Bài toán biên thứ 2 đối với phương trình Hyperbolic cấp 2 trong trụ vô hạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2

Lời cảm ơn
Trước hết, tôi xin chân thành cảm ơn đến quí thầy cô trường Đại học sư
phạm Hà Nội II, phòng sau đại học, đặc biệt là những thầy cô đã tận tình dạy
LÊ HOÀNG ANH
bảo cho tôi trong suốt thời gian học tập tại trường.
Tôi xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến Giáo sư – Tiến sĩ khoa học Nguyễn
Mạnh Hùng, người đã dành rất nhiều thời gian, tâm huyết, tạo mọi điều kiện,
động viên và giúp đỡ tôi hoàn thành tốt khóa luận này. Sự hiểu biết sâu sắc về

TOÁN
BIÊNcủa
THỨ
ĐỐIlà VỚI
khoa học, BÀI
cũng như
kinh nghiệm
thầy 2chính
tiền đềPHƢƠNG
giúp tôi đạt được
TRÌNH
HYPERBOLIC
CẤP
những
thành tựu
và kinh nghiệm quý
báu.

2 TRONG TRỤ VÔ HẠN

Bên cạnh đó, tôi cũng không thể quên gửi lời cảm ơn tới cô Nguyễn
ngành
Toáncông
giải sức
tích để trao đổi, thảo luận
Thị Bích Liên đã khôngChuyên
quản ngại
thời :gian,
Mã số
: 60 46 01
và đưa ra những chỉ dẫn, đề nghị cho luận văn của tôi.

.

LUẬN
VĂN
THẠC
TOÁN
Cuối
cùng, tôi
cũng xin
cảm ơnSĨbạn
bè, gia GIẢI
đình và TÍCH
đồng nghiệp đã
luôn bên tôi, cổ vũ và động viên những lúc khó khăn để có thể vượt qua và
hoàn thành tốt luận văn này.
Mặc
dù hƣớng

tôi đã có
nhiều
cốhọc
gắng: GS.TSKH
hoàn thiện luận
văn Mạnh
bằng tất
cả sự nhiệt
Ngƣời
dẫn
khoa
Nguyễn
Hùng
tình và năng lực của mình, tuy nhiên không thể tránh khỏi những thiếu sót, rất
mong nhận được sự đóng góp quí báu của quí thầy cô và các bạn.
Hà Nội, ngày 16 tháng 6 năm 2013
Học viên

Lê Hoàng Anh

HÀ NỘI, 2013


-2-

Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan luận văn này là do tự bản thân tôi thực hiện, có sự hỗ
trợ hướng dẫn của GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng và không sao chép các
công trình nghiên cứu của người khác để làm sản phẩm của riêng mình. Các
nội dung sử dụng trong luận văn là có nguồn gốc và được trích dẫn rõ ràng.

Tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm về tính trung thực và nguyên bản của luận
văn.
Nếu phát hiện có bất kỳ sự gian lận nào tôi xin hoàn toàn chịu trách
nhiệm trước Hội đồng, cũng như kết quả luận văn của mình.
Hà Nội, ngày 16 tháng 6 năm 2013
Tác giả

Lê Hoàng Anh


-3-

Mục lục
.............................................................................................. 4
I.1 Lý do chọn đề tài ........................................................................................ 4
......................................................................... 4
....................................................................... 5
.................................................................. 5
...................................................................... 6
................................................................... 6
1.1 Không gian Banach .................................................................................... 6
1.1.1 Không gian định chuẩn ........................................................................... 6
1.1.2 Không gian Banach ................................................................................. 7
1.2. Không gian Hilbert .................................................................................... 9
1.2.1 Tích vô hướng ......................................................................................... 9
1.2.2 Không gian Hilbert ................................................................................ 11
1.3. Không gian Sobolev ................................................................................ 14
1.3.1 Đạo hàm suy rộng ................................................................................. 14
1.3.2 Không gian Sobolev .............................................................................. 15
Chƣơng II

Bài toán CauchyNeumann đối với phƣơng trình

Hyperbolic trong trụ vô hạn ....................................................................... 19
2.1. Giới thiệu:................................................................................................ 19
2.2. Thiết lập bài toán ..................................................................................... 20
2.2.1 Đặt bài toán ........................................................................................... 21
2.2.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm .............................................................. 23
Chƣơng III

Bài toán biên thứ 2 đối với phƣơng trình Hyperbolic

cấp 2 không có điều kiện ban đầu ............................................................... 36
3.1. Giới thiệu ................................................................................................. 36
3.2. Kết quả chính .......................................................................................... 38


-4-

Phần III : Danh mục tài liệu tham khảo .................................................... 45

1
1. Lý do chọn đề tài
Lí thuyết các bài toán biên đối với các phương trình, hệ phương trình
dừng cũng như không dừng tuyến tính trong các miền trơn đã được nghiên
cứu gần như hoàn thiện vào giữa thế kỉ XX. Tuy nhiên, một vấn đề quan
trọng được đặt ra đó là khi tính trơn của biên bị phá vỡ, tức là biên của miền
xét bài toán chứa các điểm kì dị. Các kết quả nghiên cứu mang tính chất nền
móng của V.A Kondrative năm 1967 đã giải quyết được một số vấn đề mang
tính nguyên lí để khắc phục điểm biên kì dị của bài toán biên tổng quát đối

với phương trình Elliptic. Từ những kết quả quan trọng của V.A Kondrative
các nhà toán học tiếp tục nghiên cứu hệ phương trình Elliptic và hướng
nghiên cứu này đã khá hoàn thiện vào những năm chín mươi của thế kỉ XX.
Nghiên cứu các bài toán biên đối với phương trình và hệ phương trình không
dừng trong trụ có đáy là miền với biên không trơn được nghiên cứu một cách
hệ thống với các hệ phương trình: Hyperbolic, parabolic và Schrodinger.
Trong đó, các kết quả của bài toán biên tổng quát đối với phương trình và hệ
phương trình Hyperbolic có ứng dụng thực tiễn quan trọng trong vật lí, cơ học
và hóa học lượng tử. Chình vì thế “Bài toán biên thứ 2 đối với phƣơng trình
Hyperbolic cấp 2 trong trụ vô hạn” là đề tài mà tôi đã lựa chọn nghiên cứu
trong luận văn.
2.
Mục đích nghiên cứu của luận văn là chỉ ra sự tồn tại duy nhất nghiệm
suy rộng và tính trơn của nghiệm suy rộng theo biến thời gian trong bài toán
biên ban đầu tổng quát đối với phương trình Hyperbolic trong trụ vô hạn và
đáy là miền có biên không trơn.


-5-

4 Phƣơn
Sử các phương pháp giải tích hàm : phương pháp ước lượng tiên
nghiệm và phương pháp Galerkin.


-6-

2
Chƣơng 1

1.1 Không gian Banach
1.1.1 Không gian định chuẩn
Định nghĩa1.1.1 Giả sử X là một không gian tuyến tính trên trường số
thực hay số phức K , p là một nửa chuẩn xác định trong X , tức p là một

¡ thỏa mãn hai điều kiện :

ánh xạ X
a) p

x

b) p x

p x
y

x

p x

p y

Theo nhận xét p x
ra p x

x, y

0

x

X,

K

X

X . Ta có p 0

0 , nhưng có thể xảy

0 với x 0 nào đó. Nếu p thỏa mãn them điều kiện:

c) p x

x 0 , thì p được gọi là một chuẩn trong X . Khi đó ta

0

kí hiệu x thay cho p x . Như vậy một chuẩn . thỏa mãn ba điều kiện:

0 với

1) x
2)
3) x

x
y

x

x

với

x

y

X

x
x

0

X,

với

x, y

x 0
K
X

Từ đó ta suy ra :

x

y

x

y,

x, y

X

Định nghĩa1.1.2 Không gian tuyến tính thực (hay phức) cùng với một
chuẩn xác định trong X được gọi là một không gian định chuẩn thực (hay
phức).


-7-

1.1.2 Không gian Banach
Định nghĩa1.1.3 Nếu không gian định chuẩn X là một không gian
Metric đầy đủ (với khoảng cách d x, y

x

y ) thì X được gọi là không

gian Banach hay không gian định chuẩn đầy đủ.
Ví dụ 1: Không gian Euclide n – chiều ¡ n trở thành không gian định
chuẩn với chuẩn:

n

x

xi

2

1
2

x

x1 ,..., xn

¡

n

.

i 1

Không gian ¡

n

là không gian Banach.

Ví dụ 2: Gọi C a, b là tập hợp tất cả các hàm giá trị thực (hay giá trị

phức) liên tục trên các khoảng đóng a,b

¡ . C a, b trở thành không gian

định chuẩn với chuẩn :

x

max x t
a t b

Không gian C a, b là không gian Banach.
Ví dụ 3: Giả sử C S là tập hợp tất cả các hàm giá trị thực (hay phức)
liên tục trên không gian Tôpô compact (S). C S là không gian định chuẩn
với các phép toán đại số thông thường và với chuẩn :

x

max x t
t S

Ví dụ 4: C0 và l là các không gian Banach. Ta sẽ chứng minh cho
không gian C0 ; đối với l chứng minh tương tự.
Giả sử xm
nghĩa là

m 1

là một dãy Cauchy trong C0 , trong đó xm

0, m0 , m m0 , p nguyên dương,
xm

xm

p

m
1

,

m
2

,... có


-8-

Vì xm

sup

m

, ta có :

n

n

m
n

khi n cố định

(1.1.1)

n

là một dãy số Cauchy. Do đó, tồn tại

m
n

m p
n

m 1

0
n

lim
m

m
n

.

trong (1.1.1) ta thu được:

Cho p

m

0
n

n

Bởi vì lim
m

m0

n

0 , cho nên

n

m0
n

0
n

n0 , n n0 ,

m0
n
0
1

x0

(1.1.2)

0
n

, 20 ,...

2

c0 .

Từ (1.1.2) suy ra

xm
x0

x0

khi m m0 .

lim

xn trong không gian c0 .
n

Ví dụ 5: l p p 1 là không gian Banach. Giả sử xm
trong l p , trong đó xm

m
1

,

m
2

,... . Do đó

m 1

là dãy Cauchy

0, m0 , m m0 , r nguyên

dương:

xm

xm

r

tức là
m
n

m r p
n

1
p

(1.1.3)

n 1

m
n

m p
n

n, m m0

(1.1.4)

N

(1.1.5)

Từ (1.1.3) suy ra:
N

m
n
n 1

m r p
n

1
p


-9-

Từ (1.1.4) suy ra với mọi n, tồn tại giới hạn:
m

lim
m

0
n

n

trong (1.1.5) ta nhận được

Cho r

N

m

0
n

n

p

1
p

N

n 1

ta nhận được

Cho N
m

0
n

m

0
1

n

1
p

p

(1.1.6)

n 1

y:

1

x0

0
1

,

0
2

m

,

2
m

,...

1

0
2

,...

,

2

m

lp
m

,...

0
1

1

,

m
2

0
2

,...

xm

y lp

Từ (1.1.6) suy ra:

y
Tức là x0

xm

x0

m m0

lim
xm trong l p .
m

Ví dụ 6: l p a, b

p 1 là không gian Banach. Định lý Fisher-Riesz

trong lý thuyết tích phân Lebesgue đã chỉ ra l1 a, b là không gian Banach.

Tính đầy đủ của không gian l p a, b

p 1 cũng chứng minh tương tự.

1.2. Không gian Hilbert
1.2.1 Tích vô hướng
Trong không gian ¡

y

1

, 2 ,...,

k

k

tích vô hướng của hai vectơ x

1

, 2 ,...,

k

,

:
x, y

1 1

2

2

...

k

k

giữ một vai trò rất quan trọng và là một khái niệm được ứng dụng rộng rãi
trong toán học, cơ học, vật lý, … Biết tích vô hướng của mọi cặp vectơ thì có
thể suy ra độ dài các vectơ (bình phương độ dài một vectơ bằng tích vô hướng


- 10 -

của vectơ ấy với chính nó) và góc giữa hai vectơ (cosin của góc này bằng tích
vô hướng của hai vectơ chia cho tích các độ dài của chúng). Thành thử trong
khái niệm tích vô hướng đã bao hàm khả năng đo độ dài, đo góc, và từ đó đi
đến những khái niệm quan trọng khác như tính trực giao, hình chiếu thẳng,…
Ta hãy xét xem làm thế nào đưa được khái niệm tích vô hướng vào
không gian định chuẩn. Ta nhận thấy tích vô hướng x, y của hai vectơ x, y
trong ¡

k

có các tính chất cốt yếu sau đây:

1. x, y
2. x
3.

y, x .
y, z

x, z

x, y với mọi số thực

x, y

4. x, x

y, z .

0 nếu x 0 ; x, x

.

0 nếu x 0 .

Vả lại tích vô hướng liên hệ với độ dài (chuẩn) của các vectơ bởi hệ
thức
5. x, x

2

x .

Như vậy phải làm thế nào xác định được trong không gian định chuẩn
một hàm hai biến x, y với các tính chất 1. – 4. và liên hệ với chuẩn bởi hệ
thức 5. Một không gian định chuẩn mà trong đó có thể xác định được một
hàm hai biến x, y với các điều kiện ấy gọi là một không gian Hilbert (hay
không gian unita).
Từ tính chất 1, 2 và 3, ta có

x

y, x

y

x

y, x

y

2 x, x

2 y, y

và kết hợp với 5, ta suy ra chuẩn trong một không gian tiền Hilbert phải thỏa
mãn điều kiện

x

y

2

x

y

2

2 x

2

y

2

.

(1.2.1)


- 11 -

Đẳng thức này có nghĩa là: tổng bình phương các cạnh của một hình
bình hành bằng tổng bình phương của hai đường chéo, cho nên thường gọi là
điều kiện bình hành.
Vậy muốn đưa được tích vô hướng vào một không gian định chuẩn thì

không gian này phải thỏa mãn điều kiện bình hành. Ngược lại có thể chứng
minh ( không khó lắm ) rằng nếu một không gian định chuẩn thỏa mãn điều
kiện bình hành thì bằng cách đặt

x, y

1
x
4

y

2

x x

2

(1.2.2)

ta sẽ có hàm hai biến x, y với các tính chất 1 đến 4
Tóm lại, không gian Hilbert chẳng qua là không gian định chuẩn thỏa
mãn điều kiện bình hành (1).
Nhưng trong phần lớn các ứng dụng, khái niệm tích vô hướng đi trước
khái niệm chuẩn, cho nên trong lý thuyết không gian Hilbert người ta thường
xuất phát từ một không gian tuyến tính (chưa định chuẩn ),lấy các tính chất 1.
– 4. làm những tiên đề để định nghĩa tích vô hướng trong không gian đó, rồi
mới định nghĩa chuẩn bởi 5. Tức là x

x, x (đương nhiên cần chứng

minh rằng đó là một chuẩn, nghĩa là nó thỏa mãn đủ các tiên đề về chuẩn).
1.2.2 Không gian Hilbert
Một không gian tuyến tính thực X được gọi là không gian tiền Hilbert,
nếu trong đó có xác định một hàm hai biến x, y , gọi là tích vô hướng của
hai vectơ x, y , với các tính chất 1. – 4.
Ta hãy chứng minh rằng hệ thức 5. tức là

x

x, x

(1.2.3)

xác định một chuẩn trong không gian X, nói cách khác không gian tiền
Hilbert định nghĩa như trên là một không gian định chuẩn.


- 12 -

Trước hết, với mọi số thực

0

x

y, x

ta có

y

2

này phải có biệt số

0:

y

x, x

cho nên tam thức bậc hai theo

2

x, y
hay

2

x

x, x y, y

x, y

y, y ,

0

(1.2.4)

x.y

Từ đó

x

y, x

y

x, x

2 x, y

y, y

x

2

2x.y

y

2

x

y

2

Vậy

x

y

x

y

nghĩa là bất đẳng thức tam giác được thỏa mãn. Mặt khác từ 3. , 4. , 5. ta suy

0 nếu x 0, x

ra ngay: x

0 nếu x 0 , và

x

. x . Do đó x

đúng là một chuẩn.
Qua chứng minh trên ta thấy rằng trong không gian tiền Hilbert luôn
luôn có bất đẳng thức (1.2.4) gọi là bất đẳng thức Schwarz. Vả lại theo trên
đẳng thức bình hành (1.2.1) cũng luôn luôn đúng.

Ta có x
chuẩn

xn

có

yn

xn , yn

y, x

hệ

x

y,

x

y .

y

thức

xn

x

y, x

y

4 x, y nên giữa tính vô hướng và

(1.2.2).

Khi

yn

y , cho nên theo (1.2.2) ta cũng có

x

xn

x

0,

yn

y

0

thì

Vậy tích vô hướng x, y là một hàm liên tục đối với x và y. Vả chăng
các tính chất 2. , 3. có nghĩa là x, y là một phiếm hàm song tuyến tính trên
X, và bất đẳng thức Schwarz (1.2.4) cho thấy phiếm hàm này bị chặn, do đó
theo kết quả ở Chương 5, mục 5.3, nó phải liên tục.


- 13 -

Vì một không gian tiền Hilbert là không gian định chuẩn, nên mọi khái
niệm và sự kiện về không gian định chuẩn đều áp dụng cho nó. Nói riêng một
không gian tiền Hilbert có thể đủ hay không đủ. Một không gian tiền Hilbert
đủ gọi là một không gian Hilbert.
Một không gian tiền Hilbert không đủ bao giờ cũng có thể bổ sung cho
thành không gian Hilbert: muốn như thế, người ta coi nó là một không gian
định chuẩn với chuẩn x

để bổ sung cho thành một không gian

x, x

Banach (như đã thấy ở Chương 5, mục 1.4), sau đó sẽ chứng minh rằng trong
không gian Banach này có thể định nghĩa tích vô hướng thêm cho các phần tử
mới để vẫn có x

x, x

Giữa các khái niệm không gian Metric, không gian tuyến tính, không
gian định chuẩn và không gian Hilbert, có những liên hệ như trong Bảng 1.
Trong những ví dụ về không gian định chuẩn đã gặp, ¡

k

không gian Hilbert, với tích vô hướng là x, y

i 1

i

i

k

dĩ nhiên là

.

cũng là không gian Hilbert, với tích vô hướng:

Không gian L2 E,

x, y

E

x t y t d

Tích phân này tồn tại và hữu hạn vì theo bất đẳng thức Holder:
E

xy

1
2

x2 .

y2

1
2

.

2

Không gian C La ,b gồm tất cả các hàm liên tục trên a, b với các phép
toán tuyến tính thông thường, và tích vô hướng

x, y

b
a

x t y t dt

là một không gian tiền Hilbert không đủ ( tính không đủ này cũng chứng
2

minh tương tự như đối với C La ,b , Chương 2 , mục 3.1)

- 14 -

Một không gian Hilbert thường gặp nữa là không gian l 2 , lập thành bởi
tập tất cả các dãy số x
tuyến tính : x

y

1

1

1

,

, 2 ,... sao cho

2

2

i 1

,... ; x

1

x, y

i

,

, với các phép toán

2
i

2

,... , và tích vô hướng

i

i 1

Không gian này là trường hợp riêng của L2 E,

E

1,2,..., n,... ,

1

2

với

...

n

... 1

Hai không gian Hilbert X , X ' gọi là đẳng cấu nếu có một ánh xạ 1-1
từ X lên X ' bảo toàn các phép toán tuyến tính và bảo toàn tích vô hướng,
nghĩa là sao cho
1)

x

y

2)

x, y

x

y ;

x

x ;

x, y

Chẳng hạn, sau này sẽ thấy rằng hai không gian l 2 và L2 là đẳng cấu.

1.3. Không gian Sobolev
1.3.1 Đạo hàm suy rộng
Giả sử

là một miền không nhất thiết bị chặn trong không gian ¡ n .

Một hàm v x

u x

L1,loc

của hàm

nếu

L1,loc

u x

với mọi

được gọi là đạo hàm suy rộng cấp

0

C

x dx

, ở đó

1

1

,...,

D

v x D

n

1

,

x1...

x dx

1

n

...

n

và

xn

Từ công thức Green cổ điển suy ra một hàm v có đạo hàm liên tục cấp
thì nó có đạo hàm suy rộng cấp

. Từ định nghĩa đạo hàm suy rộng và từ


- 15 -

định lí rút ra hàm v có không quá một đạo hàm suy rộng. Thật vậy, giả sử u 1
và u2 là hai đạo hàm suy rộng của hàm v. Khi đó
0

u1 x

u2 x

x

x dx 0 ,

Do đó u1 = u2 hầu khắp nơi trong

C

.

.

Một hàm có đạo hàm suy rộng có thể không có đạo hàm (theo nghĩa cổ
điển). Để lấy ví dụ ta lấy v x

g x2 . Khi đó

f x1
2

v
x1 x2
với các hàm f , g

0

L1 ¡ , nhưng có thể các đạo hàm ( cổ điển ) cấp một và

cấp hai không tồn tại khắp nơi trong ¡ 2 .
Một hàm có đạo hàm suy rộng cấp
hàm suy rộng trong miền
vào

trong miền

'

. Khi đó đạo

' được gọi là thu hẹp của đạo hàm suy rộng trong

' . Dễ kiểm tra được rằng

D

v

D Dv ,

aD v1 bD v2

D av1 bv2 ,

ở đó a và b là các hằng số tùy ý.
Từ định nghĩa của đạo hàm suy rộng thấy ngay được rằng đạo hàm suy
rộng không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm. Nói chung đạo hàm suy rộng
bảo toàn được nhiều tính chất của đạo hàm (cổ điển). Tuy nhiên không phải
tất cả, chẳng hạn từ sự tồn tại đạo hàm suy rộng cấp
tồn tại đạo hàm suy rộng cấp nhỏ hơn

không suy ra được sự

.

1.3.2 Không gian Sobolev
Không gian Wpm

là không gian bao gồm tất cả các hàm u x

sao cho tồn tại các đạo hàm suy rộng mọi cấp

trang bị chuẩn

,

m thuộc Lp

Lp

,

được


- 16 -

1

uW

p

Du x

m
p

(1.3.1)

dx

m

Không khó khăn, ta kiểm tra được Wpm
và là không gian Hilbert với p

1 p

p

là không gian Banach với
với chuẩn

2 . Không gian Wpm

(4.1) được gọi là không gian Sobolev.
Trong luận văn này, chúng tôi giả sử
(n 2) với biên

. Hơn nữa, giả sử rằng

trùng với nón K

x:

là một miền bị chặn trong ¡

n

\ 0 trơn vô hạn và

G trong một lân cận nào đó của gốc tọa độ 0, ở

x
x

đây G là một miền trên mặt cầu đơn vị S n 1 với biên G trơn.
Kí hiệu QT
với 0 T

0,T , ST

0,T , GT G

G

0,T

0, t với 0 t T .

; Qt

Giả sử l, k và h là những số nguyên không âm;
với

0,T , G

,

là những số thực

0 . Trong luận văn này chúng tôi thường sử dụng các không gian hàm

sau.

Cl
C

- không gian các hàm khả vi liên tục đến bậc l trên

I

k 0

.

- không gian các hàm khả vi vô hạn trong

Ck

C0

- không gian các hàm khả vi vô hạn có giá compact trong

L2

- không gian các hàm bình phương khả tích trên

u

Hl

2

u x

L2

.
.

với chuẩn

1
2

dx

- không gian các hàm giá trị phức đo được u x có đạo hàm

suy rộng đến cấp l, thỏa mãn
1
2

l

u

Hl

2

:

D u dx
0


- 17 -

- không gian Soblev có trọng gồm các hàm giá trị phức đo

Hl

được u x có đạo hàm suy rộng đến cấp l, thỏa mãn
1
2

l

u

:

Hl

r

2

l

2

D u dx

0

- không gian Sobolev có trọng gồm các hàm giá trị phức đo

Wl

được u x có đạo hàm suy rộng đến cấp l, thỏa mãn
1
2

l

u

2

r 2 D u dx

:

Wl

0

L2 QT - không gian các hàm bình phương khả tích trên QT với chuẩn

1
2

u

H l ,k QT

2

u x, t

L2 QT

dxdt

QT

- không gian các hàm giá trị phức đo được u x, t có đạo

hàm đến cấp l theo biến x và cấp k theo biến t, thỏa mãn
l

u

:

H l ,k QT

Du

2

0

QT

k
j 1

ut

2
j

1
2

dxdt

H l e t , QT - không gian Sobolev có trọng gồm các hàm giá trị phức
đo được u x, t có đạo hàm đến cấp l theo hai biến x và t, thỏa mãn
u

H l ,k QT

2

:

D ut e

1
2

2 t

j

j 1

QT

dxdt

- không gian Sobolev có trọng gồm các hàm giá trị phức

H l e t , QT

đo được u x, t có đạo hàm đến cấp l theo hai biến x và t, thỏa mãn
1
2

u

Hl e

t

,QT

:

r
j l QT

2

j l

2

D ut e
j

2 t

dxdt


- 18 -

V l ,,0h e t , QT - không gian Sobolev có trọng gồm các hàm nhận giá trị
, xác định trên (0,T) và có đạo hàm theo t đến cấp h,

trong không gian H l
thỏa mãn

h T

uV

V

l

trong H

l

1 ,0
2

,h
1
2

l ,0
,h

e

t

,QT

:
j 0 0

j

du t

dt j

1
2

2

e 2 t dt
Hl

e t , ST - không gian Sobolev có trọng gồm các hàm nhận giá trị

, xác định trên 0,T và có đạo hàm theo t đến cấp h, thỏa mãn
h T

uV

l 1 ,0
2
,h

t

e

, ST

:
j 0 0

j

du t
dt j

1
2

2

e 2 t dt
H

l 1
2

- không gian Sobolev có trọng gồm các hàm giá trị

Lh2 e 2 t , 0,T

phức đo được u t có đạo hàm theo t đến cấp h, thỏa mãn
h T

u

L 0,T ; L2
gian L2

Lh2 e

2 t

, 0,T

:

ut t

2

j

j 0 0

1
2

e

2 t

dt

- không gian gồm các hàm nhận giá trị trong không

, xác định trên 0,T và thỏa mãn
u : ess sup u t
0 t T

L2

- 19 -

Chƣơng 2
Bài toán CauchyNeumann đối với phƣơng trình Hyperbolic
trong trụ vô hạn
2.1. Giới thiệu:
Các bài toán giá trị biên elip trong miền xác định với các điểm bất
thường được xem xét ở bài báo [1,2], trong đó một số quan trọng về sự tồn tại
duy nhất của nghiệm và sự khai triển tiệm cận của nghiệm cho các bài toán đó
trong không gian Sobolev được đưa ra. Tính trơn của các nghiệm của bài toán
Dirichlet cho phương trình eliptic bậc 2 trong miền xác định với biên được
mô tả ở [3]. Bài toán giá trị biên ban đầu cho các phương trình và hệ thống
bất định trong miền xác định với các điểm hình nón được nghiên cứu trong
các công trình [4,5]. Bài toán với điều kiện biên Neumann trong miền xác
định với biên được giải quyết cho phương trình nhiệt kinh điển ở [6] và cho
phương trình parabolic bậc 2 nói chung ở [7]. Bài toán Cauchy-Dirichlet cho
phương trình hyperbolic bậc 2 trong hình trụ với đáy không trơn được khảo
sát ở [8] và bài toán tương tự cho phương trình Schrodinger được mô tả ở
[9,10], trong đó tính trơn của nghiệm được nghiên cứu trong hình trụ với đáy
bao gồm các điểm hình nón. Trong bản luận văn này, chúng tôi xem xét
phương trình hyberbol bậc 2 với điều kiện Cauchy-Neumann trong hình trụ
với đáy chứa các điểm hình nón. Một số kết quả về sự tồn tại, tính duy nhất và
tính trơn đối với sự biến đổi của các nghiệm tổng quát của bài toán được đưa
ra.
Bản luận văn được trình bày như sau. Phần 2 nói về các ký hiệu và sự
thiết lập của bài toán. Phần 3 trình bày về sự tồn tại duy nhất và tính trơn của
nghiệm tổng quát của bài toán đối với biến thời gian. Phần 4 đưa ra tính trơn

- 20 -

của nghiệm tổng quát đối với biến không gian. Phần cuối ứng dụng kết quả
phần 3 và 4 vào một vấn đề trong vật lý toán.
2.2. Thiết lập bài toán
là một miền bị chăn trong ¡ n , n 2 với biên
rằng

là một bề mặt khả vị vô hạn lần trừ điểm gốc, trong miền lần lận của

trung với hình nón K {x : x / x
cầu đơn vị S n 1 . Ký hiệu

0 T

. Chúng ta giả thiết

G}, với G là một miền trơn trên hình

x (0, T ) với T bất kỳ:

x (0, T ) , ST

T

.
Chúng ta sử dụng ký hiệu sau đây: với mỗi chỉ số p ( p1 ,..., pn ) N n ,

p

p1 ... pn , ký hiệu D pu

p đối với x ( x1 ,..., xn ) ; u p

p

k

p1
x1

u/

...

pn
xn

ux

p1
pn
1 ... xn

là đạo hàm chung bậc

u / t k là đạo hàm chung bậc k đối với t.

Chúng ta bắt đầu với việc đưa ra một số không gian hàm được sử dụng

thường xuyên trong bản luận văn này.
W l ( ) là không gian chứa tất cả các hàm u(x), x

uW

, với chuẩn:

1
2

2

D pu dx

l

p l

W l ( ) là không gian chứa tất cả các hàm u(x) thỏa mãn
2

2

uW
W l , k (e t ,

cho D pu , t , ut

j

T

r 2 D pu dx

l

p l

) là không gian chứa tất cả các hàm u x, t , ( x, t )

,t

L2

0

2

uW

l .k

e

p
D pu

t, T
T

p l

l ,0
2
j k

j k
ut

2
j

e

T

sao

với hầu hết t (0, T ) và
2 t

dxdt


- 21 -

W l ,0 (e t ,
T

2

uW

l ,0

e

T

2

uW

t, T

) là không gian chứa tất cả các hàm u(x,t) thỏa mãn

e

l

2 t

dt

0

W l (e t ,

uW

T

l

) là không gian chứa tất cả các hàm u x, t với chuẩn:

e

t

,

T
T

p

j l

r 2 D put

2
j

j l

ut

2

j

1
2

e

2 t

dxdt

X là một không gian Banach với chuẩn . x . Ký hiệu L (0, T ; X ) là
không gian chứa tất cả các giá trị X của hàm u ., t xác định trên (0,T) sao
cho
u

ess sup u x, t

L 0,T ; X

0 t T

X

Trong suốt bản luận văn, ta sử dụng các ký hiệu sau đây:
v ., t ,

.

v x, t

v ., t , w ., t
v, w

x dx

v x, t w x, t dx

v x, t w x, t dxdt

2.2.1 Đặt bài toán
Cho L x, t ,

là toán tử vi phân bậc 2:
n

L x, t ,
i, j 1

Trong đó aij
trên

T

, aij

aij x, t

xj

a x, t

aij ( x, t ) là các hàm giá trị phức bị chặn khả vị vô hạn lần

a ji i, j 1,..., n

khả vị vô hạn lần trong
đều trong x

xi

T

và a a( x, t ) là các hàm giá trị thực bị chặn

. Ngoài ra, giả sử rằng aij ,i, j 1, ,n , là liên tục

đối với t (0, T ) và


- 22 -

n

2

aij x, t

i

j

( 2.2.1)

0

i, j 1

đối với tất cả

, với

Rn \ 0 và x, t
n

Ký hiệu N ( x, t , )

aij x, t

cos xi , v , trong đó pháp tuyến đơn

xj

i, j 1

const 0 .

0

vị ngoài với ST . Ta xem xét bài toàn sau trong hình trụ

L x, t ,
u

u un
ut

t 0

u

(2.2.2)

f x, t ,

(2.2.3)

0,

t 0

N x, t ,

T

(2.2.4)

0

ST

Hàm u x, t được gọi là nghiệm tổng quát cho bài toán 2.2.2 - 2.2.4
trong

không

gian

u x, t

W1,1 (e t ,

T

W1,1 (e t ,

T

nếu

)

và

chỉ

nếu

0 và phương trình sau được thỏa mãn

), u x,0

n

aij u x ,
i, j 1

au ,

xi

j

T

T

đối với tất cả các hàm thử
t [ , ),0

ut ,

f,

t

T

W1,1 (e t ,

x, t

T

(2.2.5)
T

) sao cho ( x, t ) 0 với

T
n

Đặt B u , u t

aij u x ., t , u x ., t
j

i, j 1

i

Chúng ta có bổ đề sau:
Bổ đề 2.2.1. Giả thiết rằng điều kiện (2.2.1) được thỏa mãn. Như vậy
tồn tại 2 hằng số

0

0 và

0

0 sao cho bất đẳng thức sau

B u, u t

thỏa mãn với mọi hàm u u x, t

2

0

uW

1

W1,1 (e t ,

0

T

)

u

2
L2

( 2.2.6)

- 23 -

2.2.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm
Bổ đề 2.2.2. Giả sử rằng mọi hệ số của toán tử L( x, t , ) thỏa mãn điều
kiện 2.2.1 và thỏa mãn điều kiện sau:

aij
;a
t

sup
( x ,t )

1 i, j

n,

const 0

thì bài toán 2.2.2 - 2.2.4 có nhiều nhất 1 nghiệm tổng quát W1,1 (e t ,
tất cả

T

) với

0.
Chứng minh
Giả sử bài toán 2.2.2 – 2.2.4 có hai nghiệm tổng quát u1 , u2 trong

W 1,1 e t ,

.

T

Đặt

u u1 u2 ,

Giả thiết rằng

ta

u W 1,1 e t ,

có

u x,0

và

T

0.

T . Ta chọn hàm thử được định nghĩa ở 2.2.5:

0 và

t

0 với t b,0 b

x, t

, và

u x, s ds với 0 t b. Thay

x, t
b

u

t

vào (2.2.5), sau đó cộng phương trình thu được với phức liên hợp của

nó, ta được
n

2Re

aij
i, j 1

x jt

,

Sử dụng giả thiết aij

B

,

0

Re aij

2Re a t ,

xi

2Re
b

b

tt

,

t

0
b

a ij và lấy tích phân từng phần, ta có
xj

t

,

2Re a t ,

xi

b

b

t

x, b

2

0

L2

Từ đẳng thức này và bổ để 2.2.1 ta được:
t

x, b

2
L2

0

x,0

2
W

1

0

2

x,0

Re aij

L2

t

(2.2.7)
xj

,

xi

2Re a t ,
b

b


- 24 -

Vì

2

x,0

0

2 0 Re

L2

t

, từ bất đẳng thức Cauchy và (2.2.7)

,
b

ta thu được

x, b

2
0

L2

n

2

x,0

W

2

C

1

b

2

i 1

0
t

t

b

trong đó C là hẳng số dương chỉ phụ thuộc vào
Đặt v x, t

2

dxdt C

xi

0

u x, s ds ; vi x, t

t

,

dxdt (2.2.8)

0

ux x, s ds, 0 t b,
i

Ta thu được

x, t

v x, b

v x, t ,

x, t

v x, b

v x, t ,

x,0
xi

v x, b

x,0

1 i n

vi x, b ,

Từ (2.2.8):
x, b

t

2
0

L2

x, b

Đặt

b (0,

0

v x, t
i 1 i
2
0

L2

J t

t

x, t

b

2C 0 Z b dt

n

Trong đó Z t
t

b

Z b

2

v x, t

2bC Z b
2
L2

b

2C 0 Z t dt

2

t

0

2

x, b

dx. Do đó

b

2C 0 Z t dt C

b
0

t

2

x, t

dt.

L2

b

Z t , ta thu được J (b) C1 J (t )dt với
0

/ 4C ) và C1 là hằng số dương chỉ phụ thuộc vào

0

, ,

0

. Do đó,

theo bất đẳng thức Gronwall-Bellman, ta có J (b) 0 với mọi b [0,
Theo đó: u x, b

0 với mọi b [0,

chứng minh rằng u x, b

dt ,

L2

0 với b [

0

0

/ 2C ] .

/ 2C ] . Một cách tương tự, ta có thể
0

/ 2C,

0

/ C ] hầu khắp nơi. Với một

quy trình như vậy, sau hữu hạn bước, ta thu được u x, b

0 với a.e

b [0, ] . Vì là bất kỳ nên u1 ( x, t ) u2 ( x, t ) . Bổ đề được chứng minh.


- 25 -

Bổ đề 2.2.3. Giả sử rằng f

L (0, T ; L2 ( )) và giả thiết của bổ đề 2.2.1

được thỏa mãn. Như vậy sẽ tồn tại một hằng số

0

sao cho với mọi

toán 2.2.2 – 2.2.4 có nghiệm tổng quát u x, t trong W1,1 (e t ,
u

W1,1 ( e

t

,

T

)

C f

,C

L 0,T ; L2

const

T

0

, bài

) và

0.

Chứng minh:
Giả sử

k

x

là hệ các hàm trong W m ( ) sao cho bao đóng của nó

k 1

là W m ( ) và nó là trực chuẩn trong L2 ( ) . Đặt u N x, t

N

N
k 1 k

c t

k

x ,

là nghiệm của hệ phương trình vi phân cấp 2:
n

aij u xN ,
j

i, j 1

au N ,

lxi

uttN ,

l

f,

l

l

,

l 1,2,..., N (2.2.9)

Với các điều kiện đầu

Giả thiết rằng

ckN 0

d N0
ck
dt

0 và

dckN (t )
và lấy tổng với l
T . Nhân (2.2.9) với
dt

0

( 2.2.10)

chạy từ 1 đến N. Sau đó ta tích phân đẳng thức thu được với t chạy từ 0 đến
và cộng phương trình đó với phức liên hợp của nó. Vì aij
0

2

uN ,

L2

2Re

0

a ij và

, tích phân từng phần và áp dụng điều kiện

utN , u N

(2.2.10), ta thu được
utN .,

2
L2

B u N ,u N

0

u N .,

2
L2

=

n
i, j 1

aij t u xN
j

2Re au N , utN

2Re

0

utN , u N

2Re f , utN

Sử dụng bồ đề 2.2.1 và bất đẳng thức Cauchy, từ đẳng thức trên ta có

.