Sóng nhỏ Spline và một số ứng dụng

i

Mục lục

i

Mở đầu

iv

Chƣơng 1. Một số kiến thức chuẩn bị

1

1.1. Các khái niệm cơ bản của giải tích hàm

1

1.1.1. Không gian véctơ…………………………………………...............

1

1.1.2. Không gian định chuẩn……………………………………………..

2

1.1.3. Không gian Hilbert……………………………………….................

4

1.2. Biến đổi Fourier

5

1.2.1. Định nghĩa phép biến đổi Fourier ………………………………….

5

1.2.2. Tính chất của biến đổi Fourier ……………………………………..

6

Chƣơng 2. Sóng nhỏ spline

7

2.1. Cơ sở sóng nhỏ Haar

7

2.1.1. Xấp xỉ bằng hàm thang bậc ………………………………………...

7

2.1.2. Cơ sở sóng nhỏ Haar………………………………………………..

8

2.2. Phân tích đa phân giải

10

2.2.1. Định nghĩa phân tích đa phân giải………………………………….

10

2.2.2. Tính ổn định của hàm thang bậc …………………………………...

11

2.2.3. Tính đầy đủ của hàm thang bậc…………………………………….

11

2.3. Sóng nhỏ spline trực chuẩn

12

2.3.1. B-spline cơ bản……………………………………………………..

12

2.3.2. Xây dựng sóng nhỏ spline trực chuẩn………………………….......

14

2.4. Sóng nhỏ có giá compact

19

2.4.1. Tính chất cơ bản của mặt nạ………………………………………...

20

2.4.2. Biểu trưng của một hàm thang bậc trực giao……………………….

21

2.5. Hàm thang bậc Daubechies

23

2.5.1. Dạng tích vô hạn………………………………………………........

23

2.5.2. Chứng minh hàm thang bậc khả tích bình phương…………………

26

2.5.3. Tính trực giao của hàm thang bậc………………………………….

27

2.6. Sóng nhỏ spline

30


ii

2.6.1. Một số ưu điểm của sóng nhỏ spline………………………………

30

2.6.1.1. Nghiệm hình thức đóng……………………………………...

30

2.6.1.2. Thao tác đơn giản……………………….……………………

32

2.6.1.3. Tính đối xứng…………………….…………………………..

32

2.6.1.4. Hàm thang bậc ngắn nhất của thứ tự L .. …………….………

32

2.6.1.5. Tính lớn nhất cho một thứ tự L nhất định…………….……...

33

2.6.1.6. Mối liên hệ m - thang………………………..……….……….

33

2.6.1.7. Tính biến phân………………………..……………….………

34

2.6.1.8. Tính xấp xỉ tốt nhất…………….………………….………….

34

2.6.2. Sóng nhỏ spline tựa trực giao……………………………………...

35

……………….……….

35

2.6.2.2. Cơ sở sóng nhỏ tựa trực giao trên khoảng hữu hạn……….….

39

2.6.3. Sóng nhỏ spline tựa nội suy……………………………….………..

45

2.6.2.1. Sóng nhỏ spline tựa trực giao trên

2.6.3.1. Cơ sở sóng nhỏ spline tựa nội suy trên

………………....…

45

2.6.3.2. Cơ sở sóng nhỏ spline tựa nội suy trên khoảng hữu hạn...……

46

Chƣơng 3. Một số ứng dụng sóng nhỏ spline

50

3.1. Ứng dụng sóng nhỏ spline vào giải phƣơng trình đạo hàm riêng..…...

50

3.1.1. Xấp xỉ sóng nhỏ……………………………………………………..

50

3.1.2. Phương pháp sóng nhỏ Collcation giải xấp xỉ phương trình bậc một

51

3.1.3. Phương pháp sóng nhỏ Collcation giải xấp xỉ phương trình bậc hai

54

3.2. Ứng dụng sóng nhỏ spline vào giải phƣơng trình tích phân tuyến tính

56

3.2.1.Hàm thang bậc B-spline cơ bản có giá trên đoạn  0,1 ……..……

57

3.2.2. Phương trình đại số tương ứng với phương trình tích phân………

59

3.2.3. Ví dụ và kết quả bằng số…………………………………………..

61

Kết luận

64

Tài liệu tham khảo

65


iii

BẢNG KÝ HIỆU
Tập số tự nhiên


Tập số tự nhiên khác không
Tập số thực
Tập số phức
Tập tất cả các hàm số thực liên tục trên đoạn  a, b

Ca ,b


Chuẩn



Tập rỗng



 : z  C z  1



Tập hợp các điểm trên đường tròn đơn vị của mặt phẳng
phức

L2a ,b

là tập tất cả các hàm bình phương khả tích trên đoạn

 a, b  .


iv

LỜI MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Trong khoa học tự nhiên, kĩ thuật, kinh tế, cũng như những lĩnh vực khác
của cuộc sống chúng ta rất nhiều vần đề, rất nhiều bài toán đưa tới nghiên cứu
các phương trình vi phân, phương trình tích phân và phương trình đạo hàm
riêng…Việc tìm nghiệm đúng của các phương trình này thường gặp khó khăn,
hơn nữa nghiệm đúng tìm được khi áp dụng vào thực tiễn tính toán lại phải lấy
các giá trị gần đúng. Vì vậy để tìm nghiệm của các phương trình trên ta thường
áp dụng các phương pháp giải gần đúng khác nhau.
Trong những năm gần đây các nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm
nhiều đến việc ứng dụng sóng nhỏ spline vào giải gần đúng các phương trình
đạo hàm riêng, phương trình vi phân và tích phân. Sở dĩ như vậy vì ứng dụng
sóng nhỏ spline có một số ưu điểm sau:
- Sóng nhỏ spline sử dụng trong giải gần đúng các phương trình có nhiều
ứng dụng thực tế và có thể lập trình đưa lên máy tính tính toán thuận lợi và hiệu
quả.
- Trong nhiều trường hợp, sóng nhỏ spline thường có độ chích xác của
nghiệm gần đúng tốt.
- Có thể nghiệm xấp xỉ bằng hàm thang bậc Daubechies hoặc các hàm sóng
nhỏ B-spline.
Do đó với sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Tuấn, tôi đã chọn đề tài:

“Sóng nhỏ spline và một số ứng dụng”
2. Mục đích nghiên cứu
- Tổng hợp các kiến thức cơ sở về sóng nhỏ spline, như: Cơ sở sóng nhỏ Haar,
cơ sở sóng nhỏ trực chuẩn, cơ sở sóng nhỏ spline tựa trực giao, cơ sở sóng nhỏ
tựa nội suy…


v

- Ứng dụng sóng nhỏ spline để giải gần đúng một số phương trình vi phân,

phương trình đạo hàm riêng.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Hệ thống các kiến thức liên quan đến sóng nhỏ spline.
- Nghiên cứu sử dụng sóng nhỏ spline vào giải gần đúng một số các phương
trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng.
4. Đối tƣợng nghiên cứu
Cơ sở sóng nhỏ spline, hàm spline, hàm sóng nhỏ spline và ứng dụng sóng
nhỏ spline.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Sử dụng phương pháp phân tích, tổng hợp.
- Tham khảo ý kiến chuyên gia.
6. Dự kiến đóng góp mới
- Luận văn trình bầy cơ sở lý thuyết của sóng nhỏ spline rõ ràng, được minh
họa qua các ví dụ đơn giản.
- Đưa ra lớp bài toán về một số phương trình giải được bằng phương pháp
sóng nhỏ spline có ứng dụng thực tế.


vi

NỘI DUNG

Chƣơng 1. Một số kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, tôi trình bầy hệ thống các kiến thức cơ sở cần thiết sử
dụng trong luận văn.
Chƣơng 2. Sóng nhỏ spline
Trong chương này, tôi trình bầy có hệ thống cơ bản nhất về cơ sở sóng nhỏ
Haar, sóng nhỏ spline trực chuẩn, cơ sở sóng nhỏ trực giao, các hàm thang bậc
Daubechies, sóng nhỏ tựa trực giao và sóng nhỏ spline tựa nội suy.
Chƣơng 3. Một số ứng dụng sóng nhỏ spline

Trong chương này, tôi trình bầy ứng dụng sóng nhỏ spline vào giải gần
đúng một số phương phương trình đạo hàm riêng và phương trình tích phân.


1

CHƢƠNG 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1.

Một số kiến thức cơ bản của giải tích hàm

1.1.1. Không gian véctơ
Định nghĩa 1.1.1. Cho tập hợp E mà các phần tử được kí hiệu :  ,  ,  ,... và
trường K mà các phần tử được kí hiệu là : x, y, z,...
Giả sử trên E có hai phép toán:
1) Phép toán cộng, kí hiệu  : E  E  E

 ,  

 

2) Phép toán nhân kí hiệu là: .: K  E  E

 x, 

x.

thỏa mãn các tiên đề sau:
a)        ,  ,   E;









b)            ,  ,  ,   E;
c) Tồn tại   E sao cho          ,  , E;
d) Với mỗi  tồn tại  '  E sao cho :  '      '   ;
e)  x  y   x  y , a  E và x, y  K ;





f) x     x  x  ,  ,   E và x  K ;

 

g) x y   xy  ,   E và x, y  K ;
h) 1.   ,   E và 1 là một đơn vị của trường K .
Khi đó E cùng với hai phép toán trên gọi là không gian véc tơ trên trường

K , hay K -không gian véc tơ, hay không gian tuyến tính. Khi K 
gọi là không gian véc tơ thực.

thì E

2

Khi K 

thì E gọi là không gian véc tơ phức.

Ví dụ 1.1.1. Dễ dàng kiểm tra C  a, b là một không gian véc tơ.

 

Định nghĩa 1.1.2. Hệ véc tơ  i , i  1,2,3,..., n gọi là độc lập tuyến tính nếu
n

x
i 1

i

i

 0 kéo theo xi  0, i  1,2,..., n

 

Hệ véc tơ  i , i  1,2,3,..., n gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu nó không
độc lập tuyến tính.
Định nghĩa 1.1.3. Giả sử E là một không gian véc tơ. Một hệ véc tơ trong E
được gọi là một hệ sinh của E nếu mọi véc tơ của E đều biểu thị tuyến tính

qua hệ đó.
Khi E có một hệ sinh gồm hữu hạn phần tử thì E gọi là không gian véc
tơ hữu hạn sinh.
Một hệ véc tơ trong E được gọi là cơ sở của E nếu nó là hệ sinh độc lập
tuyến tính.
Định nghĩa 1.1.4. Cho E là không gian véc tơ có cơ sở gồm hữu hạn phần tử
thì số phần tử trong cơ sở đó được gọi là số chiều của không gian véc tơ.
Khi E là một K - không gian véc tơ có số chiều n ta kí hiệu

dim E  n  hay dim K E  n .
Định nghĩa 1.1.5. Tập con W   của một K - không gian véc tơ của E
được gọi là không gian véc tơ con của E , nghĩa là thỏa mãn các điều kiện sau
1)  ,   W,     W;
2)   W và x  K thì x  W.

1.1.2. Không gian định chuẩn
Cho X là một không gian véc tơ trên trường P ( P 
Định nghĩa 1.1.6. Một chuẩn, kí hiệu

hoặc

).

 , trong X là một ánh xạ đi từ X vào


3

thỏa mãn các điều kiện
1) x  0, x  X ;

2) x  0 khi và chỉ khi x   (  là kí hiệu phần tử không );
3)  x   x ,   P, x  X ;
4) x  y  x  y , x, y  X .
Số x được gọi là chuẩn ( hay độ dài) của véc tơ x  X . Một không gian
véc tơ X cùng với một chuẩn xác định trong không gian ấy, được gọi là một
không gian định chuẩn ( thực hoặc phức, tùy theo P là thực hay phức).
Định lý 1.1.1. Giả X là một không gian định chuẩn. Với mọi x, y  X , đặt

d  x, y   x  y .
Khi đó d là một metric trên X .
Định nghĩa 1.1.7. Dãy  xn  trong không gian định chuẩn X được gọi là hội

xn  x0  0 .
tụ đến x0  X nếu lim
n
Khi đó, ta kí hiệu

lim
x  x0 hoặc xn
n  n

x0 khi n

.

Định nghĩa 1.1.8. Dãy  xn  trong không gian định chuẩn X được gọi là một
dãy cơ bản nếu
lim xm  xn  0.

m , n 

Định nghĩa 1.1.9. Giả sử không gian định chuẩn X là một không gian metric
đầy đủ (với khoảng cách d  x, y   x  y ). Khi đó X được gọi là một không
gian định chuẩn đầy đủ, hay còn gọi là không gian Banach.
Định nghĩa 1.1.10. Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường P .
Ánh xạ A từ không gian X vào không gian Y được gọi là ánh xạ tuyến tính
hay toán tử tuyến tính nếu A thỏa mãn:


4

1) A x  y   Ax  Ay, x, y  X ;
2) A x    Ax, x  X ,   P.
- Nếu A chỉ thỏa mãn 1) thì A được gọi là toán tử cộng tính.
- Nếu A chỉ thỏa mãn 2) thì A được gọi là toán tử thuần nhất.
- Khi Y  P thì toán tử tuyến tính A được gọi là phiếm hàm tuyến tính.
Định nghĩa 1.1.11. Cho hai không gian định chuẩn X và Y . Kí hiệu

L  X , Y  là tập tất cả các toán tử tuyến bị chặn từ tính không gian X vào
không gian Y . Ta đưa vào L  X , Y  hai phép toán:
1) Tổng của hai toán tử A, B  L  X ,Y  là toán tử , kí hiệu A  B, xác định
bởi biểu thức

 A  B  x   Ax  Bx, x  X ;
2) Tích vô hướng của   P ( P 

hoặc P 

) với toán tử

A  L  X ,Y  là toán tử , kí hiệu  A , được xác định bởi biểu thức

 A x     Ax .
Dễ kiểm tra được rằng A  B  L  X , Y  ,  A  L  X , Y  và hai phép toán
trên thỏa mãn tiên đề tuyến tính. Khi đó, L  X ,Y  trở thành không gian tuyến
tính trên trường P .
Định lý 1.1.2. Nếu Y là một không gian Banach thì L  X ,Y  là không gian
Banach.
1.1.3. Không gian Hilbert
Định nghĩa 1.1.12. Cho không gian tuyến tính X trên trường P
(P

hoặc P 

). Ta gọi tích vô hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ

tích Descartes X  X vào trường P , kí hiệu  ,  , thỏa mãn các tiên đề
1)

 y, x    x, y , x, y  X ;


5

2)

 x  y, z    x, z    y, z  , x, y, z  X ;

3)  x, y     x, y  ,   P và x, y  X ;
4)

 x, x   0, nếu

x   (  là kí hiệu phần tử không ) , x  X ;

5)

 x, x   0, nếu

x   , x  X .

Các phần tử x, y, z,... gọi là các phần tử của tích vô hướng. Số  x, y  gọi là
tích vô hướng của hai nhân tử x và y , các tiên đề 1) , 2) , 3) , 4) , 5) gọi là hệ
tiên đề của tích vô hướng.
Định nghĩa 1.1.13. Không gian tuyến tính X trên trường P cùng với một
tích vô hướng trên X gọi là không gian tiền Hilbert.
Định lý 1.1.3. Cho X là không gian tiền Hilbert. Với mỗi x  X , đặt
x 

 x, x  . Khi đó ,ta có bất đẳng thức sau(gọi là bất đẳng thức Schwarz).

 x, y 

 x . y , x, y  X .

Định lý 1.1.4. Mọi không gian tiền Hilbert X đều là không gian định chuẩn,
với chuẩn x 

 x, x  .

Định nghĩa 1.1.14.Ta gọi không gian tuyến tính H   trên trường P là
không gian Hilbert H thỏa mãn các điều kiện:
1) H là không gian tiền Hilbert;
2) H là không gian Banach với chuẩn x 

 x, x  , x  X .

Ta gọi mỗi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H là
không gian Hilbert con của không gian H .
1.2. Biến đổi Fourier
1.2.1. Định nghĩa biến đổi Fourier
Định nghĩa 1.2.1. Cho hàm f  L1 , hàm phức có giá trị
f     f  t  eit dt ,   ,


6

Được gọi là biến đổi Fourier của f .
Biến đổi Fourier là tuyến tính, thật vậy

f  g  f  g và cf  c f ,
ở đó c là hằng số phức.
Ví dụ 1.2.1. Cho f  t   e

 at 2



, a  0. Thì f   

a

e



2
4a

.

a 

e
1
Ví dụ 1.2.2. Cho g  t   2
Thì
g


.


t  a2
a

.

1.2.2. Tính chất của phép biến đổi Fourier
Bổ đề 1.2.1. Cho f  L1 , chúng ta có

1

 f    h      eih f   , h,   ;

 2

e  ih f       f   h  , h,   ;

 3

 af  a      f  / a  ,

^

^

 4   f



^

h,   ;

^

 .

     f  ,

Định lí 1.2.1. Nếu f  L1 , thì f   là liên tục trên

và lim f    0.
 

Ta định nghĩa



C0   f  C lim f  t   0  là không gian con tuyến tính của C
t 


Từ định lí 1.2.1, biến đổi Fourier là biến đổi tuyến tính từ L1 đến C0 .


7

CHƢƠNG 2. SÓNG NHỎ SPLINE

2.1. Cơ sở sóng nhỏ Haar
2.1.1. Xấp xỉ bằng hàm bậc thang
Ta biết, bất kỳ hàm trong L2 có thể xấp xỉ bởi hàm bậc thang. Cho
n
n

1, 2 k  x  2  k  1 ,
 n ,k  x   
n

n

0, x  2 k ,2  k  1 .

Thì đối với bất kỳ hàm f  L2 , tồn tại các hàm thang bậc
f n  x    ck ,n  n ,k  x ,

n ,

k

sao cho
lim
f n  f  0.
n

Chúng ta định nghĩa



Vn  g n g n   an,k  n ,k ,  an,k k  l 2 .
k



 2.1

Thì Vn  là một dãy các không gian con của L2 , nó xấp xỉ L2 nghĩa là, đối với
bất kỳ hàm f  L2 , có các hàm f n Vn sao cho
lim f n  f  0.

n

Chúng ta gọi Vn  là một xấp xỉ trong L2 . Rõ ràng là n đủ lớn, không gian
Vn có "độ phân giải tốt hơn". Lưu ý rằng các không gian con Vn  được lồng

nhau

...  V1  V0  V1  ...
Ta thấy rằng

 2.2


8

Vn  L2

 2.3

Vn  0.

 2.4 

n

và
n

Các cơ sở của không gian Vn có cấu trúc đơn giản. Đầu tiên chúng ta xây
dựng một cơ sở trực chuẩn của V0 . Cho B  x  là các hàm hộp xác định bởi

1, 0  x  1,
B x  
0, x   0,1 .

là hàm đặc trưng trong khoảng  0,1 . Rõ ràng rằng hệ B  x  k k tạo thành
một cơ sở trực chuẩn của V0 . Một cơ sở trực chuẩn của Vn có thể thu được
bằng cách mở rộng các hệ B  x  k k . Đối với một hàm f  L2 , chúng ta
viết
f n,k  x   2n/2 f  2n x  k  , k  , n  ,

và viết tắt f 0,k ,như f k . Hệ Bn,k kZ tạo thành một cơ sở trực chuẩn của Vn .
2.1.2. Cơ sở sóng nhỏ Haar
Với sự thêm vào cấu trúc lồng nhau của (2.2), chúng ta có thể xây dựng
một cơ sở trực chuẩn của L2 . Cho Wn là phần bù trực giao của Vn đối với Vn1 :
Wn  Vn  Vn1, Wn  Vn .

Do cấu chúc lồng nhau của (2.3) và (2.4), chúng ta có

L2  Wn ,
n

Wn  Wn ' , n  n '.

Định nghĩa 2.1.1. Hàm H  x  xác định như sau

 2.5


9


1,


H  x   1,

0,


1
0 x ,
2
1
 x  1.
2
x   0,1 ,

được gọi là hàm Haar.

Bổ đề 2.1.1. Cho

Hk  x   H  x  k , k  .

 2.6

thì hệ H k k là một cơ sở trực chuẩn của W0 . Do đó, hệ H n,k  x k là một
cơ sở trực chuẩn của không gian Wn .
Chứng minh.
Chúng ta chỉ cần chứng tỏ các hàm trong (2.6) tạo thành một cơ sở trực
chuẩn của W0 . Rõ ràng là H k  x kZ là một hệ trực chuẩn trong W0 . Bây

giờ chúng ta khẳng định rằng nó cũng là một cơ sở của W0 . Cho g là một
2
hàm trong W0 . Khi đó g V1 và có một chuỗi  ck   l như vậy

g   ck B1,k    c2l B1,2l  c2l 1B1,2l 1 .
k

l

Từ g  V0 , chúng ta có c2l 1  c2l . Lưu ý rằng H l 

1
 B1,2l  B1,2l 1 
2

Do đó

g  2  c2l H l ,
l

 c2l   l 2 .

Định lý 2.1.1. Hệ H n,k n,k tạo thành một cơ sở trực chuẩn của L2 .
Định nghĩa 2.1.2. Một hàm   L2 được gọi là sóng nhỏ trực chuẩn nếu

 

n ,m n ,m

tạo thành một cơ sở trực chuẩn của L2 . Cơ sở  n,m n,m được tạo

ra bởi  được gọi là một cơ sở sóng nhỏ trực chuẩn của L2 .


10

Định nghĩa 2.1.3. Tổng quát, một hàm   L1 được gọi là một sóng nhỏ nếu

   x  dx  0.

 2.7 

2.2. Phân tích đa phân giải
2.2.1. Định nghĩa phân tích đa phân giải
Định nghĩa 2.2.1. Một phân tích đa phân giải của L2 là một nhóm không gian
con của L2
...  V1  V0  V1  ...

Thỏa mãn các điều kiện sau đây

1

j

V j  0,

 2

j

V j  L2 ,

 3  f    V

j

nếu và chỉ nếu f  2  V j 1 , và

 4  Tồn tại một hàm  V0 sao cho   x  n n là một cơ sở không có
điều kiện của V0 , tức là   x  n n là một cơ sở của V0 và có tồn tại hai
hằng số A, B  0 sao cho  cn   l 2 thỏa mãn bất đẳng thức sau:
A cn 
2

 c    n 
n

2

 2.8

 B cn .
2

Điều kiện (2.8) được gọi là một điều kiện ổn định và hàm  thỏa mãn
(2.8) được gọi là hàm ổn định. Hàm  được mô tả trong định nghĩa 2.2.1 được
gọi là một hàm sinh từ phân tích đa phân giải. Nếu   x  n n là một cơ sở
trực chuẩn của V0 , thì  được gọi là hàm sinh trực chuẩn từ phân tích đa phân
giải.
Từ  V0 có trong V1 , chúng ta có thể mở rộng  thành một tổ hợp tuyến

tính cơ sở của V1

  x   2  h  m   2 x  m ,
m

 h  m

m

 l 2.

 2.9 


11

Ở đó chuỗi hệ số  h  m   có trong l 2 . Phương trình (2.9) được gọi là phương
trình two-scale ( hoặc phương trình refinement ).
Định nghĩa 2.2.2. Một hàm   L2 thỏa mãn phương trình (2.9) được gọi là
một hàm thang bậc (hay hàm refinable). Dãy các hệ số

 h  n  n

trong (2.9)

được gọi là mặt nạ của  , trong khi chuỗi H  z  :  m h  m z m được gọi là
biểu tượng của  . Nếu   x  n n là một hệ trực chuẩn, thì  được gọi là
một hàm thang bậc trực chuẩn.
Từ biến đổi Fourier của (2.9), chúng ta có được phương trình

    H  ei /2   / 2  ,

 2.10

2.2.2. Tính ổn định của hàm thang bậc
Định lý 2.2.1. Một hàm   L2 thỏa mãn các điều kiện ổn định (2.8) nếu và chỉ
nếu

0  ess in f
x

    2k 
k

2

 2.11

và

ess sup     2k   .
2

x

k

 2.12

Hệ quả 2.2.1. Nếu hàm

F        2k 

2

k

là liên tục, thì   x  k k là ổn định khi và chỉ khi F    0 với tất cả

 .
2.2.3. Tính đầy đủ của hàm thang bậc
Định lý 2.2.2. Cho   L1

  0  0 .

L2 là một hàm sinh từ phân tích đa phân giải. Thì


12

Bổ đề 2.2.1. Cho   L2 là một hàm thang bậc. Xác định
Vn  span2 n ,m m

 2.13

U

 2.14

và

n

Vn .

và bất kỳ f U , f   t  U .

Thì đối với bất kỳ t 

Định lý 2.2.3. Cho   L1

L2 và U là không gian được xác định bởi (2.14).

Thì   0   0 nghĩa là U  L2 .
2.3. Sóng nhỏ spline trực chuẩn
2.3.1. B-spline cơ bản
Định nghĩa 2.3.1. B-spline cơ bản bậc m , ký hiệu bởi N m  x  , được định
nghĩa quy nạp bởi nhiều tích chập của hàm hộp
N1  x   B  x  , N m  x   N m1  N1  x   0 N m1  x  t  dt ,

 2.15

1

nghĩa là
m

N m  x   N1  N 2  ...N1  x  .
B-splines cơ bản có các tính chất sau
Định lý 2.3.1. B-spline cơ bản thứ tự m thỏa mãn như sau
(1) supp N m  0, m,

(2) N m  C m2 

 và

N m là một đa thức có bậc m  1 trên mỗi khoảng

 k , k  1, 0  k  m  1,
(3) Nm  x   0,

x   0, m  .

(4) N m  x  là đối xứng đối với x  m / 2 :

Nm  x   Nm  m  x .

 2.16

Bây giờ chúng ta đưa ra các biểu thức rõ ràng về N 2 , N3 và N 4 :


13

x  0,1 ,
 x,

N 2  x   2  x, x  1,2  ,

x   0,2  ,
0,
1 2

2 x ,

 3  ( x  3 )2 ,

2
N3  x    4
1
2
  x  3 ,
2
0,

 2.17 

x   0,1 ,
x  1,2  ,

 2.18

x   2,3 ,
x   0,3 ,

1 3
x   0,1 ,
6 x ,

 1  x  2 3  ( x  2) 2  2 , x  1,2  ,
 2
3
1

2
3
2

N4  x     x  2   x  2  ,
x   2,3 ,
2
3

3
1
x  3,4  ,
6 4  x ,

x   0,4  ,
0,


 2.19 

Các biến đổi Fourier của B-splines cơ bản là đơn giản.
Định lý 2.3.2. B-spline cơ bản bậc m là một hàm sinh từ phân tích đa phân
giải.
Chứng minh.
Chúng ta chứng minh rằng N m thỏa mãn hai điều kiện ổn định và điều
kiện đầy đủ. Trong thực tế, chúng ta có

 N   2k 
m

k

2

 sin  / 2 
 
 .
k   / 2  k 
2m


14

Nhớ lại rằng



 sin  / 2 

 là hàm tuần hoàn chu kỳ 2 . Từ bất đẳng
 /2 
2m

k

thức (theo giả thiết lim
x 0
2



sin x
 1)
x

sin x
 
, x  0,  .
x
 2



Chúng ta có

2
 sin  / 2 
  
 ,
 
  / 2 
2m

2m

   ,2 .

Do đó, khi x  0,2  ,

2

 sin  / 2 
 sin  / 2 
 sin  / 2 
  
 
  
 .


/
2



/
2

/
2

k

k

 







2m

2m

Mặt khác, từ thực tế là sin x  x và

2m

2m

1
1
  kZ
2 , chúng ta có
2
sin 
  k 

 sin  / 2 
 sin( / 2  k ) 


  
 / 2  k 
k    / 2  k 
k 
2m

2m

 sin( / 2  k ) 
 
 / 2  k 
k 

2

 sin  / 2 
 
 1
k    / 2  k 
2

Do đó, N m  x  là ổn định. Rõ ràng N m  L1

L2 và N m  0   1 có đầy đủ tính

chất của N m . Do đó định lý được chứng minh.
2.3.2. Xây dựng sóng nhỏ spline trực chuẩn
Từ B- spline cơ bản là hàm sinh từ phân tích đa phân giải, chúng ta có thể
xây dựng các hàm spline thang bậc trực chuẩn và sóng nhỏ. Viết

 sin( / 2) 
Bm     
 .
k   / 2  k 
2m

 2.20 

15

Theo định lý 7.3.2 [4, tr 207] và định lý 7.3.3 [4, tr 214]. Chúng ta có những
điều sau đây
Định lý 2.3.3. Hàm N m xác định bởi
N m   

N m  

 2.21

Bm  

là một hàm sinh trực chuẩn từ phân tích đa phân giải, mà thỏa mãn phương
trình refinement:
N m    H  ei /2  N m  / 2  ,

 2.22

ở đó
 1  e i 
H e   

 2 

Bm  

m

 i

Bm  2 

,

và hàm S m được xác định bởi
S m    ei /2 H  ei /2  N m  / 2 

 2.23

là sóng nhỏ trực chuẩn tương ứng.
Định lý 2.3.4. Cho Bm   là hàm xác đinh bởi (2.20) .Thì

Bm   

m 1



k  m 1

N 2 m  m  k  e ik ,

 2.24 

hoặc tương đương
m 1

Bm    N 2 m  m   2 N 2 m  m  k  cos k.
k 1

 2.25

Ví dụ 2.3.1. Tính toán các giá trị của Nm  k  , k  , m  1, về số và sau đó lấy
công thức của Bm   .
Lưu ý rằng giá của N m là  0,m . Do đó, N m  k   0 nếu k  0 hoặc

k  m . Chúng ta chỉ cần tính toán Nm  k  ,1  k  m  1.


16

Từ phương trình two-scale của N m , chúng ta có
1
 N m  2   mN m 1 
2m1

m
m
1 
N m  2   m1  N m  4   mN m  3    N m  2     N m 1 
2 
2 
3 

N m 1 

............

N m  m  1 

1
 mN m  m  1  N m  m  2  
2m1

Chúng là một hệ tuyến tính thuần nhất của  N m 1 ,..., N m  m  1 . Các hệ
có nghiệm không tầm thường, mà là 0-véctơ riêng của hệ. Do đó, nếu

v  v1 ,..., vm1  là một nghiệm, vậy nghiệm cần tìm  N m 1 ,..., N m  m  1
phải được chuẩn hóa bằng điều kiện N m  0   1 . Điều này mang lại điều kiện



k

Nm  k   1 .
Khi m  2 , thì hệ rút gọn đến phương trình N 2 1  N 2 1 . Bất kỳ số thực

khác không là một nghiệm không tầm thường của phương trình này. Qua điều
kiện chuẩn hóa, chúng ta có N 2 1  1 ,do đó B2    1 . Điều này cũng chứng
tỏ rằng N1  x  là một hàm thang bậc trực chuẩn.
Khi m  4 , hệ được rút gọn tới

1
 N 4  2   4 N 4 1 
23
1
N 4  2   2  4 N 4  3  6 N 4  2   4 N m 1 
2

1
N 4  3  3  4 N 4  3  N 4  2  
2
N 4 1 

Trong đó có một nghiệm (1, 4, 1). Áp dụng các điều kiện chuẩn hóa,
chúng ta có

N4 1  1/ 6, N4  2   2 / 3, N4  3  1/ 6 .


17

Vì vậy
B2    N 2  2   2 N 2 1 cos 

2 1
 cos .
3 3

Biến đổi Fourier của N m đã được đưa ra bởi (2.14). Chúng ta suy ra được
các biểu diện của N m là sự kết hợp tuyến tính của N m  x  trong miền thời
gian. Từ

1
Bm  

là hàm chẵn khả vi tuần hoàn chu kỳ 2 , cho

1

chuỗi Fourier của nó. Thì

Bm  

1



cn  c n 



0



n

cne ik là

  n cneik và cn hệ số được cho bởi

cos n
Bm  

d , n 



 2.26 

.

Kết quả này
N m  x    cn N m  x  n .

 2.27 

n

Tương tự như vậy, cho
1



bn  b n 



0

cos n Bm  d ,

n



.

Thì
N m  x    bn N m  x  n .

 2.28 

n

Ví dụ 2.3.2. Tính toán các hệ số  cn  trong (2.26) và  bk  trong (2.28) đối với

m  2 . (làm tròn chúng đến 6 chữ số thập phân)
Nhớ lại rằng
ck 

1





0

cos k
d , k  0.
2 1
 cos
3 3

Bằng cách làm tròn ck đến 6 chữ số thập phân, chúng ta có

18

c0  1.291675, c1  1.74663, c2  0.035210, c3  0.007874,
c4  0.001848, c5  0.000446
c6  0.000110, c7  0.000027, c8  0.000007, c9  0.000002, ck  0, k  10.

Tương tự như vậy, bk 

1



2

0

2 1
 cos d , k  0 . Do đó
3 3

cos k

b0  0.802896, b1  0.104705, b2  0.006950, b3  0.000927, b4  0.000155
b5  0.000029, b6  0.000006, b7  0.000001, bk  0, k  8.
Để có được phương trình (2.22) trong miền thời gian, chúng ta cần chuỗi
Fourier của H  e i . Nhớ lại rằng
 1  e i 
H e   

 2 

Bm  

m

 i

Bm  2 

.

Cho
Bm  
Bm  2 

   k e ik .
k

Thì

k  k 

1



Bm  
cos n d ,
Bm  2 



0

n



.

 2.29 

Giả sử H m  ei    n  neik . Chúng ta có
 1  e i 
H e   

 2 
 i

m

 e
k

k

 ik



1 m  m   il
e   k e ik

m 
2 l 0  l 
k

kết quả này

 n   mn 

1 m  m
  n l .
2m l 0  l 

 2.30 

Ví dụ 2.3.3. Tính toán các mặt nạ của N 2 , làm tròn đến 6 chữ số thập phân.
Trước tiên chúng ta tính toán  k trong (2.29)


19

 0 = 1.0394978, 1 = 0.1168288,  2 = −0.1494296,  3 = −0.0134167,
 4 = 0.0293394,  5 = 0.0027392,  6 = −0.0065602,  7 = −0.0006023
8 = 0.0015367,  9 = 0.0001405, 10 = −0.0003706, 11 = −0.0000337,

12 = 0.0000910, 13 = 0.0000083, 14 = −0.0000226, 15 = −0.0000020,

16 = 0.0000057, 17 = 0.0000006, 18 = −0.0000014,

19 = −0.0000001,  20 = 0.0000004.
Áp dụng công thức (2.30), chúng ta có được

1 = 0.578163,  2 = 0.280932,  3 = −0.048862,  4 = −0.036731,

 5 = 0.012000,  6 = 0.007064,  7 = −0.002746,  8 = −0.001557,

 9 = 0.000653, 10 = 0.000362, 11 = −0.000159, 12 = −0.000087,
13 = 0.000039, 14 = 0.000021, 15 = −0.000010, 16 = −0.000005,
17 = 0.000002, 18 = 0.000001,  k = 0, k ≥ 19.  k = α2−k , k ≤ 0.
2.4 . Sóng nhỏ có giá Compact
Cho   L1 



là một hàm sinh từ phân tích đa phân giải với một mặt nạ

hữu hạn, nghĩa là  hội tụ hầu khắp nơi thỏa mãn phương trình
N

  x   2  hk  2 x  k  ,

M  N.

k M

Bây giờ chúng ta xét hàm  cho bởi
N

  x   2 hk  2 x  k ,

k 0

N  0,

2.31

Trong đó h0 hN  0 . Ta có, nếu  là hàm sinh ra từ một phân tích đa phân
giải, thì   0   0 . Do đó, chúng ta luôn luôn có hàm  thỏa mãn các điều
kiện chuẩn hóa   0   1 .
Biến đổi Fourier của (2.31) là