Một số định lí điểm bất động trong không gian nón metric

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Công Anh

MỘT SỐ ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG
TRONG KHÔNG GIAN NÓN-METRIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Công Anh

MỘT SỐ ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG
TRONG KHÔNG GIAN NÓN-METRIC

Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS. NGUYỄN BÍCH HUY

Thành phố Hồ Chí Minh - 2012

Lời cảm ơn
Tôi xin dành những dòng đầu tiên của luận văn để bày tỏ lòng biết ơn chân thành và
sâu sắc đến PGS.TS Nguyễn Bích Huy, là người Thầy đã chỉ dạy tận tâm và nhiệt
tình trong việc nghiên cứu khoa học, là người Cha luôn động viên, giúp tôi có đủ
niềm tin và nghị lực để hoàn thành luận văn này.
Bên cạnh đó, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới tất cả các Thầy, Cô đang giảng
dạy ở Khoa Toán Tin học, Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã
tận tình giúp đỡ, truyền đạt những kiến thức bổ ích cho tôi trong suốt khóa học.
Tôi xin cảm ơn ban lãnh đạo và chuyên viên phòng khoa học công nghệ sau đại học,
ban chủ nhiệm khoa Toán -Tin trường ĐHSP TPHCM đã tạo thuận lợi cho chúng
tôi trong cả khóa học.
Tôi cũng rất cảm ơn các bạn, các anh chị học viên khóa 19, 20, 21 đã cùng tôi chia
sẽ buồn vui, những khó khăn trong suốt quá trình học tập.
Cuối cùng tôi xin dành trọn tấm lòng biết ơn của mình đối với những người thương
yêu trong gia đình như bố mẹ, các anh, các em. Những người đã luôn động viên tinh
thần và là chổ dựa cho tôi về mọi mặt
Tp.HCM, Ngày 30 tháng 03 năm 2012
Học viên .

Nguyễn Công Anh .


Mục lục
Mục lục .................................................................................................................... 4
Lời mở đầu ............................................................................................................. 5
1. Điểm bất động trong không gian nón mêtric ....................................................... 6
1.1 Không gian nón mêtric ............................................................................ 6
1.2 Điểm bất động của ánh xạ dạng co ......................................................... 16

1.3 Điểm bất động chung .............................................................................. 22
1.3.1 Điểm bất động chung của ánh xạ dạng co .......................................... 22
1.3.2 Điểm bất động chung cho các ánh xạ tương thích yếu ........................ 26
1.3.3 Điểm bất động chung của những ánh xạ giãn trong không gian nón
mêtric ........................................................................................................... 31
1.4 Điểm bất động của một số ánh xạ không giãn ........................................ 42
1.4.1 Ánhxạc-không giãn..... .............................................................. ........... 42
1.4.2 Một số định lý ánh xạ co mở rộng ...................................................... 45
1.5 Định lý Kirk-Caristi ................ ............................................................ ... 53
2. Điểm bất động trong không gian nón -chuẩn .................................................... 59
2.1 Một định lý điểm bất động kiểu Krasnoselskii trong không gian nón chuẩn
.................................................................................................................... ... 59
2.2 Độ đo phi compac với giá trị trong nón và ứng dụng ............................ 63
Tài liệu tham khảo ......... ........................................................................... ............ 67
Danh sách cái tài liệu ........ ........................................................................ ........... 68


Lời mở đầu
Lý thuyết điểm bất động ra đời từ những năm 1920 và được phát triển mạnh mẽ cho
đến tận hôm nay. Nó là công cụ chính để chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm
của nhiều lớp phương trình xuất phát từ Toán học và khoa học.
Các định lý điểm bất động trong không gian với mêtric là một ánh xạ nhận giá trị
trong một nón của không gian vectơ được bắt đầu nghiên cứu từ những năm 1950
để phục vụ việc nghiên cứu các phương trình vi phân và quá trình tính toán gần
đúng.
Những năm gần đây việc nghiên cứu các điểm bất động trong không gian nón mêtric được quan tâm trở lại với hàng chục bài báo về đề tại này được công bố. Rất
nhiều định lý về điểm bất động của ánh xạ trong không gian mêtric thông thường đã
được mở rộng cho không gian nón -mêtric.
Việc hệ thống lại các kết quả trong lĩnh vực này là cần thiết để có một cái nhìn tổng
quan về các kết quả đã đạt được.

Nội dung luận văn bao gồm 02 chương:
Chương 1: Trình bày các khái niệm của không gian nón -mêtric, từ đó đưa ra
các định lý điểm bất động trong không gian nón mêtric của ánh xạ co, ánh xạ không
giãn. Đồng thời trình bày các định lý điểm bất động chung của ánh xạ dạng co, ánh
xạ tương thích yếu, ánh xạ giãn trong không gian nón -mêtric. Và cuối cùng trình
bày định lý Kirk -Caristi.
Chương 2: Trình bày định lý điểm bất động kiểu Krasnoselskii trong không
gian nón chuẩn. Độ đo phi compac với giá trị trong nón và ứng dụng.
Tuy nhiên, do thời gian và điều kiện nghiên cứu có hạn, dù đã hết sức cố gắng
nhưng luận văn cũng không tránh khỏi những sai sót ngoài ý muốn. Do đó, tôi rất
mong nhận được những ý kiến đóng góp, phê bình, xây dựng của các thầy cô và các
bạn tham khảo đề tài này


Chương 1
Điểm bất động trong không gian
nón mêtric
1.1 Không gian nón mêtric
Lý thuyết điểm bất động ra đời từ những năm 1920, phát triển rất mạnh mẽ
và đã trở thành trung tâm của các hoạt động nghiên cứu gần đây. Nó có ứng dụng
rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau như hệ thống điều kiển tương thích không
tuyến tính, bài toán ước lượng tham số, lĩnh vực tính toán và giải mã.... Gần đây,
Huang và Zhang đã đưa ra khái niệm không gian nón mêtric, thay thế tập hơp
những số thực bằng 1 không gian Banach có thứ tự và đã thu được những định lý
điểm bất động cho các ánh xạ thỏa mãn các điều kiện co. Từ đó, việc nghiên cứu
định lý điểm bất động trong không gian này được nhiều nhà toán học quan tâm và
phát triển mở rộng. Để xem xét cụ thể, trước tiên ta đưa ra định nghĩa không gian
nón mêtric cũng như các khái niệm trong không gian đó.
1.1.1 Định nghĩa: Cho E là không gian Banach thực và P là tập con của E. Tập P
được gọi là nón nếu thỏa:

(i) P đóng, khác rỗng và P ¹ {0}
(ii) a, b Î R, a, b ³ 0, x, y Î P thì ax + by Î P
(iii) x Î P và - x Î P thì ax + by Î P
Và ta xác định quan hệ thứ tự sau:
•

x £ y khi và chỉ khi y - x Î P


• Ký hiệu x < y nếu x £ y và x  y
•

x  y nếu y - x Î intP

1.1.2 Mệnh đề: Giả sử “ £ ” là thứ tự trong E sinh bởi nón P. Khi đó:
1. x £ y,0 £ a £ b thì ax £ by
2. x £ y Þ x + z £ y + z , l x £ l y (" z Î X , " l ³ 0)
3. ( xn £ yn (n Î N * ),lim xn = x,lim yn = y ) Þ x £ y
4. Nếu {xn } là dãy tăng, hội tụ về x thì xn £ x" n Î N *
Chứng minh:
1.Hiển nhiên.
2. Hiển nhiên.
3. Suy ra từ tính đóng của nón P.
4. Vì {xn } là dãy tăng nên xn £ xn +m . Lấy giới hạn m ® ¥ 2 bên ta có điều
phải chứng minh.
1.1.3 Mệnh đề: Cho P là nón, x Î P, a Î R,0 £ a < 1, x £ ax thì x=0.
Chứng minh:
Ta có: Nếu x £ ax Þ ax - x = (a - 1) x Î P . Mặt khác x Î P và

0 £ a < 1 Þ (1 - a ) > 0 nên (1 - a ) x Î P . Vậy theo định nghĩa 1.1, ta có điều phải

chứng minh.
1.1.4. Định nghĩa: Nón P được gọi là nón chuẩn nếu tồn tại K > 0 sao cho

" x, y Î E : 0 £ x £ y Þ || x ||£ K || y ||
Số dương K nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện trên được gọi là hằng số chuẩn của
nón P
1.1.5 Mệnh đề. Giả sử “ £ ” là thứ tự sinh bởi nón chuẩn. Khi đó:
1. Nếu u £ v thì đoạn < u , v >=
: {x Î X : u £ x £ v} bị chặn theo chuẩn.
2. Nếu xn £ yn £ zn (n Î N * ) và lim xn = a,lim zn = a thì lim yn = a
3. Nếu {xn } đơn điệu, có dãy con hội tụ về a thì lim xn = a
Chứng minh:


1. " x Î < u , v >Þ 0 £ x - u £ v - u Þ || x - u ||£ K . || v - u ||Þ || x ||£|| u || +K . || v - u ||
2. 0 £ yn - xn £ zn - xn Þ || yn - xn ||£ K . || zn - xn ||
3. Ta giả sử {xn } là dãy tăng và lim xnk = a . Vì " n, xn £ xnk ( với k đủ lớn) nên
k® ¥

xn £ a . Cho e > 0 và chọn k0 để || xnk - a ||<
0

e
thì ta có:
N

" n > nk0 Þ a - xn £ a - xnk Þ || a - xn ||£ k . || a - xnk ||< e
0

0

1.1.6 Định nghĩa. Nón K được gọi là nón chính quy nếu mọi dãy tăng, bị chặn trên
thì hội tụ. Tức là nếu dãy {x}n³ 1 thỏa x1 £ x2 £ ... £ y Î E thì tồn tại x thuộc E để

lim || xn - x ||= 0.

n® ¥

Và định nghĩa này tương đương với nón P là nón chính quy nếu mọi dãy giảm, bị
chặn dưới thì hội tụ.
1.1.7 Mệnh đề. Nón chính quy là nón chuẩn.
Chứng minh.
Giả sử K là nón chính quy nhưng không là nón chuẩn. Khi đó:

" n Î N * , $ xn , yn : 0 £ xn £ yn ,|| xn ||> n 2 || yn ||
xn
y
, vn = n thì
|| xn ||
|| xn ||

Đặt un =

0 £ un £ vn ,|| un ||= 1,|| vn ||<
¥

Vì

å || v

n

n =1

1
n2

¥

||< ¥ nên tồn tại v := å vn
n =1

Dãy sn := u1 + u2 +... + un tăng, bị chặn trên (bởi u) nên hội tụ. Suy ra lim un = 0 (vô
lý).
1.1.8 Mệnh đề. Không có nón chuẩn có hằng số chuẩn K<1.
Chứng minh


Cho (X,d) là không gian nón mêtric và P là nón chuẩn với hằng số chuẩn K<1. Ta
lấy 0 ¹ x Î P và 0 < e < 1 sao cho K < 1 - e . Thì lúc này ta có (1 - e ).x £ x nhưng

(1 - e ) || x ||> K . || x || (vô lý với P là nón chuẩn).
Ví dụ 1.8.1.1 Cho E = CR ([0,1]) với chuẩn sup và P = { f Î E : f ³ 0} . Ta thấy rằng
nón chuẩn P có hằng số chuẩn là K=1. Bây giờ ta lấy 1 dãy giảm trong E và bị chặn
dưới nhưng nó không hội tụ trong E

x ³ x 2 ³ x3 ³ ... ³ 0
Từ đây, ta suy ra được chiều đảo của mệnh đề 1.7 là không đúng.
Ví dụ 1.8.1.2 Lấy E = l1 , P = {xnn³ 1 Î E : xn ³ 0 " n} và (X, d) là không gian mêtric
và d : X ´ X ® E với d ( x, y ) ={

r ( x, y )
}n³ 1 . Thì (X,d) là không gian nón mêtric và
2n

nón P có hằng số chuẩn K=1.
1.1.9 Mệnh đề. Với mỗi m > 1 thì có 1 nón chuẩn với hằng số chuẩn K>m
Chứng minh.
Cho trước m > 1. Xét không gian vectơ thực

E ={ax + b | a, b Î R, x Î [1 -

1
,1]}
k

Với chuẩn sup và trên E ta xác định nón

P = {ax + b Î E | a £ 0, b ³ 0}
Bây giờ theo mệnh đề 1.7.1 ta chỉ cần chứng minh nón P là nón chính quy.
Thật vậy, lấy {an x + bn }n³ 1 là 1 dãy tăng và bị chặn trên, tức ta có cx + b Î E thỏa:

a1 x + b £ a2 x + b2 £ ... £ cx + d với mọi x Î [1 -

1
,1] . Suy ra {an }n³ 1 và {bn }n³ 1 là 2
k

dãy trong R mà:

b1 £ b2 £ ... £ d , a1 ³ a2 ³ ... ³ c
Chính vì vậy {an }n³ 1 và {bn }n³ 1 hội tụ. Đặt an ® a, bn ® b thì an x + bn ® ax + b Î P
hay P là nón chính quy.
Ta có P là nón chuẩn nên theo mệnh đề 1.8, có K ³ 1 mà


0 £ g £ f Þ || g ||£ K . || f ||
Với mọi g , f Î E . Bây giờ ta cần chứng minh là K > m.
Trước tiên, ta chú ý rằng f ( x) = - mx + m Î P, g ( x) = m Î P, f - g Î P nên

0 £ g £ f Þ m =|| g ||£ K || f ||= K
1
Mặt khác, nếu ta xét f ( x) = - (m + ) x + m, g ( x) = m thì f Î P, g Î P, f - g Î P .
m
Đồng thời, || g ||= m ,|| f ||= 1 -

1 1
. Vì thế:
+
m m2

m =|| g ||> m || f ||= m +

1
- 1.
m

Vậy ta đã chứng minh được K > m.
Có những nón không phải là nón chuẩn qua ví dụ sau:
Ví dụ 1.9.1 Cho E = CR2 ([0,1]) với chuẩn

|| f ||=|| f ||¥ + || f ¢||¥
Và xét nón

P = { f Î E : f ³ 0} với m lớn hơn hoặc bằng 1. Đặt f ( x) = x.g ( x) = x 2 n . Thì ta có:
0 £ g £ f ,|| f ||= 2,|| g ||= 2k +1
Nên

k || f ||<|| g ||
Suy ra k không phải là hằng số chuẩn của P. Suy ra P là nón không chuẩn.
Từ đây, ta luôn giả sử rằng E là không gian Banach thực, P Ì E với intP ¹ 0 và
“ £ ” là quan hệ thứ tụ trên P.
1.1.10 Định nghĩa: Lấy X là tập khác rỗng và d : X ´ X ® E thõa mãn:
1. 0 £ d ( x, y ) với mọi x, y Î X và d ( x, y ) = 0 Û x = y .
2. d ( x, y ) = d ( y, x), " x, y Î X
3. Với mọi x, y, z thuộc X thì: d ( x, y ) £ d ( x, z ) + d ( z , y )


Khi đó d được gọi là mêtric trên X, và (X,d) được gọi là không gian nón mêtric.
1.1.11 Ví dụ: Cho E = R 2 , P = {( x, y ) Î E ; x, y ³ 0} Ì R 2 , X = R và d : X ´ X ® E
xác định bởi d ( x, y ) = (| x - y |, a | x - y |), a ³ 0 là 1 hằng số. Thì (X,d) là không gian
nón mêtric.
1.1.12 Định nghĩa. Giả sử (X, d) là không gian nón mêtric, {xn } là một dãy trong
X.
a. Dãy {xn } gọi là hội tụ đều đến x Î X nếu với mỗi c Î E ,0  c , tồn tại N
sao cho với mọi n ³ N , d ( xn , x)  c . Chúng ta ký hiệu là lim xn = x hoặc
x® ¥

xn ® x, n ® ¥ .
b. Dãy {xn } gọi là dãy Cauchy nếu với mỗi c Î E ,0  c , tồn tại N sao cho

với mọi n, m ³ N , d ( xn , xm )  c .
Không gian nón mêtric (X,d) được gọi là đầy đủ nếu mỗi dãy Cauchy đều hội tụ
trong X.
1.1.13. Mệnh đề. Lấy {xn } là dãy trong không gian nón mêtric (X,d). Nón chuẩn P
có hằng số chuẩn K. Khi đó:

xn ® x Û d ( xn , x) ® 0(n ® ¥ )
Chứng minh:
• Chiều thuận. Giả sử xn ® x(n ® ¥ ) . Lấy e > 0 , chọn c Î E ,0  c và

K || c ||< e . Khi đó có N, với mọi n > N , d ( xn , x)  c . Vì thế
" n > N ,|| d ( xn , x) ||£ K . || c ||< e , tức là d ( xn , x) ® 0(n ® ¥ )
• Chiều đảo. Giả sử rằng d ( xn , x) ® 0(n ® ¥ ) . Lấy c Î E ,0  c , tồn tại
d > 0 mà || x ||< d , tức là c - x Î intP . Với d > 0 thì tồn tại N, sao cho với

mọi n > N ,|| d ( xn , x) ||< d . Vì c - d ( xn , x) Î intP , tức là d ( xn , x)  c . Vì thế

xn ® x(n ® ¥ ) ,
1.1.14 Mệnh đề: Cho (X, d) là một không gian nón mêtric. Nếu {xn } hội tụ trong X
thì giới hạn đó là duy nhất.


Chứng minh.
Với mọi c Î E ,0  c , tồn tại N sao cho với mọi n > N , d ( xn , x)  c, d ( xn , y )  c .
Ta có:

d ( x, y ) £ d ( xn , x) + d ( xn , y ) £ 2c
Vì thế || d ( x, y ) ||£ 2 K . || c || . Vì c là bất kỳ nên ta có d ( x, y ) = 0 , tức là x=y.
1.1.15 Mệnh đề. Trong không gian nón mêtric (X,d) thì mỗi dãy hội tụ đều là dãy
Cauchy.

Chứng minh.
Lấy c Î E ,0  c , tồn tại N sao cho với mọi:

c
c
n, m > N , d ( xn , x)  , d ( xm , x) 
2
2
Chính vì thế:

d ( xn , xm ) £ d ( xn , x) + d ( xm , x)  c
Suy ra {xn } là dãy Cauchy trong X.
1.1.16 Mệnh đề. Cho (X,d) là không gian nón mêtric. P là nón chuẩn với hằng số
chuẩn K. Mọi dãy {xn } là Cauchy khi và chi khi d ( xn , xm ) ® 0(n, m ® ¥ )
Chứng minh.
• Chiều thuận. Giả sử {xn } là dãy Cauchy. Với mọi e > 0 , chọn c Î E ,0  c
và K . || c ||< e . Khi đó, tồn tại N sao cho với mọi n, m > N , d ( xn , xm )  c . Do
đó, khi n, m > N thì:

|| d ( xn , xm ) ||£ K . || c ||< e
Vậy d ( xn , xm ) ® 0(n, m ® ¥ )
• Chiều đảo. Giả sử d ( xn , x) ® 0(n ® ¥ ) . Lấy c Î E ,0  c , tồn tại d > 0 mà

|| x ||< d , tức là c - x Î intP . Với d > 0 thì tồn tại N, sao cho với mọi
n > N ,|| d ( xn , x) ||< d . Vì c - d ( xn , x) Î intP , tức là d ( xn , x)  c . Vì thế
xn ® x(n ® ¥ ) . Vậy {xn } là dãy Cauchy.


1.1.17 Mệnh đề. Cho (X,d) là không gian nón mêtric. P là nón chuẩn với hằng số
chuẩn K. Lấy 2 dãy {xn } và { yn } trong X mà xn ® x, yn ® y (n ® ¥ ) thì:

d ( xn , yn ) ® d ( x, y )(n ® ¥ )
Chứng minh.
Với mọi e > 0 , chọn c Î E ,0  c và || c ||<

e
.
4K + 2

Vì xn ® x, yn ® y nên tồn tại N sao cho với mọi n > N , d ( xn , x)  c, d ( yn , y )  c.
Ta có:

d ( xn , yn ) £ d ( xn , x) + d ( x, y ) + d ( yn , y ) £ d ( x, y ) + 2c
d ( x, y ) £ d ( xn , x) + d ( x, y ) + d ( yn , y ) £ d ( xn , yn ) + 2c
Suy ra:

0 £ d ( x, y ) + 2c - d ( xn , yn ) £ 4c
Và

|| d ( xn , yn ) - d ( x, y ) ||£|| d ( x, y ) + 2c - d ( xn , yn ) || + || 2c ||£ (4 K + 2) || c ||< e
Vì thế

d ( xn , yn ) ® d ( x, y ) (n ® ¥ )
Ta có điều phải chứng minh.
1.1.18 Mệnh đề. Cho (X,d) là một không gian nón mêtric, {xn } là dãy trong X. Nếu

{xn } hội tụ tới x và {xnk } là dãy con của {xn } thì {xnk } hội tụ tới x
1.1.19 Mệnh đề: Cho (X,d) là một không gian nón mêtric, {xn } là dãy trong X. Nếu

{xn } là dãy Cauchy và có dãy con {xnk } hội tụ tới x thì {xn } hội tụ tới x.

Chứng minh.

c
Với mỗi c Î E ,0  c , tồn tại N1 sao cho với mọi k > N1 , d ( xnk , x)  . Mặt khác
2
c
{xn } là dãy Cauchy nên tồn tại N 2 sao cho với mọi n, m > N 2 , d ( xn , xm )  .
2
Đặt N = max{N1 , N 2 }


Với mọi n > N, lấy k > N thì ta có:

c c
d ( xn , x) £ d ( xn , xnk ) + d ( xnk , x)  + = c
2 2
Do đó {xn } hội tụ tới x.
1.1.20 Mệnh đề: Cho (X, d) là một không gian nón mêtric, {xn } là dãy trong X.
Nếu tồn tại 1 dãy {an } trong R, với an > 0 " n, å an < ¥ , thỏa mãn

d ( xn +1 , xn ) £ an .M , " n Î N với M Î E , M ³ 0 . Thì {xn } là dãy Cauchy trong

( X , d) .
Chứng minh.
Giả sử n > m thì

d ( xn , xm ) £ d ( xn , xn- 1 ) + d ( xn- 1 , xn- 2 ) +... + d ( xm+1 , xm )
n- 1

d ( xn , xm ) £ (an - 1 + an - 2 +... + am ) M = M å ak

k =m

Lấy c Î E ,0  c . Chọn e > 0 sao cho c + Ne (0) Í P với

Ne (0) = { y Î E :|| y ||< e}
Vì

åa

n

< ¥ nên ta có thể lấy 1 số N đủ lớn sao cho
n- 1

n- 1

k =m

k =m

| å ak | . || M ||=|| M .å ak ||< e
n- 1

n- 1

k =m

k =m

Với mọi n > m ³ N . Cho nên ta có M å ak Î Ne (0) và - M å ak Î Ne (0) với mọi

n > m ³ N . Vì thế
n- 1

n- 1

k =m

k =m

c - M å ak Î c + Ne (0) Þ c - M å ak Î intP với mọi n > m ³ N . Do đó,
n- 1

M å ak  c với mọi n > m ³ N . Từ đây, ta có:
k =m

d ( xn , xm )  c, " n > m ³ N
Vậy ta đã chứng minh được {xn } là dãy Cauchy trong (X, d)


1.1.21 Định nghĩa. Giả sử E và F là không gian Banach thực và P, Q lần lượt là 2
nón xác định trên E và F. Gọi (X, d) và (Y , r ) là không gian nón mêtric với

d : X ´ X ® E và r : Y ´ Y ® F . Hàm f : X ® Y được gọi là liên tục tại x0 Î X
Nếu và chỉ nếu với mỗi c Î F ,0  c , tồn tại b Î E ,0  b sao cho

r ( f ( x), f ( x0 ))  c với x Î X , d ( x, x0 )  b .
Nếu f là liên tục tại mọi điểm của X, thì nó liên tục trên X.
1.1.22 Mệnh đề. Giả sử (X, d) và (Y , r ) là không gian nón mêtric. Khi đó, hàm

f : X ® Y là liên tục tại x0 Î X nếu và chỉ nếu mọi dãy {xn } trong X hội tụ tới

x0 Î X thì dãy { f ( xn )} hôi tụ tới f ( x0 ) .
Chứng minh.
•

(Þ ) Giả sử f là liên tục tại x0 Î X và lấy {xn } là 1 dãy trong X hội tụ về x0 .
Chúng ta cần chứng minh rằng { f ( xn )} hội tụ tới { f ( x0 )} . Thật vậy, lấy
c Î F ,0  c , vì f là liên tục tại x0 nên ta có thể lấy b Î E ,0  b sao cho với

mọi x Î X mà d ( x, x0 )  b suy ra r ( f ( xn ), f ( x0 ))  c
Mặt khác, dãy {xn } hội tụ tới x0 nên tồn tại N sao cho d ( xn , x)  b với mọi
n ³ N . Do đó, với mọi n ³ N , r ( f ( xn ), f ( x0 ))  c . Vì vậy

lim f ( xn ) = f ( x0 ) .

n® ¥

•

(Ü ) Bây giờ giả sử với mọi dãy {xn } trong X hội tụ tới x0 , dãy { f ( xn )} hội
tụ tới { f ( x0 )} . Chúng ta sẽ chứng minh rằng f liên tục tại x0 . Ta giả sử trái
lại, khi đó tồn tại c Î F ,0  c sao cho với mọi b Î E ,0  b , và x Î X thỏa

d ( x, x0 )  b nhưng c - r ( f ( x), f ( x0 )) Ï intQ . Ta cố định 0  b , chúng ta
có 0 

b
với mọi n Î N . Do đó chúng ta tìm được dãy {xn } trong X sao
n

cho d ( xn , x0 ) 

b
nhưng c - r ( f ( x), f ( x0 )) Ï intQ với n = 1, 2,...
n


Mặt khác, vì

b
® 0 khi n ® ¥ nên dãy {xn } hội tụ tới x0 , nhưng dãy
n

{ f ( xn )} không hội tụ tới { f ( x0 )} (bởi vì c - r ( f ( x), f ( x0 )) Ï intQ ). Điều
này trái với giả thiết nên ta có điều phải chứng minh.

1.2 Điểm bất động của ánh xạ dạng co
Trong phần sau, chúng ta sẽ đưa ra và chứng minh một số định lý điểm bất động
của ánh xạ dạng co trong không gian nón mêtric.
1.2.1 Định lý. Cho (X, d) là không gian nón mêtric đầy đủ, nón chuẩn P và hằng số
chuẩn K. Giả sử ánh xạ T : X ® X thỏa mãn điều kiệu co

d (Tx, Ty ) £ kd ( x, y )
với mọi x, y Î X với hằng số k Î [0;1) . Khi đó T có 1 điểm bất động duy nhất trong
X, ghi là x0 , và lim T n x = x0 với mọi x Î X .
n® ¥

Chứng minh.
Chứng minh tồn tại. Lấy x Î X , đặt:

x1 = Tx, x2 = Tx1 = T 2 x,..., xn+1 = Txn = T n+1 x, n Î N

Ta có:

d ( xn +1 , xn ) = d (Txn , Txn - 1 ) £ k .d ( xn , xn - 1 )
£ k 2 d ( xn - 1 , xn - 2 ) £ ... £ k n d ( x1 , x)
Lấy n > m , ta có:

d ( xn , xm ) £ d ( xn , xn- 1 ) + d ( xn- 1 , xn- 2 ) +... + d ( xm+1 , xm )
£ (k

n- 1

+k

n- 2

km
d ( x1 , x)
+... + k )d ( x1 , x) £
1- k
m

Suy ra

km
|| d ( xn , xm ) ||£
.K . || d ( x1 , x) ||
1- k
tức là

d ( xn , xm ) ® 0(n, m ® ¥ )

Vì thế {xn } là dãy Cauchy. Mà X là đầy đủ nên tồn tại x0 Î X , xn ® x0 (n ® ¥ ) .
Mặt khác:

d (Tx0 , x0 ) £ d (Txn , Tx0 ) + d (Txn , x0 ) £ kd ( xn , x0 ) + d ( xn +1 , x0 )
Þ || d (Tx0 , x0 ) ||£ K (k || d ( xn , x0 ) || + || d ( xn +1 , x0 ) ||) ® 0
Suy ra: || d (Tx0 , x0 ) ||= 0 , tức là Tx0 = x0 , hay x0 là 1 điểm cố định của T.
Chứng minh duy nhất.
Giả sử có y0 là 1 điểm có định khác của T. Ta có:

d ( x0 , y0 ) = d (Tx0 , Ty0 ) £ kd ( x0 , y0 )
tức là

|| d ( x0 , y0 ) ||= 0, x0 = y0
Vậy chỉ có duy nhất 1 điểm cố định duy nhất.
1.2.1.1 Hệ quả. Cho (X, d) là không gian nón mêtric đầy đủ, nón chuẩn P và hằng
số chuẩn K. Cho c Î E với 0  c và x0 Î X . Đặt

B ( x0 , c) = {x Î X | d ( x0 , x) £ c}
Giả sử ánh xạ T : X ® X thỏa mãn điều kiệu co

d (Tx, Ty ) £ kd ( x, y )
với mọi x, y Î B ( x0 , c) với hằng số k Î [0;1) và d (Tx0 , x0 ) £ (1 - k )c . Thì T có 1
điểm bất động duy nhất trong B ( x0 , c) .
Chứng minh.
Ta chỉ cần chứng minh rằng B ( x0 , c) là đầy đủ và Tx Î B ( x0 , c) với mọi x Î B ( x0 , c)
• Giả sử {xn } là dãy Cauchy trong B ( x0 , c) , nên {xn } cũng là dãy Cauchy
trong X. mà X là không gian đầy đủ nên tồn tại x Î X để xn ® x(n ® ¥ ) .
Ta có:

d ( x0 , x) £ d ( xn , x0 ) + d ( xn , x) £ d ( xn , x) + c
Mà xn ® x, d ( xn , x) ® 0 . Suy ra: d ( x0 , x)  c, x Î B ( x0 , c) . Vậy B ( x0 , c) là
đầy đủ.


• Với mọi x Î B ( x0 , c) , ta có:

d ( x0 , Tx) £ d (Tx0 , x0 ) + d (Tx0 , Tx)
£ (1 - k )c + k .d ( x0 , x) £ (1 - k )c + kc = c
Suy ra Tx Î B ( x0 , c) .
1.2.1.2 Hệ quả. Cho (X, d) là không gian nón mêtric đầy đủ, nón chuẩn P và hằng
số chuẩn K. Giả sử ánh xạ T : X ® X thỏa mãn điều kiệu co với n Î N * :

d (T n x, T n y ) £ kd ( x, y )
với mọi x, y Î B ( x0 , c) với hằng số k Î [0;1) . Thì T có 1 điểm bất động duy nhất
trong X.
Chứng minh.
Theo định lý trên, ta suy ra T n có 1 điểm bất động duy nhất x0 . Mặt khác:

T n (Tx0 ) = T (T n x0 ) = T ( x0 )
Suy ra Tx0 cũng là điểm bất động của T n . Do tính duy nhất suy ra T ( x0 ) = x0 hay

x0 là điểm bất động của T. Và điểm bất động của T cũng là điểm bất động của T n
nên điểm bất động của T là duy nhất.
Từ định lý 1.2.1 và mệnh đề 1.1.7 thì ta có định lý sau:
1.2.2 Định lý. Cho (X, d) là không gian nón mêtric đầy đủ, P là nón chính quy. Giả
sử ánh xạ T : X ® X thỏa mãn điều kiệu co

d (Tx, Ty ) £ kd ( x, y )

với mọi x, y Î X , x ¹

y với hằng số k Î [0;1) . Khi đó T có 1 điểm bất động duy

nhất trong X.
1.2.3 Định lý. Cho (X, d) là không gian nón mêtric đầy đủ. Giả sử ánh xạ
T : X ® X thỏa mãn điều kiệu co

d (Tx, Ty ) £ k (d (Tx, x) + d (Ty, y ))


1
với mọi x, y Î X với hằng số k Î [0; ) . Khi đó T có 1 điểm bất động duy nhất
2
trong X, ghi là x0 , và lim T n x = x0 với mọi x Î X .
n® ¥

Chứng minh.
Lấy x Î X , n ³ 1 . Đặt x1 = Tx và xn+1 = Txn = T n+1 x .
Ta có:

d ( xn +1 , xn ) = d (Txn , Txn - 1 ) £ k (d (Txn , xn ) + d (Txn - 1 , xn - 1 )) = k (d ( xn +1 , xn ) + d ( xn , xn- 1 ))
Vì thế

d ( xn +1 , xn ) £
với h =

k
d ( xn , xn- 1 ) = hd ( xn , xn- 1 )
1- k

k
. Với n > m ,
1- k

d ( xn , xm ) £ d ( xn , xn- 1 ) + d ( xn- 1.xn- 2 ) +... + d ( xm+1 , xm )
£ (h

n- 1

+h

n- 2

hm
d ( x1 , x)
+... + h )d ( x1 , x) £
1- h
m

Lấy 0  c , vì h Î [0,1) nên ta có thể chọn được số N1 sao cho với mọi m > N1 ta có

hm
d ( x1 , x)  c nên d ( xn , xm )  c với mọi n > m .
1- h
Suy ra {xn } là dãy Cauchy trong (X,d). mà (X,d) là không gian nón mêtric đầy đủ
nên tồn tại x0 Î X sao cho xn ® x0 . Lúc này, chọn tiếp N 2 sao cho

d ( xn , xm ) 

c(1 - k )
c(1 - k )
và d ( xn +1 , x0 ) 
với mọi n > N 2 .
2k
2

Vì thế với n > N 2 thì ta có:

d (Tx0 , x0 ) £ d (Txn , Tx0 ) + d (Txn , x0 ) £ k (d (Txn , xn ) + d (Tx0 , x0 )) + d ( xn +1 , x0 )
Vì thế

d (Tx0 , x0 ) £

1
(kd ( xn+1 , xn ) + d ( xn+1 , x0 ))  c + c = c
1- k
2 2


Vì thế d (Tx0 , x0 ) 

c
c
với mọi m ³ 1. Suy ra - d (Tx0 , x0 ) Î P với mọi m ³ 1. Mà
m
m

c
® 0 khi m ® ¥ và P là tập đóng nên - d (Tx0 , x0 ) Î P . Mặt khác d (Tx0 , x0 ) Î P .

m
Nên theo định nghĩa thì d (Tx0 , x0 ) = 0 , suy ra Tx0 = x0 .
Chứng minh duy nhất.
Nếu có y0 là điểm bất động khác của T thì

d ( x0 , y0 ) = d (Tx0 , Ty0 ) £ k (d (Tx0 , x0 ) + d (Ty0 , y0 )) = 0
Suy ra x0 = y0 , hay điểm bất động là duy nhất.
1.2.4 Định lý. Cho (X, d) là không gian nón mêtric đầy đủ. Giả sử ánh xạ
T : X ® X thỏa mãn điều kiệu co

d (Tx, Ty ) £ k (d (Tx, y ) + d ( x, Ty ))
1
với mọi x, y Î X với hằng số k Î [0; ) . Khi đó T có 1 điểm bất động duy nhất
2
trong X, ghi là x0 , và lim T n x = x0 với mọi x Î X .
n® ¥

Chứng minh.
Lấy x Î X , n ³ 1 . Đặt x1 = Tx và xn+1 = Txn = T n+1 x .
Ta có:

d ( xn +1 , xn ) = d (Txn , Tn - 1 ) £ k (d (Txn , xn - 1 ) + d (Txn - 1 , xn )) £ k (d ( xn +1 , xn ) + d ( xn , xn- 1 ))
Vì thế

d ( xn +1 , xn ) £
với h =

k
d ( xn , xn- 1 ) = hd ( xn , xn- 1 )
1- k

k
. Với n > m ,
1- k

d ( xn , xm ) £ d ( xn , xn- 1 ) + d ( xn- 1.xn- 2 ) +... + d ( xm+1 , xm )
£ (h n - 1 + h n - 2 +... + h m )d ( x1 , x) £

hm
d ( x1 , x)
1- h