Định lý cantor và định lý điểm bất động trong không gian 2 metric

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

BÙI THỊ HẬU

ĐỊNH LÝ CANTOR VÀ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG
TRONG KHÔNG GIAN 2- METRIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2015


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

BÙI THỊ HẬU

ĐỊNH LÝ CANTOR VÀ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG
TRONG KHÔNG GIAN 2- METRIC

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Hà Trần Phương

THÁI NGUYÊN - 2015


i

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan đây là công trình được trình bày theo nhận thức của riêng
tôi. Các kết quả nêu trong luận văn, tài liệu tham khảo và nội dung trích dẫn
đảm bảo tính trung thực chính xác.
Thái Nguyên, tháng 10 năm 2015
Tác giả

Bùi Thị Hậu


ii
LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành luận văn này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.
TS. Hà Trần Phương. Người thầy đã dành rất nhiều tâm huyết và thời gian
quý báu để hướng dẫn tận tình chỉ bảo, giúp đỡ động viên tôi trong suốt quá
trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, khoa Toán cùng toàn thể các
thầy cô giáo trường ĐHSP Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư
phạm Hà Nội đã truyền thụ cho tôi những kiến thức quan trọng, tạo điều kiện
thuận lợi và cho tôi những ý kiến đóng góp quý báu trong suốt quá trình học tập
và thực hiện luận văn.
Tôi xin trân trọng cảm ơn Sở Giáo Dục đào tạo Hòa Bình, trường THPT
Ngô Quyền nơi tôi đang công tác đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt
quá trình học tập.
Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã luôn cổ vũ động viên
để tôi hoàn thành luận văn.
Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy tôi
rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và độc giả quan tâm

đến luận văn để bản luận văn được hoàn chỉnh hơn.
Xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, tháng 10 năm 2015
Tác giả luận văn

Bùi Thị Hậu


▼ö❝ ❧ö❝
▼ð ✤➛✉
✶ ◆❣✉②➯♥ ❧þ ❈❛♥t♦r tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ 2−♠❡tr✐❝
✶✳✶✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ 2−♠❡tr✐❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✶✳✶✳ ❙ü ❤ë✐ tö tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ 2−♠❡tr✐❝

✶
✸
✸

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸

✶✳✶✳✷✳ ❚æ♣æ tr➯♥ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✷✲♠❡tr✐❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺

✶✳✶✳✸✳ ⑩♥❤ ①↕ ❧✐➯♥ tö❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✽

✶✳✷✳ ◆❣✉②➯♥ ❧þ ❈❛♥t♦r ✈➔ ♥❣✉②➯♥ ❧þ ❇❛✐r❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✾

✶✳✷✳✶✳ ◆❣✉②➯♥ ❧þ ❈❛♥t♦r ❝❤♦ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✷✲♠❡tr✐❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✾

✶✳✷✳✷✳ ◆❣✉②➯♥ ❧þ ❇❛✐r❡ ❝❤♦ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✷✲♠❡tr✐❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✷

✷ ❱➜♥ ✤➲ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✷✲♠❡tr✐❝

✶✺

✷✳✶✳ ✣✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✺

✷✳✶✳✶✳ ❈→❝ ✤à♥❤ ❧þ ❦✐➸✉ ♥❣✉②➯♥ ❧þ →♥❤ ①↕ ❝♦ ❇❛♥❛❝❤ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✺

✷✳✶✳✷✳ ✣à♥❤ ❧þ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❦✐➸✉ ❊❞❡❧st❡✐♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✾

✷✳✷✳ ✣✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝❤✉♥❣ ❝õ❛ ♠ët ❤å →♥❤ ①↕ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✷

✷✳✷✳✶✳ ❍å ❤ú✉ ❤↕♥ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✸

✷✳✷✳✷✳ ❍å ✤➳♠ ✤÷ñ❝ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✸

❑➳t ❧✉➟♥
❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

✹✸
✹✹


✶

▼ð ✤➛✉
❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✷✲♠❡tr✐❝ ✤➣ ✤÷ñ❝ ①➙② ❞ü♥❣ ❜ð✐ ●❛❤❧❡r tr♦♥❣ ♠ët ❧♦↕t ❝→❝
❜➔✐ ❜→♦ ✭①❡♠ ❬✹❪✱ ❬✺❪✱ ❬✻❪✮✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♥➔② ❝â ♠ët ❝➜✉ tró❝ ♣❤✐ t✉②➳♥ ❦❤→
✤ë❝ ✤→♦ ✈➔ ❦❤→❝ ❧↕ ✈î✐ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♠❡tr✐❝ t❤æ♥❣ t❤÷í♥❣✱ ❞♦ ✤â ♥â t❤✉
❤ót ✤÷ñ❝ sü ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ ♥❤✐➲✉ t→❝ ❣✐↔ ❦❤→❝ ♥❤❛✉✳ ❚r♦♥❣ ❬✹❪✱ ●❛❤❧❡r ✤➣
❝❤➾ r❛ ♠ët ❝→❝❤ t÷í♥❣ ♠✐♥❤ ♠ët ❝ì sð ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ tæ♣æ ✤÷ñ❝ ①➙② ❞ü♥❣
tø ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ 2−♠❡tr✐❝ ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥
♥➔②✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ✤â ✈➝♥ ❝á♥ ❦❤→ ✤ì♥ ❣✐↔♥✳ ◆➠♠ ✶✾✻✾✱ ●❛❤❧❡r
✈➔ ❲❤✐t❡ ✭①❡♠✱ ❬✷✵❪✮ ✤➣ ♠ð rë♥❣ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✷✲❇❛♥❛❝❤✱ tr♦♥❣ ✤â
❲❤✐t❡ ✤➣ t❤✐➳t ❧➟♣ ✤à♥❤ ❧þ ❍❛❤♥✲❇❛♥❛❝❤ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✷✲❇❛♥❛❝❤✳ ✣à♥❤
❧þ ❇❛♥❛❝❤✲❙t❡✐♥❤❛✉s ❝ô♥❣ ✤ó♥❣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✷✲❇❛♥❛❝❤ ✭①❡♠ ❬✶✶❪✮✳ ●➛♥

✤➙② ▲❛❤✐r✐✳ ❇✳ ❑✱ ❉❛s✳ P✱ ❉❡②✳ ▲✳ ❑ ✭❬✶✷❪✮ ✤➣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝➞♥ t❤➟♥ ❤ì♥ ♠ët
sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ 2−♠❡tr✐❝ ✈➲ ✤à♥❤ ❧þ ❦✐➸✉ ❈❛♥t♦r✱ ❇❛✐r❡ ❝❤♦
❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✷✲♠❡tr✐❝✳
❈ô♥❣ ❣✐è♥❣ ♥❤÷ tr♦♥❣ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❦❤→❝✱ ❧þ t❤✉②➳t ❝→❝ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣
❝õ❛ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ❝ô♥❣ ✤➣ ✤÷ñ❝ ♣❤→t tr✐➸♥ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✷✲♠❡tr✐❝✳ ◆➠♠
✶✾✼✻✱ ■s❡❦✐✳ P ✭❬✽❪✮ ✤➣ t❤✉ ✤÷ñ❝ ❦➳t q✉↔ ❝ì ❜↔♥ ✤➛✉ t✐➯♥ ✈➲ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣
❝❤♦ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ❣✐ú❛ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✷✲♠❡tr✐❝✱ t✐➳♣ t❤❡♦ æ♥❣ ✤➣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
❝→❝ ❞↕♥❣ ✤à♥❤ ❧þ ✤â ❝❤♦ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✷✲❇❛♥❛❝❤ ✭①❡♠ ❬✽❪✱ ❬✾❪✮✳ ❙❛✉ ❝→❝ ❦➳t q✉↔
❝õ❛ ■s❡❦✐✱ ♠ët sè t→❝ ❣✐↔ ✤➣ ♠ð rë♥❣ ✈➔ ❦❤→✐ q✉→t ❤â❛ ❝→❝ ✤à♥❤ ❧þ ✤✐➸♠ ❜➜t
✤ë♥❣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✷✲♠❡tr✐❝ ✈➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✷✲❇❛♥❛❝❤ ✈î✐ ♥❤✐➲✉ ❧♦↕✐ →♥❤
①↕ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ✭①❡♠ ❬✼❪✱ ❬✾❪✱ ❬✶✸❪✱ ❬✶✹❪✱ ❬✶✺❪✱ ❬✶✼❪✱ ❬✶✾❪✮✳ ❚r♦♥❣ ❬✶✷❪✱ ❝→❝ t→❝ ❣✐↔
✤➣ sû ❞ö♥❣ ❝→❝ ✤à♥❤ ❧þ ❦✐➸✉ ❈❛♥t♦r ✤➸ ✤÷❛ r❛ ♠ët ❞↕♥❣ ✤à♥❤ ❧þ ✤✐➸♠ ❜➜t
✤ë♥❣ ①❡♠ ♥❤÷ ❧➔ ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝õ❛ ✤à♥❤ ❧þ ♥➔②✳ ◆❣♦➔✐ r❛ ❝á♥ ❝â ♥❤✐➲✉ t→❝ ❣✐↔
❦❤→❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➲ ❝→❝ ❞↕♥❣ ✤à♥❤ ❧þ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ tr➯♥ ❦❤æ♥❣
❣✐❛♥ ✷✲♠❡tr✐❝✳


✷

❱î✐ ♠♦♥❣ ♠✉è♥ t➻♠ ❤✐➸✉ ✈➲ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✷✲♠❡tr✐❝ ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ ❞↕♥❣
✤à♥❤ ❧þ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ tr➯♥ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✷✲♠❡tr✐❝✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐
❝❤å♥ ✤➲ t➔✐
✳ ▼ö❝ ✤➼❝❤ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❧➔ ❣✐î✐ t❤✐➺✉
❝→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✷✲♠❡tr✐❝✱ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❧↕✐ ❝→❝ ✤à♥❤ ❧þ
❈❛♥t♦r✱ ❇❛✐r❡ ✤➣ ✤÷ñ❝ ▲❛❤✐r✐✳ ❇✳ ❑✱ ❉❛s✳ P✱ ❉❡②✳ ▲✳ ❑ ❝æ♥❣ ❜è tr♦♥❣ ❬✶✷❪✳
◆❣♦➔✐ r❛✱ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❝ô♥❣ ❣✐î✐ t❤✐➺✉ ♠ët sè ❞↕♥❣ ✤à♥❤ ❧þ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ✤÷ñ❝
❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜ð✐ ▲❛❤✐r✐✳ ❇✳ ❑✱ ❉❛s✳ P✱ ❉❡②✳ ▲✳ ❑ ✭❬✶✷❪✮✱ ▲❛✐✳ ❙✳ ◆✱ ❙✐♥❣❤✳ ❆✳
❑ ✭❬✶✵❪✮ ✈➔ ❉❡②✳ ▼✱ ❙❛❤❛✳ ▼ ✭❬✶❪✱❬✶✽❪✮✳

◆❣✉②➯♥ ❧þ ❈❛♥t♦r ✈➔ ♠ët sè ✤à♥❤ ❧þ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣

tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✷✲♠❡tr✐❝

▲✉➟♥ ✈➠♥ ❝❤✐❛ t❤➔♥❤ ❤❛✐ ❝❤÷ì♥❣✱ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ❣✐î✐ t❤✐➺✉ ✈➲ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✷✲
♠❡tr✐❝ ✈➔ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♥❣✉②➯♥ ❧þ ❈❛♥t♦r✱ ❇❛✐r❡✳ ❚r♦♥❣ ❈❤÷ì♥❣ ✷✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐
s➩ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♠ët sè ❞↕♥❣ ✤à♥❤ ❧þ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ tr➯♥ ❧î♣
❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♥➔②✳




ữỡ

ỵ tr tr ổ
2tr
ổ 2tr
ỹ ở tử tr ổ 2tr
ử

X ởt t rộ tr t ổ
tt X ởt t ổ ởt

:X ìX ìX R
tọ s
ợ ộ t a, b tỗ t ởt c X s
(a, b, c) = 0
(a, b, c) = 0 tr trũ
(a, b, c) = (a, c, b) = (b, c, a) ợ ồ a, b, c X
(a, b, c) (a, b, d) + (a, d, c) + (d, b, c) ợ ồ a, b, c d X
õ ữủ ồ 2tr tr X
t r ởt ổ ỡ ỳ ợ ồ

a, b, c X ợ ồ (a1 , b1 , c1 ) ừ (a, b, c) t ổ õ

(a1 , b1 , c1 ) = (a, b, c).




(X, ) tr õ X = ởt 2tr tr X ữủ ồ
ổ 2tr ổ ổ 2tr (X, ) ữủ
ồ X ổ
ộ a X ữủ ồ ởt tỷ ởt (a, b, c) ữủ ồ
2tr ỳ tỷ a, b, c.

ử X = R2, ợ ộ x, y, z X t (x, y, z) t
t õ x, y, z. õ s ởt 2tr tr R2
(R2 , ) ởt ổ 2tr

t (X, ) ởt ổ 2tr a, b X
(x, y, z) = 0 ợ ồ z X t x y.
x = y t t (i) s tỗ t z X s (x, y, z) = 0.



ổ
(X, ) ởt ổ 2tr M X t

M = |M ìM ìM .
õ M ởt 2tr tr M t (M, M ) ồ ổ
ừ ổ 2tr (X, ) M ữủ ồ 2tr s
tr M

ú ỵ

õ t tr M ỳ 2tr M tr t ổ
2tr t tr trữớ ủ M ổ ổ
ừ X
ố ợ trữớ ủ ổ tr (X, d) M X t d|M ìM ổ
ởt tr tr M. trữớ ủ ổ 2tr (X, )
t ữ M = |M ìM ìM 2tr tr M. õ t r
ử ử t ổ 2tr (R2, ) tr ử ợ ồ
M = R ì {0}

ỹ ở tử tr ổ tr
(X, ) ởt ổ tr {xn } ởt tỷ
ừ X.


✺

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳ ❉➣② {xn} tr♦♥❣ (X, σ) ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤ë✐ tö ✈➲ x ∈ X ♥➳✉
✈î✐ ❜➜t ❦ý a ∈ X ✱

σ(xn , x, a) → 0 ❦❤✐ n → ∞.
❚❛ ✈✐➳t xn → x ❦❤✐ n → ∞ ❤♦➦❝ lim xn = x✳
n→∞

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳ ❚r♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ 2−♠❡tr✐❝ (X, σ)✱ ❣✐î✐ ❤↕♥ ❝õ❛ ♠ët ❞➣②
♥➳✉ ❝â ❧➔ ❞✉② ♥❤➜t✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

z ∈ X,

✳ ●✐↔ sû n→∞
lim xn = a, lim xn = b tr♦♥❣ X ✳ ❑❤✐ ✤â✱ ✈î✐ ♠é✐
n→∞

σ(a, b, z)

σ(a, b, xn ) + σ(a, xn , z) + σ(xn , b, z)

✈î✐ ♠å✐ n✳ ❈❤♦ n → ∞ t❛ ❝â σ(a, b, z) = 0✳ ❚ø ◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✶ ❦➨♦ t❤❡♦
a = b✳ ▼➺♥❤ ✤➲ ✤÷ñ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✸✳ ✭❬✶✷❪✮ ❈❤♦ {yn} ❧➔ ♠ët ❞➣② tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ 2−♠❡tr✐❝

(X, σ)✳ ❱î✐ ♠é✐ a ∈ X, ✤➦t σn (a) = σ(yn , yn+1 , a)✳ ●✐↔ sû r➡♥❣ σn (ym ) = 0
✈î✐ ♠å✐ sè ♥❣✉②➯♥ ❦❤æ♥❣ ➙♠ m, n ✈î✐ n > m. ❑❤✐ ✤â σ(yi, yj , yk ) = 0 ✈î✐
♠å✐ ❜ë ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ ❦❤æ♥❣ ➙♠ i, j, k.

✳ ❑❤æ♥❣ ♠➜t t➼♥❤ tê♥❣ q✉→t✱ t❛ ❝â t❤➸ ❣✐↔ t❤✐➳t k

i j.
❉♦ ♥➳✉ k = i ❤♦➦❝ i = j t❤➻ σ(yi , yj , yk ) = 0✳ ❚❛ ①➨t tr÷í♥❣ ❤ñ♣ k < i < j.
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

✣➦t j = i + p, tr♦♥❣ ✤â p
♥↕♣ t❤❡♦ p.

1. ❚❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ σ(yi , yj , yk ) = 0 ❜➡♥❣ q✉②

❱î✐ p = 1, ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❤✐➸♥ ♥❤✐➯♥ ✤ó♥❣ t❤❡♦ ❣✐↔ t❤✐➳t✳ ●✐↔ sû ✤➥♥❣ t❤ù❝
✤ó♥❣ ✈î✐ p, t❛ ❝â

σ(yi , yi+p+1 , yk )

σ(yi , yi+p+1 , yi+p ) + σ(yi , yi+p , yk ) + σ(yi+p , yi+p+1 , yk )
=0

t❤❡♦ ❣✐↔ t❤✐➳t q✉② ♥↕♣✳ ❱➟② ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ ✤ó♥❣ ✈î✐ p + 1, tù❝ ❧➔ ✤ó♥❣ ✈î✐ ♠å✐

p.

✶✳✶✳✷✳ ❚æ♣æ tr➯♥ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✷✲♠❡tr✐❝
❈❤♦ (X, σ) ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✷✲♠❡tr✐❝✳




ợ a, b X r > 0 t
Br (a, b) = {c X; (a, b, c) < r}
ừ X ữủ ồ 2

t a b ợ r

ự ữủ Br (a, b) = Br (b, a)
ồ ồ B ồ tt 2 tr ổ tr
(X, ) tr r r tỗ t ởt trú tổổ
ồ B ởt ỡ s t ồ tổổ tổổ tr ữ
(X, ) ởt ổ tổổ tr tỷ ừ ữủ ồ
t ũ ừ õ t õ

ờ ởt t U ừ (X, ) t ợ

ồ t x U tỗ t ỳ a1, a2, . . . , an X
số tỹ ữỡ r1, r2, . . . , rn > 0 s
x Br1 (x, a1 ) . . . Brn (x, an ) U.
ừ ữủ s r trỹ t tứ ộ
t Br1 (x, a1 ) . . . Brn (x, an )
ự

ữủ U 2 x U õ tỗ t ởt số ỳ
Bri (ai , bi ) , i = 1 , 2 , . . . , m s
m

x

Bri (ai , bi ) U.
i=1

x Bri (ai , bi ) (x, ai , bi ) = si < ri t ti <

ri si
2

õ

Bti (x, ai ) Bti (x, bi ) Bri (ai , bi )
ú ợ ồ i = 1, 2, . . . m t

x Bt1 (x, a1 ) Bt1 (x, b1 ) Bt2 (x, a2 ) Bt2 (x, b2 ) . . .

Btm (x, am ) Btm (x, bm )
m



Bri (ai , bi ) U.
i=1

ờ ữủ ự

A ởt t ừ ổ 2tr (X, )
ủ ừ tt t 2 ự tr A ữủ ồ tr ừ


✼

A✱ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ Ao ❤❛② ✐♥tA. ●✐❛♦ ❝õ❛ t➜t ❝↔ ❝→❝ t➟♣ ✷✲✤â♥❣ ❝❤ù❛ A ✤÷ñ❝ ❣å✐
❧➔ ✷✲❜❛♦ ✤â♥❣ ❝õ❛ A✱ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ A✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✺✳ x ∈ (X, τ ) ✤÷ñ❝ ❣å✐ ✷✲✤✐➸♠ tö ❝õ❛ A ⊂ X ♥➳✉ ❜➜t ❦➻ t➟♣
✷✲♠ð U ❝❤ù❛ x✱ A ∩ (U − {x}) = ∅✳

❈ô♥❣ ❣✐è♥❣ ♥❤÷ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ tæ♣æ✱ t❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷ñ❝

A = A ∪ ∂A,
tr♦♥❣ ✤â ∂A ❧➔ t➟♣ ❞➝♥ ①✉➜t ❝õ❛ A✱ tù❝ ❧➔ t➟♣ ❤ñ♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ ✷✲ ✤✐➸♠ tö
❝õ❛ A✳ ✣è✐ ✈î✐ ❜➜t ❦➻ A ⊂ X ✱ A rã r➔♥❣ ❧➔ t➟♣ ✷✲ ✤â♥❣✳

❇ê ✤➲ ✶✳✺✳ ✭❬✶✷❪✮ A ⊂ (X, τ ) ❧➔ t➟♣ ✷✲ ✤â♥❣ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ A = A✳
❇ê ✤➲ ✶✳✻✳ ✭❬✶✷❪✮ (X, τ ) ❧➔ T1−❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥✳

❈❤♦ a, b ∈ X, a = b✳ ❑❤✐ ✤â✱ t❛ ❝â ♠ët ✤✐➸♠ c ∈ X s❛♦
❝❤♦ σ(a, b, c) = r > 0✳ ◆➳✉ s = 2r t❤➻ Bs (a, c) ✈➔ Bs (b, c) ❧➔ ❤❛✐ t➟♣ ❤ñ♣
2−♠ð ✈î✐ a ∈ Bs (a, c), b ∈ Bs (b, c) ♥❤÷♥❣ a ∈ Bs (b, c), b ∈ Bs (a, c)✳ ❉♦ ✤â
t❛ ❝â ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ ❝õ❛ ❜ê ✤➲ tr➯♥✳

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

❇ê ✤➲ ✶✳✼✳ ✭❬✶✷❪✮ ❉➣② {xn} ❤ë✐ tö ✤➳♥ x tr♦♥❣ (X, σ) ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ✈î✐

❜➜t ❦ý t➟♣ 2−♠ð U ❝❤ù❛ x tç♥ t↕✐ ♠ët sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ m s❛♦ ❝❤♦ xn ∈
U, ∀n ≥ m✳
●✐↔ sû ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤➛✉ t✐➯♥ ✤➣ ❝❤♦✳ ❈❤♦ a ∈ X ✈➔ ε > 0✳
❚ø Bε (x, a) ❧➔ ♠ët t➟♣ ✷✲♠ð ❝❤ù❛ x✱ ♥➯♥ tç♥ t↕✐ m ∈ N s❛♦ ❝❤♦ xn ∈
Bε (x, a), ∀n ≥ m✳ ✣✐➲✉ ✤â ❝â ♥❣❤➽❛ ❧➔ σ(xn , x, a) → 0 ❦❤✐ n → ∞✳ ❉♦ ✤â
{xn } ❤ë✐ tö ✤➳♥ x tr♦♥❣ (X, σ)✳

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

◆❣÷ñ❝ ❧↕✐✱ ❝❤♦ {xn } ❤ë✐ tö ✤➳♥ x tr♦♥❣ (X, σ)✳ ❈❤♦ U ❧➔ ♠ët t➟♣ ✷✲♠ð
✈î✐ x ∈ U ✳ ❚ø ❇ê ✤➲ ✶✳✹✱ t❛ ❝â

x ∈ Br1 (x, a1 ) ∩ . . . ∩ Brk (x, ak ) ⊂ U,
✈î✐ a1 , a2 , . . . , ak ∈ X ✈➔ r1 , r2 , . . . , rk > 0✳ ❱➻ σ(xn , x, ai ) → 0 ❦❤✐ n → ∞
♥➯♥ tç♥ t↕✐ mi ∈ N s❛♦ ❝❤♦ σ(xn , x, ai ) < ri , ∀n ≥ mi ✱ tù❝ ❧➔ xn ∈
Bri (x, ai ), ∀n ≥ mi ✤✐➲✉ ♥➔② ❝ô♥❣ ✤ó♥❣ ✈î✐ ♠é✐ i = 1, 2, . . . , k ✳ ✣➦t m =
max{m1 , m2 , . . . , mk }✱ t❛ t❤✉ ✤÷ñ❝

xn ∈ Br1 (x, a1 ) ∩ . . . ∩ Brk (x, ak ) ⊂ U, ∀n ≥ m.
❇ê ✤➲ ✤÷ñ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

✽

❈❤ó þ ✶✳✷✳ ❚❛ ✤➣ ❜✐➳t✱ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♠❡tr✐❝✱ t➟♣ A ✤â♥❣ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾

❦❤✐ ♠é✐ ❞➣② ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ A ♠➔ ❤ë✐ tö t❤➻ ❣✐î✐ ❤↕♥ ❝õ❛ ❞➣② ♣❤↔✐ t❤✉ë❝
A✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥ ✤✐➲✉ ♥➔② ❝❤÷❛ ❝❤➢❝ ✤ó♥❣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ 2−♠❡tr✐❝ ✈➔ ✤➙②
❝❤➼♥❤ ❧➔ ✤✐➲✉ ❦❤→❝ ❜✐➺t ❣✐ú❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✷✲♠❡tr✐❝ ✈➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♠❡tr✐❝✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✻✳ ▼ët ❞➣② {xn} tr♦♥❣ (X, σ) ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❞➣② ❈❛✉❝❤② ♥➳✉
✈î✐ ❜➜t ❦➻ a ∈ X, σ(xm , xn , a) → 0 ❦❤✐ m, n → ∞✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✼✳ (X, σ) ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤➛② ✤õ ♥➳✉ ♠é✐ ❞➣② ❈❛✉❝❤② tr♦♥❣ X
❤ë✐ tö ✈➲ ♠ët ✤✐➸♠ ❝õ❛ X ✳

❈❤ó þ ✶✳✸✳ ❚❛ ❜✐➳t r➡♥❣✱ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♠❡tr✐❝✱ ♠ët ❞➣② ❤ë✐
tö ✤➲✉ ❧➔ ❞➣② ❈❛✉❝❤②✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥✱ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ 2−♠❡tr✐❝
✤✐➲✉ ♥➔② ❝❤÷❛ ❝❤➢❝ ✤ó♥❣✱ tù❝ ❧➔ ♠ët ❞➣② ❤ë✐ tö ❦❤æ♥❣ ♥❤➜t t❤✐➳t ♣❤↔✐ ❧➔
♠ët ❞➣② ❈❛✉❝❤②✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✽✳ ❚➟♣ ❝♦♥ S ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✷✲♠❡tr✐❝ (X, σ) ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔

❝♦♠♣❛❝t ♥➳✉ ♠é✐ ❞➣② ✈æ ❤↕♥ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ S ✤➲✉ ❝❤ù❛ ♠ët ❞➣② ❝♦♥ ❤ë✐
tö ✈➲ ♠ët ♣❤➛♥ tû t❤✉ë❝ S ✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✷✲♠❡tr✐❝ (X, σ) ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝♦♠♣❛❝t
♥➳✉ X ❧➔ t➟♣ ❝♦♠♣❛❝t✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✾✳ A ⊂ X ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ trò ♠➟t tr♦♥❣ X ❦❤✐ A = X ✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✵✳ A ⊂ X ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ✤➙✉ trò ♠➟t ♥➳✉ ✐♥t(A) = ∅.
❈ô♥❣ ❣✐è♥❣ ♥❤÷ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♠❡tr✐❝ t❛ ❝â ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✶✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ 2−♠❡tr✐❝ (X, σ) ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥

t❤✉ë❝ ♣❤↕♠ trò t❤ù ♥❤➜t ♥➳✉ ♥â ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ✤÷ñ❝ ❞÷î✐ ❞↕♥❣ ❤ñ♣ ✤➳♠ ✤÷ñ❝
❝õ❛ ❝→❝ t➟♣ ❦❤æ♥❣ ✤➙✉ trò ♠➟t✳ ◆➳✉ X ❦❤æ♥❣ t❤✉ë❝ ♣❤↕♠ trò t❤ù ♥❤➜t t❤➻
t❛ ♥â✐ X t❤✉ë❝ ♣❤↕♠ trò t❤ù ✷✳

✶✳✶✳✸✳ ⑩♥❤ ①↕ ❧✐➯♥ tö❝

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✷✳ ❈❤♦ (X, σ) ✈➔ (Y, σ1) ❧➔ ❤❛✐ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✷✲♠❡tr✐❝✱ T :

X → Y ❧➔ ♠ët →♥❤ ①↕✳ ❚❛ ♥â✐ →♥❤ ①↕ T ❧✐➯♥ tö❝ t↕✐ xo ∈ X ♥➳✉ ✈î✐ ♠é✐
t➟♣ ✷✲♠ð V ❝õ❛ T (xo ) tr♦♥❣ Y ❧✉æ♥ tç♥ t↕✐ t➟♣ ✷✲♠ð U ❝õ❛ xo tr♦♥❣ X
s❛♦ ❝❤♦ T (U ) ⊂ V ✳ ❚❛ ♥â✐ →♥❤ ①↕ T ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ X ♥➳✉ ❧✐➯♥ tö❝ t↕✐ ♠å✐
x ∈ X✳




ờ T : (X, ) (Y, 1) tử t x X xn x
tr (X, ) õ T (xn) T (x) tr (Y, 1)

T

: (X, ) (Y, 1 ) ởt tr õ
(X, ) (Y, 1 ) ổ tr õ
T ồ ợ ộ U TX t T (U ) TY

T ồ õ ợ ộ F õ tr X t T (F ) õ
tr Y
T ồ ỗ ổ T s T, T 1

tử
r õ TX tổổ tr tr X, TY tổổ tr tr Y.

ỵ T s tử tứ ổ tr (X, )

ổ tr (Y, 1) t s tữỡ ữỡ
T ởt ỗ ổ
T õ
T
ử (X, ) ởt ổ tr idX ỗ t
tr X õ idX ởt ỗ ổ

ổ tr (X, ) (Y, 1) ữủ ồ
ỗ ổ tỗ t ởt ỗ ổ T : X Y

ỵ tr ỵ r
ỵ tr ổ tr
r ổ tr t t ởt ỵ ờ t ữủ
ồ ỵ tr ộ õ ỗ tt tr
ởt ổ tr ừ õ ởt t r
t ự ởt tữỡ tỹ ừ ỵ tr tr trữớ ủ
ổ 2tr
ợ A X t

c (A) = sup{(a, b, c); a, b A}




ợ c X A ữủ ồ ợ ở

sup{(a, b, c); a, b, c A} < .
ữủ c (A) ổ ữủ ữ ữớ ừ A
s (X, ) ợ ở t ợ ộ A X, c (A) ỳ
ợ ồ c X
c (A) ú ự ỵ s

ỵ sỷ r (X, ) ổ tr ừ

{Fn} tự Fn+1 Fn, n N t õ t ợ
Fn rộ õ ự
a (Fn ) 0 n ợ ồ a X t
n=1
ổ q ởt

ợ ộ số ữỡ n xn ởt tở Fn
s ự {xn } ởt tr X {Fn }
t ủ xm Fn ợ ồ m n ợ ộ a X, m n
ự

(xm , xn , a) a (Fn ) 0 n .
t {xn } ởt tr X X ừ
{xn } ở tử tự xn x X.
ớ t ự x Fn ổ t t tờ qt t ổ õ
t tt r t ổ ổ õ t t ữủ số k ợ tũ ỵ xk = x
ữủ t x = xk tứ ởt tr k õ tứ õ s
r x Fn ợ ồ n N
n N ố ồ U t t ự x ờ t
õ n1 N s xk U, k n1 õ

xk (U \{x}) Fn , k max{n, n1 }.
t r x Fn = Fn Fn t õ ữ x Fn
ợ ồ n N t x



Fn

n=1

ố ũ t ự r



Fn ự ổ q ởt

n=1

sỷ r tỗ t t x, y

(x, y, z) > 0 ứ ừ z (Fn )



Fn ồ z X, z = x, y

n=1

(x, y, z) z (Fn ), n N.

✶✶

❉♦ δz (Fn ) → 0 ❦❤✐ n → ∞, σ(x, y, z) = 0✱ ♠➙✉ t❤✉➝♥✳ ❱➟②
❦❤æ♥❣ q✉→ ♠ët ✤✐➸♠✳ ▼➺♥❤ ✤➲ ✤÷ñ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

∞

Fn ❝❤ù❛

n=1

❇➙② ❣✐í t❛ ①❡♠ ①➨t ✈➜♥ ✤➲ ♥❣÷ñ❝ ❧↕✐ ❝õ❛ ✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✵✱ tr÷î❝ ❤➳t t❛ ❝❤ù♥❣
♠✐♥❤ ❜ê ✤➲ s❛✉ ✤➙②✳

❇ê ✤➲ ✶✳✶✶✳ ✭❬✶✷❪✮ ❱î✐ ❜➜t ❦➻ A ⊂ X ✈➔ a ∈ X ✱ t❛ ❝â
δa (A) = δa (A).
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

❉♦ A ⊂ A t❛ s✉② r❛ δa (A)

δa (A)✳

❚❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝❤✐➲✉ ♥❣÷ñ❝ ❧↕✐✳ ▲➜② x, y ∈ A tò② þ✱ t❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤

σ(x, y, a) ≤ σa (A)
✤ó♥❣ ✈î✐ ♠å✐ a ∈ X.
❍✐➸♥ ♥❤✐➯♥✱ ♥➳✉ x, y ✤➲✉ t❤✉ë❝ A t❤➻ σ(x, y, a) ≤ σa (A). ◆➳✉ x ∈
/ A ✈➔
y ∈ A✱ ❦❤✐ ✤â ✈î✐ ♠å✐ ε > 0 tò② þ✱ ✈➻ x ∈ A ✈➔ Bε (x, y) Bε (x, a) ❧➔ t➟♣

✷✲♠ð ❝❤ù❛ x ♥➯♥ tç♥ t↕✐ z ∈ A [Bε (x, y) Bε (x, a)]✳ ❚❛ ❝â

σ(x, y, a) ≤ σ(x, z, a) + σ(y, z, a) + σ(x, y, z) ≤ δa (A) + 2ε.
❱➻ ✤✐➲✉ ♥➔② ✤ó♥❣ ✈î✐ ♠å✐ ε > 0 ♥➯♥

σ(x, y, a) ≤ σa (A) ✈î✐ y ∈ A ✈➔ x ∈ A.
❈✉è✐ ❝ò♥❣✱ ♥➳✉ x, y ∈ A − A ❦❤✐ ✤â ❧➦♣ ❧↕✐ q✉→ tr➻♥❤ ❣✐è♥❣ ♥❤÷ tr➯♥✱ t❛
❝ô♥❣ s✉② r❛ r➡♥❣ σ(x, y, a) ≤ δa (A)✳ ❉♦ ✤â

δa (A) = sup{σ(x, y, a); x, y ∈ A} ≤ δa (A).
❱➻ ✈➟② δa (A) = δa (A)✳ ❇ê ✤➲ ✤÷ñ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳
✣✐➲✉ ♥❣÷ñ❝ ❧↕✐ ❝õ❛ ✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✵ ✤÷ñ❝ ♣❤→t ❜✐➸✉ tr♦♥❣ ✤à♥❤ ❧þ s❛✉✿

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✷✳ ✭❬✶✷❪✮ ❈❤♦ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✷✲♠❡tr✐❝ (X, σ) t❤ä❛ ♠➣♥ ✈î✐ ♠é✐

❞➣② ❣✐↔♠ ❜➜t ❦ý ❝→❝ t➟♣ ✷✲✤â♥❣ {Fn} s❛♦ ❝❤♦ ✈î✐ ♠å✐ a ∈ X ✱ δa(Fn) → 0
∞
❦❤✐ n → ∞ t❤➻ Fn ❝❤➾ ❝â ♠ët ✤✐➸♠ ❞✉② ♥❤➜t✳ ❑❤✐ ✤â (X, σ) ❧➔ ✤➛② ✤õ✳
n=1

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

●å✐ {xn } ❧➔ ❞➣② ❈❛✉❝❤② tr♦♥❣ X ✳ ✣➦t

Fn = {xn , xn+1 , . . .},




ợ n N õ Fn Fn+1 t Fn F n+1 , n N õ {Fn }

t õ ỡ ỳ ợ a X > 0 tũ ỵ tỗ t
n1 N s

(xm , xn , a) < , m, n n1 .
t a (Fn1 ) t ờ a (F n1 ) {Fn }
ợ n n1 , a (Fn ) a (F n1 ) a (Fn ) 0

n õ tứ tt ừ ỵ t s r



Fn = {x0 }

n=1

ợ t a X,

(xn , x0 , a) a (Fn ) 0 n .
r xn x0 tr X ữủ ự
t ủ ỵ ỵ t ữủ ỵ tr
tr ổ tr tữỡ tỹ ữ ỵ tr tr ổ
tr

ỵ ởt ổ tr (X, ) ừ

ợ t t õ {Fn} tọ ợ ồ
Fn õ ởt t
a (Fn ) 0 n t

a X

n=1

ỵ r ổ tr
ớ t ự ỵ r trũ r ổ
tr t t ỵ r ổ tr ừ ổ

tở trũ tự tự ổ ữủ ữợ ủ
ữủ ừ t ổ trũ t r t t t q
õ trữớ ủ ổ tr rữợ t t ự ờ
s

ờ ợ t a, b X r > 0
Cr (a, b) = {c X, (a, b, c) r}

ởt t õ
s r r ổ õ Cr (a, b)
tử ừ Cr (a, b) sỷ d ởt tũ ỵ ổ tở Cr (a, b).
ự




õ ợ > 0 B (a, d)

Cr (a, b)

B (b, d) t ự d tỗ t e
[[B (a, d) B (b, d)]\{d}] t
(a, b, d) (a, b, e) + (b, e, d) + (a, e, d)

< r + 2.

> 0 tũ ỵ t õ (a, b, d) r t õ d ổ
t tử ừ Cr (a, b) õ Cr (a, b) ự tt tử ừ õ
Cr (a, b) t õ ờ ữủ ự
ớ t ự ỵ r trũ ổ
tr

ỵ ởt ổ tr ừ (X, ) tọ ợ

ồ x, y X tỗ t õ {Bn} t t x y
s ợ ồ a X a(Bn) 0 n õ X ổ t t
ữợ ủ ữủ ừ t ổ trũ t
sỷ õ t ữủ ữợ ủ ữủ ừ
t ổ trũ t tự
ự

Xn =

X=
nN

X n,
nN

tr õ ộ Xn ởt t ổ trũ t Xn t ổ
trũ t X n ổ t ự t ự ởt t rộ
U ởt t tũ ỵ X1 ổ trũ t X 1 ổ t
ự U õ tỗ t x1 U s x1
/ X 1 U X 1

x1 U X 1 t ờ tỗ t số ữỡ y1 , y2 , . . . , yn
số ữỡ r1 , r2 , . . . , rn s

x1 Br1 (x1 , y1 ) . . . Brn (x1 , yn ) = V1 U X 1 .
ổ t t tờ qt tọ tt ừ
ỵ t õ t ồ Br1 (x1 , y1 ) s a (Br1 (x1 , y1 )) < 1, a X
õ (V1 ) < 1 ợ ồ a X. ồ

U1 = Br1 /2 (x1 , y1 ) . . . Brn /2 (x1 , yn ).
õ t ờ

U 1 Cr1 /2 (x1 , y1 ) . . . Crn /2 (x1 , yn ) V1 U X 1


✶✹

✈➔ δa (U 1 ) ≤ δa (V1 ) < 1, ∀a ∈ X ✳
❍ì♥ ♥ú❛✱ ✈➻ U1 ❧➔ ✷✲♠ð ✈➔ X2 ❧➔ ❦❤æ♥❣ ✤➙✉ trò ♠➟t ♥➯♥ U1 − X 2 = ∅✱
❦➨♦ t❤❡♦ tç♥ t↕✐ x2 ∈ U1 − X 2 ✳ ❚✐➳♥ ❤➔♥❤ ♥❤÷ tr➯♥✱ t❛ ❝â ✤÷ñ❝ ♠ët t➟♣
✷✲♠ð U2 s❛♦ ❝❤♦

x2 ∈ U2 ⊂ U 2 ⊂ U1 − X 2
✈➔ δa (U 2 ) < 1/2 ∀a ∈ X ✳
❚✐➳♣ tö❝ q✉→ tr➻♥❤ tr➯♥✱ t❛ t❤✉ ✤÷ñ❝ ♠ët ❞➣② ❝→❝ t➟♣ ✷✲✤â♥❣ {U n } s❛♦
❝❤♦
U n+1 ⊂ U n , ∀n ∈ N, δa (U n ) < 1/n, ∀a ∈ X,
♥❣❤➽❛ ❧➔ δa (U n ) → 0 ❦❤✐ n → ∞, ∀a ∈ X ✳ ❚❤❡♦ ✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✵✱

∞

U n ❧➔

n=1

❦❤→❝ ré♥❣ ✈➔ ❝❤ù❛ ♥❤✐➲✉ ♥❤➜t ♠ët ✤✐➸♠✳ ✣➦t
∞

U n = {x0 }.
n=1

❚ø U n ∩ X n = ∅ ✈î✐ ♠å✐ n ∈ N✱ t❛ s✉② r❛ x0 ∈
/

∞
n=1

X n ✱ ✤➙② ❝❤➼♥❤ ❧➔ ♠➙✉

t❤✉➝♥✳ ❱➟② X ❦❤æ♥❣ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ✤÷ñ❝ ❞÷î✐ ❞↕♥❣ ❤ñ♣ ✤➳♠ ✤÷ñ❝ ❝õ❛ ❝→❝ t➟♣
❦❤æ♥❣ ✤➙✉ trò ♠➟t✳ ✣à♥❤ ❧þ ✤÷ñ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳




ữỡ

t ở tr ổ
tr
t ở ừ
ỵ ỵ

r ú t ự ởt số ỵ t ở
ỵ t sỷ ử ỵ tr
ự ởt số t q t ở ừ ởt tứ ổ
tr (X, ) õ r sốt t sỷ r (X, )
ữủ tự t tự t ộ x X ổ tỗ t ởt ỡ s
ữủ ừ tổổ 2tr
T : X X ợ t > 0 t

St = {x X; (x, T x, y) t, y X}.
t r T õ t ở x t St rộ ự
x X ợ ở t St ụ rộ ợ tr t ũ ủ
t (X, ) ởt ổ tr t T : X X ữủ
ồ tỗ t số 0 k < 1 tọ

(T x, T y)

k(x, y),

ợ ồ x, y X, x = y r trữớ ủ ổ tr t
ữ s




ởt T : (X, ) (X, ) ữủ ồ
(T x, T y, a) < (x, y, a), x, y, a X,
tr õ x = y = a (T x, T y, a) = 0 t tr số x, y, a

ớ t ự ởt số t t ỡ ừ t St

ỵ T : X X t ợ ồ t > 0 St
ởt t õ

(X, ) T1 ổ ữủ tự t t ờ
ự r St õ t ự r t
ở tử {xn } tr St ở tử ởt x St sỷ {xn }
ở tử tr St s xn x tr X ợ ộ > 0 y X
B (x, T x) B (x, y) ởt t ự x tỗ t n0 N s
xn B (x, T x) B (x, y), n n0 t ờ ứ tt T
xn St ợ n N, n n0 t õ
ự

(x, T x, y) (x, xn , y) + (T x, xn , x) + (xn , T x, y)
< 2 + (xn , T xn , y) + (T xn , T x, y) + (T xn , T x, xn )
< 2 + (xn , T xn , y) + (xn , x, y)
t + 3.
ú ợ t > 0 t õ

(x, T x, y) t
ú ợ ồ y X t x St ờ ữủ ự
{n } số ữỡ 0 T ởt tứ X
õ t

Sn = Sn = {x X; (x, T x, y) n , y X}.
õ Sn+1 Sn ợ ộ n N
r x X t ở ừ T : X X
x = T x.

ỵ T : X X tử S ởt t

t tr (X, ) ổ ự t ởt t ở ừ T
õ t Sn S = ợ ồ tr n ừ ợ




ự ự sỷ ữủ tự
tỗ t số ữỡ n1 , n2 , n3 , . . . ổ ũ s
ự

Snr S = ,
ợ ồ r N.
ợ ộ r N xnr Snr S tũ ỵ S t tỗ t ởt
xnt1 , xnt2 , . . . ừ {xnr } ở tử ởt x ừ S ó r

(xntr , T xntr , y) ntr , y X.
ợ > 0 y X B (x, y) B (x, T x) t ự
x ứ xntr x r t ờ tỗ t r0 N s

xntr B (x, y) B (x, T x), r r0 .
ỡ ỳ T tử T xntr T x r t ờ tỗ
t r1 N s

T xntr B (T x, y), r r1 .
õ ợ ồ r > max{r0 , r1 },

(x, T x, y) (x, xntr , y) + (x, xntr , T x) + (xntr , T x, y)
< + + (xntr , T x, y)
<2 + (xntr , T xntr , y) + (xntr , T x, T xntr ) + (T xntr , T x, y)
<3 + 2ntr .

r t õ ntr 0 õ

(x, T x, y) 3, y X.
> 0 tũ ỵ t õ (x, T x, y) = 0, y X t T x = x tự
x t ở ừ T t ợ tt r S ổ ự t
t ở ừ T ỵ ữủ ự
ớ t ự ởt ừ ỵ
trữớ ủ ổ tr

ỵ (X, ) ổ tr ợ ở ừ
T :XX

s

(T x, T y, a) (x, y, a), 0 < < 1, x, y, a X,


✶✽

tr♦♥❣ ✤â ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❧➔ ♥❣❤✐➯♠ ♥❣➦t ❦❤✐ x = y = a ✈➔ σ(T x, T y, a) = 0
♥➳✉ ❤❛✐ tr♦♥❣ ❜❛ ✤✐➸♠ x, y, z ❧➔ trò♥❣ ♥❤❛✉✳ ❚❤➻ ❦❤✐ ✤â T ❝â ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣
❞✉② ♥❤➜t tr♦♥❣ X ✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

❱➻ X ❧➔ ❣✐î✐ ♥ë✐ ♥➯♥

sup{σ(a, b, c); a, b, c ∈ X} = M < +∞.
▲➜② x ∈ X ✱ t❛ ①❡♠ ①➨t ❞➣② {T n x}✳ ❚❛ ❝â

σ(T n x, T n+1 x, a) ≤ασ(T n−1 x, T n x, a)

≤α2 σ(T n−2 x, T n−1 x, a)
···
≤αn σ(x, T x, a)
≤αn .M
✈î✐ ♠å✐ a ∈ X. ❱➻ 0 < α < 1✱ tø ✤â s✉② r❛

Sn = Stn = {z ∈ X; σ(z, T z, a) ≤ tn , ∀a ∈ X} = ∅
✈î✐ ♠å✐ n ∈ N✱ tr♦♥❣ ✤â {tn } ❧➔ ❞➣② sè ❞÷ì♥❣ ❣✐↔♠ ❤ë✐ tö ✈➲ 0✳ ❍✐➸♥
♥❤✐➯♥ T ❝ô♥❣ ❧➔ →♥❤ ①↕ ❝♦ ✈➔ t❤❡♦ ✣à♥❤ ❧þ ✷✳✶✱ ♠é✐ Sn ❧➔ t➟♣ ✷✲✤â♥❣ ✈➔
Sn+1 ⊂ Sn , ∀n ∈ N✳
❈❤ó þ r➡♥❣ ✈î✐ ❜➜t ❦➻ x, y ∈ Sn ✈➔ a ∈ X ✱

σ(x, y, a) ≤σ(x, T x, a) + σ(T x, y, a) + σ(x, T x, y)
≤2tn + σ(T x, T y, a) + σ(y, T y, a) + σ(T x, T y, y)
≤3tn + ασ(x, y, a) + ασ(x, y, y),
✤✐➲✉ ♥➔② ❦➨♦ t❤❡♦

σ(x, y, a) ≤
❚ø ✤â s✉② r❛ δa (Sn ) ≤

3tn
1−α

❝❤ù❛ ✤ó♥❣ ♠ët ✤✐➸♠✳ ✣➦t

3tn
.
1−α

❞➛♥ tî✐ 0 ❦❤✐ n → ∞✳ ❚❤❡♦ ✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✸✱

∞

∞

Sn
n=1

Sn = {x0 }✳ ❑❤✐ ✤â

n=1

σ(x0 , T x0 , a) ≤ tn , ∀n ∈ N ✈➔ ∀a ∈ X.
✣✐➲✉ ♥➔② ❦➨♦ t❤❡♦ σ(x0 , T x0 , a) = 0, ∀a ∈ X ✈➔ ❞♦ ✤â T x0 = x0 . ❚ù❝ ❧➔ x0
❧➔ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ T.




t tú t ự t t t sỷ u v
t ở ừ T t ợ ộ a X, a = u v,

(u, v, a) = (T u, T v, a)
(u, v, a)
< (u, v, a).
ổ ỵ ữ T õ ởt t ở t

ỵ t ở st
r st ự ỵ t ở trữớ
ủ ổ tr ữ s

ỵ (X, d) ởt ổ tr t f
X X

õ t t

:

d(f (x), f (y)) < d(x, y)

ợ ồ x = y X. õ f õ t ở t r ợ ộ
x X, {f n (x)} ở tử t ở õ
r t ự ởt t q tữỡ tỹ ợ ỵ
st tr trữớ ủ ổ tr

ỵ (X, ) ởt ổ tr tr õ X

t ổ ữủ T : X X tỗ t
x X s {T n x} ự {T n x} ở tử x0 X t
x0 ởt t ở t ừ T
i

r {T n x} T r x = T r+1 x ợ ởt số
ữỡ r õ t x0 = T r x ởt t ở ừ T

ự

õ t t trữớ ủ T r x = T r+1 x ợ ồ r N
ụ tt T x0 = x0 ữủ t x0 ởt t ở ừ
T ồ ởt tỷ a X ợ x0 , T x0 T r x, r = 1, 2, . . . õ
t õ

(T x0 , T 2 x0 , a) < (x0 , T x0 , a).

t t số tỹ ổ {(T n x, T n+1 x, a)}
n=0 t t
r r (x0 , T x0 , a) ởt tử ừ t ợ ộ > 0 tứ

B/3 (x0 , T x0 ) B/3 (x0 , a)




ởt t ự x0 T ni x x0 i sỷ ử ờ t
t tỗ t k N s

T ni x B/3 (x0 , T x0 ) B/3 (x0 , a), i k.
ồ i > k õ

(x0 , T x0 , a) (x0 , T ni x, a) + (x0 , T ni x, T x0 ) + (T x0 , T ni x, a)
2
< + (T x0 , T ni +1 x, a) + (T ni +1 x, T ni x, a)
3
+ (T x0 , T ni +1 x, T ni x)
2
< + (x0 , T ni x, a) + (T ni +1 x, T ni x, a)
3
< + (T ni x, T ni +1 x, a).

ữỡ tỹ ữ t õ t r r ợ ồ i ừ ợ

(T ni x, T ni +1 x, a) < (x0 , T x0 , a) + .

ứ s r r ợ ồ i ừ ợ

|(x0 , T x0 , a) (T ni x, T ni +1 x, a)| < .
{(T n x, T n+1 x, a)}
n=0 ở tử (x0 , T x0 , a)
ớ t ú ỵ r ợ ni ố t õ

(T n x, T n+1 x, a) < (T ni +1 x, T ni +2 x, a), n > ni + 1.
õ tử (x0 , T x0 , a) tọ

(x0 , T x0 , a) (T ni +1 x, T ni +2 x, a)
ú ợ ồ i N
õ i > k

(T ni +1 x, T ni +2 x, a) (T ni +1 x, T x0 , T ni +2 x) + (T ni +1 x, T x0 , a)
+ (T x0 , T ni +2 x, a)
<(T ni x, x0 , a) + (T x0 , T 2 x0 , a)
+ (T 2 x0 , T ni +2 x, a) + (T x0 , T 2 x0 , T ni +2 x)
<(T x0 , T 2 x0 , a) + (T ni x, x0 , a) + (T ni x, x0 , a)
<(T x0 , T 2 x0 , a) + /3 + /3
<(T x0 , T 2 x0 , a) + .