DAO ĐỘNG TỬ BIẾN DẠNG R(Q)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2

PHẠM THỊ HỒNG LÊ

DAO ĐỘNG TỬ BIẾN DẠNG R(Q)
Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết và Vật lí Toán
Mã số: 60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS. TS. Nguyễn Thị Hà Loan

HÀ NỘI, 2013


LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan,
người đã tận tình giúp đỡ chỉ bảo và cung cấp cho tôi những kiến thức nền
tảng để tôi hoàn thành bài luận văn này. Cô cũng là người đã giúp tôi ngày
càng tiếp cận và có niềm say mê khoa học trong suốt thời gian được làm việc
cùng Cô.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy, các cô công tác tại phòng sau
Đại Học, Khoa Vật Lí Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 và các Giáo sư,
Tiến sĩ đã trực tiếp giảng dạy, truyền đạt cho tôi những kiến thức quý báu về
chuyên môn cũng như kinh nghiệm nghiên cứu khoa học trong thời gian qua.
Cuối cùng, tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến những người thân
trong gia đình, bạn bè đã luôn giúp đỡ, động viên và tạo mọi điều kiện cho tôi
trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn này.
Hà Nội, tháng 07 năm 2013

Tác giả

Phạm Thị Hồng Lê


LỜI CAM ĐOAN
Tên tôi là: Phạm Thị Hồng Lê, học viên cao học khóa 2011 – 2013
chuyên ngành Vật lí lí thuyết và Vật lí toán – Trường Đại học Sư phạm Hà
Nội 2.
Tôi xin cam đoan đề tài: “Dao động tử biến dạng R(q)”, là kết quả
nghiên cứu và thu thập của riêng tôi. Các luận cứ, kết quả thu được trong đề tài
là trung thực, không trùng với các tác giả khác. Nếu có gì không trung thực
trong luận văn tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm trước hội đồng khoa học.

Hà Nội, tháng năm 2013
Tác giả

Phạm Thị Hồng Lê


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài .......................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu .................................................................................... 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................... 2
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ................................................................ 2
5. Phương pháp nghiên cứu............................................................................... 2
6. Cấu trúc luận văn .......................................................................................... 2
NỘI DUNG....................................................................................................... 3
Chƣơng 1: Dao động tử biến dạng................................................................. 3

1.1 Dao động tử Boson biến dạng ..................................................................... 3
1.1.1 Dao động tử Boson ............................................................................ 3
1.1.2 Dao động tử Boson biến dạng q......................................................... 8
1.2 Dao động tử Fermion biến dạng ............................................................... 17
1.2.1 Dao động tử Fermion ...................................................................... 17
1.2.2 Dao động tử Fermion biến dạng q ................................................... 18
1.3 Dao động tử Paraboson biến dạng ........................................................... 22
1.3.1 Dao động tử Paraboson ................................................................... 22
1.3.2 Dao động tử Paraboson biến dạng q ................................................ 27
1.4 Dao động tử biến dạng R ......................................................................... 28
Chƣơng 2: Phân bố thống kê của các dao động tử biến dạng .................. 32
2.1 Định nghĩa về thống kê của dao động tử .................................................. 32
2.2 Phân bố thống kê của dao động tử Boson biến dạng ................................ 33
2.3 Phân bố thống kê của dao động tử Fermion biến dạng ............................. 34
2.4 Phân bố thống kê của dao động tử Paraboson biến dạng.......................... 35
2.5 Phân bố thống kê của dao động tử biến dạng R ........................................ 37


Chƣơng 3: Dao động tử biến dạng R(q) ..................................................... 39
3.1 Dao động tử biến dạng R(q) ...................................................................... 39
3.2 Phân bố thống kê của dao động tử biến dạng R(q) ................................... 43
KẾT LUẬN .................................................................................................... 45
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 46


1
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Vật lý học được xem là ngành khoa học cơ bản chi phối tất cả các
ngành khoa học tự nhiên khác, là một trong những môn khoa học tự nhiên

nghiên cứu những quy luật đơn giản nhất và tổng quát nhất của các hiện
tượng tự nhiên, nghiên cứu những tính chất, cấu trúc của vật chất và những
quy luật của sự vận động của vật chất. Nhìn vào lịch sử vật lý, ta thấy rằng
các nhà khoa học đã nhiều lần biến dạng các quy luật vật lý cơ bản để tạo nên
các lý thuyết mới đáp ứng nhu cầu nghiên cứu.
Trong những năm gần đây, việc nghiên cứu đại số biến dạng q đã thu
hút được sự quan tâm của nhiều nhà vật lý. Bởi cấu trúc toán học mới của
chúng liên quan đến những vấn đề đa dạng trong vật lý lý thuyết như lý thuyết
tán xạ ngược lượng tử, mẫu hòa tan chính xác trong cơ học thống kê, lý thuyết
trường Comfomal hữu tỉ, lý thuyết trường hai chiều với thống kê phân số…
Đặc biệt người ta thấy nghiên cứu biến dạng lượng tử tỏ ra rất hữu hiệu khi
nghiên cứu quang lượng tử, sự rung động của hạt nhân nguyên tử, vật lý của
vật chất đông đặc.
Bên cạnh đó biến dạng R cũng được quan tâm. Đại số Heisenberg biến
dạng R đã mô tả được những hạt có spin cao. Biến dạng R(q) là biến dạng tổ
hợp của biến dạng R và biến dạng q.
Lý thuyết nhóm đối xứng là vấn đề cơ bản trong vật lý lý thuyết. Sự
hiểu biết về nhóm Lie và đại số của nhóm Lie đã trở nên cần thiết, là công cụ
chủ yếu của vật lý lý thuyết hiện đại. Gần đây trong đại số Lie người ta quan
tâm đến biến dạng đại số Lie. Đặc biệt là biến dạng pha trộn giữa biến dạng R
và biến dạng q.
Từ những lý do trên, tôi chọn đề tài: “Dao động tử biến dạng R(q)”.


2
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu dao động lượng tử biến dạng q, biến dạng R và biến dạng R(q).
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu các dao động tử biến dạng.
- Nghiên cứu dao động biến dạng R(q).

4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu dao động lượng tử, biểu diễn của dao động lượng tử và tính
thống kê của các dao động lượng tử biến dạng R(q).
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Sử dụng các phương pháp của vật lý lý thuyết và vật lý toán.
- Sử dụng các phương pháp của lí thuyết nhóm đối xứng.
6. Cấu trúc luận văn
Luận văn gồm ba chương:
Chương 1: Dao động tử biến dạng
Chương 2: Thống kê của các dao động tử biến dạng
Chương 3: Dao động tử biến dạng R(q)


3

NỘI DUNG
CHƢƠNG I: DAO ĐỘNG TỬ BIẾN DẠNG
Trong chương này, chúng tôi sẽ viết tổng quan về các dao động tử
lượng tử, dao động boson biến dạng, dao động tử fecmion biến dạng, dao
động tử Paraboson biến dạng và dao động tử biến dạng R.
1.1 Dao động tử boson biến dạng
1.1.1 Dao động tử boson
Dao động tử boson đơn mode được đặc trưng bởi hệ thức giao hoán:

a,a

(1.1.1)

1.

Toán tử số dao động tử N được biểu diễn theo các toán tử hủy dao động
tử a và toán tử sinh dao động tử a có dạng:
N a a.

trong đó:

(1.1.2)

a: là toán tử hủy dao động tử
a : là toán tử sinh dao động tử

Kết hợp (1.1.1) với (1.1.2) ta có:
N, a

a a, a

a aa aa a
(a a aa )a
(aa

a a )a

a, a a
a
N, a

a a, a

a aa

a a a


4

a (aa

a a)

a a, a

a
Như vậy:

N,a

a,

N,a

a .

(1.1.3)

Không gian Fock là không gian mà vector cơ sở của nó là những trạng
thái với số hạt xác định. Trong không gian Fock, trạng thái chân không 0
được định nghĩa là trạng thái thỏa mãn điều kiện:

a0

0

(1.1.4)

Đưa vào cơ sở của không gian Fock n là trạng thái riêng của toán tử
số dao động tử ứng với trị riêng n:

n

a

n

n!

0

n=0, 1, 2,...

Ta chứng minh:

Nn

nn.

Nn

a an

Thật vậy:

a a

1
a
n!

n

0

n
1
a a a
0
n!
n
1
a a, a
0
n!

(1.1.5)


5

1
a n a
n!

n
n
a
0
n!
nn .

n 1

0

Bây giờ, ta hãy chứng minh rằng:

a, a

n

n 1

n a

(1.1.6)

Với n 1:

a,a
Với n

1

2:

a, a

2

a

a,a

a,a

a

2a

Nhận thấy (1.1.6) đúng với n 1, 2 .
Dùng phương pháp quy nạp, giả sử biểu thức (1.1.6) đúng với n

a, a

k

k 1

k a

Ta phải chứng minh biểu thức (1.1.6) đúng với n

a, a

k 1

a

k

a, a

a k a

a,a

k 1

k 1 a

k , tức là:

a
k

a

k 1:
k

k

.

Vậy phương trình (1.1.6) đúng với n k 1 . Suy ra (1.1.6) đúng với mọi n.
Trong hình thức luận dao động tử điều hòa, toán tử tọa độ Q và toán tử
xung lượng P liên hệ với các toán tử hủy, sinh dao động a, a như sau:


6

Q

h
2m

a

a ,

P i

mh
2

a

a .

và chúng thỏa mãn hệ thức giao hoán:

Q,P

(1.1.7)

ih .

Thật vậy:

Q,P

ih
a
a , a a
2
ih
a,a
a ,a
2
ih a,a
ih

Toán tử Hamiltonian mô tả dao động tử điều hòa được biểu diễn theo
các toán tử sinh, hủy dao động tử a , a như sau:
H

1 2 1
P
m 2Q2
2m
2
2
h

h
a a
a
4
4

h
a
4

a a

h
a a
4

a

a a aa

a

2

h
a
4

a a

aa

h
a a
4

a
a a aa

aa

h
a a aa
2
h
2a a aa
2
h
2a a a, a
2
h
2N 1 .
2

a a

(1.1.8)


7

Phổ của toán tử Hamiltonian được xác định bằng phương trình hàm
riêng, trị riêng của toán tử Hamiltonian như sau:

Hn

En n
h
2N 1 n
2
h
2n 1 n .
2

Hn

Suy ra:

En

h
2n 1
2

n=0, 1, 2,...

(1.1.9)

Từ hệ thức (1.1.7) dẫn đến được hệ thức bất định Heisenberg:

Q

2

P

h2
2n 1
4

2

2

h2
.
4

(1.1.10)

Thật vậy, ta dễ dàng thấy:
Q

nQn

0,

P

nPn

0.

(1.1.11)
Do đó độ lệch toàn phương

Q

2

,

P

2

lượng là:
Q

2

Q
h
2m
h
2m
h
2m

Q

2

n a

Q2
a

2

n

n 2a a 1 n
2n 1 ,

của tọa độ và xung


8

2

P

P

P

2

P2

2
hm
n a a n
2
hm
n 2a a 1 n
2
hm
2n 1 ,
2

Suy ra:
2

Q

P

2

h2
2n 1
4

2

h2
.
4

1.1.2 Dao động tử boson biến dạng q
1.1.2.1 Dao động tử boson biến dạng đơn mode
Dao động tử boson đơn mode biến dạng q được mô tả bởi các toán tử
hủy và sinh dao động tử a, a theo hệ thức giao hoán sau:

qa a q N ,

aa

(1.1.12)

trong đó q là thông số biến dạng, N là toán tử số dao động tử.
Trong phương trình (1.1.12) nếu q 1 thì trở về hệ thức dao động tử
điều hòa (1.1.1):

a,a

1.

Toán tử số dao động tử N thỏa mãn phương trình hàm riêng, trị riêng:
Nn

q

n n q.

(1.1.13)

trong đó:

n
Ở đây 0 là trạng thái nền

a
q

n

0
n q!

(1.1.14)


9

Với:

qn q n
q q 1

nq

(1.1.15)

n q! 1 q 2 q 3 q ... n q
và thỏa mãn hệ thức giao hoán:

N,a

a,

N,a

a .

(1.1.16)

Tác dụng a a , a a lên trạng thái riêng n q ta được:

a an

q

a a

(a )n

0

n q!

Dễ dàng chứng minh được rằng:

a an
aa n

q
q

n

q

n q,

n 1 q n q.

Với n 1:

a a1

a

a a

0

1q
a

aa 0

1q
a

q

1q

a q

0

a 0
1q1 ,

N

qa a 0

(1.1.17)


10

Với n

2:

a a2

a

a a

2
q 1a
2
q

1

a

1

q

2

q

qa a 1

q

qa a aa

1

N

0

2 q!

q

2

q a

2

N

q

qa a 0

2 q!
q

1

2

q a

2

0

2 q!
q
Suy ra:

1

q 2

a a2

2

q

2

q

2 ,

2.

Như vậy phương trình (1.1.17) đúng với n 0, 1, 2 .
Giả thiết phương trình (1.1.17) vẫn đúng với n

a ak

k

q

k q.

q

Bây giờ ta chứng minh nó sẽ đúng với n

a a k 1q

a a k 1q

a a

a k

q

aa k

k 1q
a

k 1 nghĩa là:

k 1 q k 1 q.

k 1q
a

q

N

q

qa a k

k 1q
a q

k

k 1q

k , tức là:

k

q

q

q

a
k 1q

k

q

k

q

11

q

k

k 1q

k 1q

q

qk q k
q
q q1

k

q

q k

k 1q

k 1 q k 1 q.

Ta có:

aa n

aa

q

n

a

0

n q!
qa a

N

q

n

a

0

n q!
n

a

qa a

0

q

N

n q!

qn q n
q
n
q q1
qn

1

q

0

n q!

q

q

n 1

qn
q q1

qn 1 q n
q q1

n

a

1

n

n
q

q
n 1

n

1

n

n 1q n

q

q

Vậy:

a an
aa n
Vì n

q

q

n

q

n 1q n

q

q

là vector riêng của N ứng với trị riêng n:
Nn

Nên

n

q

N

q

nn

q

n

q

q

n

q

n

q

q


12
Kết hợp với phương trình (1.1.15) ta có: a a

N q.

Xuất phát từ hệ thức (1.1.12) ta có:

aa

qa a
q N

q

N

q

q

N

qN q N
q
q q1
qN

1

q
q q

q

N

N 1

1

N 1 q.

Trong không gian Fock với vector cơ sở là vector trạng thái n

a a

N q,

aa

N 1 q.

q

thì:

(1.1.18)

Để khử N từ phương trình (1.1.12) ta đưa vào các toán tử sinh, hủy

A , A có liên hệ với a, a theo công thức:
A q N/2 a,

(1.1.19)

a q N/2 .

A

Biểu diễn a, a thông qua A, A :

a
a

q

N/2

A,

A q

N/2

.

Tính hệ thức giao hoán của toán tử số N với A và A :

N,A

N,q N/2a
q N/2 N,a
q N/2a
A,

(1.1.20)

13

N,a q N/2

N,A

q N/2

N,a
a q

(1.1.21)

N/2

A .
Từ hệ thức giao hoán biến dạng cơ bản (1.1.12) và công thức (1.1.19) ta
làm biến đổi sau:

aa
q

q N,

qa a
N/2

N/2

AA q

qA q

N/2

q

q N AA

qA q N A q N ,

q N AA

qq

AA

N 1

N/2

A q N,

A A q N,

q 2 A A 1.

Ta dẫn tới hệ thức giao hoán kiểu Arik – Coon:

AA

q 2A A 1.

(1.1.22)

Tương ứng với các toán tử sinh, hủy A , A , biểu diễn không gian Fock
trở thành:
n

n

A

B

0 ,

n !

trong đó: n

B

A0

0,

Nn

nn .

(1.1.23)

q 2n 1
là hàm cấu trúc (ở đây ký hiệu B dành cho boson).
q2 1

Trong không gian Fock ta có:
B

A A

N ,

AA

N 1 .

B

(1.1.24)


14

Xét các toán tử b, b liên hệ với a, a theo hệ thức:
1
2

N 1

N 1

a

a

b,

N 1
N 1

b

(1.1.25)

1
2

.

Qua vài biến đổi đơn giản chúng ta sẽ thu được:
b, b

1,

N, b

b,

N, b

b,

(1.1.26)

N b b.

Đây chính là đại số dao động tử boson thông thường. Như vậy, chúng
ta có thể kết luận rằng các toán tử hủy, sinh của hệ boson q – biến dạng và
không biến dạng có thể biểu diễn qua nhau nhờ hệ thức (1.1.25).
Xét hệ thức giao hoán của toán tử tọa độ Q và toán tử xung lượng P:

Q,P

ih
2

a

a , a

ih
a,a
2
ih a,a
ih N 1 q

a
a ,a
(1.1.27)

N

q

.

Toán tử Hamiltonian được biểu diễn qua toán tử tọa độ Q và toán tử
xung lượng P có dạng:
H

1 2 1
P
m 2Q 2
2m
2
1
h a a aa
2
1
h
N q N 1q
2

(1.1.28)


15
Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa biến dạng q được xác định
như sau:

Hn

q

En n

1
h
2

N

En

1
h
2

q

N 1q n

q

n

q

En n

n 1q

q

q

n 0, 1, 2,...

(1.1.29)

Khi q 1 thì phổ năng lượng của dao động tử điều hòa biến dạng q sẽ
trở về phổ năng lượng của dao động tử điều hòa một chiều:

En

1
h
2

2n 1

n 0, 1, 2...

(1.1.30)

1.1.2.2 Dao động tử boson biến dạng đa mode
Đối với các dao động tử boson biến dạng q với định nghĩa (1.1.12),
(1.1.22) việc mở rộng cho hệ đa mode hoàn toàn đơn giản.
Dao động tử boson biến dạng đa mode được mô tả bởi các toán tử sinh,
hủy a j , a i theo hệ thức giao hoán sau:

a ia j

q 1

1 a j ai

ij

q

Ni

ij

,

(1.1.31)

Khi q 1 thì phương trình (1.1.31) trở thành:

a ia j

a j ai

ij

(1.1.32)

,

Khi đó thống kê biến dạng q trở về thống kê Bose – Einstein.
Toán tử số dao động tử N i có dạng:

Ni

ai ai .

(1.1.33)

Ta tính các hệ thức giao hoán giữa N i và a j , a j :

Ni ,a j
Ta có:

a i ,a j

a i a i ,a j
0

a i a ia j a ja i a i ,
a ia j

a ja i


16

Và

a j ,a i

a ja i

ji

ji

ai a j

Do đó:
Ni ,a j

Khi i

j thì

a i a ja i

ji

a i a ja i

ji a i

Ni ,a i
N,a

Tương tự:

Ni ,a j

Khi i

Ni ,a i

ai ,

N,a

a ,

Hay

a i a ja i

(1.1.34)
ija j ,

ai ,

Hay

j thì

ai a j ai

a,
(1.1.35)

a ,

ij j

Khi đó hệ thức giao hoán giữa toán tử số N i với các toán tử sinh, hủy

a j , a i lại trở về dao động tử boson đơn mode thông thường.
Toán tử số dao động tử điều hòa thỏa mãn phương trình hàm riêng, trị
riêng:

Ni n

ni n

(1.1.36)

và N i thỏa mãn hệ thức giao hoán:

Ni ,a j

a , Ni ,a j

ij j

a .

ij j

(1.1.37)

Để khử N i trong phương trình (1.1.31) ta dùng các toán tử sinh, hủy

A j , Ai được định nghĩa theo công thức đưa vào toán tử A j , Ai có liên hệ với

a j , a i theo hệ thức:
Ai

q Ni /2a i , A j

a j q Ni /2 .

(1.1.38)

Biểu diễn a j , a i thông qua A j , Ai :

ai

q

Ni /2

Ai , a j

Aj q

Ni /2

.

(1.1.39)

17

Tính hệ thức giao hoán của toán tử số N i với toán tử A j , A j :

Ni ,A j

Ni ,q Ni /2a j

q Ni /2 Ni ,a j

q Ni /2 ija j

ij

Ni ,A j

Ni ,q Ni /2a j

q Ni /2 Ni ,a j

q Ni /2 ija j

ijA j .

A j,

(1.1.40)

Thay (1.1.39) vào phương trình (1.1.31) ta có:

a ia j

q 1

q

Ni /2

q

Ni

Ai A j q

Ai A j

Ai A j

1 a j ai

ij

Ni /2

q

q 1

q 1
q2 1

ij

ij

Ni

ij

1 q

ij

1 Ajq

1 A j Ai

Ni

,
Ni /2

Ai

Ajq

Ni

ij

,

1 A j Ai

ij

ij

q

Ni /2

Ai

q

ij

Ni

,

.

Suy ra:

q2 1

Ai A j

ij

.

(1.1.41)

Aj .

(1.1.42)

và thỏa mãn hệ thức giao hoán:

Ni ,A j

ij

A j , Ni ,A j

ij

1.2 Dao động tử fermion biến dạng
1.2.1 Dao động tử fermion
Dao động tử Fermion thỏa mãn hệ thức phản giao hoán:
b, b
b

2

1
b

2

(1.2.1)
0

Toán tử dao động N có dạng:
(1.2.2)

N b b

Trong đó:

b là toán tử hủy dao động tử
b là toán tử sinh dao động tử

Tượng tự N thỏa mãn hệ thức giao hoán:

N, b

Nb bN


18

b bb bb b

b 1 2bb

b 2bbb

(1.2.3)

b

N, b

Nb

b N

b bb

b b b

b 1 2b b
(1.2.4)

b

Đưa vào cơ sở của không gian Fock n là trạng thái riêng của toán tử
số dao động tử ứng với trị riêng n
n

n

b
n

0

(1.2.5)

n=0,1

(n = 0, 1 vì đây là hệ Fermion nên phải thỏa mãn nguyên lí loại trừ
Pauli). Khi ấy tác dụng của toán tử b, b lên trạng thái n :

b0

0

b 0

(1.2.6)

1

1.2.2 Dao động tử fermion biến dạng q
1.2.2.1 Dao động tử fermion biến dạng đơn mode
Dao động tử fermion đơn mode được mô tả bởi các toán tử sinh, hủy

b , b thỏa mãn các hệ thức phản giao hoán:
bb

qb b q N ,

b2

b

2

(1.2.7)
0.


19

và toán tử số hạt N thỏa mãn hệ thức giao hoán:

N,b

b,

N,b

b .

Phương trình hàm riêng, trị riêng của toán tử số N như sau:
Nn

n n q.

q

(1.2.8)

Các trạng thái riêng đã được chuẩn hóa của toán tử N được xác định

theo công thức:

n

q

b0
trong đó hàm cấu trúc n

b

n

b

0 ,

b

(1.2.9)

n !
0.

được cho bởi:

n

b

q

n

n

1 qn
,
q q1

(1.2.10)

Và ta dễ dàng có được (tương tự mục 1.2.1):
b

bb

N ,

bb

N 1 .

(1.2.11)

b

Khi q 1 ta có dao động tử fermion thông thường bb
nguyên lý Pauli là hệ quả trực tiếp từ b 2

b

2

b b 1 và

0.

Hamilonian được biểu diễn qua toán tử tọa độ Q và toán tử xung lượng
P có dạng:

H

P2
2m

1
m 2Q 2
2

Toán tử sinh hủy b, b của dao động biến dạng q:

(1.2.12)


20

m
Q
2h

b

i
P
m

m
i
Q
P
2h
m

b

Các toán tử tọa độ và xung lượng có thể biếu diễn ngược lại qua toán tử
sinh hủy b, b :

h
2m

Q
P

i

b b

m h

b b
2

Thay vào (1.2.12) ta được:

h
b b
4

H

h
b2
4
h
bb
2
h
N
2

h
b b
4

2

2

b b (b ) 2

bb

h
b2
4

b b (b ) 2

bb

b b
b

N

b 1

Phổ năng lượng của dao động tử fermion biến dạng q được xác định như sau:

Hn

q

1
h
2
En

En n

N

b

1
h
2

q

N 1
n

b

b

n

En n

q

n 1

q

b

n 0, 1, 2,...

1.2.2.2 Dao động tử fermion biến dạng đa mode
Dao động tử fermion biến dạng đa mode được mô tả bởi các toán tử
sinh, hủy b j , bi theo hệ thức giao hoán sau:

bi b j

q 1

ij

1 b j bi

q

ij

Ni

,

(1.2.13)