Phép biến đổi Kelvin và hàm điều hòa cầ

Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Trần Văn Bằng, người đã
định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành
luận văn này.

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học,
các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại
học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập.

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia
đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho
tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 10 năm 2013
Tác giả

Hà Thị Xuân


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, Luận văn này là kết quả tìm hiểu, nghiên cứu của
cá nhân tôi dưới sự hướng dẫn của TS. Trần Văn Bằng.
Trong quá trình thực hiện luận văn, chúng tôi đã kế thừa những thành
tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 10 năm 2013
Tác giả

Hà Thị Xuân


Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1. Hàm điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2. Hàm điều hòa bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

1.2.1. Định lý Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

1.2.2. Điểm kì dị cô lập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

1.2.3. Nguyên lý cực đại. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

1.3. Hàm điều hòa dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

1.3.1. Định lý Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

1.3.2. Bất đẳng thức Harnack và nguyên lý Harnack . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

1.3.3. Đặc trưng của hàm điều hòa dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

Chương 2. PHÉP BIẾN ĐỔI KELVIN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

2.1. Phép nghịch đảo qua mặt cầu đơn vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

2.2. Phép biến đổi Kelvin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

2.2.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

2.2.2. Phép biến đổi Kelvin bảo toàn hàm điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

2.2.3. Hàm điều hòa tại vô cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

2.3. Bài toán Dirichlet ngoài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

Chương 3. HÀM ĐIỀU HÒA CẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

3.1. Hàm điều hòa cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

3.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

3.1.2. Không gian L2 (S) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

3.2. Hàm điều hòa đới cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

3.3. Hàm điều hòa cầu qua phép lấy vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

1


Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Phương trình đạo hàm riêng được nghiên cứu lần đầu tiên vào giữa
thế kỷ 18 trong các công trình của các nhà toán học như Euler, D’
Alambert, Lagrange, Laplace, ...như là một công cụ quan trọng để mô
tả các mô hình của vật lý và cơ học. Những bài toán có nội dung tương
tự vẫn còn được nghiên cứu đến tận ngày nay.
Trong chương trình học đại học cũng như cao học, ta đã được tìm
hiểu lý thuyết cơ bản về các phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp
hai quan trọng và những ứng dụng của chúng, đặc biệt là phương trình
Laplace. Tuy nhiên do hạn chế về thời gian nên chúng ta mới chủ yếu
nghiên cứu trong miền bị chặn, tính đặt chỉnh của các bài toán (sự tồn
tại, tính duy nhất và sự phụ thuộc liên tục) mà chưa tìm hiểu sâu được
trong miền không bị chặn cũng như nhiều tính chất đặc trưng khác của

hàm điều hòa (nghiệm của phương trình Laplace).
Được sự hướng dẫn của TS- Trần Văn Bằng, tôi chọn đề tài: “Biến
đổi Kelvin và hàm điều hòa cầu” để tìm hiểu về biến đổi Kelvin
và vai trò của nó đối với việc nghiên cứu hàm điều hòa trên miền không
bị chặn và hàm điều hòa cầu.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu về hàm điều hòa trên miền không bị chặn, hàm điều hòa
cầu.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu các nội dung sau:
2


+ Các tính chất cơ bản của hàm điều hòa.
+ Biến đổi Kelvin và các tính chất.
+Hàm điều hòa cầu và các tính chất.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Biến đổi Kelvin và hàm điều hòa cầu.
Phạm vi nghiên cứu: Các sách, các bài báo, tài liệu viết về biến đổi
Kelvin và hàm điều hòa cầu.
5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các kiến thức và công cụ của giải tích để tiếp cận và giải
quyết vấn đề.
Thu thập tài liệu, nghiên cứu, tổng hợp và trình bày một cách hệ
thống những vấn đề mà luận văn đề cập tới.
6. Những đóng góp của đề tài
Trình bày một cách tổng quan, rõ ràng, hệ thống về biến đổi Kelvin
và hàm điều hòa cầu.
Hà Nội, tháng 10 năm 2013
Tác giả

Hà Thị Xuân

3


Nội dung
Nội dung của luận văn bao gồm ba chương:
Chương 1: Trình bày các kiến thức chuẩn bị về hàm điều hòa trong
miền bị chặn và các tính chất cơ bản của chúng.
Chương 2: Tìm hiểu về phép biến đổi Kelvin và ứng dụng trong việc
nghiên cứu bài toán Dirichlet ngoài đối với phương trình Laplace.
Chương 3: Tìm hiểu về hàm điều hòa cầu và các tính chất của chúng.

Hà Nội, tháng 10 năm 2013
Tác giả
Hà Thị Xuân

4


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Chương này trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản của hàm
điều hòa trong miền bị chặn. Các kết quả trình bày ở đây được tham
khảo từ các tài liệu [1]-[4].

1.1. Hàm điều hòa
Cho n ∈ N∗ , n > 1 và Ω ⊂ Rn là tập mở khác rỗng, E ⊂ Rn là tập
con không nhất thiết mở. Ta kí hiệu:

C (E) là không gian tất cả các hàm liên tục trên E;
C k (Ω) , k ∈ N∗ là không gian tất cả các hàm khả vi liên tục k lần
trên Ω;
C ∞ (Ω) là không gian tất cả các hàm thuộc C k (Ω) với mọi k ∈ N;
Dj , Dj2 tương ứng là đạo hàm riêng cấp một và cấp hai theo tọa độ
thứ j;
∇ := (D1 , D2 , · · · , Dn ) là gradient và ∆ := D1 2 + ... + Dn 2 là toán tử
Laplace;
Dn u = (∇u).n là đạo hàm của u theo hướng vectơ pháp tuyến ngoài
đơn vị n trên biên Ω;
Với x = (x1 , ..., xn ) ∈ Rn , ta kí hiệu chuẩn của x là:
|x| = x1 2 + ... + xn 2

1/2

.

Trong Luận văn này, tất cả các hàm đều được giả thiết là có giá trị
5


phức trừ khi được nói rõ.
Định nghĩa 1.1. Hàm u ∈ C 2 (Ω) được gọi là hàm điều hòa trên Ω nếu
thỏa mãn phương trình Laplace:
∀x ∈ Ω.

∆u = 0,

Hàm u được gọi là hàm điều hòa trên tập E ⊂ Rn (không nhất thiết
mở) nếu u có thể thác triển thành một hàm điều hòa trên một tập mở

chứa E.
Ví dụ 1.1. a, Các hàm tọa độ u (x) = xi là hàm điều hòa trên Rn với
mọi i = 1, · · · , n.
b, Hàm u (x) = x1 2 + x2 2 − 2x3 2 + ix2 là hàm điều hòa trên R3 .
c, Hàm u (x) = |x|2−n là hàm điều hòa trên Rn khi n > 2.
Từ định nghĩa ta thấy hàm điều hòa (trên Ω) có các tính chất sau:
Tính chất 1 : Tổng hai hàm điều hòa trên Ω là hàm điều hòa trên Ω
và bội vô hướng của hàm điều hòa trên Ω là hàm điều hòa trên Ω. Nói
cách khác tập tất cả các hàm điều hòa trên Ω là một không gian vectơ.
Tính chất 2 : Với y ∈ Rn và u là hàm điều hòa trên Ω thì hàm tịnh
tiến theo vectơ y, u (x − y) cũng là hàm điều hòa trên Ω + y.
Tính chất 3 :Với r > 0, nếu u là hàm điều hòa trên Ω thì hàm co giãn
tỉ lệ r :
(ur ) (x) = u (rx)
cũng là hàm điều hòa trên 1r Ω.

Ánh xạ tuyến tính T : Rn → Rn gọi là một biến đổi trực giao nếu
|T x| = |x| với mọi x ∈ Rn .
6


Đại số tuyến tính cho ta thấy T là trực giao nếu và chỉ nếu các vectơ cột
của ma trận của T (theo cơ sở chính tắc trên Rn ) là một hệ trực chuẩn.
Nếu T : Rn → Rn là một biến đổi trực giao thì hàm u ◦ T gọi là phép
quay của u.
Tính chất 4 : Phép quay của hàm điều hòa trên Ω là hàm điều hòa
trên T −1 (Ω).
Thật vậy, giả sử u là hàm điều hòa trên Ω. Ta sẽ chứng minh rằng
∆ (u ◦ T ) = (∆u) ◦ T
trên T −1 (Ω). Để chứng minh điều này, gọi [tjk ] là ma trận của T đối với

cơ sở chính tắc trên Rn . Khi đó:
n

Dm (u ◦ T ) =

tjm (Dj u) ◦ T.
j=1

Tác động Dm một lần nữa rồi lấy tổng theo m ta có:
n

n

∆ (u ◦ T ) =

tkm tjm (Dk Dj u) ◦ T
m=1 j,k=1
n

n

tkm tjm (Dk Dj u) ◦ T

=
j,k=1
n

m=1

(Dj Dj u) ◦ T

=
j=1

= (∆u) ◦ T.
Giả thiết Ω ⊂ Rn là tập mở bị chặn với biên ∂Ω đủ trơn, u và v là
C 2 - hàm trên một lân cận của Ω, V = Vn là độ đo Lebesgue trên Rn , s
là diện tích mặt trên ∂Ω, Dn là đạo hàm theo hướng vectơ pháp tuyến
ngoài đơn vị n. Ta có công thức Green:
(u∆v − v∆u) dV =

(uDn v − vDn u) ds.

Ω

∂Ω

7


Công thức Green được suy ra dễ dàng từ công thức Ostrogradski:
w · nds,

divwdV =
Ω

∂Ω

trong đó w = (ω1 , ..., ωn ) là trường vectơ trơn (có giá trị trên Cn và có các
thành phần khả vi liên tục) trong một lân cận của Ω, divw là divergence

của w xác định bởi divw = D1 ω1 + ... + Dn ωn . Để có được công thức
Green từ công thức Ostrogradski ta chỉ cần cho w = u∇v − v∇u và tính
toán.
Áp dụng công thức Green với u là hàm điều hòa và v ≡ 1 ta nhận
được:
Dn uds = 0.

(1.1)

∂Ω

Tiếp đến ta đề cập tới một số kí hiệu liên quan tới hình cầu trên Rn .
Kí hiệu:
B (a, r) = {x ∈ Rn : |x − a| < r} là hình cầu mở tâm a bán kính r;
B (a, r) là hình cầu đóng tâm a bán kính r;
B (0, 1) = B và bao đóng của nó là B;
S là biên của hình cầu B;
σ (S) là chuẩn hóa của độ đo diện tích mặt trên S (σ (S) = 1); σ là
độ đo xác suất Borel duy nhất trên S bất biến đối với phép quay, tức là:
σ (T (E)) = σ (E), với mọi tập Borel E ⊂ S và mọi phép biến đổi trực
giao T .
Định lý 1.1. [Tính chất giá trị trung bình] Nếu u là hàm điều hòa trên
B (a, r) thì u (a) bằng trung bình của u trên ∂B (a, r). Cụ thể,
u (a) =

u (a + rζ) dσ (ζ) .
S

8

Chứng minh.
+) Với n > 2: Giả sử B (a, r) = B. Lấy ε ∈ (0, 1), áp dụng công thức
Green với Ω = {x ∈ Rn : ε < |x| < 1} và v (x) = |x|2−n ta có:
uds − (2 − n) ε1−n

0 = (2 − n)
S

uds
εS

Dn uds − ε2−n

−

Dn uds.

S

εS

Theo (1.1), hai tích phân sau bằng 0 nên ta có:
uds = ε1−n
S

uds,
εS

hay

udσ =
S

u (εζ) dσ (ζ) .
S

Cho ε → 0 và sử dụng tính liên tục của u tại 0, ta được điều phải chứng
minh.
+) Với n = 2: Hoàn toàn tương tự, nhưng ta sử dụng v = log |x| thay
cho |x|2−n .

Hàm điều hòa cũng có tính chất giá trị trung bình đối với độ đo thể
tích. Ở đây, cần sử dụng công thức tọa độ cực cho tích phân trên Rn .
Với mọi hàm f khả tích, đo được Borel trên Rn ta có:
1
nV (B)

∞

rn−1

f dV =
Rn

0

f (rζ) dσ (ζ) dr
S

hằng số nV (B) sinh ra từ tính chuẩn hóa của σ.

Định lý 1.2. [Tính chất giá trị trung bình liên quan đến V] Nếu u là
hàm điều hòa trên B (a, r) thì u (a) bằng trung bình của u trên B (a, r).
Cụ thể:
u (a) =

1
V (B (a, r))
9

udV.
B(a,r)


Chứng minh. Ta có thể giả thiết B (a, r) = B. Sử dụng công thức tọa
độ cực ở trên với f bằng uχB , sau đó sử dụng Định lý 1.1.
Định lý 1.3. [Nguyên lý cực đại] Cho Ω là tập liên thông, u là hàm
điều hòa và có giá trị thực trên Ω. Nếu u đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ
nhất trên Ω thì u là hằng số.
Chứng minh. Giả sử u đạt giá trị lớn nhất tại a ∈ Ω. Chọn r > 0 sao
cho B (a, r) ⊂ Ω. Nếu u < u (a) tại một số điểm thuộc B (a, r) thì từ
tính liên tục của u suy ra trung bình của u trên B (a, r) nhỏ hơn u (a)
(mâu thuẫn). Do đó, u là hằng số trên B (a, r). Chứng tỏ rằng tập các
điểm mà ở đó u đạt giá trị lớn nhất là tập mở trên Ω. Vì tập này cũng
là tập đóng trên Ω (do u liên tục trên Ω), suy ra nó phải là toàn Ω (do
tính liên thông) nên hàm u là hằng số trên Ω.
Nếu u đạt giá trị nhỏ nhất, thì ta áp dụng với −u.
Hệ quả 1.1. Giả sử Ω bị chặn và u là hàm điều hòa trên Ω, đồng thời
u là hàm liên tục lấy giá trị thực trên Ω. Khi đó giá trị lớn nhất và giá
trị nhỏ nhất của u trên Ω sẽ đạt được trên ∂Ω.
Hệ quả trên cho ta thấy: Trên một miền bị chặn, hàm điều hòa hoàn

toàn được xác định bởi các giá trị trên biên của nó. Chính xác hơn, với
Ω bị chặn nếu u và v liên tục trên Ω, điều hòa trên Ω và nếu u = v trên
∂Ω thì u = v trên Ω. Điều này có thể không đúng trên một miền không
bị chặn. Ví dụ, hai hàm điều hòa u (x) = 0 và v (x) = xn đồng nhất trên
biên của nửa không gian {x ∈ Rn : xn > 0} .

Hệ quả tiếp theo của nguyên lý cực đại có thể được áp dụng ngay cả
khi Ω không bị chặn và khi u không liên tục trên Ω.
10


Hệ quả 1.2. Cho u là hàm điều hòa trên Ω và có giá trị thực. Giả sử:
lim sup u (ak ) ≤ M

k→∞

với mọi (ak ) ⊂ Ω hội tụ tới một điểm trên ∂Ω hoặc tới ∞. Khi đó u ≤ M
trên Ω.
Chú ý : Trong hệ quả trên M có thể bằng ∞ và (ak ) hội tụ tới ∞
nghĩa là |ak | → ∞. Hệ quả vẫn đúng nếu thay “lim sup” bằng “lim inf”
và đổi chiều các bất đẳng thức.
Chứng minh Hệ quả 1.2:
Đặt M = sup {u (x) : x ∈ Ω}, chọn dãy (bk ) ⊂ Ω sao cho u (bk ) → M .
Nếu (bk ) có một dãy con hội tụ tới b ∈ Ω thì u (b) = M suy ra u là hằng
số trên thành phần liên thông của Ω chứa b (theo nguyên lý cực đại).
Do đó có một dãy (ak ) hội tụ tới một điểm trên ∂Ω hoặc tới ∞ mà trên
đó u = M .
Nếu không có dãy con nào của (bk ) hội tụ tới một điểm trên Ω thì
(bk ) có một dãy con (ak ) hội tụ về một điểm trên ∂Ω hoặc ∞. Vậy ta
vẫn có M ≤ M .

Định lý 1.3, Hệ quả 1.1 và Hệ quả 1.2 chỉ phát biểu đối với hàm thực.
Hệ quả sau đây sẽ phát biểu đối với hàm phức.
Hệ quả 1.3. Cho Ω là miền liên thông, u là hàm điều hòa trên Ω. Nếu
|u| đạt giá trị lớn nhất trên Ω thì u là hằng số.
Chứng minh. Giả sử max |u (x)| = M = |u (a)| với a ∈ Ω. Chọn λ ∈ C
x∈Ω

sao cho |λ| = 1 và λu (a) = M . Khi đó hàm thực Re(λu) đạt giá trị lớn
nhất bằng M tại a. Theo Định lý 1.3 suy ra Re(λu) ≡ M trên Ω. Do
|λu| = |u| ≤ M nên Im(λu) ≡ 0 trên Ω.
Vậy λu và do đó u là hằng số trên Ω.
11


Lưu ý : Không có nguyên lý cực tiểu đối với |u| (chẳng hạn xét
u (x) = x1 trên B). Hệ quả 1.3 là mô hình phức của Định lý 1.3; các mô
hình tương tự của các Hệ quả 1.1 và 1.2 vẫn đúng. Mô hình địa phương
của nguyên lý cực trị sẽ được chứng minh sau khi chứng minh mọi hàm
điều hòa đều giải tích thực.

Ta có thể thấy rằng hàm điều hòa giá trị thực có thể có điểm kì dị
cô lập (chẳng hạn hàm |x|2−n với n > 2 có kì dị cô lập tại 0). Tuy nhiên
chúng không có không điểm cô lập.
Hệ quả 1.4. Mọi không điểm của hàm điều hòa giá trị thực đều không
phải là điểm cô lập.
Chứng minh. Với u là hàm điều hòa và có giá trị thực trên Ω, a ∈ Ω
và u (a) = 0. Giả sử B (a, r) ⊂ Ω. Nếu u ≡ 0 trên B (a, r) thì ta có điều
phải chứng minh. Nếu u không đồng nhất bằng 0 trên B (a, r) thì theo
nguyên lý cực đại nó lấy ít nhất một giá trị âm và giá trị dương trên
∂B (a, r). Do đó tập liên thông u (∂B (a, r)) ⊂ R chứa 0. Vậy u có không

điểm trên ∂B (a, r) với mọi r > 0. Chứng tỏ rằng a không phải là một
không điểm cô lập.
Giả thiết giá trị thực là cần thiết trong Hệ quả 1.4 vì khi n = 2 mọi
hàm giải tích khác hằng số đều có đúng một không điểm. Khi n ≥ 2,
hàm điều hòa

n
2

xk 2 + ix1

(1 − n) x1 +
k=2

chỉ có một không điểm là gốc O.

Từ các tính chất giá trị trung bình cho ta thấy rằng nếu u là hàm
12


điều hòa trên B thì:
u (0) =

u (ζ) dσ (ζ).
S

Bây giờ ta chứng minh rằng với mọi x ∈ B, u (x) là trung bình có
trọng của u trên S. Chính xác hơn, tồn tại hàm P trên B × S sao cho:
u (x) =

P (x, ζ) u (ζ) dσ (ζ)
S

với mọi x ∈ B và mọi hàm điều hòa u trên B.
Để tìm ra P ta bắt đầu với trường hợp đặc biệt n = 2. Giả sử u là
hàm điều hòa giá trị thực trên hình tròn đơn vị đóng trên R2 . Khi đó
u = Ref với một hàm giải tích f trên một lân cận của hình tròn đóng.
Vì u = f + f /2 nên từ khai triển Taylor của f suy ra u có dạng:
∞

aj r|j| ζ j ,

u (rζ) =
j=−∞

ở đó 0 ≤ r ≤ 1 và |ζ| = 1. Trong công thức này lấy r = 1, nhân hai vế
với ζ −k rồi lấy tích phân trên đường tròn đơn vị S ta được:
u (ζ) ζ −k dσ (ζ) .

ak =
S

Bây giờ với x là một điểm trong hình tròn đơn vị mở, ta viết x = rη,
r ∈ [0, 1) và |η| = 1. Khi đó:
u (x) = u (rη)
∞

u (ζ) ζ −j dσ (ζ) r|j| η j

=

S

j=−∞
∞

r|j| ηζ −1

=
S

j

u (ζ) dσ (ζ) .

j=−∞

Tách tổng cuối cùng này thành hai chuỗi hình học ta suy ra:
u (x) =
S

1 − r2
u (ζ) dσ (ζ) .
|rη − ζ|2
13

(1.2)


Vậy đặt P (x, ζ) = 1 − |x|2 /|x − ζ|2 , ta có biểu diễn với n = 2:
u (x) =

P (x, ζ) u (ζ) dσ (ζ) .
S

Với n > 2 ta không thể dẫn ra một cách đơn giản như vậy được.
Trước tiên, ta xét bổ đề sau:
Bổ đề 1.1. [Bổ đề đối xứng] Với mọi x, y ∈ Rn \ {0} ta có:
|y|−1 y − |y| x = |x|−1 x − |x| y .

x/|x|
y/|y|
|y|x

|x|y
o

Hình 1.1: Hình minh họa của bổ đề đối xứng.

Chứng minh. Bình phương hai vế ta thấy đẳng thức đó đúng.
Để tìm P khi n > 2, ta thực hiện như trong chứng minh định lý
giá trị trung bình. Giả sử u là hàm điều hòa trên B. Khi đó chứng tỏ
rằng u (0) là trung bình của u trên S, ta đã áp dụng công thức Green
với v (y) = |y|2−n - là hàm điều hòa trên B\ {0}, có điểm kì dị tại 0 và
không đổi trên S. Bây giờ ta cố định một điểm x = 0, x ∈ B. Để chứng
minh u (x) là trung bình với trọng của u trên S, một cách tự nhiên ta
xét v (y) = |y − x|2−n . Hàm này là hàm điều hòa trên B\ {x}, có điểm
kì dị tại x, nhưng lại không phải là hàm hằng trên S.
14

Tuy nhiên, theo Bổ đề 1.1 với y ∈ S thì:
2−n

2−n

|y − x|

= |x|

x
y− 2
|x|

2−n

.

Chú ý rằng vế phải của đẳng thức trên là một hàm điều hòa theo biến
y trên B. Do vậy hiệu của vế trái và vế phải có tất cả các tính chất mà
ta đang tìm.
Đặt v (y) = L (y) − R (y), ở đó:
2−n

L (y) = |y − x|

2−n

, R (y) = |x|

x

y− 2
|x|

2−n

,

và chọn ε đủ nhỏ sao cho B (x, ε) ⊂ B. Áp dụng công thức Green với
Ω = B\B (x, ε) giống phần chứng minh ở tính chất giá trị trung bình ta
có:
uDn vds − (2 − n) s (S) u (x)

0=
S

−

uDn Rds −
∂B(x,ε)

RDn uds.
∂B(x,ε)

Vì uDn R và RDn u là bị chặn trên B nên hai tích phân sau tiến dần về
0 khi ε → 0. Từ đó:
u (x) =

1
2−n

uDn vdσ.
S

Đặt P (x, ζ) = (2 − n)−1 (Dn v) (ζ), ta được:
u (x) =

P (x, ζ) u (ζ) dσ (ζ) .

(1.3)

S

Ta có thể tự tính Dn v (sử dụng bổ đề đối xứng) để có :
1 − |x|2
.
P (x, ζ) =
|x − ζ|n

(1.4)

Hàm P được định nghĩa ở trên được gọi là nhân Poisson đối với
hình cầu. Nó đóng vai trò quan trọng trong mục sau.

15


Ta đi đến một bài toán quan trọng trong lý thuyết hàm điều hòa: Cho
hàm f liên tục trên S, có tồn tại một hàm u liên tục trên B không, với
u là hàm điều hòa trên B sao cho u = f trên S? Nếu tồn tại, làm thế
nào để tìm u? Đó là bài toán Dirichlet với hình cầu (nhớ lại rằng theo

nguyên lý cực đại, nếu nghiệm tồn tại thì nó là duy nhất.)
Theo mục trên, nếu f là hạn chế trên S của một hàm điều hòa u trên
B thì
u (x) =

P (x, ζ) f (ζ) dσ (ζ)
S

với mọi x ∈ B. Điều đó gợi ý cho ta cách giải bài toán Dirichlet trên B
như sau. Bắt đầu với một hàm liên tục f trên S, ta sử dụng công thức
trên để xác định thác triển của f vào trên B và hy vọng rằng thác triển
đó có các tính chất cần tìm. Cụ thể xét P (x, ζ) xác định bởi công thức
(1.4).
Với bất kỳ f ∈ C (S), ta định nghĩa tích phân Poisson của f , kí
hiệu P [f ], là một hàm trên B được cho bởi công thức :
P [f ] (x) =

P (x, ζ) f (ζ) dσ (ζ) .

(1.5)

S

Định lý 1.4. [Nghiệm của bài toán Dirichlet trong hình cầu] Giả sử f
liên tục trên S. Hàm u xác định trên B bởi:

 P [f ] (x) , nếu x ∈ B
u (x) =
 f (x) ,
nếu x ∈ S.

Khi đó u liên tục trên B và u là hàm điều hòa trên B.
Để chứng minh định lý ta phải cần hai mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.1. Cho ζ ∈ S. Khi đó P (·, ζ) là hàm điều hòa trên Rn \ {ζ}.

16


Để chứng minh mệnh đề này, ta viết P (x, ζ) = 1 − |x|2 |x − ζ|−n ,
sau đó tính Laplace của P (·, ζ) sử dụng công thức:
∆ (uv) = u∆v + 2∇u · ∇v + v∆u,
nếu u, v là hai hàm hai lần khả vi liên tục suy ra ta có điều phải chứng
minh.
Mệnh đề 1.2. Nhân Poisson có các tính chất sau:
(a) P (x, ζ) > 0 với mọi x ∈ B và mọi ζ ∈ S;
(b)

S

P (x, ζ) dσ (ζ) = 1 với mọi x ∈ B;

(c) với mọi η ∈ S và δ > 0,
P (x, ζ) dσ (ζ) → 0,
|ζ−η|>δ

khi x → η.
Chứng minh. Tính chất (a) và (c) được suy ra trực tiếp từ công thức
(1.4).
Từ công thức (1.3) cho u = 1 ta được (b).
Với x ∈ B\ {0}, sử dụng Bổ đề 1.1 ta có:
P (x, ζ) dσ (ζ) =

S

P

|ζ| x,

S

ζ
dσ (ζ) =
|ζ|

x
Từ Mệnh đề 1.1 suy ra P |x| ζ, |x|

P

|x| ζ,

S

là hàm điều hòa trên B theo biến

ζ. Vậy từ định lý giá trị trung bình ta có:
P (x, ζ) dσ (ζ) = P
S

rõ ràng (b) cũng đúng với x = 0.

17

x
dσ (ζ) ,
|x|

0,

x
|x|

= 1,


Chứng minh Định lý 1.4:
Laplace của u có thể được tính bằng cách đạo hàm dưới dấu tích phân
trong công thức (1.5); từ Mệnh đề 1.1 suy ra u là hàm điều hòa trên B.
Ta chứng minh u liên tục trên B, cố định η ∈ S và ε > 0. Chọn δ > 0
sao cho:
|f (ζ) − f (η)| < ε,

|ζ − η| < δ và ζ ∈ S.

Với x ∈ B, từ (a) và (b) ở Mệnh đề 1.2 suy ra:
P (x, ζ) (f (ζ) − f (η)) dσ (ζ)

|u (x) − u (η)| =
S

≤

P (x, ζ) |f (ζ) − f (η)| dσ (ζ)
|ζ−η|≤δ

P (x, ζ) |f (ζ) − f (η)| dσ (ζ)

+
|ζ−η|>δ

≤ε+2 f
ở đó f

∞

∞

P (x, ζ)dσ (ζ) ,
|ζ−η|>δ

= sup |f |. Theo tính chất (c) của Mệnh đề 1.2 ta có:
S

|u (x) − u (η)| ≤ ε, suy ra u liên tục tại η.
Định lý 1.5. Nếu u liên tục trên B và là hàm điều hòa trên B thì
u = P [u|S ] trên B.
Chứng minh. Theo Định lý 1.4, u − P [u|S ] là hàm điều hòa trên B
và có thác triển liên tục bằng 0 trên S. Theo nguyên lý cực đại (Hệ quả
1.1) thì u − P [u|S ] = 0 trên B.
Do phép tịnh tiến và co giãn biến của hàm điều hòa bảo toàn tính điều
hòa nên ta có thể khẳng định điều sau đây với mọi hình cầu B (a, r): Mọi
hàm f liên tục trên ∂B (a, r), tồn tại duy nhất một hàm u liên tục trên

B (a, r) và là hàm điều hòa trên B (a, r) sao cho u = f trên ∂B (a, r).
Hay u là nghiệm của bài toán Dirichlet trên B (a, r) với dữ kiện biên f .

18


Bây giờ ta chứng minh mọi hàm điều hòa đều khả vi vô hạn. Để
thuận tiện ta sử dụng kí hiệu sau: Đa chỉ số α là bộ n số nguyên không
âm (α1 , ..., αn ). Dα = D1 α1 ...Dn αn (với Dj 0 = I). Với mỗi ζ ∈ S, hàm
P (·, ζ) là khả vi vô hạn trên B. Kí hiệu đạo hàm riêng cấp α của nó là
Dα P (·, ζ) (với ζ cố định).
Nếu u là hàm điều hòa trên B và liên tục trên B thì:
u (x) =

P (x, ζ) u (ζ) dσ (ζ)
S

với mọi x ∈ B. Ta lấy đạo hàm dưới dấu tích phân, dễ thấy u ∈ C ∞ (B)
và
Dα u (x) =

Dα P (x, ζ) u (ζ) dσ (ζ)

(1.6)

S

với mọi x ∈ B và mọi α.
Điều này đúng trên mọi hình cầu sau một phép tịnh tiến và một phép
co giãn. Do đó ta kết luận mọi hàm điều hòa đều khả vi vô hạn.

Định lý sau đây cho ta thấy dáng điệu của một dãy các hàm giải tích
đều.
Định lý 1.6. Giả sử (um ) là một dãy hàm điều hòa trên Ω sao cho um
hội tụ đều tới một hàm u trên mỗi tập con compact của Ω. Khi đó u là
hàm điều hòa trên Ω. Hơn nữa, với mọi đa chỉ số α, Dα um hội tụ đều
tới Dα u trên mỗi tập con compact của Ω.
Chứng minh. Với B (a, r) ⊂ Ω, ta chỉ cần chứng minh rằng u là hàm
điều hòa trên B (a, r) và với mọi α thì Dα um → Dα u đều trên mỗi tập
con compact của B (a, r).

19


Không mất tính tổng quát, giả sử B (a, r) = B. Khi đó :
um (x) =

P (x, ζ) um (ζ) dσ (ζ)
S

với mọi x ∈ B và mọi m. Lấy giới hạn hai vế ta được:
u (x) =

P (x, ζ) u (ζ) dσ (ζ)
S

với mọi x ∈ B. Suy ra u là hàm điều hòa trên B.
Cho α là một đa chỉ số và cho x ∈ B. Ta có:
Dα um (x) =

Dα P (x, ζ) um (ζ) dσ (ζ)
S

Dα P (x, ζ) u (ζ) dσ (ζ) = Dα u (x) .

→
S

Nếu K ⊂ B, K-compact thì Dα P bị chặn đều trên K × S nên Dα um →
Dα u đều trên K. Ta có điều phải chứng minh.

Ta đã thấy ở phần trước hàm điều hòa là khả vi vô hạn. Ở phần này,
ta sẽ thiết lập tính chất mạnh hơn: Hàm điều hòa là hàm giải tích thực.
Nói chung, một hàm là giải tích thực nếu nó có thể khai triển địa phương
thành một chuỗi lũy thừa của các tọa độ x1 , x2 ..., xn của Rn .
Để biết chính xác hơn, ta cần thảo luận thế nào là chuỗi lũy thừa
phức dạng

cα với α là đa chỉ số. Vấn đề là α không được sắp xếp theo

trật tự khi n > 1. Tuy nhiên, giả sử

cα hội tụ tuyệt đối, tức là :

|cα | < ∞,

sup
α∈F

trong đó sup được lấy trên tất cả các tập con hữu hạn F các đa chỉ

số. Tất cả thứ tự của đa chỉ số α (1) , α (2) , ... đều cho cùng một giá trị
∞
j=1 cα (j)

vì thế ta có thể viết

cα cho giá trị này. Ta sẽ chỉ quan tâm

tới chuỗi lũy thừa hội tụ tuyệt đối.
20


Các kí hiệu sau đây sẽ được sử dụng thuận tiện khi nghiên cứu chuỗi
lũy thừa:
Với x ∈ Rn và α = (α1 , α2 , ..., αn ) là một đa chỉ số thì:
xα = x1 α1 x2 α2 ...xn αn ,
α! = α1 !α2 !...αn !,
|α| = α1 + α2 + ... + αn .
Một hàm f là hàm giải tích thực trên Ω nếu với mọi a ∈ Ω tồn tại
các số phức cα sao cho:
cα (x − a)α

f (x) =

với mọi x trong một lân cận của a và chuỗi tương ứng hội tụ tuyệt đối
trong lân cận đó. Một số tính chất cơ bản của chuỗi sẽ được đưa ra ở
mệnh đề tiếp theo. Để đơn giản ta chỉ xét trường hợp a = 0 và đưa ra
định nghĩa:
R (y) = {x ∈ Rn : |xj | < |yj | , j = 1, 2, .., n}
với y ∈ Rn ; R (y) là hình hộp chữ nhật mở tâm O với “các đỉnh y”. Để

tránh trường hợp suy biến ta giả sử mọi thành phần của y đều khác 0.
Định lý 1.7. Giả sử {cα y α } là tập bị chặn. Khi đó:
(a) Với mọi đa chỉ số β, chuỗi
Dβ (cα xα )
α

hội tụ tuyệt đối trên R (y) và hội tụ đều trên các tập con compact
của R (y).

21


cα xα khả vi vô hạn trên R (y). Hơn

(b) Hàm f được cho bởi f (x) =
nữa,

Dβ (cα xα )

Dβ f (x) =
α

với mọi x ∈ R (y) và mọi đa chỉ số β và cα = Dα f (0) /α! với mọi
đa chỉ số α.
Chú ý :
1.Chuỗi hội tụ đều trên một tập nghĩa là với mọi thứ tự chuỗi hội tụ
đều trên tập này theo nghĩa thông thường.
2. Định lý cho ta thấy đạo hàm của một hàm giải tích thực là hàm
giải tích thực và nếu

aα x α =

bα xα với mọi x trong một lân cận của

0 thì aα = bα với mọi α.
Chứng minh Định lý 1.7:
Trước tiên, ta thấy trên hình chữ nhật R ((1, 1, ..., 1)) ,
Dβ (xα ) = Dβ [(1 − x1 )−1 (1 − x2 )−1 ...(1 − xn )−1 ]
α

với mọi đa chỉ số β.
Bây giờ, giả sử |cα y α | ≤ M với mọi α. Nếu K ⊂ R (y), K-compact thì
K ⊂ R (ty), mọi t ∈ (0, 1). Vậy mọi x ∈ K và mọi đa chỉ số α,
|cα xα | ≤ t|α| |cα y α | ≤ M t|α| .
Mà

t|α| = (1 − t)−n < ∞ nên

Lập luận tương tự với
Đặt f (x) =

cα xα hội tụ đều và tuyệt đối trên K.

Dβ (cα xα ) ta có chứng minh của (a).

cα xα với x ∈ R (y), từ sự hội tụ đều của chuỗi

Dβ cα xα

với mọi β trên các tập con compact của R (y) cho ta thấy f ∈ C ∞ (R (y))

và f (x) =

Dβ (cα xα ) trong R (y) với mọi β. Các hệ số cα trong công

thức Taylor được suy ra bằng cách tính đạo hàm của f tại 0.
22


Lưu ý rằng: Định lý 1.7 không quả quyết rằng hình chữ nhật là miền
hội tụ của chuỗi lũy thừa.
Ví dụ, miền hội tụ của chuỗi

∞
j
j=1 (x1 x2 )

là (x1 , x2 ) ∈ R2 : |x1 x2 | < 1 .

Định lý tiếp theo cho ta thấy hàm giải tích thực có một số tính chất
nhất định không giống như các hàm trong C ∞ .
Định lý 1.8. Giả sử Ω là một miền, f là hàm giải tích thực trên Ω. Nếu
f = 0 trên một tập con mở khác rỗng của Ω thì f ≡ 0 trên Ω.
Chứng minh. Đặt ω là phần trong của tập {x ∈ Ω : f (x) = 0}. Suy ra
ω là tập mở và ω ⊂ Ω. Sự triệt tiêu của tất cả đạo hàm của f trên ω
cho ta thấy ω cũng là tập đóng trên Ω vì nếu a ∈ Ω là điểm giới hạn
của ω thì tất cả các đạo hàm riêng của f đều triệt tiêu tại a do tính liên
tục. Vì thế chuỗi lũy thừa của f tại a bằng 0, suy ra a ∈ ω. Mà theo giả
thiết ω khác rỗng nên ω = Ω, suy ra f ≡ 0 trên Ω.
Định lý 1.9. Nếu u là hàm điều hòa trên Ω thì u là hàm giải tích thực
trên Ω.

Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh rằng, nếu u là hàm điều hòa trên
B thì u có thể khai triển thành chuỗi lũy thừa hội tụ về u trong một lân
cận của 0.
Ý tưởng chính ở đây là giống như trong hàm biến phức: Chúng ta sử
dụng biểu diễn tích phân Poisson của u và khai triển hạt nhân Poisson
thành chuỗi lũy thừa. Thật không may là chi tiết không đơn giản như
trường hợp công thức tích phân Cauchy.
√
Giả sử |x| < 2 − 1 và ζ ∈ S. Khi đó 0 < |x − ζ|2 < 2 và do đó:
2

2

P (x, ζ) = (1 − |x|) |x − ζ|

−n/2

∞
2

cm |x|2 − 2x · ζ

= (1 − |x|)

m=0

23

m

,