Nhóm lie và biểu diễn đối phụ hợp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
--------------------------------

Đoàn Công Thắng

NHÓM LIE VÀ BIỂU DIỄN ĐỐI PHỤ HỢP

Chuyên ngành: Hình học và Tôpô
Mã số: 60 46 10
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. LÊ ANH VŨ

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, chúng tôi xin chân thành cảm ơn chân thành đến Thầy Cô
Khoa Toán – Tin học Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tận
tình giảng dạy chúng tôi trong suốt khóa học vừa qua.
Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Lê Anh Vũ,
người thầy đã gợi mở hương nghiên cứu, hướng giải quyết vấn đề một cách
khoa học, đọc và chỉnh sửa tỉ mỉ cho luận văn của tôi.
Tôi xin gửi lời cám ơn đến quý thầy cô phòng sau đại học đã tạo mọi
điều kiện thuận lợi cho chúng tôi hoàn thành chương trình học.
Tôi xin chân thành cảm ơn NCS Dương Quang Hòa đã giúp đỡ tôi trong
quá trình học tập.
Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu, quý thầy cô, đồng nghiệp
Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai tỉnh Bến Tre đã tạo điều kiện thuận lợi

cho tôi đi học.
Cuối cùng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến gia đình tôi, bạn bè,
những người luôn động viên, chia sẻ và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học
tập và nghiên cứu.
Tp HCM, ngày 7 tháng 6 năm 2012

Đoàn Công Thắng


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN....................................................................................................................... 2
BẢNG KÍ HIỆU ................................................................................................................... 4
MỞ ĐẦU ............................................................................................................................... 5
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .................................................................................... 7
1.1.
Nhắc lại khái niệm cơ bản về đa tạp khả vi ........................................................... 7
1.1.1.
Cấu trúc khả vi trên không gian tôpô ............................................................. 7
1.1.2.
Các ví dụ ........................................................................................................ 8
1.1.3.
Tích các đa tạp khả vi .................................................................................... 8
1.1.4.
Ánh xạ khả vi ................................................................................................. 9
1.1.5.
Không gian vectơ tiếp xúc với M tại một điểm ............................................. 9
1.1.6.
Trường vectơ tiếp xúc của đa tạp khả vi ...................................................... 10
1.2.
Nhắc lại khái niệm cơ bản về nhóm Lie .............................................................. 12

1.2.1 Định nghĩa và ví dụ ........................................................................................... 12
1.2.2 Nhóm Lie con. Đồng cấu và đẳng cấu nhóm Lie ............................................ 13
1.2.3 Nhóm Lie thương .............................................................................................. 15
1.3.
Nhắc lại khái niệm cơ bản về đại số Lie .............................................................. 15
1.3.1.
Định nghĩa .................................................................................................... 15
1.3.2.
Các ví dụ ...................................................................................................... 16
1.3.3.
Đồng cấu đại số Lie ..................................................................................... 17
1.3.4.
Biểu diễn chính quy của đại số Lie .............................................................. 18
1.3.5.
Đại số Lie giải được và đại số Lie lũy linh .................................................. 19
1.4.
Sự liên hệ giữa nhóm Lie và đại số Lie ............................................................... 21
1.4.1.
Đại số Lie tương ứng với một nhóm Lie đã cho .......................................... 21
1.4.2. Nhóm Lie liên thông đơn liên tương ứng với đại số Lie ................................... 22
1.4.3
Ánh xạ mũ exponent .................................................................................... 22
Chương 2. BIỂU DIỄN NHÓM LIE .................................................................................. 24
2.1
Khái niệm cơ bản về biểu diễn............................................................................. 24
2.2
Biểu diễn phụ hợp và K-biểu diễn lớp MD-nhóm và MD-đại số ........................ 25
2.2.1
K-biểu diễn của một nhóm Lie .................................................................... 25
2.2.2

Các MD-nhóm và MD-đại số ...................................................................... 32
2.3
Nhắc lại phương pháp mô tả các K-quỹ đạo ........................................................ 33
Chương 3. MÔ TẢ K-QUỸ ĐẠO CỦA MỘT LỚP CON CÁC MD5-NHÓM LIÊN
THÔNG ĐƠN LIÊN ............................................................................................................ 37
3.1 Lớp con các MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hoán 4 chiều .................................. 37
3.2
Bức tranh hình học các K-quỹ đạo của các MD5-nhóm liên thông đơn liên tương
ứng với các MD5-đại số đã xét ........................................................................................ 41
KẾT LUẬN ......................................................................................................................... 48
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................................. 49


BẢNG KÍ HIỆU
Aut (V): nhóm các tự đẳng cấu trên không gian vectơ V.
Aut G : nhóm các tự đẳng cấu tuyến tính trên G.
 : trường số phức.

C ∞ (V ) : không gian các hàm khả vi vô hạn lần trên đa tạp V.
End(V) : không gian các đồng cấu trên không gian vectơ V.
exp : ánh xạ mũ exp.
G* : không gian đối ngẫu của đại số Lie G.
GL(n,R): nhóm tuyến tính tổng quát cấp n hệ số thực.
Mat(n; R) : tập hợp các ma trận vuông cấp n hệ số thực.
 : trường số thực.

TeG là không gian tiếp xúc của G tạo điểm đơn vị e.

Ω F : quỹ đạo Kirillove qua F.

MỞ ĐẦU
Một trong những bài toán cơ bản và quan trọng nhất của lý thuyết biểu
diễn chính là bài toán phân loại biểu diễn. Cụ thể là cho trước một nhóm Lie
G, hãy phân loại tất cả các biểu diễn unita bất khả quy của G (sai khác một
đẳng cấu).
Đối tượng quan trọng của lý thuyết biểu diễn chính là nhóm Lie và đại số
Lie. Vấn đề nghiên cứu và phân loại biểu diễn của nhóm Lie và đại số Lie là
một hướng nghiên cứu lớn trong Hình học – Tôpô và có rất nhiều ứng dụng
trong Vật lý, đặc biệt là vật lý lượng tử. Để giải quyết bài toán này, năm 1962,
A.A.Kirillove đã phát minh ra phương pháp quỹ đạo để nghiên cứu lý thuyết
biểu diễn nhóm Lie, phương pháp này cho phép ta nhận được tất cả các biểu
diễn unita bất khả quy của mỗi nhóm Lie liên thông, đơn liên, giải được từ
các K-quỹ đạo nguyên của nó.
Đóng vai trò then chốt trong phương pháp quỹ đạo Kirillove chính là các
K-quỹ đạo của biểu diễn đối phụ hợp (hay còn gọi là K-biểu diễn). Do đó,
việc mô tả các K-quỹ đạo của mỗi nhóm Lie, nhất là các nhóm Lie liên thông
giải được, có ý nghĩa quan trọng trong lý thuyết biểu diễn nhóm Lie.
Đó cũng là lý do chúng tôi chọn đề tài: “ Nhóm Lie và biểu diễn đối
phụ hợp”
Nội dung luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương nội dung và phần
kết luận. Cụ thể
Phần mở đầu: Nêu xuất xứ của vấn đề và lý do chọn đề tài .
Chương 1: Nều lại kiến thức cơ bản về đa tạp khả vi, nhóm Lie, đại số
Lie, các ví dụ minh họa về nhóm Lie, đại số Lie, sự liên hệ
giữa nhóm Lie và đại số Lie.


Chương 2 : Biểu diễn nhóm Lie
Chương 3: Mô tả các K-quỹ đạo của một lớp con các MD-5 nhóm liên

thông đơn liên.
Phần kết luận: Đưa ra những nhận xét và những vấn đề mở cần được
tiếp tục nghiên cứu.
Các ký hiệu được dùng trong bản luận văn này hoặc là các ký hiệu thông
dụng hoặc sẽ được giải thích khi dùng lần đầu (xem danh mục các ký hiệu).


Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Chương này chủ yếu đưa ra những cơ sở lý thuyết cho các kết quả
nghiên cứu ở các chương sau, trong đó giới thiệu đối tượng nghiên cứu chính
là nhóm Lie và đại số Lie.
1.1.

Nhắc lại khái niệm cơ bản về đa tạp khả vi

1.1.1. Cấu trúc khả vi trên không gian tôpô
Định nghĩa 1.1.1 Cho M là không gian topo Hausdorff. Một bản đồ trên M là
một cặp (V , ϕ ) , trong đó V là một mở của M, ϕ :V → V / là phép đồng phôi từ V
lên tập mở V / của  n .
Nếu (V , ϕ ) là một bản đồ trên M thì mỗi x ∈ V , ϕ ( x)∈V / , ϕ ( x)= ( x1 ,..., x n )∈ n .
Các số xi gọi là tọa độ địa phương của x
Nếu có một họ các bản đồ {(Vi , ϕi )}i∈I của M mà {Vi }i∈I là phủ mở của M
thì họ đó gọi là một atlat.
Định nghĩa 1.1.2 Cho M là không gian topo Hausdorff. Atlat {(Vi , ϕi )}i∈I của
M gọi là atlat khả vi của M nếu với hai bản đồ tùy ý của atlat (V1 , ϕ1 ), (V2 , ϕ2 )
mà V1  V2 ≠ φ , ϕ1 : V1 → V1/ , ϕ2 : V2 → V2/ thì ánh xạ ϕ2ϕ1−1 ϕ (V V ) : ϕ (V1  V2 ) → V2/ là
1

1

2

ánh xạ khả vi.
Trên tập các atlat khả vi của không gian topo M ta cho một quan hệ hai ngôi.
Cho A
=

(U i , ϕi )}i∈I , B
{=

{(V ,ϕ )}
j

j

j∈J

là hai atlat khả vi của M. Ta bảo A  B nếu

A  B là atlat khả vi của M. Quan hệ nàu là quan hệ tương đương.

Định nghĩa 1.1.3 Mỗi lớp tương đương của quan hệ tương đương xác định
như trên gọi là một cấu trúc khả vi trên M


Định nghĩa 1.1.4 Không gian topo Hausdorff M cùng với một cấu trúc khả
vi được xác định bởi một atlat {(Vi , ϕi )}i∈I trong đó ϕi : Vi → Vi / ⊂  n gọi là đa
tạp khả vi n chiều, dim M = n.
1.1.2. Các ví dụ
Ví dụ 1.1.1 Trên  n cho atlat khả vi gồm một bản đồ A = {( n , id )} . Khi đó

 n là một đa tạp khả vi n chiều. Cấu trúc khả vi này là cấu trúc khả vi chính

tắc trên  n
Ví dụ 1.1.2 Trên  n cho atlat khả vi gồm một bản đồ {( n , ϕ )} , ϕ :  →  xác
định bởi ϕ ( x) = x3 . Khi đó  là một đa tạp khả vi một chiều.
Ví dụ 1.1.3 Cho M là đa tạp khả vi với atlat A = {(U i , ϕi )}i∈I , N là một tập mở

{

}

của M. Khi đó N là đa tạp khả vi với atlat A N = (U i  N , ϕi U  N )
i

i∈I

. N còn gọi

là đa tạp mở con của M.
Ví dụ 1.1.4 Gọi Mat (n, ) là tập các ma trận vuông cấp n với hệ số thực. Có
một song ánh từ Mat (n, ) đến  n . Vì mỗi ma trận vuông có n 2 phần tử. Do
2

đó cấu trúc khả vi trên Mat (n, ) như trên  n . Ánh xạ ϕ : Mat (n, ) →  biến
2

A  det A

là ánh xạ liên tục vì đó là ánh xạ đa thức. Do đó

GL(n, ) = Mat (n, ) \ ϕ −1 (0) là tập mở trong Mat (n, ) . Vậy GL(n, ) là đa tạp

khả vi với cấu trúc khả vi trên Mat (n, ) .
1.1.3. Tích các đa tạp khả vi
Định nghĩa 1.1.5 Cho đa tạp khả vi M với atlat A = {(U i , ϕi )}i∈I và đa tạp khả
vi N với atlat khả vi B = {(V j ,ψ j } j∈J . Trên không gian Hausdorff M × N xét
atlat khả vi A × B= {(U i × V j , ϕi ×ψ j )}i∈I , j∈J thì M × N gọi là đa tạp tích của hai đa
tạp M và N. Trong đó ϕi ×ψ j : U i × V j → ϕi (U i ) ×ψ j (V j ) biến ( x, y ) → (ϕi ( x),ψ j ( y )) .


Nếu M là đa tạp khả vi m chiều, N là đa tạp khả vi n chiều thì M × N là đa tạp
khả vi m + n chiều
Ví dụ 1.1.5
•  n ×  m là đa tạp khả vi m+n chiều.
• Hình trụ  × S 1 là đa tạp khả vi 2 chiều.
2
• Xuyến T =
S 1 × S 1 là đa tạp khả vi 2 chiều.

1.1.4. Ánh xạ khả vi
Định nghĩa 1.1.6 Cho M và N lần lượt là những đa tạp khả vi m chiều và n
chiều. Ánh xạ f : M → N gọi là ánh xạ khả vi nếu f là ánh xạ liên tục và mọi
bản đồ (U , ϕ ) của M, bản đồ (V ,ψ ) của N mà U  f −1 (V ) ≠ φ thì ánh xạ ψ  fϕ −1
từ tập mở ϕ (U  f −1 (V )) của  m vào  n là ánh xạ khả vi.
Định nghĩa 1.1.7 Nếu ánh xạ f : M → N là ánh xạ khả vi và có ánh xạ ngược
f −1 : N → M là khả vi thì f gọi là vi phôi.

1.1.5. Không gian vectơ tiếp xúc với M tại một điểm
Giả sử M là đa tạp khả vi n chiều với atlat khả vi A = {(U i , ϕi )}i∈I . Giả sử
=

J

 (U × 
i

n

) là hợp rời của các không gian tôpô U i ×  n với tôpô tổng.

i∈I

Trong J ta cho quan hệ hai ngôi như sau: Với
 x = y
( x, v) ∈ U i ×  n , ( y, w) ∈ V j ×  n ; ( x, v)  ( y, w) ⇔ 
−1
 D(ϕ j ϕi )(ϕi ( x))(v) = w

Quan hệ trên là quan hệ tương đương. Không gian thương TM = J /  là một
không gian tôpô Hausdorff. Ta xác định ánh xạ ∏ = ∏ M : TM → M , ∏(vx ) = x .
Nếu ( x, v) ∈ J thì lớp tương đương của nó lí hiệu là vx . Giả sử vx , wx ∈ TM sao
cho vx là lớp của ( x, v) , wx là lớp của ( x, w) ∈ J . Khí đó lớp của ( x, v + w) không
phụ thuộc vào cách chọn đại diện vx và wx và ta kí hiệu là vx + wx


Với mỗi số thực α và với vx ∈ TM ta xác định α x ∈ TM là lớp tương đương của
∏ −1 ( x) ⊂ TM là một không gian vectơ. Ta nói
( x, α v) . Như vậy, mổi x ∈ M , TM =
Tx M là không gian tiếp xúc của M tại x . Mỗi phần tử của Tx M gọi là vectơ

tiếp xúc của M tại x mà ta kí hiệu là X.

Định nghĩa 1.1.8 Cho M 1 , M 2 là hai đa tạp khả vi và f : M 1 → M 2 là ánh xạ
khả vi. Xét ánh xạ

Tx f : Tx M 1 → T f ( x ) M 2 , X  (Tx f )( X )

xác định bởi

[(Tx f )( X )]ϕ =: X (ϕ f ), ∀ϕ : M 1 →  là ánh xạ khả vi. Khi đó Tx f là ánh xạ tuyến

tính và ta xác định ánh xạ f∗ : TM 1 → TM 2 , X  f∗ X với ( f∗ X )ϕ := X (ϕ f ) . Ánh
xạ f∗ gọi là ánh xạ tiếp xúc của f .
Ví dụ 1.1.6 Cho f : M →  n là ánh xạ khả vi, cấu trúc khả vi trên  n là cấu
trúc khả vi chính tắc. Khi đó f∗ :TM → T  n = n ×  n được cho bởi công thức
f∗ (vx ) = ( f ( x), D( fϕi−1 )(ϕi )( x)(v) trong đó (U i , ϕi ) là một bản đồ của M và x ∈ U i .

Như vậy, tồn tại ánh xạ df : TM → =
 n sao cho f ∗ ( f ( x), df (vx )), vx ∈ Tx M . Ánh
xạ df còn gọi là ánh xạ vi phân của f .
Tính chất của ánh xạ tiếp xúc
Mệnh đề 1.1.1 Cho

M1 , M 2 , M 3

là những đa

tạp khả vi và

f : M 1 → M 2 , g : M 2 → M 3 là hai ánh xạ khả vi. Khi đó g f : M 1 → M 3 là ánh xạ

khả vi và ( g f )∗ = g∗ f∗ .

Mệnh đề 1.1.2

Cho M là đa tạp khả vi, f : M → , g : M →  là hai ánh xạ

khả vi. Khi đó ( fg )( x) = f ( x) g ( x) là ánh xạ khả vi, với vx ∈ Tx ( M ) , ta có
=
d ( fg )(vx ) f ( x)dg (vx ) + df (vx )d ( x)

1.1.6. Trường vectơ tiếp xúc của đa tạp khả vi
Trường vectơ