Hàm khoảng cách và một số ứng dụng

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm. Sự giúp
đỡ và hướng dẫn tận tình song rất nghiêm túc của thầy trong suốt quá
trình thực hiện luận văn này đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều
trong cách tiếp cận một vấn đề mới. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn,
lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường
và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã giúp đỡ,
tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập.
Tác giả xin chân thành cảm ơn các đồng nghiệp cùng gia đình,
người thân, bạn bè đã giúp đỡ, động viên và tạo điều kiện thuận lợi để
tác giả hoàn thành khóa học Thạc sĩ và hoàn thành luận văn này.

Hà Nội, ngày 20 tháng 11 năm 2013
Tác giả

Nguyễn Thị Thanh Hà


LỜI CAM ĐOAN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại Học Sư phạm Hà Nội 2
dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm.
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi.
Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừa
những thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự
trân trọng và biết ơn. Tôi xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn
trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.

Hà Nội, ngày 20 tháng 11 năm 2013
Tác giả

Nguyễn Thị Thanh Hà


Mục lục

Lời cảm ơn

i

Lời cam đoan

ii

Bảng ký hiệu

v

Mở đầu

1

1 Một số kiến thức chuẩn bị

3

1.1

Một số khái niệm về không gian

. . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Hàm liên tục, hàm Lipschitz, hàm khả vi . . . . . . . . .

5

1.3

Một số khái niệm dưới vi phân

8

. . . . . . . . . . . . . .

2 Hàm khoảng cách và một số ứng dụng

12

2.1

Hàm khoảng cách

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.2

Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.3

Tính khả vi địa phương

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.4

Đạo hàm theo hướng, dưới vi phân Clarke . . . . . . . .

35

3 Dưới Gradient của hàm khoảng cách có nhiễu và ứng
dụng

42

iii

3.1

Một số khái niệm cơ bản

. . . . . . . . . . . . . . . . .

42

3.2

Dưới gradient tựa Fréchet của hàm khoảng cách

. . . .

47

3.3

Dưới gradient qua giới hạn của các hàm khoảng cách . .

55

3.4

Ứng dụng để nghiên cứu tính ổn định Lipschitz . . . . .

65

Kết luận

70

Tài liệu tham khảo

71

iv


BẢNG KÝ HIỆU

N

Tập số tự nhiên

R
¯
R

Tập số thực

x∗ , x

R ∪ {−∞; +∞}
x∗ (x)

X∗

Không gian đối ngẫu của X

X ∗∗

Không gian đối ngẫu thứ hai của X

τ

Tôpô

τw

Tôpô yếu

τw∗

Tôpô yếu*

.
δf (x, h)

Chuẩn
Vi phân cấp một của f với gia lượng h

F : X ⇒ Y Ánh xạ đa trị F
gphF

Đồ thị của F

epif

Trên đồ thị

domF

Miền hữu hiệu của F

X ×Y

Tích đề các của X và Y

intA
A¯

Phần trong của A

f (x; d)

Đạo hàm theo hướng của f tại x theo hướng d

f − (x; d)

Đạo hàm theo hướng Contigent của f tại x theo hướng d

f 0 (x; d)

Đạo hàm theo hướng Clarke của f tại x theo hướng d

∂f (x)
∂ˆε ϕ(x)

Dưới vi phân Clarke của f tại x

∂ˆF ϕ(x)
∂ˆ+ ϕ(x)

Dưới vi phân Fréchet của ϕ tại x

∂p ϕ(x)

Dưới vi phân gần kề của ϕ tại x

Bao đóng của A

ε - dưới građient Fréchet của ϕ tại x
Dưới vi phân dưới Fréchet của ϕ tại x


∂ ∞ ϕ(x)

Dưới vi phân suy biến của ϕ tại x

∂≥ f (x)

Dưới vi phân phải của f tại x

∂≥∞ f (x)

Dưới vi phân phải suy biến của f tại x

DFz (.)

Đạo hàm Contigent của F

Db Fz (.)

Đạo hàm gần kề của F

CF z (.)

Đạo hàm Clarke của F

D∗F

Đối đạo hàm của F

dC (x)

Khoảng cách từ x đến tập C

TC (x)

Nón tiếp tuyến của C tại x

NC (x)

Nón pháp tuyến của C tại x

SC (x)
ˆε (x, C)
N

Tập các pháp tuyến kề của C tại x

ˆ (x, C)
N

Nón pháp tuyến cơ sở

KC (x)

Nón contigent của tiếp tuyến của C tại x

PC (x)

Hình chiếu x trên C

B

Hình cầu đơn vị trong X

B∗

Hình cầu đơn vị trong X ∗

S

Mặt cầu đơn vị đóng trong X

S∗

Mặt cầu đơn vị đóng trong X ∗

δC (x)

Hàm chỉ của tập C tại x

I

Ánh xạ đồng nhất

l.s.c

Nửa liên tục dưới

ε - pháp tuyến của C tại x

Kết thúc chứng minh

vi


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong thực tiễn cũng như trong lý thuyết chúng ta thường gặp những
bài toán đòi hỏi phải khảo sát những ánh xạ liên quan đến những hàm
khoảng cách. Một lớp các hàm không trơn bản chất được tạo ra nhờ hàm
khoảng cách

d(x; C) := inf x − y
y∈C

(I)

trong đó x ∈ E là điểm, C ⊂ E là tập cố định trong không gian Banach

E với chuẩn . . Một lớp hàm khoảng cách tổng quát hơn được tạo nên
bởi

ρ(z, x) := inf

x − y = d(x, F (z))

(II)

y∈F(z)

trong đó F là ánh xạ đa trị từ không gian Banach Z vào không gian
Banach X . Rõ ràng, hàm trong (II) có hai biến, biểu thị khoảng cách từ

x đến tập chuyển động F (z), là một mở rộng của hàm khoảng cách quen
biết (I) ứng với (II) khi F (z) ≡ C . Những hàm dạng (I), (II) đóng vai trò
đáng lưu ý trong giải tích biến phân, tối ưu hóa và ứng dụng của chúng.
Sau khi được học những kiến thức về Toán giải tích, với mong muốn tìm
hiểu sâu hơn về những kiến thức đã học, mối quan hệ và ứng dụng của
chúng, tôi đã chọn đề tài nghiên cứu “ Hàm khoảng cách và một số
ứng dụng ”.

2. Mục đích nghiên cứu
Nắm được các thuộc tính của hàm khoảng cách và một số ứng dụng
của chúng trong giải tích biến phân, tối ưu hóa.

2

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về tính liên tục, tính khả vi, tính dưới khả vi của hàm
khoảng cách. Nghiên cứu về ứng dụng của hàm khoảng cách trong giải tích
và tối ưu.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Hàm khoảng cách trong không gian Hilbert và trong không gian Banach.
Một số ứng dụng của hàm khoảng cách.

5. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lý thuyết: Thu thập tài liệu, đọc và phân tích, tổng hợp
để được một nghiên cứu tổng quan về hàm khoảng cách.

6. Dự kiến đóng góp mới
Tổng quan về hàm khoảng cách và một số ứng dụng của hàm khoảng
cách.


Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
Chương 1 sẽ trình bày là một số khái niệm cơ bản về các không gian
và ánh xạ làm công cụ để trình bày các chương sau.

1.1

Một số khái niệm về không gian

Định nghĩa 1.1.1. Cho X là một tập khác rỗng. Một họ τ những tập con
của X được gọi là một tôpô trên X nếu thỏa mãn
(i) φ, X ∈ τ .
(ii) Giao của một số hữu hạn các phần tử thuộc τ thì thuộc τ .
(iii) Hợp của một họ tùy ý các phần tử thuộc τ thì thuộc τ .
Khi đó (X, τ ) được gọi là một không gian tôpô, và mỗi phần tử U ∈ τ là
một tập mở trong X .
Một không gian metric với họ các tập mở là một không gian tôpô.
Định nghĩa 1.1.2. Cho không gian tôpô (X, τ ). Một họ V ⊆ τ được gọi
là một cơ sở lân cận của x0 ∈ X nếu với mọi lân cận U của x0 , đều tồn
tại V ∈ V sao cho x0 ∈ V ⊆ U .
Định nghĩa 1.1.3. Không gian tôpô (X, τ ) được gọi là không gian tôpô
tuyến tính nếu:
3


4

(i) Mọi x, y ∈ X , mọi lân cận W của x + y , tồn tại lân cận U của x,
lân cận V của y sao cho U + V ⊂ W .
(ii) Mọi λ ∈ R, mọi x ∈ X , mọi lân cận W của λx, tồn tại ε > 0, và lân
cận V của x sao cho µV ⊂ W, ∀µ ∈ (λ − ε, λ + ε).
Định nghĩa 1.1.4. Cho X là không gian véc tơ. Tập A ⊂ X được gọi là
lồi nếu với mọi cặp điểm x, y ∈ A, ∀λ ∈ (0, 1) có

λx + (1 − λ)y ∈ A.
Định nghĩa 1.1.5. Cho (X, τ ) là một không gian tôpô tuyến tính, nếu tồn
tại một cơ sở lân cận gốc gồm toàn tập lồi thì τ được gọi là tôpô (tuyến
tính) lồi địa phương và X được gọi là không gian tôpô tuyến tính lồi địa

phương.
Định nghĩa 1.1.6. Cho (X, τ ) là một không gian tôpô lồi địa phương
Hausdorff và f : X → [ − ∞, ∞] là một phiếm hàm trên X.

epif := {(x, γ) ∈ X× R |f (x) ≤ γ} là trên đồ thị của f .
f được gọi là hàm lồi nếu epif là tập lồi.
Định nghĩa 1.1.7. Một tập K ⊂ X được gọi là nón nếu mọi điểm k ∈ K
và λ > 0 ta có λk ∈ K và nếu K là một tập lồi thì nó được gọi là nón lồi.
Định nghĩa 1.1.8. Cho X là một không gian tôpô tuyến tính, tập các
phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X được gọi là không gian liên hợp (hay
không gian đối ngẫu) của X , kí hiệu X ∗ .
Với mỗi x∗ ∈ X ∗ , v ∈ X , ta kí hiệu

x∗ , v = x∗ (v).
Định nghĩa 1.1.9. Không gian định chuẩn X được gọi là không gian phản
xạ nếu X = X ∗∗ .
Định nghĩa 1.1.10. Tôpô lồi địa phương yếu nhất trên X đảm bảo sự liên
tục của tất cả các phiếm hàm f ∈ X ∗ được gọi là tôpô yếu trên X , kí hiệu

τw .


5

Định nghĩa 1.1.11. Tôpô tuyến tính yếu nhất trên X ∗ đảm bảo sự liên
tục của ∀x ∈ X được gọi là tôpô yếu* trên X ∗ , kí hiệu τw∗ .
Định nghĩa 1.1.12. Ta gọi không gian định chuẩn là không gian tuyến
tính X trên trường R cùng với một ánh xạ . : X → R gọi là chuẩn thỏa
mãn các tiên đề:
(i) x ≥ 0, ∀x ∈ X; x = 0 ⇔ x = θ.

(ii) αx = |α| x ; ∀x ∈ X, ∀α ∈ R.
(iii) x + y ≤ x + y ; ∀x, y ∈ X .
Kí hiệu (X, . ).
Định nghĩa 1.1.13. Không gian định chuẩn (X, . ) được gọi là không
gian Banach nếu X với metric d(x, y) = x − y là một không gian đủ.
Định nghĩa 1.1.14. Cho X là không gian tuyến tính trên R, ta gọi tích
vô hướng trên không gian X mỗi ánh xạ ., . : X×X → R thỏa mãn các
tiên đề
(i) (∀x, y, z ∈ X) x + y, z = x, z + y, z .
(ii) (∀x, y ∈ X) (∀α ∈ R) αx, y = α x, y .
(iii) (∀x ∈ X) x, x > 0 nếu x = θ, x, x = 0 nếu x = θ.
Định nghĩa 1.1.15. Không gian tuyến tính X được gọi là không gian
Hilbert nếu trên đó được trang bị một tích vô hướng ., . sao cho với

x =

1.2

x, x thì X là một không gian Banach.

Hàm liên tục, hàm Lipschitz, hàm khả vi
Cho (X, τX ) và (Y, τY ) là 2 không gian tôpô, ánh xạ f : X → Y .


6

Định nghĩa 1.2.1. f được gọi là liên tục tại x0 ∈ X nếu với mọi lân cận

U của f (x0 ) đều tồn tại một lân cận V của x0 sao cho f (V ) ⊂ U .
Định nghĩa 1.2.2. Cho(X, d) là không gian metric, f : X → X , được

gọi là thỏa mãn điều kiện Lipschitz nếu tồn tại hằng số dương L sao cho
với ∀x, y ∈ X có |f (x) − f (y)| ≤ Ld(x, y).
Định nghĩa 1.2.3. Cho hai không gian định chuẩn X, Y . Một ánh xạ

f : X → Y được gọi là khả vi tại x ∈ X nếu tồn tại một toán tử liên tục
L : X → Y sao cho
f (x + h) − f (x) = L(h) + r(h),
r(h)
→ 0 khi h → 0.
h
L(h) được gọi là vi phân cấp 1 của f tại x với gia lượng h, kí hiệu

trong đó r(h) = o( h ), nghĩa là

δf (x, h).
Toán tử L được gọi là đạo hàm cấp 1 (theo nghĩa Frechet) của f tại x,
kí hiệu f (x)

δf (x, h) = f (x).h,
f (x).h là trị của toán tử f (x) tại h, hay viết [f (x)](h).
Định nghĩa 1.2.4. Cho X, Y là hai tập hợp bất kỳ. Cho F : X ⇒ Y là
ánh xạ từ X vào tập hợp gồm toàn bộ các tập con của Y (được ký kiệu là

2Y ). Ta nói F là ánh xạ đa trị từ X vào Y .
Tức là với mỗi x ∈ X thì F (x) là một tập con của Y .
Định nghĩa 1.2.5. Đồ thị gphF , miền hữu hiệu domF và miền ảnh rgeF
của ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y tương ứng được xác định bằng các công thức:

gphF = {(x, y) ∈ X × Y : y ∈ F (x)} ,
domF = {x ∈ X : F (x) = ∅} ,

rgeF = {y ∈ Y : ∃x ∈ X sao cho y ∈ F (x)}.


7

Định nghĩa 1.2.6. Cho F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị, X và Y là các
không gian tôpô
1) Nếu gphF là tập đóng trong không gian tôpô tích X × Y , thì F được
gọi là ánh xạ đóng (hoặc ánh xạ có đồ thị đóng).
2) Nếu X và Y là các không gian tuyến tính tôpô và nếu gphF là tập
lồi trong không gian tích X × Y , thì F được gọi là ánh xạ đa trị lồi.
3) Nếu F (x) là tập đóng với mọi x ∈ X , thì F được gọi là ánh xạ có giá
trị đóng.
4) Nếu Y là không gian tuyến tính tôpô và nếu F (x) là tập lồi với mọi

x ∈ X , thì F được gọi là ánh xạ có giá trị lồi.
Định nghĩa 1.2.7. Cho F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị từ không gian tôpô

X vào không gian tôpô Y
1) F được gọi là nửa liên tục trên tại x ∈ domF nếu với mọi tập mở

V ⊂ Y thỏa mãn F (x) ⊂ V tồn tại lân cận mở U của x sao cho
F (x) ⊂ V, ∀x ∈ U .
Nếu F là nửa liên tục trên tại mọi điểm thuộc domF , thì F được gọi
là nửa liên tục trên ở trong X .
2) F được gọi là nửa liên tục dưới tại x ∈ domF nếu với mọi tập mở

V ⊂ Y thỏa mãn F (x) ∩ V = φ tồn tại lân cận mở U của x sao cho
F (x) ∩ V = φ, ∀x ∈ U ∩ dom.
Nếu F là nửa liên tục dưới tại mọi điểm thuộc domF , thì F được gọi

là nửa liên tục dưới ở trong X .
3) F được gọi là liên tục tại x ∈ domF nếu F đồng thời là nửa liên tục
trên và nửa liên tục dưới tại x.
Nếu F là liên tục tại mọi điểm thuộc domF , thì F được gọi là liên
tục ở trên X .


8

Định nghĩa 1.2.8. Cho X ,Y là các không gian định chuẩn và cho ánh xạ
đa trị F : X ⇒ Y .
Giả sử x ∈ int(domF ). Ta nói F là Lipschitz địa phương tại (hoặc gần)

x, nếu tồn tại l > 0 và δ > 0 sao cho:
F (x2 ) ⊂ F (x1 ) + l x2 − x1 B Y , với ∀x1 , x2 ∈ B(x, δ).
Trong đó B Y là hình cầu đơn vị đóng trong Y.
Định nghĩa 1.2.9. Ta nói F là Lipschitz trên địa phương tại x ∈ domF
nếu tồn tại l > 0 và δ > 0 sao cho

F (x) ⊂ F (x) + l x − x B Y với mọi x ∈ B(x, δ).
Định nghĩa 1.2.10. Ta nói F là giả Lipschitz gần điểm (x, y) ∈ gphF
nếu tồn tại l > 0, δ > 0 và µ > 0 sao cho

F (x2 ) ∩ B(y, µ) ⊂ F (x1 ) + l x2 − x1 B Y với mọi x1 , x2 ∈ B(x, δ).

1.3

Một số khái niệm dưới vi phân

Định nghĩa 1.3.1. Cho f : X → R. Đạo hàm theo hướng của f tại một

điểm x ∈ X theo hướng d ∈ X được cho bởi

f (x; d) := lim
t↓0

f (x + td) − f (x)
t

khi giới hạn này tồn tại.
Định nghĩa 1.3.2. Đạo hàm theo hướng contigent của f tại x theo hướng

d được cho bởi
f − (x; d) := lim
inf
u→d
t↓0

f (x + tu) − f (x)
.
t


9

Định nghĩa 1.3.3. Giả sử rằng f là Lipschitzian địa phương. Khi đó, đạo
hàm theo hướng Clarke của f tại x theo hướng d được cho bởi

f 0 (x; d) := lim
sup
y→x

t↓0

f (y + td) − f (y)
.
t

Với X ∗ là không gian đối ngẫu của X .
Định nghĩa 1.3.4. Dưới vi phân Clarke của f tại x được cho bởi

∂f (x) := {x∗ ∈ X ∗ : x∗ , d ≤ f 0 (x; d) ∀d ∈ X}.
Định nghĩa 1.3.5. Cho X là không gian Banach, ϕ : X → R là hàm
nhận giá trị trong tập số thực suy rộng, hữu hạn tại x. Với mỗi ε ≥ 0, đặt

∂ˆε ϕ(¯
x) :=

x∗ ∈ X ∗ : lim inf
x→x

ϕ(x) − ϕ(x) − x∗ , x − x
≥ −ε .
x−x

Các phần tử của tập hợp ở vế trái của công thức này được gọi là các ε x) được gọi là ε - dưới gradient
dưới gradient Fréchet của ϕ tại x, tập ∂ˆε ϕ(¯
Fréchet của ϕ tại x.
Tập hợp ∂ˆF ϕ(¯
x) = ∂ˆ0 ϕ(¯
x) được gọi là dưới vi phân Fréchet dưới hay
dưới vi phân Fréchet của ϕ tại x.

ˆ x) ⊂ ∂ˆε ϕ(¯
ˆ
Mọi ε > 0 thì ∂ϕ(¯
x). Tập ∂ˆ+ ϕ(¯
x) = −∂(−ϕ)(¯
x) được gọi là
dưới vi phân Fréchet trên của ϕ tại x.
Định nghĩa 1.3.6. Véc tơ x∗ ∈ X ∗ được gọi là dưới gradient gần kề của

ϕ tại x nếu tồn tại ε ≥ 0 sao cho
ϕ(x) − ϕ(x) − x∗ , x − x
lim inf
≥ −ε.
x→x
x−x 2
Tức là tồn tại ε > 0 và δ > 0 sao cho

ϕ(x) − ϕ(x) ≥ x∗ , x − x − ε x − x 2 , với mọi x ∈ B(x, δ).
Tập hợp ∂p ϕ(¯
x) gồm tất cả các dưới gradient gần kề của ϕ tại x được
gọi là dưới vi phân gần kề của ϕ tại x.


10

Định nghĩa 1.3.7. Tập hợp ∂L ϕ(¯
x) := Lim
sup ∂ˆε ϕ(x) được gọi là dưới
ϕ
x →¯

x
ε↓0

vi phân qua giới hạn (hay dưới vi phân Mordukhovich).
ϕ

Tức là: x∗ ∈ ∂ϕ(x) khi và chỉ khi tồn tại các dãy xk → x, εk → 0+ và
w∗

x∗k → x∗ .
Định nghĩa 1.3.8. Tập hợp ∂ ∞ ϕ(¯
x) := lim sup λ∂ˆε ϕ(x) được gọi là dưới
x→¯
x
ε,λ↓0

vi phân qua giới hạn suy biến hay dưới vi phân suy biến của ϕ tại x.
Định nghĩa 1.3.9. Ta nói rằng f là khả vi chặt tại một điểm x ∈ X nếu

∃v ∈ X ∗ sao cho
v, d = lim
y→x
t↓0

f (y + td) − f (y)
, ∀d ∈ X .
t

Định nghĩa 1.3.10. Cho X ,Y là hai không gian định chuẩn, ánh xạ
đa trị F : X ⇒ Y . Đạo hàm contigent (đạo hàm Bowligand), kí hiệu:

DFz (.) : X ⇒ Y của F tại điểm z = (x, y) ∈ gphF là ánh xạ đa trị có đồ
thị trùng với nón tiếp tuyến Bonligand TgphF (z), tức là

DFz (u) = {v ∈ Y : (u, v) ∈ TgphF (z)} với mọi u ∈ X .
Nếu F ≡ f là ánh xạ đơn trị, thì ta viết Dfx (.) thay cho DF(x,f (x)) (.).
Định nghĩa 1.3.11. Cho X ,Y là hai không gian định chuẩn, ánh xạ đa
trị F : X ⇒ Y . Đạo hàm gần kề Db Fz (.) : X ⇒ Y của F tại điểm

z = (x, y) ∈ gphF là ánh xạ đa trị có đồ thị trùng với nón tiếp tuyến
b
TgphF
(z), tức là:
b
Db Fz (u) = v ∈ Y : (u, v) ∈ TgphF
(z)

với mọi u ∈ X .
Nếu F ≡ f là ánh xạ đơn trị, thì ta viết Db fx (.) thay cho Db F(x,f (x)) (.).
Định nghĩa 1.3.12. Cho X ,Y là hai không gian định chuẩn, ánh xạ
đa trị F : X ⇒ Y . Đạo hàm Clarke (đạo hàm tiếp tuyến làm tròn)


11

CFz (.) : X ⇒ Y của F tại điểm z = (x, y) ∈ gphF là ánh xạ đa trị có đồ
thị trùng với hình nón tiếp tuyến Clarke CgphF (z), tức là:

CFz (u) = {v ∈ Y : (u, v) ∈ CgphF (z)}, với mọi u ∈ X .
Định nghĩa 1.3.13. Xét ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y giữa các không gian

Banach. Đặt

domF := {x ∈ X : F (x) ≥ φ}, và gphF := {(x, y) ∈ X×Y : y ∈ F (x)}.
Đối đạo hàm Fréchetz của F tại (¯
x, y¯) ∈ gphF và đối đạo hàm qua giới
hạn (hay đối đạo hàm Mordukhovich) của F tại (x, y) tương ứng được cho
bởi các công thức

ˆgphF (¯
ˆ ∗ F (¯
x, y¯)(y ∗ ) := {x∗ ∈ X ∗ : (x∗ , −y ∗ ) ∈ N
x, y¯) }
D
ˆ ∗ F (¯
D
x, y¯)(y ∗ ) := {x∗ ∈ X ∗ : (x∗ , −y ∗ ) ∈ NgphF (¯
x, y¯) }.

Kết luận
Chương 1 đã trình bày là một số khái niệm cơ bản về các không gian
và ánh xạ làm công cụ để trình bày các chương sau.


Chương 2
Hàm khoảng cách và một số ứng
dụng
Chương 2 dành cho việc trình bày định nghĩa khoảng cách từ môt
điểm đến một tập cố định, các tính chất và một số ứng dụng của nó.

2.1

Hàm khoảng cách

Định nghĩa 2.1.1. Cho không gian Banach X với chuẩn . ; C là một
tập con cố định trong X , khoảng cách từ một điểm x ∈ X đến C . Kí hiệu:

dC (x) hay d(x; C).
dC (x) = inf x − y .
y∈C

(I)

Nếu C là đóng thì x ∈ C nếu dC (x) = 0.
Ví dụ 2.1.1. Cho C = [a, b] ⊂ R. Khoảng cách từ một điểm x ∈ R đến

C

khi x ∈ [a, b],
0
dC (x) = a − x khi x < a,

x − b khi x > b.
Ví dụ 2.1.2. Khoảng cách từ điểm x = (x0 , y0 ) đến hình tròn B tâm

(a, b), bán kính r
0 khi x ∈ B,
dB (x) =

(x0 − a)2 + (y0 − b)2 − r khi x ∈
/ B.

12


13

2.2

Tính chất

Định lý 2.2.1. Nếu C là tập lồi thì dC (·) là hàm lồi.
Chứng minh. Cho x, y trong X và λ ∈ (0, 1) . Lấy ε > 0, chọn cx , cy trong

C sao cho
cx − x ≤ dC (x) + ε, cy − y ≤ dC (y) + ε,
và cho c trong C xác định bởi: c = λcx + (1 − λ)cy thì

dC (λx + (1 − λ)y) ≤ c − λx − (1 − λ)y
≤ λ cx − x + (1 − λ) cy − y
≤ λdC (x) + (1 − λ)dC (y) + ε.
Vì ε là tùy ý, nên định lí được chứng minh.
Theo [10 mệnh đề 2.2.7], ξ là dưới gradient của dC tại x ; đó là

dC (y) − dC (x) ≥ ξ, y − x , ∀y ∈ X .
Do đó ξ, c − x ≤ 0, ∀c ∈ C .
Hệ quả 2.2.1. Nếu C là lồi thì v ∈ TC (x) khi và chỉ khi d0C (x; v) =

dC (x; v) = 0.
Chứng minh. Do C là tập lồi nên dC là lồi (định lý 2.2.1) và theo [10 mệnh
đề 2.3.6.] suy ra d0C và dC là trùng nhau. Hệ quả được chứng minh.
Mệnh đề 2.2.1. Hàm dC thỏa mãn điều kiện Lipschitz tổng quát dưới đây

trên X

|dC (x) − dC (y)| ≤ x − y .
Chứng minh. Lấy bất kỳ ε > 0, theo định nghĩa, tồn tại điểm c ∈ C sao
cho dC (y) ≥ y − c − ε. Ta có


14

dC (x) ≤ x − c ≤ x − y + y − c ≤ x − y + dC (y) + ε.
Do ε là tùy ý, và từ lập luận đó có thể lặp lại với sự thay đổi vai trò
của x và y ta có điều phải chứng minh.
Định nghĩa 2.2.1. Với x ∈
/ C , phép chiếu từ x đến C , kí hiệu PC (x),
được định nghĩa bởi

PC (x) := {¯
x ∈ C : x − x¯ = dC (x) }.
Định nghĩa 2.2.2. Giả sử x là một điểm trong C . Một véc tơ v trong X
là tiếp tuyến đến C tại x nếu d0C (x, v) = 0. Tập tất cả các tiếp tuyến với

C tại x, kí hiệu là TC (x).
TC (x) := {v ∈ X : d0C (x; v) = 0}.
Theo hệ quả trực tiếp của [10 mệnh đề 2.1.2], TC (x) là một nón lồi,
đóng trong X (đặc biệt, TC (x) luôn chứa O ).
Định nghĩa 2.2.3. Nón pháp tuyến đến C tại x được tạo bởi sự đối cực
với Tc (x), kí hiệu NC (x).

NC (x) = {ξ ∈ X ∗ : ξ, v ≤ 0, ∀v ∈ TC (x)}.
Mệnh đề 2.2.2. Cho f là Lipschitz với hằng số K trên tập S . Cho x ∈

C ⊂ S và giả sử rằng f đạt tới cực tiểu trên C tại x. Khi đó với bất kỳ
ˆ ≥ K , hàm g(y) = f (y)+ Kd
ˆ C (y) đạt cực tiểu trên S tại x. Nếu K
ˆ >K
K
và C là đóng, thì với bất kỳ điểm cực tiểu của g nào khác trên S cũng phải
nằm trên C .
Chứng minh. Ta chứng minh khẳng định đầu tiên bằng cách giả sử ngược
ˆ C (y) <
lại. Khi đó có một điểm y trong S và ε > 0 sao cho f (y) + Kd

ˆ .
f (x) − Kε
Cho c là điểm trong C sao cho y − c ≤ dC (y) + ε. Khi đó

ˆ y − c ≤ f (y) + K(d
ˆ C (y) + ε) < f (x).
f (c) ≤ f (y) + K


15

ˆ >K
Điều này mâu thuẫn là x là cực tiểu của f trên C . Bây giờ cho K
và cho y cũng là một cực tiểu của g trên S , thì

ˆ C (y) = f (x) ≤ f (y) + (K + K)d
ˆ C (y)/2,
f (y) + Kd

ˆ
(ta áp dụng khẳng định đầu tiên cho (K + K)/2
), điều đó dẫn đến dC (y) =
0 và do đó y ∈ C .
Định lý 2.2.2. Một phần tử v của X là tiếp tuyến đến C tại x nếu và chỉ
nếu với mọi dãy xi trong C hội tụ đến x và dãy ti trong (0, ∞) giảm về 0,
tồn tại một dãy vi trong X hội tụ về v sao cho xi + ti vi ∈ C với mọi i.
Chứng minh. Trước tiên giả sử rằng v ∈ TC (x) và dãy xi → x (với xi ∈ C );

ti ↓ 0, ta phải chứng minh tồn tại dãy vi thỏa mãn định lý.
Do d0C (x; v) = 0 theo giả thiết, ta có

dC (xi + ti v)
dC (xi + ti v) − dC (xi )
= lim
= 0.
i→∞
i→∞
ti
ti
lim

(2.1)

Cho ci là một điểm trong C điều này thỏa mãn

xi + ti v − ci ≤ dC (xi + ti v) +

ti
,

i

(2.2)

ci − xi
.
ti
Từ (2.1) và (2.2) có v − vi → 0, do đó vi hội tụ đến v . Hơn nữa,

và ta thiết lập vi =

xi + ti vi = ci ∈ C , thỏa mãn yêu cầu.
Ngược lại, cho v có các tính chất thỏa mãn các điều kiện của dãy và
chọn một dãy yi hội tụ đến x và ti giảm về 0 sao cho

dC (yi + ti v) − dC (yi )
= d0C (x; v).
i→∞
ti
lim

(2.3)

Ta chứng minh đại lượng này không dương, khi đó v ∈ TC (x) theo định
nghĩa.
Cho ci ∈ C thỏa mãn

ci − yi ≤ dC (yi ) +

ti

,
i

(2.4)


16

nó kéo theo ci hội tụ đến x. Do đó tồn tại một dãy vi hội tụ đến v sao cho

ci + ti vi ∈ C . Nhưng do dC là Lipschitz và do (2.4)
dC (yi + ti v) ≤ dC (ci + ti vi ) + yi − ci + ti v − vi
1
≤ dC (yi ) + ti ( v − vi + ).
i
Ta suy ra giới hạn (2.3) là không dương, suy ra định lý được chứng
minh.
Để thiết lập mối quan hệ giữa các khái niệm hình học được định
nghĩa ở trên, và những điều đã biết trong điều kiện trơn, ta cần một khái
niệm về tính chính qui cho các tập hợp, điều này sẽ giữ vai trò quan trọng
cho tính chính qui của các hàm.
Trước tiên ta nhớ lại nón contigent KC (x) của tiếp tuyến đến một tập
hợp C tại một điểm x; một véc tơ v trong X thuộc KC (x) khi và chỉ khi
với mọi ε > 0, tồn tại t ∈ (0, ε) và một điểm w trong v + εB sao cho

x + tw ∈ C (do đó x ∈ clC là cần thiết).
Từ định lý 2.2.2 , TC (x) luôn luôn chứa trong KC (x).
Định nghĩa 2.2.4. Tập hợp C được gọi là chính qui tại x nếu

TC (x) = KC (x).

Một tập lồi bất kì là chính qui tại mỗi điểm của nó do hệ quả của [10
mệnh đề 2.4.4.].
Định lý sau khẳng định rằng NC và TC giảm đến các khái niệm cổ điển
khi C là tập hợp trơn.
Định nghĩa 2.2.5. Hàm f được gọi là chính qui tại x nếu
(i) Với mọi v , đạo hàm một bên theo hướng f (x; v) là tồn tại.
(ii) Với mọi v , f (x; v) = f 0 (x; v).


17

Định lý 2.2.3. Cho f là Lipschitz gần x và giả sử 0 ∈
/ ∂f (x). Nếu C
được định nghĩa là {y ∈ X : f (y) ≤ f (x)} thì có

v ∈ X : f 0 (x, v) ≤ 0 ⊂ TC (x)

(2.5)

Nếu f là chính qui tại x, thì đẳng thức xảy ra và C là chính qui tại x.
Chứng minh. Trước tiên, ta thấy tồn tại điểm vˆ trong X sao cho f 0 (x; vˆ) <

0, vì f 0 (x; ·) là hàm giả sử của một tập hợp (ví dụ ∂f (x) ) không chứa 0.
Nếu v thuộc vế trái của (2.5), thì với bất kỳ ε > 0, f 0 (x, v + εˆ
v ) < 0,
do f 0 (x; ·) là cộng tính dưới [10 mệnh đề 2.1.1(a)].
Kết quả thu được là đủ để chứng minh rằng bất kỳ v mà f 0 (x; v) < 0
đều thuộc TC (x). Từ định nghĩa của f 0 (x; v), tồn tại ε và δ > 0 sao cho,
mọi y không quá ε của x và t ∈ (0, ε), ta có f (y + tv) − f (y) ≤ −δt.
Cho dãy bất kỳ xi trong C hội tụ đến x và dãy bất kỳ ti giảm về 0. Do

định nghĩa của C , ta có f (xi ) ≤ f (x) và với mọi i đủ lớn

f (xi + ti v) ≤ f (xi ) − δti
≤ f (x) − δti .
Suy ra xi + ti v ∈ C (với i lớn), và điều này xác định rằng v ∈ TC (x)
(định lý 2.2.2).
Bây giờ ta giả sử f là chính qui tại x. Có thể khẳng định thêm trong
trường hợp này, nó là đủ để chứng minh với bất kỳ thành phần v nào của

KC (x) đều thuộc vào vế trái của (2.5). Vì ta luôn có TC (x) ⊂ KC (x), nó
sẽ kéo theo 3 tập hợp trùng nhau.
Bởi vậy, lấy v ∈ KC (x), thì theo định nghĩa

lim inf
t↓0

dC (x + tv)
= 0.
t

Với bất kỳ ε > 0 ta có thể chọn một dãy ti giảm dần về 0 sao cho với
mọi i đủ lớn, ta có dC (x + ti v) ≤ εti .
Do đó tồn tại một điểm xi trong C thỏa mãn: x + ti v − xi ≤ 2εti , và
tất nhiên f (xi ) ≤ f (x) . Ta suy ra


18

f (x + ti v) − f (x) f (xi ) + 2εKti − f (x)
≤

≤ 2εK
ti
ti
Ở đó K là hằng số Lipschitz của f gần x. Lấy giới hạn và do ε là bất
kỳ, ta có f (x; v) = f 0 (x, v) ≤ 0.
Định nghĩa 2.2.6. Hàm chỉ của một tập hợp C trong X là hàm giá trị
xác định δC : X → R ∪ {∞} được định nghĩa bởi

δC (x) =

2.3

0 khi x ∈ C,
+∞ khi x ∈ X\C.

Tính khả vi địa phương

Định nghĩa 2.3.1. Tập trơn xấp xỉ được định nghĩa là tập đóng C ⊂ H
(H là không gian Hilbert) sao cho hàm khoảng cách dC là khả vi liên tục
trên một ống mở

UC (r) := {u ∈ H |0 < dC (u) < r } , r > 0

(2.6)

C là trơn xấp xỉ khi và chi khi tồn tại r > 0 sao cho với mọi u ∈ UC (r),
phép chiếu PC (u) là khác rỗng và với mỗi phần tử x của nó cũng thuộc

PC (x + v) với v = r [u − x] / |u − x|.
Từ các véc tơ v xác định bởi v = λ [u − x] / |u − x| với u ∈ PC−1 (x) và

λ > 0 là theo định nghĩa pháp tuyến kề khác θ đến C tại x , sau này người
ta cho rằng có nghĩa như: “mọi pháp tuyến kề v khác θ của C có thể nhận
được bởi hình cầu bán kinh r”.
Một phát biểu tương đương là:

0≥

1
v
2
, x − x − |x − x| , ∀x ∈ C.
|v|
2r

(2.7)

Ta biết rằng một tập lồi đóng C có ánh xạ chiếu PC tổng quát, đơn trị
và không mở rộng (liên tục Lipschitz với mô đun 1). Với các tập không lồi


19

C , ở đó có sự khác biệt giữa đóng mạnh và yếu, Clarke, Stern và Wolenski
[11] đã chỉ ra rằng một tập đóng yếu C là trơn xấp xỉ nếu và chỉ nếu PC
là đơn trị trên ống UC (r).
Kết quả khác đã thu được bởi Shapiro, ông đã chỉ ra rằng, với một tập
đóng mạnh C và một điểm x ∈ C , thì PC đơn trị trên một lân cận của x
nếu có những tính chất sau: tồn tại một hằng số k > 0 và một lân cận O
của x sao cho :

2

dTC (x) (x − x) ≤ k|x − x| với mọi x, x ∈ C ∩ O.

(2.8)

Ở đó TC (x) được định nghĩa là nón tiếp tuyến tổng quát đến C tại x.
Định nghĩa 2.3.2. Một tập đóng C là chính qui gần kề tại x đối với

v , ở đó x ∈ C , v ∈ NC (x), nếu tồn tại ε > 0 và ρ > 0 sao cho mọi
x ∈ C, v ∈ NC (x) mà |x − x| < ε, |v − v| < ε thì x là điểm gần nhất duy
nhất của {x ∈ C ||x − x| < ε} đến x + ρ−1 v . Nó là chính qui gần kề tại

x, nếu thuộc tính này đúng với mọi véc tơ v ∈ NC (x).
→
Định nghĩa 2.3.3. Ánh xạ NCr : H→
H được định nghĩa với r > 0 bởi

NCr (x) =

NC (x) ∩ intB(0, r)
φ

khi
khi

x ∈ C,
x∈
/ C.

Ở đây B(0, r) là hình cầu đóng tâm O, bán kính r.
Định nghĩa 2.3.4. Một ánh xạ T : H ⇒ H được gọi là siêu đơn điệu trên
một tập con O của X nếu tồn tại σ > 0 sao cho T + σI là đơn điệu trên

O, ta có:
v1 − v2 , x1 − x2 ≥ −σ|x1 − x2 |2 với mọi vi ∈ T (xi ) và xi ∈ O.
Định nghĩa 2.3.5. Tập C được gọi là có tính chất Shapiro nếu thỏa mãn
một trong các tính chất từ (a) đến (i) của định lý 2.3.1 dưới đây.
Định lý 2.3.1. Cho một tập đóng C ∈ H và một điểm bất kỳ x ∈ C ,
những thuộc tính sau là tương đương