Tài liệu Ôn tập hình học không gian luyện thi pdf

Trươ
̀
ng THPT Q́c Tha
́
i GV:
Trang 50


a
a







PHẦN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN THUẦN TÚY

§1 . KIẾN THỨC CƠ BẢN
I. Mục đích u cầu :
- Hệ thống lại các công thức tính diện tích , diện tích xung quanh , diện tích toàn
phần, thể tích hình chóp , hình nón , hình trụ , hình cầu .
- Vẽ được hình chính xác các nét thấy , khuất , đoạn vuông góc với mp cho trước.
- Vận dụng được công thức tính các bài toán đơn giản.
II. Chuẩn bị :
GV : - Soạn giảng , hệ thống kiến thức cơ bản nhằm giúp học sinh dễ vận dụng khi làm bài.
- Trình bày bài tập mẫu, cho học sinh thực hiện các bài tập tương tự.
HS : - Xem , học và hệ thống kiến thức cũ ở nhà. Thực hiện các bài tập mà GV đã giao.
III. Nội dung ơn tập:
I. QUAN HỆ SONG SONG

Đường thẳng song song
+ Hai đường thẳng song song nếu chúng nằm trong cùng một mặt phẳng và khơng có
điểm chung. .
+ Một mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song theo hai giao tuyến song song.
+ Đường thẳng a khơng nằm trong mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (P) nếu trong
mặt phẳng có ít nhất một đường song song với đường thẳng đó




+ Đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) khi đó bất kỳ mặt phẳng nào qua a cắt (P)
theo giao tuyến sẽ song song với a
Chun đề :6
Trươ
̀
ng THPT Quốc Tha
́
i GV:
Trang 51



+ Hai mặt phẳng song song nếu trong mặt phẳng này có hai đường cắt nhau cùng song
song với hai đường cắt nhau của mặt phẳng kia


II. QUAN HỆ VUÔNG GÓC
a/. Góc
+ Góc giữa hai đường thẳng là góc tạo bởi hai đường thẳng cùng đi qua
một điểm và lầ lượt song song với hai đường thẳng đó.

+ Góc hợp bởi đường thẳng và mặt phẳng là góc hợp bởi đường thẳng đó và hình chiếu
của nó trên mặt phẳng.
+ Góc hợp bởi hai mặt phẳng là góc hợp bởi hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai
mặt phẳng.


b/.Quan hệ vuông góc
+ Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nếu nó vuông góc với hai đường cắt nhau nằm
trong mặt phẳng đó.

+ Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) và b nằm trong (P).Điều kiện
cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a’ của a trên mặt phẳng
(P).
+ Đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì nó vuông góc với cạnh thứ
ba.
+ Hai mặt phẳng vuông góc nếu trong mặt phẳng này có một đường vuông góc với mặt
phẳng kia.
+ Hai mặt phẳng vuông góc nhau thì đường thẳng nằm trong mặt phẳng này vuông góc
với giao tuyến sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.
+ Hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mp thứ ba thì giao tuyến của nó vuông góc
với mặt phẳng đó.
+ Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì nó song song.
Trươ
̀
ng THPT Quốc Tha
́
i GV:
Trang 52

c/. Khoảng cách
+ Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a là
đoạn MH với H là hình chiếu của M lên đường
thẳng a.
+ Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P)
đoạn MH với H là hình chiếu của M lên mặt
phẳng (P).
+ Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường
thẳng đó.
III: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

+ Tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH






+ Định lý cosin: Tam giác ABC có ba cạnh tương ứng là a,b,c



+ Định lý sin:




Trươ
̀

ng THPT Quốc Tha
́
i GV:
Trang 53



§2 PHÉP BIẾN HÌNH TRONG KHÔNG GIAN

+ Quy tắc F trong không gian để với mỗi điểm M xác định được duy nhất M’ gọi là ảnh
của điểm M qua phép biến hình F

+ Phép đối xứng qua mặt phẳng (P) là phép biến hình biến mỗi điểm thuộc mp(P) thành
chính nó và mỗi điểm M không thuộc mp(P) thành M’ sao cho (P) là mp trung trực của
MM’.
+ Phép Tịnh tiến theo vectơ là một phép biến hình biến mỗi điểm M thành M’ sao cho
.
+ Phép đối xứng qua đường thẳng (Đ/x trục) là phép biến hình biến mỗi điểm thuộc d
thành chính nó và mỗi điểm M không thuộc d thành M’ sao cho d là trung trục của đoạn
MM’.
+ Phép đối xứng tâm là phép biến hình biến mỗi điểm M thành M’ sao cho
.

+ Mặt phẳng (P) được gọi là mặt phẳng đối xứng của hình (H) nếu phép đối xứng qua
mặt phẳng (P) biến hình (H) thành chính nó.
+ Hai hình bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.
+ Hai tứ diện bằng nhau nếu có các cạnh tương ứng bằng nhau.


§3.KHỐI ĐA DIỆN

I. Các kiến thức cần nhớ:
+ Hình đa diện gồm một số hữu hạn các đa giác phẳng thỏa hai điều kiện
 Hai đa giác bất kì hoặc không có một điểm chung , hoặc có một đỉnh chung, hoặc
có một cạnh chung.
(không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ) ( thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì)
Trươ
̀
ng THPT Quốc Tha
́
i GV:
Trang 54

 Mỗi cạnh của đa giác là cạnh chung của đúng hai đa giác.
Hình đa diện chia không gian thành hai phần( phần bên trong và phần bên ngoài ) Hình
đa diện cùng với phần bên trong nó được gọi là khối đa diện.
+ Mỗi khối đa diện đều có thể phần chia thành những khối tứ diện.
+ Hai tứ diện bằng nhau nếu chúng có các cạnh tương ứng bằng nhau.
+ Có năm loại khối đa diện đều: khối tứ diện đều, khối lập phương khối tám mặt đều,
khối mười hai mặt đều và khối hai mươi mặt đều.

II. Các bài tập:
1. Khối chóp n giác có bao nhiêu cạnh,bao nhiêu đỉnh và bao nhiêu mặt.
2. Khối lăng trụ n giác có bao nhiêu cạnh,bao nhiêu đỉnh và bao nhiêu mặt.
3. Hình tứ diện đều, lập phương có bao nhiêu mặt đối xứng đó là những mặt nào?

§4.HÌNH CHÓP

I. Các kiến thức cần nhớ:

+ Hình chóp là hình đa diện có một mặt là một đa giác gọi là đáy các mặt còn lại là
những tam giác có chung đỉnh, các cạnh không thuộc đa giác đáy gọi là cạnh bên.
+ Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau.
+Trong hình chóp đều:
 Hình chiếu của đỉnh xuống đáy trùng với tâm của đáy.
 Các mặt bên là các tam giác bằng nhau.
 Các cạnh bên hợp với đáy các góc bằng nhau.
 Các mặt bên hợp với đáy các góc bằng nhau.
+ Các công thức:



+ Tứ diện là trường hợp đặc biệt của hình chóp mà mọi mặt của nó đều có thể là đáy của
hình chóp.
+ Nếu mp(P) cắt ba cạnh SA;SB;SC của tứ diện S.ABClần lượt tại A’B’C’ Thì













S
B

A
C
A'
B'
C'
Trươ
̀
ng THPT Quốc Tha
́
i GV:
Trang 55

Tỉ số thể tích bằng lập phương tỉ số cạnh.
(Chú ý : Tỉ số trên chỉ áp dụng cho hình chóp có đáy là tam giác, nếu đáy hình chóp là tứ
giác thì không còn đúng ).
Nếu cắt tất cả các cạnh hình chóp bởi một mặt phẳng song song với đáy ta thu được một
hình chóp và một hình chóp cụt.

II. Các bài tập:
Bài1: (Tứ diện đều)
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh a.
a) Chứng minh rằng nếu H là hình chiếu của A xuống mặt phẳng (BCD)
thì H là trực tâm của tam giác BCD.
b) Tính thể tích tứ diện theo a.
c) Gọi I J lần lượt là trung điểm của AB và CD chứng tỏ rằng IJ là đoạn
vuông góc chung của AB và CD.
d) Xác định tâm và tính thể tích khối cầu ngoại tiếp-nội tiếp tứ diện ABCD.
Giải:
a) Do ABCD là tứ diện đều nên AB=AC=AD
 HB=HC=HD vậy H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

BCD
Do tam giác BCD đều nên H vừa là tâm đường tròn ngoại tiếp và
cũng là trực tâm của tam giác BCD .
b)

Tam giác AHB vuông tại H nên
Vì H là trực tâm của tam giác BCD 

Vậy .
c) Tam giác AJB cân tại J (do AJ=BJ là đường trung tuyến của hai tam giác bằng
nhau ACD và BCD)
I là trung điểm của AB nên IJ vừa là trung tuyến vừa là đường caoIJ AB
Chứng minh tương tự ta có IJCD.
Vậy Ị là đoạn vuông góc chung của AB và CD.
d) Do IJ là đường trung tuyến và cũng là đường trung trực của tam giác AJB nên
GA=GB với G là trung điểm của IJ.
Tương tự GC=GD do IJ là đường trung trực của tam giác ICD.
Mặt khác AH là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD nên GB=GC=GD.
Vậy GA=GB=GC=GD, hay G là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Ta có bán kính mặt cầu ngoại tiếp
Thể tich khối cầu ngoại tiếp :
Bốn tứ diện GABC; GACD; GABD; GBCD bằng nhau.
Bốn đường cao kẻ từ G của bốn tứ diện bằng nhau
G
A
B
C
D
H
I

J
Trươ
̀
ng THPT Quốc Tha
́
i GV:
Trang 56

Vậy G là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện.
Bán kinh mặt cầu nội tiếp

Chú ý:
 Trọng tâm G của tứ diện là giao điểm của đoạn nối trung điểm của các cặp
cạnh đối diện và là trung điểm của các đoạn nối đó.
 Trọng tâm của tứ diện cũng là giao điểm của các đoạn nối đỉnh và trong
tâm của mặt đối diện chia đoạn đó theo tỉ số 1/3.
 Tứ diện đều có tâm đường tròn nội tiếp ngoại tiếp và giao điểm các đường
cao là trọng tâm của tứ diện.

Bài 2: (Tứ diện có ba cạnh đôi một vuông góc)
Cho tứ diện OABC có OA;OB;OC vuông góc nhau từng đôi một và
OA=a;OB=b;OC=c.Gọi H là hình chiếu của O lên mp(ABC).
a) CMR H là trực tâm của tam giác ABC.
b) CMR .
c) CMR .
d) Tính diện tích toàn phần và thể tích tứ diện.
e) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
Giải:
a) Ta chứng minh AHBC thật vậy:
BCOA (do OA(OBC))

BCOH (do H là hình chiếu của O)
BC(AOH) hay BCAH.
Tương tự ta chứng minh được BHAC hay H là trực tâm của tam
giác ABC.
b) Do OA,OB,OC vuông góc nhau từng đôi một nên các tam giác
OAB;OBC;OAC là các tam giác vuông.
Theo trên BC(AOH) nên BCOM
Tam giác OBC vuông tại O có OM là đường cao nên
Tam giác AOM vuông tại O có OH là đường cao nên
Vậy
c)

M
A
C
B
O
H
Trươ
̀
ng THPT Quốc Tha
́
i GV:
Trang 57


Vậy .
d)

)
.
e) Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện và M là trung điểm của BC khi đó I nằm
trên trục đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông OBC vậy I nằm trên đường thẳng
Mx vuông góc với mp(OBC) qua M.
Mặt khác I nằm trên mp trung trực của đoạn OA nên I nằm trên Mx và cách
mp(OBC) một khoảng a/2.
Xét tam giác OIM vuông tại M ta được bán kính mặt cầu ngoại tiếp là

Chú ý: Ta có thể giải bài toán trên bằng cách chọn hệ trục tọa độ thích hợp rồi giải bằng
HHGT.
Bài 3: (Tứ diện trực tâm)
Cho tứ diện ABCD có ABCD; ACBD.
a) Chứng minh rằng hình chiếu A’ của A lên mp(BCD) là trực tâm của tam giác
ABC.Từ đó suy ra BCAD.
b) CMR đường nối trung điểm của hai cặp cạnh đối diện là khoảng cách giữa hai
cặp cạnh đó.
c) Cho tính thể tích và xác định
tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) đáy ABC là tam
giác vuông tại B . Từ A kẽ AH  SC; AK  SB (HSC; KSB). Cho SA=AC=2a; AB=a.
a) Tính thể tích hình chóp.
b) Chứng minh rằng tam giác AKC vuông tại K.
c) Chứng minh rằng 5 điểm A,B,C,H,K cùng thuộc một mặt cầu. Tính thể tích
khối cầu đó.
Bài 5: Cho đường tròn đường kính AB=2R nằm trên mp(P) và một điểm M di động trên
đường tròn. Trên đường thẳng vuông góc với mp(P) tại A ta lấy một điểm S với SA=AB.
mp(Q) qua A vuông góc SB tại K cắt SM tại H.
Bài 6: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a.SA vuông góc với mặt phẳng
đáy và SA=2a. Gọi B’,D’lần lượt là hình chiếu của A trên SB và SD. Mặt phẳng (AB’D’)

cắt SC tại C’.
N
M
A
C
B
O
I
Trươ
̀
ng THPT Quốc Tha
́
i GV:
Trang 58

a) Chứng tỏ rằng AB’ SC từ đó suy ra SC AC’.
b) Tính thể tích hình chóp S.AB’C’D’.
c) Tính diện tích tứ giác AB’C’D’.
Bài 7: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh bên và cạnh đáy đều bằng nhau và bằng a.
a) Tính thể tích khối chóp.
b) Tính diện tích toàn phần và bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp.
c) Tính góc hợp bởi cạnh bên và mặt bên đối diện của hình chóp.
Bài 8: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với
đáy một góc 60
o
gọi M là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) đi qua AM và song song với
BD,cắt SB tại E và SD tại F.
a) Chứng minh rằng AM  EF.
b) Tính thể tích khối chóp S.AEMF.
c) Tính chiều cao của hình chóp S.AEMF.

Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy và
AB=a; AD=b; SA=c Lấy các điểm B’;D’ theo thứ tự thuộc SB, SD sao cho AB’SB,
AD’ SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’.
a) CMR AB’(SBC).
b) CMR SC (AB’D’).
c) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’.
Bài 10: Hình chóp đều có đáy là lục giác đều cạnh a cạnh bên hình chóp có độ dài 2a.
d) Vẽ hình chóp và tính diện tích xung quanh và thể tích của nó.
e) Tính diện tích toàn phần của hình nón ngoại tiếp hình chóp.
§5. HÌNH LĂNG TRỤ
I. Các Kiến thức cần nhớ :
+ Hình đa diện có hai mặt là hai đa giác nằm trong hai mặt phẳng song song gọi là hai
đáy tất cả các cạnh không thuộc hai đáy song song với nhau.
+ Trong hình lăng trụ
 Các cạnh bên song song và bằng nhau.
 Các mặt bên và mặt chéo là những hình bình hành.
 Hai đáy là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và bằng nhau.
+ Lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với đáy được gọi là lăng trụ đứng-các mặt bên
của lăng trụ đứng là hình chữ nhật
+ Lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều được gọi là lăng trụ đều- các mặt bên của hình
lăng trụ đều là các hình chữ nhật bằng nhau.
+ Lăng trụ có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp.Hình hộp có tất cả 6 mặt là
hình bình hành.
+ Lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật gọi là hình hộp chữ nhật. Các mặt của hình hộp
chữ nhật đều là hình chữ nhật.
+ Hình lập phương : Là trường hợp đặc biệt của hình hộp chữ nhật khi tất cả các mặt của
nó đều là hình vuông.
+ Các công thức Lăng trụ.