GIÁO TRÌNH lý THUYẾT xác SUẤT và THỐNG kê TOÁN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC DUY TÂN
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN
BỘ MÔN TOÁN

------

TRẦN ANH VIỆT

BÀI GIẢNG:

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ
THỐNG KÊ TOÁN

Năm
Nămhọc
học 2016-2017
2015 - 2016
(Lưu hành nội bộ)


TRƯỜNG ĐẠI HỌC DUY TÂN
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN
BỘ MÔN TOÁN

------

TRẦN ANH VIỆT

BÀI GIẢNG:

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ

THỐNG KÊ TOÁN

Năm
2016-2017
Nămhọc
học 2015
- 2016
(Lưu hành nội bộ)

2


Mục lục

1

Biến cố ngẫu nhiên và phép tính xác suất
1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

2

1

Giải tích tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.1

Quy tắc cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.2

Quy tắc nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.3

Chỉnh hợp (không lặp) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.4

Chỉnh hợp lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.5

Hoán vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.6

Tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.7

Nhị thức Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Phép thử ngẫu nhiên và biến cố ngẫu nhiên . . . . . .

5

1.2.1

Khái niệm phép thử ngẫu nhiên và biến cố ngẫu nhiên . . . . . . . .

5

1.2.2

Các phép toán và mối quan hệ giữa các biến cố . . . . . . . . . . . .

6

Các định nghĩa về xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.3.1

Định nghĩa xác suất cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.3.2

Định nghĩa xác suất bằng hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.3.3

Định nghĩa xác suất theo thống kê . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.3.4

Tính chất và ý nghĩa của xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.3.5

Nguyên lý xác suất lớn, xác suất nhỏ . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

Các phép tính xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.4.1

Công thức cộng xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.4.2

Công thức nhân xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes . .

22

1.5.1

Công thức xác suất đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.5.2

Công thức Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

Công thức Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

1.6.1

Dãy phép thử Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

1.6.2

Công thức Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

Biến ngẫu nhiên

39

i


2.1

2.2

2.3

2.4

3

Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suất . . . . .

40

2.1.1

Định nghĩa và phân loại biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . .

40

2.1.2

Luật phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc . . . . . . . . . . . . .

42

2.1.3

Luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục . . . . . . . . .

46

Các đặc trng số của biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . .

49

2.2.1

Kỳ vọng (Expected) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

2.2.2

Phơng sai (Variance) và độ lệch chuẩn (Standard error) . . . . . . .

51

2.2.3

Mod (mode) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

2.2.4

Phân vị xác suất - Trung vị (Median) . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

Các luật phân phối xác suất thờng dùng . . . . . .

58

2.3.1

Phân phối không - một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

2.3.2

Phân phối nhị thức (Binomial distribution) . . . . . . . . . . . . . . .

59

2.3.3

Phân phối siêu bội (Hypergeometric distribution) . . . . . . . . . . .

61

2.3.4

Phân phối Poisson (Poisson distribution) . . . . . . . . . . . . . . . .

63

2.3.5

Phân phối chuẩn (Normal distribution) . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

2.3.6

Phân phối khi bình phơng 2 (n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

2.3.7

Phân phối Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

Luật số lớn và các định lí giới hạn . . . . . . . . . . . .

77

2.4.1

Một số loại hội tụ trong xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

2.4.2

Luật số lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

2.4.3

Các định lí giới hạn và ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

Lý thuyết mẫu
3.1

3.2

3.3

3.4

96

Tổng thể và mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96

3.1.1

Tổng thể và kích thớc của tổng thể . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96

3.1.2

Mẫu và kích thớc mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

3.1.3

Biến ngẫu nhiên gốc và mẫu cụ thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

3.1.4

Điều kiện chọn mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98

Bố trí mẫu và phân phối mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98

3.2.1

Phân loại mẫu và bảng phân phối tần số . . . . . . . . . . . . . . . .

98

3.2.2

Bảng phân phối tần suất và đa giác tần suất . . . . . . . . . . . . . . 100

3.2.3

Hàm phân phối mẫu và đa giác tần suất tích luỹ . . . . . . . . . . . . 101

Mẫu ngẫu nhiên và thống kê . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.3.1

Mẫu ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

3.3.2

Thống kê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

Các tham số đặc trng của tổng thể và mẫu . . . . 103
3.4.1

Các đặc trng số của tổng thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
ii


3.5

3.6

4

Các đặc trng số của mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

3.4.3

Liên hệ giữa đặc trng mẫu và đặc trng tổng thể . . . . . . . . . . . 105

Thực hành tính toán các đặc trng số của mẫu
cụ thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.5.1

Trung bình mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

3.5.2

Phơng sai mẫu hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

3.5.3

Tỷ lệ mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Luật phân phối của các đặc trng mẫu . . . . . . . . . 109
3.6.1

Phân phối của tỷ lệ mẫu F

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

3.6.2

Phân phối của phơng sai mẫu hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . 110

3.6.3

Phân phối của trung bình mẫu X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

Lý thuyết ớc lợng

114

4.1

Khái niệm ớc lợng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

4.2

Hàm ớc lợng và phơng pháp ớc lợng điểm . . 115

4.3

5

3.4.2

4.2.1

Ước lợng không chệch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

4.2.2

Ước lợng hiệu quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

4.2.3

Ước lợng vững . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

Phơng pháp ớc lợng khoảng . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.3.1

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

4.3.2

Ước lợng khoảng tin cậy cho tỷ lệ của tổng thể . . . . . . . . . . . 119

4.3.3

Ước lợng khoảng tin cậy cho trung bình tổng thể . . . . . . . . . . . 123

4.3.4

Ước lợng khoảng tin cậy cho phơng sai tổng thể . . . . . . . . . . 131

Kiểm định giả thiết thống kê
5.1

5.2

145

Các khái niệm cơ bản về kiểm định giả thiết . . . . . 146

5.1.1

Giả thiết H0 và đối thiết H1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

5.1.2

Phân loại bài toán kiểm định giả thiết . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

5.1.3

Nguyên lý kiểm định giả thiết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

5.1.4

Chọn tiêu chuẩn kiểm định giả thiết thống kê . . . . . . . . . . . . . 147

5.1.5

Mức ý nghĩa và miền bác bỏ giả thiết H0 . . . . . . . . . . . . . . . 148

5.1.6

Quy tắc chung khi thực hiện một bài toán kiểm định . . . . . . . . . 148

5.1.7

Các loại sai lầm mắc phải khi kiểm định giả thiết . . . . . . . . . . . 148

Kiểm định giả thiết về tỷ lệ tổng thể . . . . . . . . . . 150
5.2.1

Kiểm định hai phía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

5.2.2

Kiểm định phía phải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

5.2.3

Kiểm định phía trái . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

iii


5.3

KiÓm ®Þnh gi¶ thiÕt vÒ trung b×nh cña tæng thÓ . . 156
5.3.1

§· biÕt ph−¬ng sai tæng thÓ σ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

5.3.2

Ph−¬ng sai tæng thÓ σ 2 ch−a biÕt, cì mÉu n > 30 . . . . . . . . . . . 160

5.3.3

Ph−¬ng sai tæng thÓ σ 2 ch−a biÕt, cì mÉu n
30, X cã ph©n phèi
chuÈn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

iv


Lời nói đầu
Lý thuyết xác suất và thống kê toán nghiên cứu các hiện tợng ngẫu nhiên và ứng dụng
chúng vào thực tế. Ta có thể hiểu hiện tợng ngẫu nhiên là hiện tợng không thể nói trớc
nó xảy ra hay không xảy ra khi thực hiện một lần quan sát. Tuy nhiên, nếu tiến hành quan
sát khá nhiều lần một hiện tợng ngẫu nhiên trong các phép thử nh nhau, ta có thể rút ra
đợc những kết luận khoa học về hiện tợng này.
Lý thuyết xác suất cũng là cơ sở để nghiên cứu Thống kê toán; môn học nghiên cứu các
phơng pháp thu thập thông tin chọn mẫu, xử lý thông tin, nhằm rút ra các kết luận hoặc
quyết định cần thiết. Ngày nay, với sự hỗ trợ tích cực của máy tính điện tử và công nghệ
thông tin, xác suất thống kê ngày càng đợc ứng dụng rộng rãi và hiệu quả trong mọi lĩnh
vực khoa học tự nhiên và xã hội. Chính vì vậy lý thuyết xác suất thống kê toán đợc giảng
dạy cho hầu hết các nhóm ngành ở đại học - cao đẳng.
Hiện nay, có nhiều tài liệu chuyên viết về lý thuyết xác suất thống kê toán. Tuy nhiên,
những tài liệu này thờng đợc dùng chung cho sinh viên chuyên ngành toán cũng nh không
chuyên toán. Đối với những sinh viên không chuyên học toán cần phải có những tài liệu học
tập thích hợp với đối tợng này. Xuất phát từ thực tế đó, chúng tôi biên soạn cuốn "Giáo
trình lý thuyết xác suất và thống kê toán". Giáo trình đợc biên soạn theo đề cơng tín chỉ
của Đại học Duy Tân. Trong giáo trình này, chúng tôi đã cố gắng trình bày súc tích, ngắn
gọn nhng đầy đủ các khái niệm cốt lõi và đa ra nhiều ví dụ, hình vẽ minh hoạ để độc giả
dễ nắm bắt đợc vấn đề hơn. Một số lợng lớn câu hỏi ôn tập và bài tập có đáp án đợc đa
ra sau mỗi chơng ở các mức độ dễ, vừa, khó. Cuốn giáo trình đợc chia là 6 chơng:
Chơng 1. Biến cố ngẫu nhiên và phép tính xác suất.
Chơng 2. Biến ngẫu nhiên.
Chơng 3. Lý thuyết mẫu.
Chơng 4. Lý thuyết ớc lợng.
Chơng 5. Kiểm định giả thiết thống kê.

Chơng 6. Biến ngẫu nhiên hai chiều - Tơng quan và hàm hồi quy.
Trong giáo trình này, chúng tôi đã trình bày các tính toán bằng phần mềm Excel. Các
công cụ và các hàm của Excel vận dụng vào tính toán và xử lý số liệu đợc trình bày chi tiết
ở phần phụ lục.
Trớc khi nghiên cứu các nội dung chi tiết, ngời học nên xem phần giới thiệu của mỗi
chơng, để thấy đợc mục đích, ý nghĩa, yêu cầu chính của chơng đó. Trong mỗi chơng,
mỗi nội dung, ngời học có thể tự đọc và hiểu đợc cặn kẽ thông qua cách diễn đạt và chỉ
dẫn rõ ràng. Đặc biệt độc giả nên chú ý đến các nhận xét, bình luận, để hiểu sâu sắc hơn
hoặc mở rộng tổng quát hơn các kết quả và hớng ứng dụng vào thực tế.
Cuốn giáo trình chắc không tránh khỏi những sai sót. Chúng tôi xin hoan nghênh và đón
nhận mọi ý kiến đóng góp của độc giả.
Đà nẵng, tháng 1 năm 2015.
Tác giả.


Chơng 1

Biến cố ngẫu nhiên và phép tính xác suất

A. Mục tiêu chơng
Các hiện tợng trong tự nhiên hay xã hội xảy ra một cách ngẫu nhiên (không biết trớc
kết quả) hoặc tất định (biết trớc kết quả sẽ xảy ra). Chẳng hạn ta biết chắc chắn rằng lông
của quạ có mầu đen, một vật đợc thả từ trên cao chắc chắn sẽ rơi xuống đất... Đó là những
hiện tợng diễn ra có tính quy luật, tất định. Trái lại, khi tung đồng xu ta không biết mặt
sấp hay mặt ngửa sẽ xuất hiện; không thể biết có bao khách hàng đến giao dịch tại một ngân
hàng trong một ngày; có bao nhiêu khách du lịch đến TP. Đà Nẵng trong khoảng thời gian
nào đó; không thể xác định trớc chỉ số chứng khoán trên thị trờng chứng khoán... Đó là
những hiện tợng ngẫu nhiên. Tuy nhiên, nếu tiến hành quan sát khá nhiều lần một hiện
tợng ngẫu nhiên trong những điều kiện nh nhau, thì trong nhiều trờng hợp ta có thể rút ra
những kết luận có tính quy luật về những hiện tợng này. Lý thuyết xác suất nghiên cứu các

quy luật của các hiện tợng ngẫu nhiên. Việc nắm bắt các quy luật này sẽ cho phép dự báo
các hiện tợng ngẫu nhiên đó sẽ xảy ra nh thế nào. Chính vì vậy các phơng pháp của lý
thuyết xác suất đợc ứng dụng rộng rãi trong việc giải quyết các bài toán thuộc nhiều lĩnh
vực khác nhau của khoa học tự nhiên, kỹ thuật và kinh tế - xã hội.
Chơng này trình bày một cách có hệ thống các khái niệm và các kết quả chính về lý
thuyết xác suất nh :
- Khái niệm phép thử, biến cố.
- Mối quan hệ giữa các biến cố - Các phép toán giữa các biến cố.
- Các định nghĩa về xác suất: Định nghĩa xác suất theo cổ điển, theo hình học, theo thống
kê.
- Các phép tính xác suất: Công thức cộng xác suất, xác suất của biến cố đối lập.
- Xác suất có điều kiện, công thức nhân xác suất. Công thức xác suất đầy đủ và công
thức Bayes.
- Công thức Bernuolli.
Khi nắm vững các kiến thức về đại số tập hợp nh: Hợp, giao tập hợp, tập con... ngời
học sẽ dễ dàng trong việc tiếp thu, biểu diễn hoặc mô tả các biến cố.
Để tính xác suất các biến cố theo phơng pháp cổ điển đòi hỏi phải tính số các trờng

1


hợp thuận lợi đối với biến cố và số các trờng hợp có thể. Vì vậy học viên cần nắm vững các
phơng pháp đếm - giải tích tổ hợp (đã đợc học ở phổ thông). Tuy nhiên để thuận lợi cho
ngời học chúng tôi sẽ nhắc lại các kết quả chính trong bài mở đầu.
Một trong những khó khăn của bài toán xác suất là xác định đợc biến cố và sử dụng
đúng các công thức thích hợp. Bằng cách tham khảo các ví dụ và giải nhiều bài tập sẽ rèn
luyện tốt kỹ năng này.

B. Nội dung

1.1
1.1.1

Giải tích tổ hợp

Quy tắc cộng

Nếu đối tợng A có thể đợc chọn theo một trong hai trờng hợp. Trờng hợp thứ nhất có
n1 cách chọn, trờng hợp thứ hai có n2 cách chọn. Khi đó số cách chọn A là: n = n1 + n2 .
Ví dụ 1.1.1. Một sinh viên thi cuối kỳ có thể chọn 1 đề thi có trong hai loại đề: đề dễ có 48
câu hỏi và đề khó có 32 câu hỏi. Hỏi có bao nhiêu cách chọn đề thi?
Giải. Sinh viên này có 48 cách chọn đề dễ và có 32 cách chọn đề khó. Vì vậy có 48+32 = 80
cách chọn đề thi.

1.1.2

Quy tắc nhân

Nếu đối tợng A có thể đợc chọn bằng n1 cách, và với mỗi cách chọn A ta có n2 cách
chọn đối tợng B. Khi đó số cách chọn A và B là: n = n1 .n2 .
Ví dụ 1.1.2. Đi từ A đến B có thể đi theo 3 lộ trình, ứng với mỗi lộ trình đi từ A đến B sẽ
có 2 cách đi từ B đến C. Nh vậy có tất cả 3.2 = 6 lộ trình đi từ A đến C.
A

C

B

Ví dụ 1.1.3. Một bé có thể mang họ cha là Trần hoặc họ mẹ là Nguyễn, tên đệm có thể là:
Anh, Minh, còn tên có thể là: Nhân, Đức, Trí. Hỏi có bao nhiêu cách đặt tên cho bé?

Giải. Có 2 cách chọn họ, 2 cách chọn tên đệm, và 3 cách đặt tên nên có: 2.2.3 = 12 cách
đặt tên cho bé.
Nếu liệt kê ra, sẽ đợc các tên sau:
Trần Anh Nhân, Trần Anh Đức, Trần Anh Trí.
Trần Minh Nhân, Trần Minh Đức, Trần Minh Trí.
Nguyễn Anh Nhân, Nguyễn Anh Đức, Nguyễn Anh Trí.
Nguyễn Minh Nhân, Nguyễn Minh Đức, Nguyễn Minh Trí.

2


1.1.3

Chỉnh hợp (không lặp)

Mỗi bộ k phần tử có kể đến thứ tự, đợc lấy không lặp từ tập n phần tử (1
là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.

k

n) gọi

Kí hiệu số các chỉnh hợp chập k của n phần tử là Akn , ta có:
Akn =

1.1.4

n!
(n k)!

(1.1.1)

Chỉnh hợp lặp

Mỗi bộ k phần tử (k tuỳ ý) có kể đến thứ tự, đợc lấy lặp từ tập n phần tử gọi là một
chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử đã cho.
Kí hiệu số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là Fnk , ta có:
Fnk = nk

(1.1.2)

Ví dụ 1.1.4. Từ năm chữ số 1, 2, 3, 4, 5 lập đợc bao nhiêu số tự nhiên:
a. Có 3 chữ số.
b. Có 6 chữ số.
c. Có 3 chữ số đôi một khác nhau.
Giải:
a. Một số tự nhiên có 3 chữ số đợc lấy từ 5 chữ số đã cho chính là một chỉnh hợp lặp
chập 3 của 5 phần tử đó. Do đó số các số tự nhiên có ba chữ số đúng bằng số các chỉnh hợp
lặp:
F53 = 53 = 125
b. Một số tự nhiên có 6 chữ số đợc lấy từ 5 chữ số đã cho (ví dụ nh 112345) chính là
một chỉnh hợp lặp chập 6 của 5 phần tử đó. Do đó số các số tự nhiên có 6 chữ số đúng bằng
số các chỉnh hợp lặp:
F56 = 56 = 15625
c. Vì ba chữ số đôi một khác nhau nên một số nh vậy chính là một chỉnh hợp (không
lặp) chập 3 của 5 phần tử đã cho. Do đó số các số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau
đúng bằng số các chỉnh hợp, ta có:
A35 = 5.4.3 = 60
Chú ý 1.1.1. Trong khái niệm chỉnh hợp (không lặp) thì (1 k
chỉnh hợp lặp thì k là một số tự nhiên tuỳ ý, có thể lớn hơn n.

1.1.5

n), còn trong khái niệm

Hoán vị

Hoán vị của n phần tử là một cách sắp xếp có thứ tự n phần tử đó. Nh vậy mỗi hoán
vị của n phần tử chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử đó.
3


Kí hiệu số hoán vị của n phần tử là Pn , Vì Pn = Ann nên ta có:
Pn = n! = Ann

1.1.6

(1.1.3)

Tổ hợp

Mỗi bộ k phần tử (1
k
n) không kể đến thứ tự, đợc lấy bằng phép lấy không lặp
từ tập n phần tử gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.
Kí hiệu số các tổ hợp chập k của n phần tử là Cnk , vì k phần tử lấy ra khác nhau và không
kể đến thứ tự nên:
Ak
n!
Cnk = n =

(1.1.4)
k!
(n k)!k!
Ví dụ 1.1.5. Anh An có 11 ngời bạn trong đó có một cặp vợ chồng, anh này mời 5 ngời
đến nhà dự tiệc. Hỏi anh An có bao nhiêu cách mời để cặp vợ chồng cùng đợc mời hoặc
không ai đợc mời.
Giải: Có hai trờng hợp:
Khi cả hai vợ chồng cùng đợc mời, anh An chỉ còn mời thêm 3 ngời trong 9 ngời còn
lại, 1 cách chọn 3 ngời trong 9 ngời chính là một tổ hợp chập 3 của 9 phần tử. Do đó số
cách chọn đúng bằng số tổ hợp chập 3 của 9 phần tử: C93 = 84 (cách mời).
Tơng tự, khi cả hai vợ chồng không đợc mời, anh An sẽ mời 5 trong 9 ngời: C95 = 126
(cách mời).
Vậy anh An có tất cả: 84 + 126 (cách mời).

1.1.7

Nhị thức Newton
n
n

Cnk ak bnk

(a + b) =

(1.1.5)

k=0

Để hiểu rõ hơn bản chất của các khái niệm trên, ta xét tiếp ví dụ sau đây.
Ví dụ 1.1.6. Cho tập hợp gồm ba phần tử {a, b, c}, khi đó:

a. Nếu chọn ra các bộ gồm 2 phần tử có thứ tự ta đợc A23 = 3.2 = 6 chỉnh hợp là:
{a, b}, {b, a}, {a, c}, {c, a}, {b, c}, {c, b}

F32

b. Nếu chọn các bộ gồm hai phần tử có thứ tự và các phần tử có thể lấy lặp ta đợc
= 32 = 9 chỉnh hợp lặp là:
{a, b}, {b, a}, {a, c}, {c, a}, {b, c}, {c, b}, {a, a}, {b, b}, {c, c}
c. Số hoán vị thu đợc gồm 3! = 6 hoán vị là:
{a, b, c}, {a, c, b}, {b, a, c}, {b, c, a}, {c, a, b}, {c, b, a}
d. Nếu chọn ra các bộ hai phần tử không kể thứ tự ta đợc C32 = 3 tổ hợp là:
{a, b}, {a, c}, {b, c}
4


Ví dụ 1.1.7. Một đoàn tàu có 3 toa chở khách: I, II, III. Trên sân ga có 4 khách chuẩn bị đi
tàu. Biết mỗi toa có ít nhất 4 chỗ trống. Hỏi:
a. Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 4 hành khách lên đoàn tàu.
b. Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 4 hành khách lên tàu để có 1 toa có 3 trong 4 hành
khách nói trên.
Giải:
a. Ngời khách thứ nhất có 3 cách chọn. Tơng tự ngời khách thứ hai, thứ ba, thứ t
cũng có 3 cách chọn.
Vậy theo quy tắc nhân sẽ có: 3.3.3.3 = 81 cách.
b. Cách 1: Giả sử toa I chứa 3 khách, khi đó số cách chọn 3 khách vào toa I là C43 = 4
cách.
Còn lại 1 ngời sẽ có 2 cách chọn. Trong trờng hợp này có: 4.2 = 8 cách.
Có đến 3 trờng hợp nh vậy nên số cách xếp 4 hành khách lên tàu mà một toa có 3
khách là: 3.8 = 24 (cách).
Cách 2: Khách lên tàu đợc chia thành 2 nhóm. Một nhóm 3 ngời và một nhóm 1

ngời, số cách chọn ra hai nhóm này là 4. Lúc này ta xếp 2 nhóm vào 3 toa nên có: A23 = 6.
Vậy có 4.6 = 24 (cách).

1.2
1.2.1

Phép thử ngẫu nhiên và biến cố ngẫu nhiên

Khái niệm phép thử ngẫu nhiên và biến cố ngẫu nhiên

Phép thử ngẫu nhiên : Phép thử ngẫu nhiên là một khái niệm cơ bản không có định nghĩa
chính xác. Ta có thể mô tả nh sau: Phép thử ngẫu nhiên là sự thực hiện một nhóm điều kiện
xác định và có thể đợc lặp lại nhiều lần (chẳng hạn làm thí nghiệm hay quan sát một hiện
tợng nào đó). Kết quả của nó ta không đoán định đợc trớc. Ta ký hiệu phép thử ngẫu
nhiên bằng chữ T và về sau gọi tắt là phép thử.
Không gian mẫu: Tập hợp tất cả các kết quả có thể của một phép thử đợc gọi là không
gian mẫu của phép thử đó. Không gian mẫu đợc ký hiệu là .
Một phép thử có thể có nhiều hơn một không gian mẫu, tùy theo ngời quan sát quan tâm
đến dạng kết quả nào của phép thử đó.
Biến cố ngẫu nhiên: Một kết quả của phép thử đợc gọi là một biến cố ngẫu nhiên (về
sau gọi tắt là biến cố).
Nh vậy một biến cố là một tập con của không gian mẫu. Biến cố có thể xảy ra hoặc
không xảy ra khi thực hiện phép thử.
Ta thờng dùng các chữ cái: A, B, C, ... để ký hiệu biến cố.
Biến cố sơ cấp: Trong mỗi phép thử sẽ có nhiều kết quả xảy ra. Có kết quả đơn giản nhất,
và cũng có những kết quả phức hợp. Chẳng hạn khi quay xổ số, nếu ta chỉ quan tâm đến hai
số cuối, thì mỗi sự xuất hiện một số trong các chữ số từ 00; 11; ...; 98; 99 là những kết quả
đơn giản nhất, trong khi đó sự xuất hiện các số chẵn, lẻ, đầu 6, đuôi 8,... là những kết quả
5

phức hợp (gồm nhiều kết quả đơn giản nhất hợp thành).
Kết quả đơn giản nhất đợc gọi là biến cố sơ cấp.
Ta thờng ký hiệu các biến cố sơ cấp là: 1 , 2 , ...
Nhận xét 1.2.1. Nh vậy một biến cố sơ cấp là một phần tử của không gian mẫu ( )
trong khi một biến cố ngẫu nhiên là một tập hợp con của không gian mẫu (A ). Biến
cố ngẫu nhiên đóng vai trò nh một tập hợp, chứa các biến cố sơ cấp. Khi biến cố A chỉ có
một phần tử thì nó đóng vai trò nh một biến cố sơ cấp. Do đó, ta cũng có thể ký hiệu biến
cố sơ cấp bằng các chữ cái A, B, C.
Chúng ta có thể hình dung, nếu không gian mẫu là mặt phẳng, khi đó mỗi đờng thẳng
là một biến cố ngẫu nhiên, còn mỗi điểm là một biến cố sơ cấp.
Ví dụ 1.2.1. Khi gieo một con xúc xắc là thực hiện một phép thử, nếu ta quan tâm đến kết
quả mặt mấy chấm xuất hiện thì không gian mẫu là = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, các mặt 1, 2, 3, 4,
5, 6 chấm là các biến cố sơ cấp. Tập hợp A = {2, 4, 6} là một biến cố, nó xảy ra khi mà
hoặc mặt 2, hoặc 4, hoặc 6 chấm xuất hiện, có thể gọi A là biến cố "xuất hiện mặt chẵn".
Tơng tự B = {1, 3, 5} là biến cố "xuất hiện mặt lẽ". Nếu gọi C là biến cố "số chấm xuất
hiện nhiều hơn 7" thì C = và C không xảy ra ở bất cứ lần gieo nào. Nếu gọi D là biến cố
"số chấm xuất hiện nhỏ hơn 7" thì D = và D luôn xảy ra khi thực hiện phép thử.
Biến cố tất yếu: là biến cố luôn xảy ra khi thực hiện phép thử. Nh vậy, không gian mẫu
là biến cố tất yếu.
Biến cố bất khả: là biến cố không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử. Nh vậy, tập
là biến cố bất khả.
Ví dụ 1.2.2.
a. Khảo sát ngẫu nhiên một sinh viên Khoa QTKD để lấy thông tin là thực hiện một phép
thử. Nếu kết quả chúng ta quan tâm là SV đó ở tỉnh nào thì không gian mẫu là = {Quảng
Nam, Đà Nẵng, Quảng Bình,...}, mỗi tỉnh là một biến cố sơ cấp. Nếu kết quả ta quan tâm là
SV đó học nghành gì thì không gian mẫu = {QTH, QTM, QNH,...}, mỗi nghành học là
một biến cố sơ cấp. Nhng nếu kết quả chúng ta quan tâm là SV đó học lớp nào thì các kết
quả nh: QTKD, QTMKT, NH,...không phải biến cố sơ cấp (mà là biến cố).
b. Sự biến động giá cả trên thị trờng là phép thử, còn sự kiện xảy ra lạm phát là một

biến cố. Diễn biến của một cơn bão ngoài Biển Đông là một phép thử, còn sự kiện nó vào
Việt Nam là một biến cố.
Nhận xét 1.2.2. Nh vậy không phải mọi phép thử đều đợc chủ động thực hiện. Có những
biến cố ta thu đợc từ thực hiện một phép thử, nhng có những biến cố ta chỉ thu đợc từ
những quan sát từ các hiện tợng tự nhiên hoặc xã hội,...

1.2.2

Các phép toán và mối quan hệ giữa các biến cố

Khi giải các bài toán của lý thuyết xác suất ta thờng phải diễn tả một biến cố phức hợp
theo các biến cố đơn giản hơn. Để làm đợc điều đó ta cần nghiên cứu mối quan hệ giữa các
biến cố thể hiện qua các khái niệm dới đây:
6


a. Các phép toán giữa các biến cố
Phép cộng: Tổng của hai biến cố A và B là một biến cố xảy ra khi và chỉ khi
có ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra, ký hiệu A + B (hoặc A B). Có nghĩa:
A + B = {| A hoặc B}

Ví dụ 1.2.3. Bắn 2 mũi tên vào một quả bóng bay. Gọi A là biến cố "mũi tên thứ nhất trúng
quả bóng", B là biến cố "mũi tên thứ hai trúng quả bóng" và C là biến cố "quả bóng bay bị
vỡ" thì C = A + B. Có nghĩa, quả bóng bị vỡ (biến cố C xảy ra) khi và chỉ khi có ít nhất
một trong hai mũi tên bắn trúng (ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra).
Ví dụ 1.2.4. Một chiếc xe đạp lu thông trên đờng là thực hiện một phép thử. Nếu gọi A
là biến cố "bánh xe trớc bị lủng"; B là biến cố "bánh xe sau bị lủng" thì khi đó A + B là
biến cố gì?
Phép nhân: Tích của hai biến cố A và B là một biến cố xảy ra khi và chỉ khi đồng thời
xảy ra cả A và B, kí hiệu A.B (hoặc A B). Có nghĩa:

A.B = {| A và B}

Ví dụ 1.2.5. Một SV bốc ngẫu nhiên một câu hỏi. Gọi A là biến cố "bốc đợc câu lý thuyết",
B là biến cố "bốc đợc câu khó" và C là biến cố "bốc đợc câu lý thuyết khó". Khi đó
C = A.B
Ví dụ 1.2.6. Một anh nọ đa bạn gái về nhà giới thiệu với ba, mẹ là thực hiện một phép thử.
Nếu gọi A là biến cố "Ba anh ấy đồng ý"; B là biến cố "Mẹ anh ấy đồng ý" thì AB là biến
cố gì?
Phép trừ: Hiệu của hai biến cố A và B là một biến cố xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra
nhng B không xảy ra, kí hiệu là A \ B. Có nghĩa:
A \ B = {| A và
/ B}

Ví dụ 1.2.7. Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Gọi A là biến cố "học sinh này giỏi Toán"; B
là biến cố "học sinh này giỏi Văn". Khi đó A \ B là biến cố "học sinh này giỏi Toán nhng
không giỏi Văn"; B \ A là biến cố "học sinh này giỏi Văn nhng không giỏi Toán"; AB là
biến cố "học sinh này giỏi cả Toán và Văn".
7


Phần bù của biến cố A, ký hiệu là A, đợc xác định: A = \ A.

Ví dụ 1.2.8. Chọn ngẫu nhiên một SV để làm lớp trởng. Gọi A là biến cố "chọn đợc SV
nam" thì A là biến cố "chọn đợc sinh viên nữ".
b. Mối quan hệ giữa các biến cố
Thuận lợi: Biến cố A thuận lợi (hay kéo theo) đối với biến cố B, kí hiệu A B, nếu
trong phép thử đó A xuất hiện thì B cũng xuất hiện.
Ví dụ 1.2.9. Khi gieo một con xúc xắc, nếu gọi A là biến cố xuất hiện mặt 1 chấm, B là
biến cố xuất hiện mặt lẻ thì A thuận lợi đối với B.
Đồng nhất: Biến cố A đồng nhất (hay bằng) biến cố B, kí hiệu A = B, nếu đồng thời A

thuận lợi đối với B và B cũng thuận lợi đối với A.
Xung khắc: A và B gọi là xung khắc với nhau khi và chỉ khi A và B
không đồng thời xảy ra khi thực hiện phép thử. Có nghĩa AB = .
Ví dụ 1.2.10. Trong một hộp có bốn loại bút: xanh, đỏ, vàng và đen. Chọn ngẫu nhiên 1 cây
bút, gọi A là biến cố "chọn đợc bút xanh", B là biến cố "chọn đợc bút đỏ". Khi đó A và
B là hai biến cố xung khắc.
Hệ các biến cố xung khắc: Các biến cố A1 , A2 , ..., An gọi là xung khắc từng đôi khi và
chỉ khi Ai Aj = , i = j.
Trong ví dụ trên nếu gọi C là biến cố "chọn đợc cây bút vàng". Khi đó A, B, C xung
khắc từng đôi.
Hệ các biến cố đầy đủ: Các biến cố A1 , A2 , ..., An gọi là hệ đầy đủ khi và chỉ
khi chúng xung khắc từng đôi và A1 + A2 + ...An = .
Trong ví dụ trên nếu gọi D là biến cố "chọn đợc cây bút đen". Khi đó A, B, C, D lập
thành một hệ đầy đủ.
Đối lập: Hai biến cố A và B gọi là đối lập khi và chỉ khi chỉ có một biến cố xảy ra khi
thực hiện phép thử. Có nghĩa A B = và A B = , ký hiệu B = A.
Nhận xét 1.2.3.
+) Biến cố đối lập của A chính là phần bù A.
+) Hai biến cố đối lập thì xung khắc với nhau, nhng ngợc lại thì không đúng.
+) Hai biến cố đối lập lập thành một hệ đầy đủ.
+) Công thức Demorgan: A + B = A.B;

A.B = A + B.
8


Ví dụ 1.2.11. Giả sử kết quả thi môn Toán của học sinh trong một lớp đợc xác định nh
sau: loại giỏi điểm 9 và 10, loại khá điểm 7 và 8, trung bình 5 và 6, loại kém 3 và 4, rất
kém 0, 1 và 2, điểm 5 - 10 là đạt, điểm 0 - 4 là không đạt. Lấy ngẫu nhiên một học sinh của
lớp và kí hiệu A, B, C, D, E, F, G tơng ứng với các biến cố: giỏi, khá, trung bình, kém, rất

kém, đạt, không đạt. (Giả sử điểm số là các số tự nhiên)
Khi đó:
+) A và F không xung khắc.
+) Hệ {A, B, C, D} là xung khắc từng đôi mà không đầy đủ.
+) Hệ đầy đủ: {A, B, C, D, E}; {F, G}; {D, E, F }; {A, B, C, G}.
+) F, G là hai biến cố đối lập.
Ví dụ 1.2.12. Hai cầu thủ bóng rổ A và B mỗi ngời ném 2 quả vào rổ (A ném xong 2 quả
rồi đến B).
a. Xác định không gian mẫu .
b. Biểu diễn các biến cố sau theo các biến cố sơ cấp.
+) Số bóng trúng rổ của hai cầu thủ bằng nhau.
+) Số bóng trúng rổ của cả hai cầu thủ bằng 3.
+) Số bóng trúng rổ của A ít hơn B.
Giải:
a. Nếu ta quan tâm số bóng trúng rổ thì:
= {0, 1, 2, 3, 4}
Nếu ta quan tâm từng quả trúng rổ của mỗi cầu thủ, gọi A1 , A2 và B1 , B2 tơng ứng là
biến cố A và B ném trúng rổ quả 1 và 2. Khi đó không gian các biến cố sơ cấp là:
=

(A1 .A2 .B1 .B2 ), (A1 .A2 .B1 .B2 ), (A1 .A2 B1 .B2 ), (A1 .A2 .B1 .B2 )
(A1 .A2 .B1 .B2 ), (A1 .A2 .B1 .B2 ), (A1 .A2 .B1 .B2 ), (A1 .A2 .B1 .B2 )
(A1 .A2 .B1 .B2 .), (A1 .A2 .B1 .B2 ), (A1 .A2 .B1 .B2 ), (A1 .A2 .B1 .B2 )
(A1 .A2 .B1 .B2 ), (A1 .A2 .B1 .B2 ), (A1 .A2 .B1 .B2 ), (A1 .A2 .B1 .B2 )

b. Gọi C, D, E tơng ứng là các biến cố cần tìm, ta có:
C = A1 .A2 .B1 .B2 + A1 .A2 .B1 .B2 + A1 .A2 .B1 .B2 + A1 .A2 .B1 .B2
+A1 .A2 .B1 .B2 + A1 .A2 .B1 .B2
D = A1 .A2 .B1 .B2 + A1 .A2 .B1 .B2 + A1 .A2 .B1 .B2 + A1 .A2 .B1 .B2
E = A1 .A2 .B1 .B2 + A1 .A2 .B1 .B2 + A1 .A2 .B1 .B2 + A1 .A2 .B1 .B2

+A1 .A2 .B1 .B2
Ví dụ 1.2.13. Lấy ngẫu nhiên từ một lô hàng ra 4 sản phẩm và ta quan tâm đến số phế phẩm
trong 4 sản phẩm đó.
a. Xác định không gian các biến cố sơ cấp.
b. Biểu diễn các biến cố sau theo các biến cố sơ cấp: có nhiều nhất một phế phẩm, có ít
nhất một phế phẩm, có ít nhất hai phế phẩm.
9


c. Chỉ rõ các biến cố xung khắc và biến cố đối trong các biến cố thu đợc.
Giải:
a. Gọi Ai là biến cố trong 4 sản phẩm có i phế phẩm, hiển nhiên i = 0, 4, do đó không
gian các biến cố sơ cấp là:
= {A0 , A1 , A2 , A3 , A4 }
b. Gọi A, B, C là các biến cố tơng ứng, ta có:
A = A0 + A1
B = A1 + A2 + A3 + A4 = A0
C = A2 + A3 + A4 = A
c. Các biến cố xung khắc: A0 , A1 , A2 , A3 , A4 đều là các biến cố xung khắc với nhau từng
đôi một; A0 &B; A&C.
Các biến cố đối lập: A0 &B; A&C.

1.3

Các định nghĩa về xác suất

Hằng ngày, ta hay nghe thấy thuật ngữ xác suất, vậy xác suất (probability) là gì, đợc
định nghĩa và xác định nh thế nào? Việc biến cố xảy ra hay không khi thực hiện một phép
thử không thể đoán biết trớc đợc. Tuy nhiên bằng những cách khác nhau ta có thể định
lợng khả năng xuất hiện của biến cố, đó là xác suất xuất hiện của biến cố. Xác suất chỉ

nhận giá trị thực trên đoạn [0, 1]. Vì biến cố không thể sẽ không bao giờ xảy ra, nên xác
suất của nó phải bằng 0, còn xác suất của biến cố chắc chắn thì phải bằng 1.
Khi thực hiện một phép thử, số biến cố sơ cấp của phép thử đó có thể vô hạn hoặc hữu
hạn, có thể đồng khả năng xảy ra hoặc không đồng khả năng. Xuất phát từ thực tế này mà
ta có 3 định nghĩa về xác suất:
+) Định nghĩa cổ điển về xác suất sử dụng trong trờng hợp các biến cố sơ cấp đồng khả
năng và hữu hạn.
+) Định nghĩa xác suất bằng hình học sử dụng trong trờng hợp các biến cố sơ cấp đồng
khả năng và vô hạn.
+) Định nghĩa xác suất bằng thống kê sử dụng trong trờng hợp các biến cố sơ cấp không
đồng khả năng.

1.3.1

Định nghĩa xác suất cổ điển

Định nghĩa 1.3.1. Cho một phép thử có không gian mẫu hữu hạn, gồm n() biến cố sơ cấp
đồng khả năng xảy ra, trong đó có n(A) biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A nào đó, khi
đó xác suất xuất hiện A đợc kí hiệu P (A) và đợc định nghĩa bằng công thức:
P (A) =

10

n(A)
n()

(1.3.1)


Chú ý 1.3.1.

+) n(A) là số phần tử của A; n() là số phần tử của .
+) Để tính n(A), n() ta thờng dùng các phép toán của giải tích tổ hợp.
+) Để sử dụng đợc định nghĩa cổ điển thì các biến cố sơ cấp phải hữu hạn và đồng khả
năng, trong các bài toán, để đảm bảo tính đồng khả năng, ngời ta hay dùng thuật ngữ "ngẫu
nhiên".
Ví dụ 1.3.1. Gieo ngẫu nhiên một con xúc xắc lý tởng (đều đặn, đồng chất, đối xứng,..).
Rõ ràng các biến cố sơ cấp của không gian mẫu = {1, 2, 3, 4, 5, 6} là đồng khả năng nên
áp dụng định nghĩa xác suất cổ điển ta có:
a. Nếu gọi A là biến cố xuất hiện mặt chẵn thì A = {2, 4, 6} nên:
P (A) =

1
3
=
6
2

Tơng tự nếu gọi B là biến cố xuất hiện mặt lẽ thì P (B) = 21 .
b. Nếu gọi C là biến cố xuất hiện mặt có số chấm chia hết cho 3 khi đó C =
{3, 6} nên P (C) = 13 .
Ví dụ 1.3.2. Một lớp có 50 sinh viên, trong đó có 30 nam sinh viên. Chọn ngẫu nhiên một
nhóm gồm 4 sinh viên tham gia cuộc thi "Dự án kinh tế cộng đồng". Tính xác suất để:
a. Có hai nam trong 4 sinh viên đợc chọn?
b. Có ít nhất một sinh viên nam trong số 4 sinh viên đợc chọn?
c. Không có sinh viên nam trong số 4 sinh viên đợc chọn?
d. Có nhiều nhất hai sinh viên nam trong số 4 sinh viên đợc chọn.
Giải: Số cách lấy 4 sinh viên bất kỳ từ 50 sinh viên đã cho là:
4
n() = C50
= 230300

Vì cách chọn là "ngẫu nhiên" nên 230300 kết quả này là đồng khả năng.
a. Gọi A là biến cố có hai nam trong 4 sinh viên đợc chọn. Số trờng hợp thuận lợi cho
A là:
2
2
= 82650
n(A) = C30
.C20
Xác suất có hai nam trong 4 sinh viên đợc chọn:
P (A) =

n(A)
82650
=
= 0, 35888
n()
230300

b. Gọi B là biến cố có ít nhất một nam trong 4 sinh viên đợc chọn. Số trờng hợp thuận
lợi cho B là: n(B) = n1 + n2 + n3 + n4 , trong đó n1 , n2 , n3 , n4 tơng ứng là số trờng hợp
có 1 nam, 2 nam, 3 nam, 4 nam trong 4 sinh viên đợc chọn.
2
2
3
1
4
0
C 1 C 3 + C30
C20

+ C30
C20
+ C30
C20
n(B)
= 30 20
4
n()
C50
225455
=
= 0, 97896
230300

P (B) =

11


4
4
= 225455)
C20
(Có thể tính: n(B) = C50

c. Gọi C là biến cố không có sinh viên nam trong 4 sinh viên đợc chọn. Số trờng hợp
4
= 4845. Xác suất cần tìm:
thuận lợi cho C là: n(C) = C20
P (C) =

n(C)
4845
=
= 0, 02104.
n
230300

d. Gọi D là biến cố có nhiều nhất 2 nam trong 4 sinh viên đợc chọn. Số trờng hợp
thuận lợi cho D là:
4
1
3
2
2
n(D) = C20
+ C30
C20
+ C30
C20
= 121695
Vậy
121695
n(D)
=
= 0, 52842
n
230300
Ví dụ 1.3.3. Có 5 khách hàng cùng đi vào một ngân hàng có 3 quầy phục vụ: I , II, III. Mỗi
ngời chọn ngẫu nhiên một quầy. Các khả năng sau đây sẽ xảy ra bao nhiêu phần trăm:

P (D) =

a. Cả 5 ngời vào cùng một quầy.
b. Chỉ có 1 ngời vào quầy I.
c. Chỉ có quầy I có 1 ngời.
Giải: Vì mỗi khách hàng chọn ngẫu nhiên một quầy nên 1 ngời nh vậy có 3 cách chọn.
Theo quy tắc nhân số kết quả đồng khả năng: n() = 3.3.3.3.3 = 243.
a. Gọi A là biến cố cả 5 ngời vào cùng một quầy, khi đó chỉ có 3 cách chọn, đó là
cả 5 ngời cùng vào quầy I, hoặc II, hoặc III. Do đó số kết quả thuận lợi cho biến cố A:
n(A) = 3. Vậy xác suất cần tìm:
P (A) =

3
= 0.01234567
243

b. Gọi B là biến cố quầy I có một ngời, số cách chọn 1 ngời vào quầy I là 5 (cách).
Sau khi có một ngời vào quầy I, 4 ngời còn lại sẽ vào 2 quầy II và III, số cách chọn là
24 = 16. Do đó số kết quả thuận lợi cho biến cố B: n(B) = 5.16 = 80 (cách). Xác suất cần
tìm:
80
P (B) =
= 0.329218107
243
c. Gọi C là biến cố chỉ có quầy số I có 1 ngời. Số cách chọn 1 ngời vào quầy I là 5
(cách). Còn lại 4 ngời nhng ta phải bố trí vào 2 quầy II và III sao cho 2 quầy này không
có quầy nào có 1 ngời. Do đó chỉ có 2 trờng hợp sau:
Trờng hợp 1: cho cả 4 ngời cùng vào một quầy, sẽ có 2 cách.
Trờng hợp 2: mỗi quầy có 2 ngời, sẽ có C42 = 6.
Số kết quả thuận lợi cho biến cố C: n(C) = 5.(2 + 6) = 48. Vậy:

P (C) =

60
= 0, 197530864
243

Ví dụ 1.3.4. Trong một hộp đựng 10 sản phẩm (trong đó có 4 sản phẩm đã quá hạn sử dụng),
rút ngẫu nhiên không hoàn lại lần lợt ra 2 sản phẩm để kiểm tra. Tính xác suất để:
a. Có đúng một sản phẩm quá hạn sử dụng (phế phẩm).
12


b. Có ít nhất một sản phẩm còn dùng đợc (chính phẩm).
c. Sản phẩm thứ hai là dùng đợc.
Giải:
2
a. Số cách lấy 2 sản phẩm từ 10 sản phẩm là n = C10
(đây chính là số kết quả đồng khả
năng). Gọi A là biến cố có đúng một sản phẩm quá hạn sử dụng trong hai sản phẩm lấy ra
để kiểm tra. số kết quả thuận lợi cho A: m = C42

Vậy xác suất cần tìm:
P (A) =

8
C41 C61
= .
2
C10
15

b. Gọi B là biến cố có ít nhất một chính phẩm. Có hai trờng hợp thuận lợi cho B, hoặc
có chính phẩm, hoặc hai chính phẩm. Số cách rút để đợc một phế phẩm và một chính phẩm
là m1 = C41 .C61 . Số cách rút để đợc hai chính phẩm là m2 = C62
Vậy xác suất cần tìm:
P (B) =

C 1C 1 + C 2
13
m1 + m2
= 4 62 6 = .
n
C10
15

c. Gọi C là biến cố sản phẩm thứ hai là chính phẩm. Vì phải xét đến thứ tự của các
phần tử đợc lấy ra nên số cách lấy ra hai sản phẩm là A210 = 90. Có 2 trờng hợp thuận lợi
cho C: hoặc sản phẩm thứ nhất là chính phẩm và sản phẩm thứ hai cũng là chính phẩm, có
A26 = 30 cách. Hoặc sản phẩm thứ nhất là phế phẩm và sản phẩm thứ hai là chính phẩm, có
A14 A16 = 24 cách. Vậy xác suất cần tìm:
P (C) =

30 + 24
3
= .
90
5

Nhận xét 1.3.1. (Ưu điểm và hạn chế của định nghĩa cổ điển của xác suất)
Ưu điểm: Tính đợc chính xác xác suất của biến cố mà không cần phải thực hiện phép

thử.
Nhợc điểm: Số lợng các biến cố sơ cấp là hữu hạn. Tính chất đồng khả năng không
phải bao giờ cũng xác định đợc.
Để khắc phục những hạn chế nêu trên, chúng ta đa ra hai định nghĩa xác suất sau đây:

1.3.2

Định nghĩa xác suất bằng hình học

Định nghĩa 1.3.2. Một phép thử có vô hạn kết quả đồng khả năng và tập các kết quả đó có
thể biểu diễn bằng một miền hình học đo đợc G, còn các kết quả thuận lợi cho biến cố A
đợc biểu diễn bởi một miền con g G. Khi đó xác suất của biến cố A đợc định nghĩa:
P (A) =

độ đo của g
độ đo của G

(1.3.2)

Độ đo có thể là: độ dài, diện tích, thể tích.
Ví dụ 1.3.5. Một hạt ma rơi ngẫu nhiên vào một bể bơi hình chữ nhật có diện tích bề mặt:
10 ì 20 (m). Tìm xác suất để hạt ma đó rơi trúng chiếc phao hình tròn có bán kính 1 (m);
13


biết chiếc phao để cố định trong bể bơi.
Giải: Gọi M là biến cố hạt ma rơi trúng phao, khi đó P (M ) là tỷ số của diện tích chiếc
phao trên diện tích bề mặt bể bơi. Có nghĩa:
P (M ) =

3, 14.12
R2
=
= 0, 0157
ab
10.20

Ví dụ 1.3.6. Nam sinh X hẹn gặp nữ sinh Y tại một quán cafe trong khoảng thời gian từ 8
giờ đến 9 giờ với quy ớc ngời nào đến trớc quá 20 phút mà không thấy ngời kia tới thì
sẽ bỏ đi. Tìm xác suất để họ gặp nhau, biết mỗi ngời có thể đến nơi hẹn vào thời điểm bất
kỳ trong thời gian trên.
Giải: Lấy mốc thời gian là 8 giờ, gọi x là thời điểm đến của X, y là thời điểm đến của Y
và đợc tính theo phút. Khi đó tập các biến cố có thể xảy ra là tập các điểm M (x, y) thuộc
miền:
G = {(x, y) : 0 x 60, 0 y 60}
Gọi H là biến cố hai ngời gặp nhau. Khi đó tập các biến cố thuận lợi cho H là tập các
điểm N (x, y) thuộc miền:
g = {(x, y) : |x y| 20}
Biểu diễn miền G và g trên mặt phẳng ta đợc:

Xác suất để họ gặp đợc nhau:
P (H) =

Sg
602 402
5
=
=
SG
602

9

Nhận xét 1.3.2. (Ưu điểm và nhợc điểm của định nghĩa xác suất bằng hình học)
Ưu điểm : Không gian mẫu gồm vô hạn biến cố sơ cấp.
Nhợc điểm: Khó khăn trong việc xác định độ đo của các miền G và g.
Trong trờng hợp các kết quả của một phép thử xảy ra không đồng khả năng ngời ta
dùng định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê. Định nghĩa theo thống kê dựa trên tần
suất xuất hiện các kết quả trong một dãy phép thử.

14


1.3.3

Định nghĩa xác suất theo thống kê

a. Tần suất:

m
n

Giả sử phép thử đợc tiến hành n lần, trong đó biến cố A xuất hiện m lần, khi đó tỷ số
đợc gọi là tần suất xuất hiện biến cố A trong n phép thử. Ký hiệu fn (A).
fn (A) =

m
n

(1.3.3)

Ví dụ 1.3.7. Một xạ thủ bắn một lợt 100 viên đạn có 85 viên trúng bia. Gọi A là biến cố
xạ thủ bắn trúng bia, khi đó tần suất trúng bia của xạ thủ đó là:
f100 (A) =

85
= 0, 85
100

Ví dụ 1.3.8. Rút ngẫu nhiên từ kho ra 100 sản phẩm để kiểm tra thấy có 5 phế phẩm. Gọi
A là biến cố xuất hiện phế phẩm, khi đó tần suất xuất hiện phế phẩm là:
f100 (A) =

5
= 0, 05
100

Nhận xét 1.3.3. Giá trị của tần suất phụ thuộc vào số lợng phép thử n, khi số phép thử ít
tần suất thay đổi nhiều, nhng khi số phép thử lớn thì tần suất ổn định và dao động xung
quanh một số nào đó.
Ví dụ 1.3.9. Thí nghiệm tung đồng tiền xu đợc các nhà bác học thực hiện và thu đợc các
kết quả sau:
Ngời làm TN
Bufon
Pearson
Pearson

Số lần tung Số lần có mặt sấp Tần suất
4044
2048
0,5069

12000
6019
0,5016
24000
12012
0,5005

Ta thấy số lần tung đồng tiền càng lớn thì tần suất xuất hiên mặt sấp càng dao động ổn
định xung quanh số 0,5.
b. Định nghĩa xác suất theo thống kê:
Giả sử phép thử đợc tiến hành n lần, trong đó có m lần xuất hiện biến cố A. Với n đủ
lớn thì tần suất fn (A) = m
có giới hạn bằng số p nào đó, đợc gọi là xác suất của A. Có
n
nghĩa
P (A) = lim fn (A) = p
(1.3.4)
n+

Ta sẽ thấy ý nghĩa của định nghĩa này qua định lí Bernoulli (Chơng 2) một cách rõ ràng
hơn.
Ví dụ 1.3.10.
+) Trong thống kê dân số, ngời ta đã tổng kết đợc xác suất em bé ra đời là trai hay gái
xấp xỉ bằng 0,5.
+) Xác suất đợc mặt sấp khi tung đồng tiền xu là 0,5.
15


Nhận xét 1.3.4. (Ưu điểm và nhợc điểm của định nghĩa xác suất bằng thống kê)
Ưu điểm : Không gian mẫu gồm vô hạn biến cố sơ cấp và không đòi hỏi tính đồng

khả năng.
Nhợc điểm: Đòi hỏi phải lặp lại nhiều lần phép thử. Trong thực tế, nhiều bài toán
không cho phép thực hiện do điều kiện và kinh phí làm phép thử.

1.3.4

Tính chất và ý nghĩa của xác suất

a. Tính chất: Theo định nghĩa xác suất ta dễ dàng suy ra đợc các tính chất sau:
+) P () = 0
+) P () = 1
+) 0

P (A)

1, với mọi biến cố A

+) A B P (A)

P (B); với A, B bất kỳ thuộc .

b. ý nghĩa: Xác suất P (A) đặc trng cho khả năng xuất hiện biến cố A trong phép
thử. P (A) càng lớn (càng gần 1) thì khả năng xuất hiện A càng nhiều. P (A) càng nhỏ (càng
gần 0) thì khả năng xuất hiện A càng ít.

1.3.5

Nguyên lý xác suất lớn, xác suất nhỏ

Qua thực nghiệm và quan sát thực tế, ngời ta thấy rằng các biến cố có xác suất nhỏ sẽ

không xảy ra khi ta chỉ thực hiện một phép thử hay một vài phép thử. Từ đó ta thừa nhận
nguyên lý sau đây, gọi là "Nguyên lý xác suất nhỏ": Nếu một biến cố có xác suất rất nhỏ thì
thực tế có thể cho rằng trong một phép thử biến cố đó sẽ không xảy ra. Chẳng hạn mỗi chiếc
máy bay đều có một xác suất rất nhỏ bị xảy ra tai nạn. Nhng trên thực tế ta vẫn không từ
chối đi máy bay vì tin tởng rằng trong chuyến bay ta đi biến cố máy bay rơi không xảy ra.
Hiển nhiên việc quy định một mức xác suất thế nào đợc gọi là nhỏ sẽ phụ thuộc vào
từng bài toán cụ thể. Chẳng hạn nếu xác suất để máy bay rơi là 0,01 thì xác suất đó cha thể
đợc coi là nhỏ. Song nếu xác suất một chuyến tàu khởi hành chậm là 0,01 thì có thể coi
rằng xác suất này là nhỏ.
Mức xác suất nhỏ này đợc gọi là mức ý nghĩa. Nếu đặt là mức ý nghĩa thì số = 1
gọi là độ tin cậy. Khi dựa trên nguyên lý xác suất nhỏ ta tuyên bố rằng: "Biến cố A có xác
suất nhỏ (tức là P (A) = ) sẽ không xảy ra trên thực tế" thì độ tin cậy của kết luận trên là
.
Tng tự nh vậy ta có thể đa ra "Nguyên lý xác suất lớn": "Nếu biến cố A có xác suất
gần bằng 1 thì trên thực tế có thể cho rằng biến cố đó sẽ xảy ra trong một phép thử". Cũng
nh trên, việc quy định một mức xác suất thế nào đợc gọi là lớn sẽ tùy thuộc vào từng bài
toán cụ thể.

16


1.4

Các phép tính xác suất

1.4.1

Công thức cộng xác suất

1) Với hai biến cố A, B bất kỳ thì: P (A + B) = P (A) + P (B) P (AB)

2) Nếu A, B xung khắc thì: P (A + B) = P (A) + P (B)
3) Mở rộng cho n biến cố bất kỳ A1 , A2 , ..., An :
n

P(

n

P (Ai )

Ai ) =
i=1

i=1

P (Ai Aj Ak ) + ... + (1)n1 P (A1 A2 ...An )

P (Ai Aj ) +
i
i
4) Nếu A1 , A2 , ..., An xung khắc từng đôi thì:
P (A1 + A2 + ... + An ) = P (A1 ) + P (A2 ) + ... + P (An )
5) P (A) = 1 P (A)
6) P (A \ B) = P (A) P (AB)
Ví dụ 1.4.1. Một công ty liên doanh với nớc ngoài có 40 nhân viên. Trong đó có 25 nhân
viên nói đợc Tiếng Anh, 15 nhân viên nói đợc Tiếng Nhật và 10 nhân viên nói đợc cả
Tiếng Anh và Tiếng Nhật, còn lại không biết ngoại ngữ. Chọn ngẫu nhiên 1 nhân viên của
công ty, tính xác suất để:

a. Nhân viên đó nói đợc tiếng nớc ngoài.
b. Nhân viên đó chỉ nói đợc Tiếng Anh.
c. Nhân viên đó chỉ nói đợc một ngoại ngữ.
d. Nhân viên đó không biết ngoại ngữ.
Bài giải: Gọi A, B lần lợt là các biến cố nhân viên đó nói đợc Tiếng Anh, Tiếng Nhật.
a. Nhân viên đó nói đợc tiếng nớc ngoài. Có nghĩa là nhân viên đó nói đợc Tiếng
Anh hoặc Tiếng Nhật. Do đó xác suất cần tìm:
P (A + B) = P (A) + P (B) P (AB) =

25 15 10
3
+

=
40 40 40
4

b. Xác suất để nhân viên đó chỉ nói đợc mỗi Tiếng Anh:
P (A \ B) = P (A) P (AB) =

25 10
15

=
40 40
40

c. Xác suất để nhân viên đó chỉ nói đợc mỗi Tiếng Nhật:
P (B \ A) = P (B) P (AB) =

15 10
5

=
40 40
40

Suy ra xác suất để nhân viên này chỉ nói đợc một ngoại ngữ là:
P (A \ B) + P (B \ A) =

15
5
1
+
=
40 40
2

d. Xác suất để nhân viên này không biết ngoại ngữ:
P (A + B) = 1 P (A + B) = 1
17

3
1
=
4
4


Ví dụ 1.4.2. Một hộp có 50 sản phẩm loại I và 15 sản phẩm loại II. Lấy ngẫu nhiên 10 sản

phẩm để kiểm tra. Tính xác suất để có ít nhất 1 sản phẩm loại II trong 10 sản phẩm đợc
kiểm tra.
Giải: Gọi A là biến cố có ít nhất một sản phẩm loại II trong 10 sản phẩm đợc kiểm tra.
Khi đó A là biến cố không có sản phẩm loại II nào trong 10 sản phẩm đợc kiểm tra.
Ta có

10
C50
P (A) = 10
C65

Xác suất cần tìm:
P (A) = 1 P (A) = 1

1.4.2

10
C50
= 0, 9426
10
C65

Công thức nhân xác suất

a. Xác suất có điều kiện
Phần trên khi xét sự xuất hiện của biến cố A, ngoài điều kiện của phép thử chúng ta không
có điều kiện nào khác. Tuy nhiên, trong thực tế chúng ta thờng phải xét sự xuất hiện của
biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra.
Định nghĩa 1.4.1. Giả sử A, B là hai biến cố bất kỳ và P (B) > 0. Ta gọi tỷ số PP(AB)
là xác

(B)
suất có điều kiện của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra trớc đó, đợc ký hiệu
P (A/B). Có nghĩa:
P (AB)
P (A/B) =
, P (B) > 0.
(1.4.1)
P (B)
Tơng tự, nếu P (A) > 0. Ta gọi tỷ số PP(AB)
là xác suất có điều kiện của biến cố B với
(A)
điều kiện biến cố A đã xảy ra trớc đó, đợc ký hiệu P (B/A). Có nghĩa:
P (B/A) =

P (AB)
, P (A) > 0.
P (A)

Nhận xét 1.4.1.
1) Vì xác suất có điều kiện P (A/B) đợc tính qua xác suất không điều kiện
cũng có các tính chất của xác suất bình thờng, chẳng hạn nh:

(1.4.2)

P (AB)
P (B)

nên nó

+) P (A/B) = 1 P (A/B).

+) P (A1 + A2 /B) = P (A1 /B) + P (A2 /B) P (A1 A2 /B).
2) Sự khác nhau của P (A/B) và P (AB) là:
P (A/B) =

Số phần tử của AB
Số phần tử của B

P (AB) =

Số phần tử của AB
Số phần tử của

Ví dụ 1.4.3. Gieo đồng thời ba con xúc xắc cân đối một cách độc lập. Tính xác suất để:
a. Tổng số nốt xuất hiện của ba con là 6.

18