Biến đổi Rihaczek và toán tử giả vi phân

Mục lục

Mở đầu

4

1

6

Kiến thức chuẩn bị
1.1

Toán tử Hilbert – Schmidt trong không gian Hilbert . .

6

1.2

C* - đại số các toán tử tuyến tính bị chặn . . . . . . . .

9

1.3

Một số không gian hàm

1.4

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.3.1

Không gian hàm cơ bản D(Ω) . . . . . . . . . . .

10

1.3.2

Không gian hàm suy rộng D (Ω) . . . . . . . . . .

10

1.3.3

Không gian các hàm giảm nhanh S(Rn ) . . . . .

12

1.3.4

Không gian các hàm suy rộng tăng chậm S (Rn )

13

1.3.5

Một số không gian hàm khác . . . . . . . . . . .

14

Biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.4.1

Biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngược . . . .

15

1.4.2

Biến đổi Fourier của các hàm thuộc Lp (Rn ), 1 ≤
p≤2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

Biến đổi Fourier của hàm suy rộng . . . . . . . .

17

Toán tử giả vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.5.1

Toán tử giả vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.5.2

Toán tử Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.5.3

Một số không gian các biểu trưng . . . . . . . . .

22

1.4.3
1.5

2 Biến đổi Rihaczek và toán tử giả vi phân
1

24


2

2.1

Một số phép biến đổi thời gian – tần số . . . . . . . . . .

24

2.2

Liên hệ với toán tử giả vi phân . . . . . . . . . . . . . .

26

2.2.1

Biểu trưng thuộc Lp (R2n ), 1 ≤ p ≤ 2 . . . . . . .

27

2.2.2

Biểu trưng thuộc Lp∗ (R2n ), 1 ≤ p ≤ ∞ . . . . . . .

29

Kết luận

32

Tài liệu tham khảo

33


3

LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại Trường ĐHSP Hà
Nội 2 dưới sự giúp đỡ nhiệt tình của Tiến sĩ Bùi Kiên Cường, người thầy
đã hướng dẫn và truyền cho tôi những kinh nghiệm quý báu trong học
tập và nghiên cứu khoa học. Thầy luôn động viên và khích lệ để tôi vượt
qua những khó khăn trong chuyên môn cũng như trong cuộc sống.
Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng, lòng biết ơn chân thành và sâu sắc
nhất đối với thầy.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường ĐHSP Hà Nội 2,
Khoa toán, Phòng sau đại học và các thầy cô trong trường đã tạo điều
kiện thuận lợi cho tôi kết thúc tốt đẹp quá trình học tập và nghiên cứu.
Tôi trân trọng cảm ơn Sở GD và ĐT Hà Nội, Trường THPT Minh
Phú đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ để tôi an tâm học tập và hoàn thành
tốt luận văn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2013
Mạch Văn Cường


4

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự
hướng dẫn của Tiến sĩ Bùi Kiên Cường. Đề tài và luận văn không trùng
lặp với những đề tài khác.
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của
các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2013
Mạch Văn Cường

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết toán tử giả vi phân hay còn gọi là lý thuyết toán tử tích
phân kì dị, hay là tích phân dao động, được tách ra từ lý thuyết phương
trình vi phân, là một chuyên ngành hẹp tương đối độc lập, được nghiên
cứu đầu tiên bởi Koln và Nirenberg năm 1943, sau đó, lý thuyết này
được rất nhiều nhà toán học nổi tiếng thế giới quan tâm nghiên cứu,
chẳng hạn L. H¨omander, A.N Kolmogorov, ... Khoảng những năm đầu
của thập kỉ 90 trong thế kỉ 20, lý thuyết giả vi phân đã có một hướng
phát triển thú vị khi nghiên cứu cùng với lý thuyết giải tích thời gian tần số. Nhiều lớp toán tử giả vi phân: toán tử Koln-Nirenberg, toán tử
Weyl, Toán tử định vị,... được gắn liền với những lớp biểu diễn thời gian
- tần số: Rihaczek, Wigner,... và những tính chất của các lớp toán tử
đó như tính bị chặn, tính compact,... trong một số lớp không gian hàm
được thiết lập nhờ mối liên hệ kiểu như vậy. Trong bài báo [2], nhóm
tác giả Alip Mohammed, M.W. Wong đã thu được một số tính chất về
tính bị chặn và tính compact trong Lp (Rn ), 1 ≤ p ≤ ∞ của toán tử giả
vi phân Koln-Nirenberg với lớp biểu trưng Lp∗ (R2n ) nhờ mối liên hệ với
lớp toán tử Weyl và các biểu diễn thời gian tần số Wigner và Rihaczek.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về toán tử giả vi phân và biến đổi
Rihaczek, được sự đồng ý hướng dẫn của Tiến sĩ Bùi Kiên Cường, tôi
chọn lựa đề tài nghiên cứu
“Biến đổi Rihaczek và toán tử giả vi phân”
để thực hiện luận văn tốt nghiệp.
2. Mục đích nghiên cứu
- Tìm hiểu về biến đổi Rihaczek
5


6

- Tìm hiểu về khái niệm của toán tử giả vi phân
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Trình bày về khái niệm biến đổi Rihaczek
- Trình bày về khái niệm toán tử giả vi phân
- Trình bày về mối liên hệ giữa biến đổi Rihaczek và toán tử giả vi
phân
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Biến đổi Rihaczek và các khái niệm về toán
tử giả vi phân
- Phạm vi nghiên cứu: Các bài báo, các tài liệu trong và ngoài nước
liên quan đến biến đổi Rihaczek và toán tử giả vi phân
5. Phương pháp nghiên cứu
- Sử dụng các kiến thức, phương pháp của giải tích hàm để tiếp cận
vấn đề.
- Thu thập và nghiên cứu các loại tài liệu có liên quan, đặc biệt là
các bài báo mới trong và ngoài nước về vấn đề luận văn đề cập tới.
6. Dự kiến đóng góp của luận văn
Luận văn là một nghiên cứu tổng quan của tác giả về mối liên hệ
giữa toán tử giả vi phân lớp Koln-Nirenberg với biểu diễn thời gian - tần
số Rihaczek. Một số tính chất nhỏ trong bài báo [2] được tác giả chứng
minh chi tiết.


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1

Toán tử Hilbert – Schmidt trong không gian
Hilbert

Chúng ta xây dựng toán tử Hilbert – Schmidt trong không gian
Hilbert L2 (Rn )
Định nghĩa 1.1.1. Cho h ∈ L2 (Rn ). Toán tử Hilbert – Schmidt với
nhân h, kí hiệu Sh : L2 (Rn ) → L2 (Rn ) được định nghĩa bởi:
(Sh f ) (x) = ∫ h (x, y) f (y)dy, x ∈ Rn .

(1.1)

Rn

Với mọi f ∈ L2 (Rn ), ta chứng minh được Sh f ∈ L2 (Rn ). Thật vậy:
Từ (1.1) ta có :
|(Sh f ) (x)|2 dx

1
2

2

1
2

∫ h (x, y) f (y)dy dx

=

Rn R n

Rn

|h(x, y)|2 dx

|f (y)|

=
Rn

dy

Rn

|f (y)|2 dy

≤

1
2

1
2

Rn

|h(x, y)|2 dxdy

1
2

Rn

= |f |L2 (Rn ) |h|L2 (R2n )
(1.2)
7


8

Cho g, h ∈ L2 R2n . Ta kí hiệu g ◦ h ∈ L2 R2n là hàm được xác định
bởi
(1.3)
(g ◦ h) (x, y) = ∫ g (x, z) h(z, y)dz , x, y ∈ Rn
Rn

Bổ đề 1.1.1. Cho g, h ∈ L2 R2n . Khi đó g ◦ h ∈ L2 R2n .
Chứng minh. Thật vậy, từ (1.3) ta có
∫ |h(z, y)|2 dz

∫ |g(x, z)|2 dz

|(g ◦ h) (x, y)|2 ≤

(1.4)

Rn

Rn

với mọi x, y ∈ Rn . Từ (1.4) ta có
∫ ∫ |(g ◦ h) (x, y)|2 dxdy ≤ ∫ ∫

Rn R n

R n Rn

= ∫
Rn

= ∫
Rn

= g

∫ |g(x, z)|2 dz
Rn

Rn

∫ |h(z, y)|2 dz

∫

Rn

Rn

∫ |h(z, y)|2 dz dy. g
Rn
2
L2 (R2n )

∫ |h(z, y)|2 dz dxdy

h

∫ |g(x, z)|2 dz dx dy
Rn
2
L2 (R2n )

2
L2 (R2n ) .

Suy ra g ◦ h ∈ L2 (R2n ).
Định lí 1.1.1. Cho Sh , Sg là toán tử Hilbert – Schmidt tương ứng với
hạt nhân g và h. Khi đó
(i) Sg Sh = Sg◦h
(ii)Sh∗ = Sh∗ .
Ở đó Sh∗ là liên hợp của Sh và h∗ là hàm trong R2n và được định
nghĩa
h∗ (x, y) = h(x, y), x, y ∈ Rn .
(1.5)
Chứng minh. Từ (1.3)
((Sg Sh ) f ) (x) = (Sg (Sh f )) (x) = ∫ g (x, z) (Sh f ) (z) dz
Rn

= ∫ g (x, z) { ∫ h (z, y) f (y)dy}dz
Rn

Rn

= ∫ { ∫ g (x, z) h (z, y) dz}f (y)dy
Rn Rn

= ∫ (g ◦ h) (x, y) f (y) dy = (Sg◦h f ) (x)
Rn


9

với mọi x ∈ Rn , f ∈ L2 (Rn ). Để chứng minh được ta cần hoán đổi thứ
tự lấy tích phân. Ta có
x ∈ Rn ,

I (x) = ∫ ∫ |g(x, z)| |h(z, y)| |f (y)| dydz,
Rn

Rn

(1.6)

và chỉ cần chứng minh I(x) < ∞, x ∈ Rn . Từ Bổ đề 1.1 và (1.6) ta có:
∫ |g(x, z)| |h(z, y)| dz |f (y)| dy

I (x) = ∫

Rn

Rn

1

2

2

≤ fL2 (Rn )

∫ |g(x, z)| |h(z, y)| dz

∫
Rn

dy

Rn

= fL2 (Rn ) (|g| ◦ |h|) (x, y)L2 (Rn ) < ∞,
,với mọi x ∈ Rn . Tiếp theo, cho f, g ∈ Rn , ta có
Sh f, g = ∫ (Sh f ) (x)g(x)dx = ∫
Rn

Rn

= ∫ f (y)
Rn

h(x, y)g(x)dx dy
Rn

= ∫ f (x)
Rn

∫ h (x, y) f (y)dy g(x)dx
Rn

h(x, y)g(y)dy dx = f, Sh∗g ,
Rn

miễn là chúng ta có thể đổi thứ tự lấy tích phân. Thứ tự lấy tích phân
có thể đổi vì
∫ ∫ |h (x, y)| |f (y)| |g(x)| dxdy = ∫ |g(x)|
R n Rn

Rn

∫ |h(x, y)| |f (y)| dy dx
Rn

1
2

2

≤ g
= g
.

L2 (Rn )
L2 (Rn )

∫

Rn

∫ |h(x, y)| |f (y)| dy

dx

Rn

S|h| |f |

L2 (Rn )

< ∞.

Bổ đề 1.1.2. Nếu Sh là toán tử Hilbert-Schmidt trên L2 (Rn ) tương ứng
với hạt nhân h ∈ L2 (R2n ) thì Sh là toán tử compact.


10

1.2

C* - đại số các toán tử tuyến tính bị chặn

Định nghĩa 1.2.1 (Đại số phức). Một đại số phức là một không gian
véctơ A trên trường số phức C cùng với một phép toán nhân x, y ∈ A →
xy ∈ A thỏa mãn các điều kiện sau
1. Tính phân phối: Với mọi α, β ∈ C và x, y, z ∈ A,
(α.x + β.y)z = α.xz + β.yz
x(α.y + β.z) = α.xy + β.xz.

2. Tính kết hợp: x(yz) = (xy)z.
Một đại số mà có phần tử e thỏa mãn ex = xe = x∀x ∈ A thì được
gọi là đại số có đơn vị và e là đơn vị của đại số đó. Nếu thêm tính chất
xy = yx, ∀x, y ∈ A thì ta nói đại số A là giao hoán.
Định nghĩa 1.2.2 (Đại số chuẩn). Một đại số chuẩn là cặp (A, ||·| |)
bao gồm đại số phức A và chuẩn ||·| | : A → [0, ∞) thỏa mãn tính chất
||xy| | ≤ ||x| | ||y| |,

∀x, y ∈ A.

Khi A trở thành không gian Banach đối với chuẩn trên thì nó được gọi
là đại số Banach.
Ví dụ 1.2.1. Cho E là không gian Banach và B(E) là không gian các
toán tử tuyến tính liên tục trên E. Khi đó B(E) là một đại số Banach
có đơn vị đối với phép toán nhân là hợp thành các toán tử.
Định nghĩa 1.2.3 (C ∗ −đại số). Một C ∗ −đại số là một đại số Banach
A được trang bị một phép toán đối hợp x → x∗ thỏa mãn
1. x∗∗ = x, ∀x ∈ A;
2. (α.x + β.y)∗ = αx∗ + βy ∗ , với mọi α, β ∈ C và với mọi x, y ∈ A;
3. (xy)∗ = y ∗ x∗ , với mọi x, y ∈ A;
4. ||x∗ x| | = ||x| |2 với mọi x ∈ A.
Ví dụ 1.2.2. Cho H là không gian Hilbert và C(H) là đại số Banach
các toán tử compact. Khi đó, C(H) là một C ∗ −đại số .


11

1.3
1.3.1

Một số không gian hàm
Không gian hàm cơ bản D(Ω)

Định nghĩa 1.3.1. Không gian hàm cơ bản được kí hiệu là D(Ω) là
không gian gồm các hàm khả vi vô hạn trên Ω và có giá compact trong
Ω với topo xác định bởi sự hội tụ như sau:
Dãy {ϕj }∞
j=1 các hàm trong D(Ω) được gọi là hội tụ đến hàm ϕ ∈ D(Ω)
nếu thỏa mãn các điều kiện (i) và (ii):
i, Có một tập compact K ⊂ Ω mà supp ϕj ⊂ K, j = 1, 2, . . .
ii, lim sup |Dα ϕj (x) − Dα ϕ(x)| = 0, với α = (α1 , α2 , . . . , αn ) ∈ Nn .
j→∞

Khi đó ta viết là ϕ = D_ lim ϕj .
j→∞

Ở đây với mọi đa chỉ số α = (α1 , α2 , . . . , αn ) ∈ Nn
α

D ϕ=

D1α1 D2α2

. . . Dnαn ϕ

∂ αn
∂ α1 ∂ α2
= α1 α2 . . . αn ϕ.
∂x1 ∂x2
∂xn

Định lí 1.3.1. Không gian các hàm cơ bản D(Ω) là đầy đủ.
1.3.2

Không gian hàm suy rộng D (Ω)

Định nghĩa 1.3.2. Ta nói rằng f là một hàm suy rộng trên Ω nếu f là
một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên D(Ω).
Tập hợp tất cả các hàm suy rộng trên Ω, kí hiệu là D (Ω).
Hàm suy rộng f ∈ D (Ω) tác động lên mỗi ϕ ∈ D(Ω) được viết là f, ϕ .
Ví dụ 1.3.2. Cho f ∈ L1loc (Ω), khi đó phiếm hàm liên tục trên D(Ω)
được xác định bởi:
f : ϕ → f, ϕ =

f (x) ϕ (x)dx, ϕ ∈ D(Ω)

(1.7)

Ω

là một hàm suy rộng.
Hàm suy rộng biểu diễn như (1.7) được gọi là hàm suy rộng chính quy.
Hàm suy rộng không chính quy được gọi là hàm suy rộng kỳ dị.
Ví dụ 1.3.3 (Hàm suy rộng Delta Dirac). Ký hiệu δ là phiếm hàm xác
định bởi:
δ : ϕ → δ, ϕ = ϕ(0), ϕ ∈ D(Ω).


12

Nhận xét 1.3.4. Hàm suy rộng δ còn được gọi là hàm suy rộng Delta
Dirac và hàm suy rộng Delta Dirac là hàm suy rộng kỳ dị.
Thật vậy: Với mọi ϕ1 , ϕ2 ∈ D(Ω) thì
δ, ϕ1 + ϕ2 = (ϕ1 + ϕ2 )(0) = ϕ1 (0) + ϕ2 (0) = δ, ϕ1 + δ, ϕ2 .
δ, λϕ = (λϕ)(0) = λ ϕ(0) = λ δ, ϕ .
Giả sử tồn tại một hàm khả tích địa phương u sao cho:
u(x)ϕ(x)dx, ϕ ∈ D(Ω).

ϕ(0) = δ, ϕ =
Rn

Lấy dãy ϕk ∈ D(Ω) được xác định bởi ϕk (x) = ϕ(kx) thì ϕ(0) = c = 0.
Khi k → ∞ theo Định lí hội tụ bị chặn Lebesgue thì:
u(x)ϕk (x)dx → 0.

ϕ(0) = lim

k→∞
Rn

Điều này là mâu thuẫn với ϕ(0) = c = 0. Nên không tồn tại hàm khả
tích địa phương u để
δ, ϕ = ϕ(0) =

u(x)ϕ(x)dx.
Rn

Vậy δ là hàm suy rộng kì dị.
Định nghĩa 1.3.3. Cho f ∈ D (Ω), α = (α1 , α2 , . . . , αn ) ∈ Nn .
Đạo hàm cấp α của hàm suy rộng f trong Ω, kí hiệu là Dα f là hàm suy

rộng trên Ω được xác định bởi:
Dα f, ϕ = (−1)|α| f, Dα ϕ , ϕ ∈ D(Ω), |α| = α1 + α2 + . . . + αn .
Định nghĩa 1.3.4. Cho fk , f ∈ D (Ω), k = 1, 2, . . .
Ta nói rằng, dãy {fk }∞
k=1 hội tụ đến f trong D (Ω) khi k → ∞ nếu
lim fk , ϕ = f, ϕ , ∀ϕ ∈ D (Ω) .

k→∞

Kí hiệu D _ lim fk = f .
k→∞

Với khái niệm hội tụ đó chúng ta có
Định lí 1.3.5. Không gian hàm các hàm suy rộng D (Ω) là đầy đủ.


13

1.3.3

Không gian các hàm giảm nhanh S(Rn )

Định nghĩa 1.3.5. Không gian các hàm giảm nhanh, kí hiệu là S (Rn )
là tập hợp được xác định bởi:
ϕ ∈ C ∞ (Rn )| sup xα Dβ ϕ(x) < ∞, ∀x ∈ Rn , ∀α, β ∈ Nn

S(Rn ) =

Rn

cùng với khái niệm hội tụ được định nghĩa như sau:
n
n
Dãy {ϕk }∞
k=1 trong S (R ) được gọi là hội tụ đến ϕ ∈ S(R ) nếu:
lim sup xα Dβ ϕk (x) − xα Dβ ϕ (x) = 0, với mọi α, β ∈ Nn .

k→∞ x∈Rn

Kí hiệu S_ lim ϕk = ϕ.
k→∞

Chú ý 1.3.6.
1. Hàm ϕ ∈ C ∞ (Rn ) là giảm nhanh khi và chỉ khi một trong hai điều
kiện sau thỏa mãn:
a) Với mỗi m ∈ N, β ∈ Nn có
1 + |x|2

m

Dβ ϕ (x) ≤ Cm,β , với mọi x ∈ Rn .

b) Với mỗi m ∈ N∗ có
1 + |x|2

m

Dβ ϕ (x) ≤ Cm , với mọi x ∈ Rn .
|β|≤m

2. Với mỗi λ, µ ∈ C, ϕk , ψk , ϕ, ψ ∈ S (Rn ) , k = 1, 2, . . .
Nếu S_ lim ϕk = ϕ và lim ψk = ψ thì
k→∞

k→∞

S_ lim (λϕk + µψk ) = λϕ + µψ.
k→∞

3. Với mỗi α ∈ Nn , phép toán đạo hàm Dα là ánh xạ tuyến tính liên
tục từ S (Rn ) vào S (Rn ).
4. Không gian các hàm cơ bản D(Ω) trù mật trong không gian các hàm
giảm nhanh S(Rn ).
Bổ đề 1.3.1. Nếu ϕk → 0 trong S(Rn ) thì ϕk → 0 trong Lp (Rn ) khi
k → ∞, 1 ≤ p ≤ ∞.


14

Hệ quả 1.3.1. Nếu f ∈ S(Rn ) và một dãy {gk }∞
k=1 gồm những hàm
n
n
trong S(R ) sao cho gk → 0 trong S(R ) khi k → ∞ thì
|x||α| |p||β| (∂ γ f ) x +

p
2

(∂ δ gk ) x −

p
2

dp, với mọi α, β, γ, δ ∈ Nn

Rn

hội tụ đều về 0 theo x trên Rn khi k → ∞.
Định lí 1.3.7. Không gian các hàm giảm nhanh S(Rn ) là đầy đủ.
Nhận xét 1.3.8. Chúng ta có
D(Rn ) ⊂ S(Rn ) ⊂ C ∞ (Rn ).
1.3.4

Không gian các hàm suy rộng tăng chậm S (Rn )

Định nghĩa 1.3.6. Không gian các hàm suy rộng tăng chậm S (Rn )
là không gian topo đối ngẫu của S (Rn ), nói cách khác S (Rn ) là không
gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên S (Rn ) .
Mệnh đề 1.3.9. Cho hàm suy rộng f ∈ D (Rn ), f là hàm suy rộng tăng
chậm khi và chỉ khi f là một phiếm hàm tuyến tính trên S (Rn ) và tồn
tại một số dương C và với mọi đa chỉ số α, β ∈ Nn sao cho
| f, ϕ | ≤ C sup xα ∂ β ϕ(x) , với mọi ϕ ∈ S(Rn ).
x∈Rn
n
Định nghĩa 1.3.7. Dãy {uk }∞
k=1 trong S (R ) được gọi là hội tụ về 0
trong S (Rn ) nếu

uk (ϕ) → 0 khi k → ∞, với mọi ϕ ∈ S(Rn ).

Khi đó kí hiệu uk → 0.
Định nghĩa 1.3.8. Cho u là một hàm suy rộng tăng chậm, với mọi đa
chỉ số α đạo hàm của u ký hiệu ∂ α u được xác định bởi:
(∂ α u)(ϕ) = (−1)|α| u(∂ α ϕ), ϕ ∈ S(Rn ).
Nhận xét 1.3.10. Đạo hàm ∂ α u cũng là một hàm suy rộng tăng chậm.
Nếu ϕk ⊂ S(Rn ) sao cho ϕk → 0 trong S(Rn ) thì
∂ α ϕk → 0 trong S(Rn ) khi k → ∞. Do đó (∂ α u)(ϕk ) → 0 khi k → ∞.
Vậy ∂ α u : S(Rn ) → S(Rn ) là ánh xạ tuyến tính liên tục.


15

Định lí 1.3.11. Không gian các hàm suy rộng tăng chậm S (Rn ) là đầy
đủ.
Nhận xét 1.3.12. Chúng ta có
S(Rn ) ⊂ Lp (Rn ) ⊂ S (Rn ), với 1 ≤ p ≤ ∞.
1.3.5

Một số không gian hàm khác

Định nghĩa 1.3.9 (Không gian Lp (Ω)). Giả sử Ω là một miền trong Rn
và p là một số thực thỏa mãn 1 ≤ p < ∞. Không gian Lp (Ω) là véctơ
tất cả các hàm f xác định và đo được theo độ đo Lebesgue trên Ω với
|f |p khả tích trên Ω, có nghĩa là
∫ |f (x)|p dx < ∞.
Ω

Chuẩn của hàm f thuộc Lp (Ω), 1 ≤ p < ∞ , được xác định bởi
f

p

=

∫ |f (x)|p dx

1
p

.

Ω

Định nghĩa 1.3.10. Một hàm f đo được trên Ω được gọi là chủ yếu bị
chặn trên Ω nếu tồn tại một hằng số k sao cho |f (x)| ≤ k hầu khắp nơi
trên Ω. Cận dưới lớn nhất của các hằng số k được gọi là cận trên chủ
yếu của hàm f trên Ω và được kí hiệu là esssup |f (x)|.
x∈Ω

Kí hiệu L∞ (Ω) là không gian véctơ các hàm f chủ yếu bị chặn trên
Ω với chuẩn được xác định bởi:
f

∞

= esssup |f (x)| = inf {k : |f (x)| ≤ k hầu khắp x ∈ Ω}.
x∈Ω

Định lí 1.3.13 (Định lý Fischer – Riesz). Với mỗi p ∈ [1, +∞] , Lp (Ω) , Ω ⊂
Rn là một không gian Banach.

Định lí 1.3.14. L2 (Rn ) là một không gian Hilbert với tích vô hướng
(u, v) = ∫ u(x)v(x)dx,
Rn

và chuẩn tương ứng
u =

2

∫ |u(x)| dx
Rn

1
2

.


16

1.4
1.4.1

Biến đổi Fourier
Biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngược
n

xi ωi , ∀x, ω ∈ Rn và gọi xω là tích vô hướng trên
i=1
√

n
2
R và viết x = xx, ∀x ∈ Rn , chuẩn Euclide là |x| = xx.
Ta kí hiệu xω =

Định nghĩa 1.4.1. Biến đổi Fourier của hàm f ∈ L1 (Rn ), kí hiệu là f
hoặc Ff , là một hàm được xác định bởi
n

f (ω) (ξ) = (2π)− 2

f (x) e−ixω dx.

(1.8)

Rn

Chú ý 1.4.1. Ta dùng kí hiệu Ff để nhấn mạnh rằng phép biến đổi
Fourier là một toán tử tuyến tính tác động trên một không gian hàm
f ∈ L1 (Rn ).
Định nghĩa 1.4.2. Cho f ∈ L1 (Rn ). Biến đổi Fourier ngược của hàm
f , kí hiệu F −1 f được định nghĩa bởi
n

F −1 f (x) = (2π)− 2

f (ω) eixω dω , x ∈ Rn .

(1.9)

Rn

Từ định nghĩa trên ta có F −1 f = f , với g(x) = g(−x).
Định lí 1.4.2. Nếu f ∈ L1 (Rn ) và f ∈ L1 (Rn ) thì
n

f (x) = (2π)− 2

f (ω) eixω dω , x ∈ Rn
Rn

nghĩa là F −1 và F là các toán tử ngược của nhau.
Bổ đề 1.4.1 (Bổ đề Riemann-Lebesgue). Biến đổi Fourier F là ánh xạ
tuyến tính liên tục từ L1 (Rn ) vào L∞ (Rn ) sao cho khi f ∈ L1 (Rn ) thì
fˆ

L∞ (Rn )

≤ f

L1 (Rn ) ,

fˆ(ξ) → 0 khi |ξ| → ∞.

Nhận xét 1.4.3. Với C0 (Rn ) là không gian Banach của các hàm liên
tục triệt tiêu tại vô cực, khi đó từ Bổ đề 1.4.1 chúng ta có phép biến đổi
Fourier là một ánh xạ liên tục
F : L1 (Rn ) → C0 (Rn ) .

17

Định nghĩa 1.4.3. Với ϕ ∈ S(Rn ) chúng ta định nghĩa biến đổi Fourier
của ϕ bởi ϕ hoặc Fϕ là
n

ϕ(ξ)
ˆ
= (2π)− 2

e−ixξ ϕ(x)dx.
Rn

Biến đổi Fourier liên hợp của ϕ kí hiệu Fϕ là hàm xác định bởi:
n

Fϕ(ξ) = ϕ(−ξ) = (2π)− 2

eixξ ϕ(x)dx, với Ff = Ff .
Rn

Định lí 1.4.4.
1. Biến đổi Fourier là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ S(Rn ) → S(Rn )
và với mỗi f ∈ S(Rn )
F[xα Dxβ f (x)](ξ) = (−Dξ )α (ξ β Ff (ξ)), với mọi đa chỉ số α, β ∈ Nn .
2. Biến đổi Fourier liên hợp F cũng là ánh xạ tuyến tính liên tục từ
S(Rn ) → S(Rn ), với mọi f ∈ S(Rn ) và fˆ = Ff thỏa mãn
n

eiξx fˆ(ξ)dξ ≡ [F fˆ]

f (x) = (2π)− 2

nên Biến đổi Fourier F là đẳng cấu đẳng cự từ S(Rn ) lên S(Rn ) và
F −1 = (2π)−n F.
Bổ đề 1.4.2. Với x, ω ∈ Rn và f ∈ S (Rn ) ta có các tính chất sau:
1) (Tx f )ˆ= M−x f .

(1.10)

2) (Mω f )ˆ= Tω f .

(1.11)

3) (Tx Mω f )ˆ= M−x Tω f = e−2πi xω Tω M−x f .

(1.12)

4) f ∗ g

(1.13)

L1

≤ f

L1

g

L1

, (f ∗ g)ˆ= f .g.

5) f ∗ = f , f = f .
6) (f ∗ g)(x) = f, Tx g ∗ .
Định lí 1.4.5 (Đẳng thức Parseval - Plancherel).


18

1. Biến đổi Fourier F : S(Rn ) → S(Rn ) mở rộng một cách duy nhất
tới một toán tử đẳng cấu đẳng cự F2 : L2 (Rn ) → L2 (Rn ). Với mọi
f, g ∈ L2 (Rn ),
f (x)g(x)dx =
fˆ(ξ)ˆ
g (ξ)dξ.
Rn
n

Rn
n

2. Trên L2 (R ) ∩ L1 (R ) xảy ra hệ thức F2 f = Ff .
Toán tử F2 được gọi là biến đổi Fourier trên L2 (Rn ) và ta cũng kí
hiệu là F.
Định lí 1.4.6 (Biến đổi Fourier của tích chập). Nếu f, g ∈ L1 (Rn ) thì
F(f ∗ g)(ξ) = (2π)n/2 fˆ(ξ)ˆ
g (ξ), ξ ∈ Rn .
(1.14)

1.4.2

Biến đổi Fourier của các hàm thuộc Lp (Rn ), 1 ≤ p ≤ 2

Định lí 1.4.7. (Hausdorff - Young) Giả sử 1 ≤ p ≤ 2 và p là số thỏa
mãn p1 + p1 = 1 thì
F : Lp (Rn ) → Lp (Rn )
và
f
p

≤ Cp f p .

Ở đó Cp là hằng số Babenko - Beckner cho bởi
1

Cp =

1.4.3

pp
1

1
2

.

(1.15)

pp

Biến đổi Fourier của hàm suy rộng

Định nghĩa 1.4.4. Cho f ∈ S (Rn ), biến đổi Fourier của f , kí hiệu là
Ff hoặc fˆ là hàm suy rộng tăng chậm xác định bởi
Ff, ϕ = f, Fϕ , ϕ ∈ S(Rn )
và biến đổi Fourier ngược của hàm f , kí hiệu là F −1 f là hàm suy rộng
tăng chậm xác định bởi
F −1 f, ϕ = f, F −1 ϕ , ϕ ∈ S (Rn ) .
Bằng cách tương tự, ta cũng xác định
Ff, ϕ = f, Fϕ , ϕ ∈ S (Rn ) .


19

Định lí 1.4.8. Biến đổi Fourier F là một đẳng cấu trên S với toán tử
ngược xác định bởi F −1 = F.
Định lí 1.4.9. Với mọi u ∈ S (Rn ), α ∈ Nn và ϕ ∈ S(Rn ) chúng ta có:
(i) F(Dα u) = ξ α Fu.
(ii)F(xα u) = (−Dξ )α Fu.
(iii) F(ϕ ∗ u) = (Fu).(Fϕ).
(iv) F(ϕ.u) = (Fu) ∗ (Fϕ).
Việc chứng minh Định lý 1.4.9 được suy ra trực tiếp từ định nghĩa và
các tính chất của phép biến đổi Fourier.

1.5
1.5.1

Toán tử giả vi phân

Toán tử giả vi phân

Định nghĩa 1.5.1 (Biểu trưng). Với m ∈ R, α, β là các đa chỉ số và với
mọi x, ξ ∈ Rn . Ký hiệu:
S m = σ(x, ξ) ∈ C ∞ (Rn , Rn ) Dxα Dξβ σ(x, ξ)| ≤ Cα,β (1 + |ξ|)m−|β| .
Mỗi σ ∈ ∪m∈R S m được gọi là một biểu trưng.
Định nghĩa 1.5.2 (Toán tử giả vi phân Koln-Nirenberg). Cho σ ∈ S m ,
thì toán tử giả vi phân Tσ tương ứng với σ được xác định bởi
(Tσ ϕ)(x) = (2π)−n/2

eix.ξ σ(x, ξ)ϕ(ξ)dξ,
ˆ
ϕ ∈ S(Rn ).
Rn

Ví dụ 1.5.1. Cho toán tử đạo hàm riêng tuyến tính trên Rn
P (x, D) =
aα (x)Dα với các hệ số aα (x) ∈ C ∞ thì đa thức
|α|≤m

aα (x)ξ α là một biểu trưng thuộc lớp S m .

P (x, ξ) =
|α|≤m

Do đó P (x, D) là một toán tử giả vi phân .


20

Chứng minh. Chúng ta có
aα (x)(Dα ϕ)(x)

(P (x, D)ϕ)(x) =
|α|≤m

aα (x)F −1 (Dα ϕ)(x)

=
|α|≤m

(1.16)
−n/2

=

ix.ξ α

e

aα (x)(2π)

ξ ϕ(ξ)dξ

Rn

|α|≤m

= (2π)−n/2

eix.ξ P (x, ξ)ϕ(ξ)dξ
Rn

Do đó ta chỉ cần chứng minh P (x, ξ) là biểu trưng lớp S m .
Thật vậy, với γ, δ là các đa chỉ số ta có
(Dxγ Dξδ P )(x, ξ) =

Dxγ aα (x)Dξδ ξ α ≤
|α|≤m

Cα,γ ∂ξδ ξ α

(1.17)

|α|≤m

với mọi x, ξ ∈ Rn và Cα,γ = sup |(Dxγ aα )(x)| . Mà chúng ta có
x∈Rn

 


α


 δ! ξ α−δ , với δ ≤ α
∂ξδ ξ α =
δ





 0, với các trường hợp còn lại

(1.18)

với mọi ξ ∈ Rn . Từ (1.17) và (1.18) và áp dụng bất đẳng thức ξ α ≤ |ξ|α
chúng ta có
(Dxγ Dξδ P )(x, ξ) ≤

Cα,γ δ!
α≤m

≤

Cα,γ δ!
|α|≤m

α
δ
α
δ

|ξ||α|−|δ|
(1 + |ξ|)m−|δ|

(1.19)

= Cγ,δ (1 + |ξ|)m−|δ| , với mọi x, ξ ∈ Rn .
Ở đây Cγ,δ =

Cα,γ δ!

α

.
δ
Chứng tỏ P (x, ξ) là một biểu trưng thuộc lớp S m . Do đó P (x, D) là một
toán tử giả vi phân .
|α|≤m


21

Mệnh đề 1.5.2. Với σ ∈ S m thì Tσ ánh xạ không gian S(Rn ) vào chính
nó. Hơn nữa Tσ là tuyến tính liên tục, tức là nếu ϕk → 0 trong S(Rn )
thì Tσ (ϕk ) → 0 trong S(Rn ) khi k → ∞.
Mệnh đề 1.5.3. Ánh xạ Tσ : S (Rn ) → S (Rn ) là tuyến tính liên tục.
1.5.2

Toán tử Weyl

Định nghĩa 1.5.3 (Biến đổi Weyl). Cho σ là một biểu trung thuộc lớp
S m . Với mỗi ϕ ∈ S(Rn ), σ ∈ S m chúng ta có thể xác định một hàm Wσ ϕ
trên Rn bởi
Wσ ϕ (x) = (2π)−n

ei(x−y)ξ σ(

x+y

, ξ)ϕ(y)dydξ, x ∈ Rn .
2

(1.20)

Rn Rn

Wσ được gọi là biến đổi Weyl tương ứng với biểu trưng σ.
Mệnh đề 1.5.4. Cho σ ∈ S m , m ∈ R. Khi đó toán tử Weyl Wσ :
S(Rn ) → S(Rn ) liên tục.
Định nghĩa 1.5.4. [Biến đổi Wigner] Biến đổi Wigner của hai hàm
f, g ∈ S(Rn ) là W (f, g) ∈ R2n được xác định bởi
p
p
e−iξ.p f (x + )g(x − )dp, x, ξ ∈ Rn . (1.21)
2
2

W (f, g)(x, ξ) = (2π)−n/2
Rn

Từ định nghĩa của biến đổi Wigner, chúng ta nhận thấy W (f, g) ∈
S(Rn ) nếu f, g ∈ S(Rn ).
Định lí 1.5.5. Với σ ∈ S m , m ∈ R thì
Wσ f, g = (2π)−n/2

σ(x, ξ)W (f, g)(x, ξ)dxdξ; f, g ∈ S(Rn ).
R n Rn

Dấu Wσ f, g là tích vô hướng của L2 (Rn ).

22

Chứng minh. Lấy θ ∈ D(Rn ) sao cho θ(0) = 1, thì ta có
σ(x, ξ)W (f, g)(x, ξ)dxdξ
Rn

Rn

= lim+
ε→0

= lim+
ε→0

×

θ(εξ)σ(x, ξ)W (f, g)(x, ξ)dxdξ
Rn

Rn

Rn

Rn

θ(εξ)σ(x, ξ)
e

−iξ.p

Rn

p
p
f (x + )g(x − dp dxdξ
2
2

lim (2π)−n/2

θ(εξ)

ε→0+

Rn

×
Rn

Đặt u = x +

(1.22)

p
p
σ(x, ξ)e−iξ.p f (x + )g(x − dpdx dξ.
2
2

Rn

p
p
và v = x − ta được
2
2

σ(x, ξ)W (f, g)(x, ξ)dxdξ
Rn

Rn

= lim+ (2π)−n/2
ε→0

×

σ(
Rn

Rn

θ(εξ)
Rn

u+v
, ξ)ei(v−u).ξ f (u)g(v)dudv dξ
2

−n/2

= lim+ (2π)
ε→0

×

g(v)
Rn

θ(εξ)σ(
Rn

(1.23)

Rn

= (2π)−n/2

u+v
, ξ)ei(v−u).ξ f (u)dudξ dv
2

g(v)(Wσ f )(v)dv = (2π)n/2 Wσ f, g .
Rn

Suy ra điều phải chứng minh.
Định lý 1.5.5 cho chúng ta nhận xét rằng, nếu σ ∈ S(R2n ) thì với mỗi
f ∈ S(Rn ) cố định, Wσ f là một hàm thuộc S (Rn ). Hơn nữa, chúng ta
có thể mở rộng biểu trưng σ của toán tử Weyl thuộc lớp không gian các

hàm suy rộng tăng chậm S (R2n ):
Wσ f (g) = (2π)−n/2 σ W (f, g) , g ∈ S(Rn )

(1.24)


23

với W (f, g) là biến đổi Wigner của f và g.
Đây cũng chính là cách để mở rộng miền xác định của toán tử Weyl
lên những không gian hàm khác (xem[6]).
Cho p, q ∈ Rn và f là hàm đo được trên Rn . Xét hàm ρ(q, p)f trên
Rn xác định bởi
1

(ρ(q, p)f )(x) = eiq.x+ 2 iq.p f (x + p), x ∈ Rn .

(1.25)

Mệnh đề 1.5.6. ρ(q, p) : L2 (Rn ) → L2 (Rn ) là một toán tử unita với
mọi q, p ∈ Rn .
Mệnh đề 1.5.7. Cho σ ∈ S(R)2n . Khi đó với mọi f ∈ S(Rn ), chúng ta
có
Wσ f (x) = (2π)−n

σ
ˆ (w, v)(ρ(w, v)f )(x)dwdv,
Rn

1.5.3

x ∈ Rn . (1.26)

Rn

Một số không gian các biểu trưng

Ký hiệu Lp∗ (R2n ), 1 ≤ p ≤ ∞ là không gian các hàm trên R2n xác
định bởi
Lp∗ (R2n ) = σ ∈ Lp (R2n ) : σ
ˆ ∈ Lp (R2n ) .
(1.27)
Định lí 1.5.8 (Bất đẳng thức Hausdorff-Young). Biến đổi Fourier là
một toán tử tuyến tính bị chặn từ Lp (Rn ) vào Lp (Rn ), 1 ≤ p ≤ 2. Hơn
nữa
||fˆ||Lp (Rn ) ≤ (2π)−n/2(1−2/p ) ||f ||Lp (Rn ) ,

f ∈ Lp (Rn ).

(1.28)

Từ Định lý trên, chúng ta suy ra ngay kết quả sau:
Hệ quả 1.5.1. Với 1 ≤ p ≤ 2, Lp∗ (R2n ) = Lp (R2n ).
Với 1 ≤ p ≤ ∞, chúng ta ký hiệu Lpm (R2n ) là không gian con của
không gian Lp (R2n ) xác định bởi
Lpm (R2n ) = σ ∈ Lp (R2n ) : F −1 mFσ ∈ Lp∗ (R2n )

(1.29)

trong đó, F −1 , F, m tương ứng là biến đổi Fourier ngược, biến đổi

Fourier và toán tử nhân với hàm
m(w, v) = e−iwv/2 ,

w, v ∈ Rn .

(1.30)


24

Định lí 1.5.9 (Xem [7]). Với σ ∈ Lp∗ (R2n ), 2 ≤ p ≤ ∞ thì W σ :
L2 (Rn ) → L2 (Rn ) là một toán tử tuyến tính bị chặn. Và
Wσ

∗

≤ (2π)−n/p σ
ˆ

Lp (R2n ) , σ

∈ Lp∗ (R2n ).

Hơn nữa, W σ : L2 (Rn ) → L2 (Rn ) là toán tử compact.


Chương 2
Biến đổi Rihaczek và toán tử giả vi
phân
2.1

Một số phép biến đổi thời gian – tần số

Trong mục này, chúng ta trình bày một số phép biến đổi thời gian
tần số quan trọng, liên hệ tới các toán tử giả vi phân. Biến đổi Wigner
đã được định nghĩa trong Chương 1 (định nghĩa 1.5.4).
Định nghĩa 2.1.1. Cho f ∈ L2 (Rn ). Khi đó biểu diễn Rihaczek Rf của
tín hiệu f được định nghĩa bởi
(Rf ) (x, ξ) = eixξ f (ξ) f (x), ∀x, ξ ∈ Rn .

(2.1)

Cho hàm f, g ∈ L2 (Rn ). Khi đó biểu diễn Rihaczek chéo R(f, g) của f, g
được định nghĩa bởi
R(f, g) (x, ξ) = eixξ f (ξ) g(x), ∀x, ξ ∈ Rn .

(2.2)

Định lí 2.1.1 (Đẳng thức Moyal). Cho f1 , f2 , g1 , g2 ∈ L2 (Rn ). Khi đó
1. (R (f1 , f2 ) , R(g1 , g2 ))L2 (R2n ) = (f1 , f2 )L2 (Rn ) (g1 , g2 )L2 (Rn )
2. (W (f1 , g1 ) , W (f2 , g2 )) = (f1 , f2 ) (g1 , g2 )
Chứng minh. 1. Từ định nghĩa của biến đổi Rihaczek, công thức Plancherel

25