Vật Lý 12 Một số bài toán về tìm thời điểm và thời gian

Dùng phương pháp tổng quát là sử dụng mối quan hệ giữa chuyển động tròn
đều với vật dao động điều hoà để tìm ra một số khoảng thời gian đặc biệt trong
quá trình vật dao động điều hoà.

T
4

T
4
T
T 6
8

T
12

T
8

T
6

A

A A 2A 3
A 3 A 2− A
− −
Từ đó tìm ra công thức
2 tập2 về thời
2 2 2 giải nhanh với một số dạng bài
2 điểm,

O

-A

thời gian với li độ dao động x. Tiếp theo sử dụng mối quan hệ giữa v-x; a-x
để tìm vị trí (x) đạt giá trị v hoặc a và sự tương tự giữa i , u, q ... với x để
vận dụng các kết luận của x vào giải các bài tập của v, a, i, u, q... Làm như
vậy sẽ giúp các em rút ngắn thời gian và nâng cao hiệu quả khi làm bài tập.
I. Lí thuyết chỉ ra đặc điểm chung của các đại lượng.
Trong chương trình vật lý 12 THPT ban cơ bản, có một số đại lượng có giá trị
thay đổi theo thời gian với quy luật hàm sin hay cosin, tức là một hàm tuần hoàn
có chu kì T xác định, đó là các đại lượng: li độ, vận tốc, gia tốc của vật dao động
điều hoà; cường độ dòng điện và điện áp xoay chiều; điện tích trên một bản tụ
và cường độ dòng điện trong mạch dao động LC....
Cụ thể như sau:
I.1 Chương I: Dao động điều hoà
1. Vật dao động điều hoà là vật có li độ dao động là một hàm sin hay cosin của
thời gian có phương trình x = Acos (ω t + ϕ ) = Acos (

2π
t + ϕ)
T

Trong đó: x là giá trị tức thời của li độ ở thời điểm t, biến thiên theo t với chu kì
T xác định
A là giá trị cực đại của x (A>0)
1


ϕ là pha ban đầu, xác định trạng thái của vật tại thời điểm ban đầu t = 0.

2. Vận tốc của vật dao động điều hoà biến thiên theo thời gian có phương trình
π
v = - Aω sin (ωt + ϕ ) = Aω cos (ωt + ϕ + 2 )

Trong đó: v là giá trị tức thời của vận tốc ở thời điểm t, biến thiên theo t với chu
kì T xác định.
v0 = v max = Aω là giá trị cực đại của vận tốc

ϕ là pha ban đầu, xác định vận tốc của vật tại thời điểm ban đầu t = 0.
3. Gia tốc của vật dao động điều hoà biến thiên theo thời gian có phương trình.
a = - Aω cos (ωt + ϕ ) = - ω x = Aω cos (ωt + ϕ + π )
2

2

2

Trong đó: a là giá trị tức thời của gia tốc ở thời điểm t, biến thiên theo t với chu
kì T xác định
2

a0 = a max = Aω là giá trị cực đại của gia tốc

ϕ là pha ban đầu, xác định gia tốc của vật tại thời điểm ban đầu t = 0
I.2 Chương III: Dòng điện xoay chiều
1. Cường độ dòng điện xoay chiều biến thiên theo thời gian có phương trình

i = I0 cosωt
( +φ

)

Trong đó: i là giá trị tức thời của dòng điện (cường độ dòng điện tức thời), biến
thiên theo thời gian có chu kì T xác định
I0 >0 gọi là giá trị cực đại của dòng điện (Cường độ dòng điện cực đại)

ϕ là pha ban đầu, xác định cường độ dòng điện tại thời điểm ban đầu t = 0
2. Điện áp xoay chiều biến thiên theo thời gian có phương trình

u = U 0cosωt = U 2cosωt
Trong đó: u là giá trị tức thời của điện áp (điện áp tức thời), biến thiên theo thời
gian có chu kì T xác định
U0 là giá trị cực đại của điện áp (điện áp cực đại)

ϕ

là pha ban đầu, xác định điện áp tại thời điểm ban đầu t = 0

I.3 Chương IV: Dao động điện từ
2


1. Điện tích trên một bản tụ biến thiên theo thời gian có phương trình
q = Q0 cos(ωt + ϕ ) Với ω2 =

1
LC

Trong đó: q là giá trị tức thời của điện tích tại thời điểm t, biến thiên theo thời

gian có chu kì T xác đinh.
Q0 là giá trị cực đại của điện tích

ϕ

là pha ban đầu, xác định điện tích tại thời điểm ban đầu t = 0

2. Cường độ dòng điện trong mạch dao động biến thiên theo thời gian có
phương trình

i=

dq
π

= I0 cos  ω t + ϕ + ÷
dt
2


Với I0 =

q0ω

Trong đó: i là giá trị tức thời của dòng điện (cường độ dòng điện tức thời), biến
thiên theo thời gian có chu kì T xác định
I0 >0 gọi là giá trị cực đại của dòng điện (Cường độ dòng điện cực đại)

ϕ là pha ban đầu, xác định cường độ dòng điện tại thời điểm ban đầu t = 0
* Nhận xét: Các đại lượng li độ dao động, vận tốc, gia tốc của vật dao động

điều hoà; điện tích trên một bản tụ và cường độ dòng điện trong mạch dao động
LC; điện áp và cường độ dòng điện xoay chiều ... đều biến thiên theo thời gian
có phương trình dạng x = Xcos (ωt + ϕ) . Chúng đều là hàm tuần hoàn theo
thời gian có chu kì T, tần số f xác định.
Do vậy chỉ cần đưa ra phương pháp giải các bài toán tìm thời điểm,
thời gian với li độ dao động x bằng phương pháp sử dụng quan hệ giữa
chuyển động tròn đều và dao động điều hoà, từ đó áp dụng tương tự cho các
đại lượng khác.
II. Sử dụng mối quan hệ giữa chuyển động tròn đều

M1

M2

và dao động điều hoà tìm một số khoảng thời gian đặc
biệt ứng với sự chuyển động của các vật.
II.1 Xét vật dao động điều hoà có phương trình

x = Acos (ω t + ϕ )

∆ϕ

-A

x2

x1

O

∆ϕ

Khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có li độ x 1
đến vị trí có li độ x2 xác định bởi
M'2

M'1

3

A


x

co s ϕ 1 = 1


∆ ϕ ϕ 2 − ϕ1
A
với 
và ( 0 ≤ ϕ1 , ϕ 2 ≤ π )
∆t =
=
x
ω
ω
2
 co s ϕ =
2


A
II.2 Một số trường hợp đặc biệt (mỗi trường hợp nêu lí do lấy một nghiệm)
1. Tìm tmin để vật đi từ vị trí cân bằng (VTCB) (x1 = 0) tới vị trí x2 = ± A
x
0
π

π
cosϕ1 = 1 = = 0 ⇒ ϕ1 = rad

ϕ − ϕ1
T

A A
2
⇒ ∆t = 2
= 2 =

2π
ω
4
cosϕ = x2 = A = 1 ⇒ ϕ = 0rad
2
2

T

A A
2. Tìm khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi VTCB (x1 = 0) tới vị trí x2 = ±

A
2

x1 0
π

π
cos
ϕ
=
=
=
0
⇒
ϕ
=
rad
1
1

ϕ − ϕ1
T

A A
2
⇒ ∆t = 2
= 6 =

2π 12

ω
cosϕ = x2 = A = 1 ⇒ ϕ = π rad
2
2

T
A 2. A 2
3

A
=> Thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có x1 =
đến vị trí có x2 = A là
2
T T T
t= −
=
4 12 6
A 2
3. Tìm tmin để vật đi từ vị trí x1 = 0 tới vị trí có x2 = ±
2
x1
0
π

π
cos
ϕ
=
=
=

0
⇒
ϕ
=
rad
1
1

ϕ
−
ϕ
T
A A
2

1
⇒ ∆t = 2
= 4 =

2π
ω
8
cosϕ = x2 = A 2 = 2 ⇒ ϕ = π rad
2
2



A

2. A

2

=> Thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có x1 =

t=

T

4

A 2
đến vị trí có x2 = A là
2

T T T
− =
4 8 8

4. Tìm tmin để vật đi từ vị trí x1 = 0 tới vị trí có x2 = ±

A 3
2

x1
0
π

π

cos
ϕ
=
=
=
0
⇒
ϕ
=
rad
1
1

ϕ − ϕ1
T
A A
2

⇒ ∆t = 2
= 3 =

2π
ω
6
cosϕ = x2 = A 3 = 3 ⇒ ϕ = π rad
2
2
T

A

2. A
2
6


=> Thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có x1 =
4

A 3
đến vị trí có x2 = A là
2


T T T
− =
4 6 12
* Ta có trục li độ - khoảng thời gian
t=

T
4

T
4

T
T
6
T 6
T

8
8
II.3 Bài tập ví dụ
T
Lưu ý: Trong một chu kì, vật qua vị trí có li độ x hai
12lần
Trong một chu kì, li độ của vật O
có độ lớn là x bốn lần.
A
-A
Bài 1 Một vật dao động điều hoà có biên độ 10cm, chu kì dao động 2s
a. Tính khoảng thời gian ngắn nhất tmin vật đi từ vị trí cân bằng (VTCB) đến vị

A 3 A 2− A
− −
trí có li độ25cm 2
2
b. Tính t vật đi từ VTCB đến vị trí có li độ 5

2 cm
c. Tính tmin vật đi từ VTCB đến vị trí có li độ 5 3 cm
min

A A 2A 3
2 2 2

d. Tính tmin vật đi từ vị trí có li độ -5cm đến vị trí có li độ 5cm
e. Tính tmin vật đi từ vị trí có li độ -5 2 đến vị trí có li độ 5 2 cm
g. Tính tmin vật đi từ vị trí có li độ 5 3 đến vị trí có li độ 5cm
h. Tính tmin vật đi từ vị trí cân bằng -5 3 đến vị trí có li độ 5 2 cm

Giải
A
T 1
= s
a. ta có x1 = 0 và x2 =
=> t =
12 6
2
T 1
A 2
b. ta có x1 = 0 và x2 =
=> t = = s
8 4
2
c. ta có x1 = 0 và x =
d. ta có x1=

T 1
A 3
=> t = = s
6 3
2

A
A
T T T 1
+
= = s
và x2= - => t =
12 12 6 3

2
2

T T T 1
A 2
A 2
và x2 =
=> t = + = = s
8 8 4 2
2
2
A
T T T 1
A 3
= s
g. ta có x1 =
và x2 =
=> t = − =
2
6 12 12 6
2
T T 7T
7
A 2
A 3
= s
h. ta có x1 = và x2 =
=> t = + =
6 8 24 12
2

2

e. ta có x1 = -

Bài 2 Một vật dao động điều hoà có phương trình x = 4cos (4π t +
a. Tìm thời gian ngắn nhất vật qua vị trí có li độ x = 2 cm
5

π
) (cm)
2


b. Tìm thời gian ngắn nhất vật qua vị trí có li độ - 2cm
Giải Từ phương trình ta có A = 4cm , ω = 4π ⇒ T =
π

 x1 = 4cos(4π .0 + 2 ) = 0
a. t = 0 có 
v = − Aω sin( π ) < 0

2

Và x2 = 2cm =

2π 2π 1
=
= s
ω 4π 2

; tức là vật qua VTCB theo chiều âm.

A
2

A
-A
O
A
T T T 7T 7
= s
2
Ta có t = + + =
4 4 12 12 24
b. Ta có x1= 0, theo chiều âm;
A
x2 = 2
T
1
-A
O
A
=
s
Ta có t =
12 24
* Nếu bài cho phương trình dao động, tìm thời gian ngắn nhất vật qua vị trí
có li độ x0 thì

 x1 = Acos (ω .0 + ϕ ) = ...

ta có 
và x2 = x0
 v = − Aω sin(ω .0 + ϕ ) = ..
Bài 3 Một vật dao động điều hoà có phương trình x = 6cos (2π t −

π
) (cm)
2

a. Tìm thời gian vật qua vị trí có li độ 3 2 cm lần thứ 1,2 ?
b. Tìm thời gian vật qua vị trí có li độ 3 2 cm lần thứ 2012 ?
c. Tính thời gian vật qua vị trí có li độ 3 2 cm thứ 2011 ?
2π 2π
=
= 1s
Giải Từ phương trình ta có A = 6cm , ω = 2π ⇒ T =
ω 2π
π

 x1 = 6cos (ω.0 − 2 ) = 0
A 2
Ta có 
và x2 = 3 2cm =
v = − Aω sin(ω.0 − π ) > 0
2

2
a. Vật qua vị trí có li độ x2 lần 1
T 1
a có t = = s

8 8
A 2
-A
T T 3T 3O
= s
Vật qua vị trí có li độ x2 lần 2, ta có t = + =
2
4 8 8 8

-A

6

O

A 2
2

A

A


b. Biết rằng, trong một chu kì vật qua vị trí có li độ x2 hai lần
Vật qua vị trí x2 lần 1 là t1=

1
s, còn 2011-1 =2010 lần thì cần
8

2011 − 1
T = 1005T
2
Vậy thời gian vật qua vi trí x2 lần 2011 lần là t =t1+1005T = 1005,125s
c. Biết rằng, trong một chu kì vật qua vị trí có li độ x2 hai lần

Vật qua vị trí x2 lần 2 là t2 =

3
s, còn 2012-2 =2010 lần thì cần
8

2012 − 2
T = 1005T
2
Vậy thời gian vật qua vi trí x2 lần 2011 lần là t = t2+1005T = 1005,375s
n −1
T , với t1 là thời
Tổng quát : Vật qua vị trí x0 lần thứ n (số lẻ) t = t1 +
2

gian vật qua vị trí x0 lần 1
Vật qua vị trí x 0 lần thứ n (số chẵn) thì t = t2 +

n−2
T , với t2 là
2

thời gian vật qua vị trí x0 lần thứ 2
Bài 4 Một vật dao động điều hoà có phương trình x = 10cos (2π t −

π
) (cm)
3

a. Tìm thời gian vật qua vị trí có li độ - 5cm lần thứ 2011 ?
b. Tìm thời gian vật qua vị trí có li độ -5cm lần thứ 2012 ?
Giải
2π 2π
=
= 1s
Từ phương trình ta có A = 10cm , ω = 2π ⇒ T =
ω 2π
π
A

 x1 = 10cos(ω .0 − 3 ) = 5cm = 2
A
Ta có 
và x2 = − 5cm = −
2
 v = − Aω sin(ω .0 − π ) > 0

3
a. Với n = 2011 là số lẻ nên ta có
T T T T 1
n−1
.T = 1005,5s
Với t1 = + + = = s ⇒ t = t1 +
6 4 12 2 2

2

-A

O

-

n−2
T
2
T
T 2T 2
n −1
= s ⇒ t = t2 +
T = 1005,67 s
Với t2 = + 2. =
2
12 3 3
2

b. Với n = 2012 là số chẵn nên ta có t = t2 +

7

A
2

A

A
-A
O
A
Bài 5 : Vật dao động điều hoà có biên độ 8cm, chu kì 0,5s. Trong một chu kì
a. khoảng thời gian vật luôn có li độ độ lớn nhỏ hơn 4cm là bao2nhiêu?
b. khoảng thời gian vật luôn có li độ độ lớn lớn hơn 4 3 cm là bao nhiêu?
Giải
a. x = 4cm =

A
2

-A

-

O

A
2

A

T
A
là t0 =
2
12

Trong một chu kì thời gian để vật luôn có li độ độ lớn nhỏ hơn 4cm là
T
1
t = 4t0 =
= s
3
6
Vật đi từ VTCB đến vị trí có li độ x =

A

b. x = 4 3 cm =
2

3

T
A
3 đến vị trí biên là t0 =
2
12
Trong một chu kì thời gian để vật luôn có li độ độ lớn lớn hơn 4
Vật có đi từ vị trí có li độ x =

4t0 =

3 cm là t =

T
1

= s
6
3

II.3 Một vài kết luận quan trọng
1. Trong một chu kì:
- Thời gian để vật luôn có li độ độ lớn nhỏ hơn x 0 là t = 4t0, với t0 là thời gian
vật đi từ VTCB đến vị trí có li độ x0.
- Thời gian để vật luôn có li độ độ lớn lớn hơn x 0 là t = 4t0, với t0 là thời gian
vật đi từ vị trí có li độ x0 đến vị trí biên.
2. Nếu bài cho phương trình dao động, tìm thời gian ngắn nhất vật qua vị trí
có li độ x0 thì

 x1 = Acos (ω .0 + ϕ ) = ...
và x2 = x0
v
=
−
A
ω
sin(
ω
.0
+
ϕ
)
=
..

n−1

T , với t1 là thời gian vật qua vị
3. Vật qua vị trí x0 lần thứ n (số lẻ) t = t1 +
2
ta có 

trí x0 lần 1

8


Vật qua vị trí x 0 lần thứ n (số chẵn) thì t = t2 +

n− 2
T , với t2 là
2

thời gian vật qua vị trí x0 lần thứ 2
III. Quan hệ giữa các đại lượng li độ dao động, vận tốc, gia tốc của vật dao
động điều hoà
Li độ x
x = Acos( ωt + ϕ )
Phương trình
Giá
thời

trị

tức X

Vận tốc v

Gia tốc

a = − ω 2 A.cos(ω t + ϕ )

v = − Aω sin(ω t + ϕ )
π
v = Aω cos (ω t + ϕ + )
2

a = Aω 2 cos(ω t + ϕ + π )

v

a

a = −ω 2 x

xmax= A ở vị trí vmax=A ω ở x = 0 amax = Aω 2 ở hai biên
Giá trị cực đại
hai biên
VTCB
Giá trị cực x = 0 ở VTCB
v = 0 ở hai biên
a = 0 ở VTCB
tiểu
ω
ω
ω
Tần sô góc

ω
ω
ω
Tần số dao
f =
f =
f =
động
2π
2π
2π
2π
2π
Chu kì dao T = 2π
T=
T=
động
ω
ω
ω
Công
liên hệ

v2
A =x + 2
ω

thức

2

III.1 Từ công thức

2

v = ± ω A2 − x 2 ta có trục giá trị của vận tốc v tương

ứng với các li độ x

A3
−
2

-Â

−

A2
2

A
−
2

x=0

A
2

A2

2

A3
2

A

0

0

±

v0
2

v2
±0
2

v. 3
±0
2

v0=
9

x

v. 3

±0
2

v2
±0
2

±

v0
2

0

v


* Nhận xét: Khi vật chuyển động từ VTCB ra biên vận tốc giảm dần, từ biên về
VTCB thì tăng dần.
Trong một chu kì vật đạt 4 lần có độ lớn vận tốc là v; hai lần theo
chiều âm (v<0) và hai lần theo chiều dương (v>0) tại hai vị trí có li độ là ± x
Tại mỗi vị trí có li độ x vật có vận tốc v > 0 khi chuyển động theo
chiều dương, vận tốc v < 0 khi chuyển động theo chiều âm
Giải các bài toán tìm thời điểm, thời gian của vận tốc được quy về
bài toán tìm thời điểm, thời gian của li độ x bằng cách: - xác định v 0 = ?; xác
định ở thời điểm vật có vận tốc là v tương ứng có li độ x = ?
* Bài tập ví dụ
Bài 1 Một vật dao động điều hoà có phương trình x = 5cos(2π t −

π

) (cm).
2

Trong một chu kì, thời gian mà vật có vận tốc lớn hơn 5π cm/s là bao nhiêu?
v
A 3
Giải Ta có v0 = Aω = 10π (rad/s) => v = 5π = 0 => x = ±
2
2
-A

O
A
T
A 3
t
=
Thời gian từ VTCB đến x =
là 0
=> thời gian để vận tốc lớn hơn 5π
2
6

cm/s là t = 4t0 = 4.

T 2T 2
=
= s
6
3

3
π
6

Bài 2 Một vật dao động điều hoà với phương trình x = 8cos(2πt- ) cm. Thời
điểm thứ 2010 vật qua vị trí v = - 8π cm/s là
Giải Ta có T =

2π
= 1s; v0 = Aω = 16π (cm / s)
ω
V< 0

V<0

-A

O

A


π
3 A 3
x = 8cos(− ) = 8. =


v
A 3
6

2
2
Ta thấy v = − 8π = − 0 = > x = ±
Với t = 0 thì 
2
2
 v = − Aω sin(− π ) > 0

6
10


Trong một chu kì vật có vận tốc v = - 8π cm/s hai lần do vậy thời điểm thứ 2010
vật qua vị trí có v = - 8π cm/s là t = t1 +

2010 − 2
T T T T 1
T với t1 = + + = = s là
2
12 4 6 2 2

thời gian vật chuyển động từ t = 0 đến thời điểm đạt vận tốc v = - 8π cm/s lần 2.
Do vậy t = 1004,5s




Bài 3 Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình x = 10 cos  π t +

π

÷
3

(x tính bằng cm; t tính bằng s). Kể từ lúc t = 0, lần thứ 21 chất điểm có tốc độ 5π
cm/s ở thời điểm nào?
Ta có T =

Giải

2π
= 0,5s; v0 = Aω = 10π (cm / s )
ω

-A

Ta thấy

v = 5π =

O

A

v0
A 3
=> x = ±
2
2

π

1 A

x
=
10
cos
(
)
=
8.
=


3
2 2
Với t = 0 thì 
v = − Aω sin( π ) < 0

3

Trong một chu kì vật có 4 lần đạt tốc độ 5π cm/s do vậy lần thứ 21 vật có tốc độ
T T T 1
21 − 1
T , với t1 = + = = s => t = 2,67s
4
12 4 3 6
III.2 Quan hệ giữa gia tốc của vật và li độ dao động của vật
Từ công thức a = −ω 2 x ta có trục giá trị của gia tốc tương ứng với các li độ x

5π cm/s vào thời điểm t = t1 +

là
-Â−

A 3
2 −

A 2
2

A
−
2

x=0

A
2

A 2 A 3
2
2 A

0

x

* Nhận xét : Trong một chu kì ta thấy a=0
gia tốc bốn lần đạt độ lớn là a ở vị trí có
ali0 độ

a là 3±ax
0

2

0

2

2

a0
2
11

a0 − a0 2− a0 3
−
2
2
2

-a0

a


Khi vật chuyển động từ VTCB ra biên thì gia tốc có độ lớn tăng dần, khi
vật chuyển động từ vị trí biên về vị trí cân bằng thì gia tốc có độ lớn giảm dần.
Giải các bài toán tìm thời điểm, thời gian của gia tốc được quy về bài toán
tìm thời điểm, thời gian của li độ x bằng cách: - xác định a 0 = ?; xác định ở thời

điểm vật có gia tốc là v tương ứng có li độ x = ?
* Bài tập ví dụ

π
6

Bài 1 Một vật dao động điều hoà có phương trình x = 4cos(2πt- ) cm. Tìm thời
gian trong một chu kì vật có gia tốc a < 80cm/s2 .
Giải
2
2
Ta có a0 = Aω = 160cm / s , T = 1s; a = 80 = a0/2 => x = A/2
T T 1
Ta có t = 4t0 với t0 = = = s
12 12 12
Vậy t = 1/3 s

A
O
A
π
2 ) cm. Tìm thời
Bài 2 Một vật dao động điều hoà có phương trình x = 6cos(πt-A

6

gian trong một chu kì vật có gia tốc a > 30cm/s2 .
2
2
Giải Ta có a0 = Aω = 60cm / s , T = 0,5s; a = 30 = a0/2 => x = A/2

Ta có t = 4t0 với t0 =

T 1
= s Vậy
-A t = 1/3 s 6 12

O

III.3 Quan hệ giữa thế năng, động năng với li độ x
Từ công thức Wd = nWt => x = ±

-Â

−

A 3 A 2
A
−
−
2
2
2

* Nhận xét: Trong một chu kì
Wtmax

A

A

ta có trục giá trị

n +1
x=0

Wd = nW0t

A
2

A
2

A 2 A 3
A
2
2
x

đạt được 4 lần tại các vị trí có li độ ± x

Giải các bài toán tìm thời điểm, thời gian liên quan đến động năng,W

W = 3WW = W

thế năng
1 được quy về bài toán tìm thời điểm, thời gian của li độ x bằng cách:
1 Wd = Wt d
d
tW = W

d
t
t d
t
d
t
3
3
xác định ở vị trí có li độ x = ? thì Wd = nWt ...

W = WW = 3W

* Bài tập ví dụ
Bài 1 Một vật khối lượng m dao động điều hoà với chu kì T = 1s. Khi đi qua vị
trí cân bằng, vật có vận tốc là v = 0,628m/s. Chọn gốc thời gian tại thời điểm vật
12

tmax

A


qua vị trí có li độ x = -5cm theo chiều dương. Thời điểm gần nhất thế năng bằng
động năng là?

2π
= 2π
T
v
A = 0 = 10cm

ω=

ω

Giải

Ta có

A
;v > 0
2
A 2
Wd = Wt => x = ±
2
x = −5cm = −

Thời điểm gần nhất thế năng bằng động năng chính là thời gian ngắn nhất vật
chuyển động từ x = -A/2 theo chiều dương đến vị trí x =

t=

A 2
cm, tức là
2

T T 5T 5
+ =
= s
12 8 24 24

Bài 2 Một con lắc lò xo nằm ngang, tại vị trí cân bằng, cấp cho vật nặng một
vận tốc có độ lớn 10cm/s dọc theo trục lò xo, thì sau 0,4s thế năng con lắc đạt
cực đại lần đầu tiên, lúc đó vật cách vị trí cân bằng bao nhiêu?
Giải Thế năng của con lắc đạt giá trị cực đại khi ở vị trí biên, thời gian từ t = 0
(x = 0) đến khi thế năng đạt cực đại lần đầu là t = T/4 = 0,4 => T= 1,6s
vT 8
= > Biên độ A = 0 = cm
2π π
IV. Sự tương tự giữa điện và cơ
Đại lượng cơ
Tọa độ
x
Vận tốc
v
Khối lượng m
Độ cứng

Đại lượng điện
q
điện tích
i cường độ dòng điện
L độ tự cảm
1
C

k

nghịch đảo điện dung

Lực
F
u hiệu điện thế
Động năng
Wd
Wt Năng lượng từ
Thế năng
Wt
Wd Năng lượng điện
Nhận xét: Khi vật qua VTCB x = 0 thì vận tốc đạt cực đại v max, ngược lại khi
ở biên, xmax = A, v = 0.
13


Tương tự, khi q = 0 thì i = I0 và khi i = 0 thì q = Q0.
Làm tương tự như với li độ dao động của vật dđđh, ta có các bảng sau:

T
6

T
8

- Q0 Q Q 33 Q0
0 0 −
-Q−
−
0

2

22

T
4

T
4

2

QQ0
− 0
22

T
12
O

q=0

T
8

Q
Q00
2
2

T

6

Q0 2Q0 Q0 23 Q0Q0 3
2 Q0
2 22

0

q
i

I
± 0 ± I0 2
Q0 23 Q0 2 2 Q0
-Q
−0
−
−
2
2
2

0

I0=

q=0

I0 . 3 I0 2 ± I0 0
±

±
Q20 Q0 2 2 Q0 23
Q0
2
2
2

0
Wtmax

x
Wtmax

Chú ý: Wt là năng lượng từ , Wd là năng lượng điện của mạch dao động.
1
W = Wt
1
WBài= tậpWvíWdụ = W Wt = 3Wd
W = 3W d
W = W
d
t
t
d
t
3
3
Bài 1 Trong một mạch dao động, điện tích của tụ điện biến thiên theo quy luật:
t

d

d

q = 2,5.10-6cos(2.103 π t )(C). Thời điểm gần nhất điện tích trên tụ đạt giá trị
bằng 0?
Giải

Với t = 0, q = 2,5.10-6C = Q0
10−3
q = 0 = > Thời gian ngắn nhất là t = T/4 =
s
4

Bài 2 Mạch dao động LC lí tưởng thực hiện dao động điện từ. Hãy xác định
khoảng thời gian, giữa hai lần liên tiếp, năng lượng điện trường trên tụ điện
bằng năng lượng từ trường trong cuộn dây.
Giải

14

A


Wd = Wt khi q = ±

Q0 2
2

Từ bảng trên ta có tmin = 2.

T T
=
8 4

Bài 3 Biểu thức điện tích của tụ trong một mạch dao động có dạng
q=Q0sin(2π.106t)(C). Xác định thời điểm năng lượng từ bằng năng lượng điện
đầu tiên.
Giải

6
Ta có q = Q0 cos (2π 10 t −

π
) => t = 0, q = 0, đang tăng (chiếu dương)
2
T
10−6
Từ bảng trên tmin =
=
s
8
8

Q 2
Wd = Wt khi q = ± 0
2

Bài 4 Trong một mạch dao động, điện tích của tụ điện biến thiên theo quy luật
q = 2.10-6cos(4.103 π t )(C). Trong một chu kì khoảng thời gian mà cường

độ dòng điện trong mạch không nhỏ hơn 4 π .10-3 A?
Giải
-Q−
0

Ta có I 0 = Q0ω = 8π .10 A Khi i = 4 π .10-3 =
−3

Q0 3
2

I0
Q 3
=> q = ± 0
2
2

Q0 3
2 Q0

q=0
0

I0
2
T 10−3
Ta có t = 4 t0 = 4. =
s
6
3

q

±

I0=

±

I0 0
2

V. Sự tương tự giữa cường độ dòng điện xoay chiều và điện áp xoay chiều
với li độ dao động.

T
4

T
4

T
T 6
8

-I0

T
12
I0 3 I0 2 I0

−
−
−
2
2
2

15
O

T
12

T
8

T
6

I 0 I0 2I0 3
2 2 2

I0

i


( Với điện áp xoay chiều ta cũng có bảng trên và thay các I0 thành U0)
* Bài tập ví dụ
Bài1

Điện

áp

giữa

hai

đầu

một

đoạn

mạch

có

biểu

thức

π

u = 220 2 cos 100π t −  (V ) , t tính bằng giây (s). Tính từ thời điểm 0 s, tìm thời
2

điểm đầu tiên điện áp có giá trị tức thời bằng giá trị hiệu dụng và điện áp đang
giảm ?

Giải

Ta có t = 0, u = 0 và đang tăng (chiều dương)
u=

U0
2

=

T T 3T
3
U0 2
=
s
, đang giảm => tmin = + =
4 8 8 400
2

Bài 2 Một đèn neon đặt dưới điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng U = 220(V )
và tần số f = 50( Hz ) . Biết đèn sáng khi điện áp giữa hai cực của nó không nhỏ
hơn 155,6(V ) (coi bằng 110 2 (V ) ). Tỉ số giữa thời gian đèn sáng và thời gian
đèn tắt trong một chu kì của dòng điện là
Giải
Ta có u = 110 2 =

U0
2 2

U

=

Thời gian đèn tắt khi u ≤

U0
2

-U0

=> t1 = 4 t0 = 4.

Thời gian đèn sáng là t2 = T - t1=

O

T T
=
12 3

U0
2

U0

2T
=> Tỉ số giữa thời gian đèn sáng và thời
3

gian đèn tắt trong một chu kì của dòng điện là 2:1

16


Bài 3 Dòng điện xoay chiều chạy qua một đoạn mạch có biểu thức

π

i = 2cos  100π t + ÷ ( A) , t tính bằng giây (s). Tính từ lúc 0( s) , thời điểm đầu tiên
2

mà dòng điện có cường độ bằng cường độ hiệu dụng là?
Giải

Ta có t = 0, i = 0, đang giảm (chiều âm)
Thời điểm đầu tiên i = I =

I0
2

là t =

T 1
=
s
8 400

Bài 4 Dòng điện xoay chiều chạy qua một đoạn mạch có biểu thức

i = 0,5 cos(100πt ) ( A) , t tính bằng giây (s). Tính từ lúc 0( s) , dòng điện có cường

độ bằng không lần thứ ba vào thời điểm nào?
Giải Ta có t = 0 , i = 0,5A = I0

U0

Thời điểm i = 0 lần thứ ba là t = T +

-U

T 5T
5
=
=
s
4 4 200

Bài 5 Dòng điện xoay chiều chạy qua một đoạn mạch có biểu thức

π

i = 2 2 cos 100π t −  ( A) , t tính bằng giây (s). Vào một thời điểm nào đó, dòng
2

điện đang tăng và có cường độ tức thời bằng cường độ hiệu dụng thì khoảng
thời gian ngắn nhất sau đó để dòng điện lại có cường độ tức thời bằng cường độ
hiệu dụng nhưng đang giảm là bao nhiêu?
Giải: Vào thời điểm t1 có i1 = I và đang tăng; ở t2 có i2 = I và đang giảm
Căn cứ trục khoảng thời gian với i ta có tmin = 2.

T T

1
= =
s
8 4 200

*Tiểu kết: Một số chú ý khi làm bài toán về tìm thời điểm, thời gian.
1. Xác định giá trị của đại lượng đó tại thời điểm t = 0.
2. Xác định giá trị của đại lượng đó tại thời điểm t ta xét.
17


3. Sử dụng các trục khoảng thời gian tương ứng với x (các đại lượng);
trong dao động điều hoà mối quan hệ giữa v,a, thế năng - động năng với li độ x;
trong mạch dao động sự tương tự q - x, cường độ dòng điện i với vận tốc trong
dao động điều hoà; trong dòng điện xoay chiều sự tương tự của i, u với x...
4. Chu kì là khoảng thời gian ngắn nhất vật trở về trạng thái ban đầu.
Trong một chu kì thì vật đạt giá trị li độ x hai lần, độ lớn x bốn lần; vận tốc có
giá trị v hai lần, đạt tốc độ v là bốn lần (hai lần v >0; hai lần v<0); có Wd = nWt
bốn lần tại các vị trí có li độ ± x; các đại lượng i,u,q đạt giá trị i, u , q bốn lần
trong một chu kì (hai lần đạt giá trị đó, đang tăng; hai lần đạt giá trị đó, đang
giảm)...
5. Những bài tập không vào những vị trí đặc biệt thì dùng phương pháp
tổng quát tìm thời gian từ x1 đến x2 đã trình bày ở phần đầu sáng kiến.
VI. Bài tập vận dụng
Câu 1: Một con lắc lò xo đang dao động điều hòa với phương trình x = Acosωt.
Sau đây là đồ thị biểu diễn động năng W đ và thế năng Wt của con lắc theo thời
gian:

W
1

W0 = /2 KA

Wñ

2

Người ta thấy cứ sau 0,5(s)
W0 động năng lại bằng thế năng thì tần số góc con lắc sẽ
/

là:

A. π(rad/s)

2

0

Wt

B. 2π(rad/s)

π
t(s)
C. (rad/s)
2

D. 4π(rad/s)

(Ta có 0,5 = T/4 => T = 2s => Đáp án A đúng)

Câu 2: Một vật dao động điều hòa với chu kì T, trên một đoạn thẳng, giữa hai
điểm biên M và N. Chọn chiều dương từ M đến N, gốc tọa độ tại vị trí cân bằng
O, mốc thời gian t = 0 là lúc vật đi qua trung điểm I của đoạn MO theo chiều
dương. Gia tốc của vật bằng không lần thứ nhất vào thời điểm
A. t = .

B. t = .

C. t = .

18

D. t = .


(t = 0 lúc vật ở vị trí x = -A/2, v>0; vật có gia tốc bằng 0 khi qua VTCB
(x=0) lần thứ nhất t = => C đúng)

Câu 3 Một con lắc lò xo dao động với biên độ A, thời gian ngắn nhất để con lắc
di chuyển từ vị trí có li độ x 1 = - A đến vị trí có li độ x 2 = A/2 là 1s. Chu kì dao
động của con lắc là:
A. 1/3 (s).

B. 3 (s).

C. 2 (s).

D. 6(s).

(x1 = - A đến vị trí có li độ x2 = A/2 là t = T/4+T/12 = T/3=1 => T = 3s =>
Đáp án B đúng)
Câu 4 Một con lắc lò xo có vật nặng khối lượng m = 100g và lò xo có độ cứng k
= 10N/m dao động với biên độ 2cm.
Trong mỗi chu kì dao động, thời gian mà vật nặng ở cách vị trí cân bằng lớn hơn
1cm là bao nhiêu
A. 0,314s.
(T =

B. 0,209s.

C. 0,242s.

D. 0,417s.

π
s ; x= 1cm = A/2; t = 4 t0, với t0 = T/6 là thời gian vật chuyển động từ
5

x=A/2 đến x= A => t = 2T/3 = 0,417s => đáp án đúng là D)
Câu 5 Một con lắc lò xo thẳng đứng có k = 100N/m, m = 100g, lấy g = π 2 =
10m/s2. Từ vị trí cân bằng kéo vật xuống một đoạn 1cm rồi truyền cho vật vận
tốc đầu 10π 3cm / s hướng thẳng đứng. Tỉ số thời gian lò xo nén và giãn trong
một chu kỳ là
A. 5
(Ta có T = 2π

B. 2

C. 0,5

D. 0,2

m
v2
mg
A
= 2 s; A = x 2 + 2 = 2cm; ∆l0 =
= 0, 01m = 1cm = , Thời gian lò
k
k
2
ω

xo nén là từ vị trí có x1 = -A đến x2 = -A/2 và x2 = -A/2 đến x1 = -A là t1=
2.T/6=T/3
Thời gian lò xo giãn là t2 =T- t1= 2T/3 => Tỉ số nén / giãn là 0,5 => C đúng)
Câu 6 (ĐH 2011) Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox với biên độ 10
cm, chu kì 2 s. Mốc thế năng ở vị trí cân bằng. Tốc độ trung bình của chất điểm
19


trong khoảng thời gian ngắn nhất khi chất điểm đi từ vị trí có động năng bằng 3
lần thế năng đến vị trí có động năng bằng
A. 21,96 cm/ s

1
thế năng là
3

B. 14,64 cm/s.

C. 1,464 cm/s.

D. 2,196cm

A
2
1
A 3
Wd = Wt => x = ±
3
2
Wd = 3Wt => x = ±

Thời gian tmin = T/6 -T/12 = T/12=1/6s là thời gian đi từ

A
A 3
→
;
2
2

quãng đường đi được trong thời gian tmin là
s=

A 3 A
s

− = 3, 66cm => v =
= 21,96cm => A đúng
2
2
tmin

Câu 7 (ĐH 2011) Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình x =
4 cos

2π
t (x tính bằng cm; t tính bằng s). Kể từ t = 0, chất điểm đi qua vị trí có li
3

độ x = -2 cm lần thứ 2011 tại thời điểm
A. 3015 s.
B. 6030 s.
C. 3016 s.
D. 6031 s.
 x1 = 4cm = A
A
Gợi ý: t = 0 => 
, vị trí x2 = -2 cm = −
2
v = 0
Vật qua x2 lần thứ nhất là t0 = T/4+T/12=T/3=1s
Thời gian qua x2 lần thứ 2011 là t = t0 +

n −1
T = 3016s => C đúng
2

Câu 8 (ĐH2012) Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T. Gọi v TB là tốc
độ trung bình của chất điểm trong một chu kì, v là tốc độ tức thời của chất điểm.
Trong một chu kì, khoảng thời gian mà v ≥
A.

T
6

B.

2T
3

Gợi ý: Ta có vtb =

π
vTB là
4
C.

T
3

v
s 4 A.ω
π
=
=> v ≥ .vtb => v ≥ 0
T

2π
4
2

20

D.

T
2


Khi v =

v0
A 3
=> x = ±
cm
2
2

-A

O

A

Thời gian cần tìm t = 4t0, với t0 = T/6 => t = 2T/3 => B đúng
Câu 9 (ĐH 2012)Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang với
cơ năng dao động là 1 J và lực đàn hồi cực đại là 10 N. Mốc thế năng tại vị trí

cân bằng. Gọi Q là đầu cố định của lò xo, khoảng thời gian ngắn nhất giữa 2 lần
liên tiếp Q chịu tác dụng lực kéo của lò xo có độ lớn 5 3 N là 0,1 s. Quãng
đường lớn nhất mà vật nhỏ của con lắc đi được trong 0,4 s là
A. 40 cm.

B. 60 cm.

C. 80 cm.

D. 115 cm.

1 2

 A = 20cm
W = kA = 1
=> 
2
Gợi ý: 
 k = 50 N / m
 F = k . A = 10
F =5 3=

T T
F0 3
A 3
=> x =
(vì F= kx) => tmin = 2 = = 0,1 ⇒ T = 0, 6 s
12 6
2
2

Ta có t = 0,4 = T/2 + 0,1 => smax =2A+ s1, s1 quãng đường trong t1= 0,1 s
Với s1 = 2A sin π

T
6

t1
= A => s max = 3A = 60cm
T

T
12

-A

O

A

Bài 10 Dòng điện xoay chiều chạy qua một đoạn mạch có biểu thức
π

i = 2 2 cos100πt − ( A) , t tính bằng giây (s). Vào một thời điểm nào đó, dòng
2


điện đang có cường độ tức thời bằng − 2 2 ( A) thì sau đó ít nhất là bao lâu để
dòng điện có cường độ tức thời bằng 6 ( A) ?
A.

1
(s) .
600

B.

1
(s) .
300

C.

21

5
(s) .
600

D.

2
(s) .
300


i1 = −2 2 = − I 0

Gợi ý: Ta có

i2 = 6 =

-I0

I0 3
2

Từ hình vẽ ta có tmin =

0

i2

I0

T T 5T
5
+ =
=
s => C đúng
4 6 12 600

Bài 11 Điện áp giữa hai đầu một đoạn mạch có biểu thức

π

u = 220 2 cos 100π t −  (V ) , t tính bằng giây (s). Tại một thời điểm t1 ( s) nào đó
2

điện áp đang giảm và có giá trị tức thời là 110 2 (V ) . Hỏi vào thời điểm

t 2 ( s ) = t1 ( s ) + 0,005( s ) thì điện áp có giá trị tức thời bằng bao nhiêu ?

A. − 110 3 (V ) .

B. + 110 3 (V ) .

C. − 110 6 (V ) .

Gợi ý: Ở thời điểm t1 có u1 = 110 2 =
Ta có T = 0, 02s ⇒ ∆t = 0, 005 =
Điện áp có giá u2 = −

D. + 110 6 (V ) .

U0
, đang giảm
2

T
4

-U0

u2

0

u1

U0

T T T
U0 3
= −110 6 V (vì = + )
4 12 6
2

=>đáp án đúng là C
Bài 12 Trong mạch dao động tụ điện được cấp một năng lượng 1 (µJ) từ nguồn
điện có suất điện động 4 V. Cứ sau những khoảng thời gian như nhau 1 (µs) thì
năng lượng trong tụ điện và trong cuộn cảm lại bằng nhau. Xác định độ tự cảm
của cuộn dây
A. 35/π2 (µH)

B. 34/π2 (µH)

C. 30/π2 (µH)

D. 32/π2 (µH)

Gợi ý: Wt =Wd sau những khoảng thời gian bằng nhau là T/4
=>

T
2π
= 10−6 => T = 4.10−6 => ω =
= 5π .105
4
T
C=

L=

2.W 2.10−6
=
= 1, 25.10−7 F
E2
42

1
32
32
= 2 .10−6 H = 2 ( µ H ) => Đán án đúng là D
2
ω C π
π

22


Bài 13 Mạch dao động lý tưởng gồm tụ điện có điện dung C và cuộn dây có độ
tự cảm L. Dùng nguồn điện một chiều có suất điện động 6V cung cấp cho mạch
điện một năng lượng 5 (µJ) thì cứ sau khoảng thời gian ngắn nhất 1 (µs) dòng
điện tức thời trong mạch triệt tiêu. Xác định L
A. 3/π2 (µH)

B.2,6/π2 (µH)

C. 1,6/π2 (µH)

D.3,6/π2 (µH)

Giải: Ta có i = 0 sau những khoảng thời gian bằng nhau là T/2
⇒

T
= 10−6 ⇒ T = 2.10−6 s => ω = π .106
2
2.W 2.5.10−6
1
C= 2 =
= .10−5 F
2
36
E
6
1
3, 6
3, 6
L = 2 = 2 .10−6 H = 2 ( µ H )
ω C π
π

Đáp án đúng là D

23