khi với mọi lọc

ta đều có

Chú ý rằng trong không gian metric, giới hạn của một dãy (nếu có) là duy nhất, còn với
tô pô thì không nhất thiết. Muốn đảm bảo tính duy nhất của giới hạn ta xét các không

gian tô pô đặc biệt, thỏa mãn tiên đề tách sau đây: Với mọi cặp điểm

đều có

hai lân cận
của
sao cho
Một không gian tôpô thỏa mãn điều kiện
đó gọi là không gian Housdorff (không gian tách), tô pô của nó gọi là tô pô Housdoff
(tô pô tách).
Định lí 1.13. Trongkhông gian tô pô Housdorff , một lọc chỉ có thể hội tụ tới nhiều nhất
một điểm.
Định nghĩa 1.26. Một không gian tôpô X gọi là compact nếu mỗi lọc S trên X đều có một
lọc mạnh hơn hội tụ.

Chương II. Các không gian hàm
Mục đích chính của chương này là thảo luận về các không gian , và
trong ba
mục tương ứng dưới đây. Một điểm thuận lợi là ta coi các không gian đó là các không gian
con của một không gian lớn hơn
được.

gồm các lớp tương đương của các hàm (hầu như) đo

2.1Không gian và
16


Nguyên tắc gần như đầu tiên của lý thuyết độ đo chính là các tập có độ đo không thường
được bỏ qua. Tương tự, hai hàm trùng nhau hầu khắp nơi có thể thường (không luôn luôn!)

được xem như là đồng nhất với nhau. Ý tưởng của phần này là thành lập không gian gồm
các lớp tương đương của các hàm số, và nói rằng hai hàm số là tương đương nếu và chỉ nếu
chúng trùng nhau ngoài một tập bỏ qua được.

2.1.1Không gian
Định nghĩa 2.1. Giả sử
là một không gian đo bất kỳ. Ta viết , hay
, là
không gian của các hàm nhận giá trị thực xác định trên phần bù của các tập con bỏ qua
được của
Nếu

, Nghĩa là:
,

được đối với

là tập

- không thì hạn chế của f trên E, kí hiệu

- đại số bổ sung theo

là

- đo được ( đo

)

2.1.2Tính chất cơ bản

Nếu
là một không gian đo bất kỳ, khi đó chúng ta có những điều sau đây, tương
ứng với những tính chất cơ bản của hàm đo đươc.
(a) Một hàm hằng nhận giá trị thực xác định hầu khắp nơi trong
(b)
(c)
(d)

với mọi
với mọi
với mọi

(nếu

(f) Nếu

là một dãy trong

là Borel đo được, thì

, thì

là một dãy trong

trị thực) hầu khắp nơi trong

là đo được).

.

và

(g) Nếu

, thì

.

(e) Nếu

thực) hầu khắp nơi trong

và

thuộc vào

, thì

và

.

được xác định (như là một hàm nhận giá trị
.

và

được xác định (như là một hàm nhận giá
.
17

(h) Nếu

là một dãy trong

thực) hầu khắp nơi trong
(i) Nếu

và

, thì

.

là một dãy trong

trị thực) hầu khắp nơi trong
(j) Nếu

và

được xác định (như là một hàm nhận giá

, thì

là một dãy trong

.
và

giá trị thực) hầu khắp nơi trong
(k)

được xác định (như là một hàm nhận giá trị

, thì

được xác định (như là một hàm nhận
.

thực chất là tập các hàm nhận giá trị thực, xác định trên các tập con của

nhau hầu khắp nơi đối với một hàm

-đo được từ

vào

bằng

nào đó.

2.1.3 Không gian
Định nghĩa 2.2.Giả sử
tương đương trên
hệ “

là một không gian đo bất kỳ. Khi đó“

Viết

“. Với

, hoặc là

viết

“là một quan hệ

, là tập các lớp tương đương trong

dưới quan

là lớp tương đương trong

2.1.4 Cấu trúc tuyến tính của
Giả sử

là không gian đo bất kỳ, và đặt

(a) Nếu

và

thì

có thể định nghĩa phép cộng trong
(b) Nếu

và

,

bởi cách đặt

thì

định nghĩa phép nhân vô hướng trên

với mọi
bởi cách đặt

18

.
. Tương tự chúng ta
với tất cả
. Tương tự chúng ta có thể
với tất cả


(c)

là một không gian tuyến tính trên

xác định là

và nhận giá trị

, với phần tử không

ở đây

, và phần tử đối

Thật vậy
(i)

với tất cả

vì vậy
(ii)

với tất cả
với mọi

vì vậy
(iii)

vì vậy
(v)

với mọi
với mọi
với mọi
với tất cả
với mọi

(vi)

và
và

.

với tất cả

vì vậy

(viii)

,

với mọi

vì vậy

(vii)

.

với mọi

vì vậy
(iv)

,

với tất cả

với tất cả
với tất cả

vì vậy
vì vậy

với tất cả

19

với tất cả

là hàm có tập


2.1.5 Cấu trúc thứ tự của
Giả sử

là không gian đo bất kỳ và đặt

(a) Nếu

,

và

có thể xác định một quan hệ

trên

bằng cách nói rằng

(b) là một thứ tự một phần trên
Tương tự
với mọi

, thì

nếu và chỉ nếu

Thật vậy, nếu

với

và

Cuối cùng, nếu

Vì vậy chúng ta

và

và

Mặt khác, nếu
và

và

, thì

thì
thì

do
vì

vậy nếu

và

(c)

là một không gian tuyến tính thứ tự một phần, nghĩa là, một không gian tuyến

với

tính với một thứ tự
(i)nếu

thì

(ii)nếu

thì

Thật vậy, nếu

thì

thỏa mãn:
với mọi
với mọi
và

thì

Nếu

và

thì

với mọi
(d)

là một không gian Riesz hay dàn véctơ, nghĩa là, một không gian tuyến tính thứ tự

một phần thỏa mãn

được xác định với tất cả

Chứng minh:
Lấy

sao cho

Khi đó

,

ta viết
với

(domflà miền xác định của hàm số f).

20


Với

bất kỳ, ta có

Suy ra với

bất kỳ, ta có

Do vậy

trong

(e) Với bất kỳ

ta có

; và nếu

thì

Nếu

thì

vì vậy

với tất cả
(f)Nếu

là một hàm nhận giá trị thực, đặt

với

suy ra

tất cả các hàm này đều xác định trên

Tương tự trong

và ta có
21

đặt các toán tử


(g) Hiển nhiên, nếu

trong

bất kỳ sao cho

tồn tại một

và đặt

trong

sao cho

Thật vậy lấy

thì

2.1.6Các tính chất quan trọng của
Định nghĩa 2.3.
(a) Một không gian Riesz
),

có một

là Ác-si-mét nếu với bất kỳ

(nghĩa là,

và

sao cho

(b) Một không gian Riesz
tập khác rỗng đếm được

là Dedekind

-đủ (hay

-thứ tự-đủ, hay

đủ) nếu với mọi

bị chặn trên đều có ít nhất một cận trên nhỏ nhất ở trong

(c) Một không gian Riesz là Dedekind đủ (hay thứ tự đủ, hay đủ) nếu với mọi tập khác rỗng
bị chặn trên trong
Định lý 2.1.Giả sử
(a)

đều có ít nhất một cận trên nhỏ nhất ở trong
là một không gian đo. Đặt

là Ác-si-mét và Dedekind

(b) Nếu
phương hóa.

-đủ.

là nửa-hữu hạn, thì

là Dedekind đủ nếu và chỉ nếu

là khả địa

Chứng minh:
Đặt

(a)

(i) Nếu

và

, viết

như là

và

như là

trong đó

là không bỏ qua được. Khi đó tồn tại
là không bỏ qua được, vì
khác

Vì

và

là tùy ý nên

là Ác-si-mét .
22

Khi đó
sao cho
Mặt


(ii) Giả sử

là một tập khác rỗng đếm được có một cận trên
trong đó

là một dãy trong

. Khi đó ta có

xác định trên

với mọi
, lấy

và

với hầu hết

Đặt

Nếu

với mỗi

trong

Vì A là bất kỳ,

là Dedekind

khi đó mọi phần tử của

-đủ.

là địa phương hóa.

là một hàm đo được từ X vào
có dạng

Đặt

,

với

nào đó. Với mỗi

của Xcó thể biểu diễn dưới dạng

chấp nhận

sao cho

; vì vậy

là một tập khác rỗng bất kỳ cócận trên

Với

Đặt

với mỗi

(i) Giả sử rằng

Do

trong đó

như là

khi đó
với mọi

(b)

Viết

tại điểm bất kỳ

nghĩa là, với hầu hết

trong đó

Do vậy

như là

trong

với

là địa phương hóa nên có một tập

là họ các tập con

nào đó; khi đó
là một cận trên đúng chủ yếu cho

đặt

là cận trên đúng của một tập bị chặn trên, và
23

là

. Khi đó


với mỗi
Nếu

, thì

thì

. Thật vậy với mỗi

đặt

là bỏ qua được. Đặt

suy ra

Nếu

, thì

và do vậy

Nếu

là đo được và

mỗi

Nếu

với mỗi

, có một

thì

Đặt

sao cho

bây giờ

là bỏ qua được. Vì
là bỏ qua được với mỗi

với
, vì vậy

là một cận trên đúng cốt yếu của

nên

. Dẫn đến

là bỏ qua được, và
Chú ý rằng chúng ta đang giả sửA khác rỗng và A có một cận trên
kỳ và một hàm đo được
, và
và

Trong đó

sao cho

; khi đó

phải hữu hạn hầu khắp nơi. Đặt

Lấy

bất

với mỗi

, vì vậy

khi

ta có

vì vậy

là các hàm đo được từ
với

và
và

là một cận trên của

là một cận trên của
24

.

; nghĩa là,


Điều này có nghĩa là
Dedekind đủ.
(ii) Giả sử rằng
Đặt

Khi đó

là cận trên nhỏ nhất của

là Dedekind đủ,

bị chặn trên bởi

trong đó

trong

Do

trong

Nếu

thì

là

là nửa-hữu hạn, là một tập con tùy ý của

vì vậy có một cận trên bé nhất

là đo được, và đặt

cốt yếu của

là bất kỳ, nên

Biểu diễn

Khi đó

như là

là một cận trên đúng

Thật vậy,
vì vậy

, nghĩa là,

với hầu hết

và

là bỏ qua được.
Nếu

và

là,

là bỏ qua được với mỗi

với mỗi

vì vậy

thì
, nghĩa là,

với mỗi

nghĩa

. Tương tự

là bỏ qua được.
Do

tùy ý nên

là địa phương hóa.

2.1.7Cấu trúc nhân của
Giả sử

là một không gian đo bất kỳ,

(a)Nếu

và

nghĩa phép nhân trong
(b) Với mọi

và

thì

bằng cách đặt

Tương tự, ta định
với tất cả

dễ dàng kiểm tra

25