NHỮNG VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ HÌNH HỌC VÀ GIẢI TÍCH LỚP 12

 NHỮNG VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ HÌNH HỌC 12
GV:NguyÔn §øc B¸-THPT TIỂU LA-THĂNG.BÌNH QN.
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG:

1 2 1 2
a (a ;a );b (b ;b )= =
r
r

1 2
ka (ka ;ka )=
r

1 1 2 2
a b (a b ;a b )± = ± ±
r
r

1 2 1 2
a (a ,a ) a a i a j= ⇔ = +
r r
r r

{
1 1
2 2
a b
a b
a b
=
= ⇔

=
r
r

2 2
1 2
a a a= +
r

a.b
a.b a . b c
a . b
os(a,b) cos(a,b)== ⇒
r
r
r r
r r
r r
r r
r
r

1 1 2 2
a.b a b a b= +
r
r


1 2
1 2

a a
a c a kb 0
b b
ï ng ph­ ¬ng b ⇔ = ⇔ =
r
r
r r

1 1 2 2
a b a b a b 0⊥ ⇔ + =
r
r

B A B A
AB (x x ;y y )= − −
uuur

2 2
B A B A
AB AB (x x ) (y y )= = − + −
uuur

 Điểm chia đoạn thẳng theo 1 tỉ số k
1≠
:

A B
M
A B
M

x kx
x
1 k
MA kMB ,(k 1)
y ky
y
1 k
−

=

−
= ⇔ ≠

−
=
−

uuuur uuur
Trọng tâm tam giác :
G A B C
G A B C
1
x (x x x )
3
1
y (y y y )
3

= + +



= + +


 Phương trình tổng quát của đ/t:
2 2
0 0
A(x x ) B(y y ) 0, (A B 0)− + − = + ≠
VTPT :n (A : B),n 0= ≠
r
r r
VTCP:a ( B;A),a 0= − ≠
r
r r
P/T tham số :
{
0 1
0 2
x x a t
y y a t
= +
= +
P/t chính tắc :
2 2
0 0
1 2
1 2
x x y y
,(a a 0)

a a
− −
= + ≠
.
Vị trí tương đối giữa 2 đ/t :
1 1
: y C 0
1 1
A x+B∆ + =
;
2 2
: y C 0
2 2
A x+B∆ + =
.

1 1 1 1 1 1
x y
A B B C C A
D ;D ;D
C C A
2 2 2 2 2 2
A B B
= = =


1 2
c D 0¾t ∆ ∆ ⇔ ≠

1 2

0
// D 0 v
0
x
y
D
µ
D

≠
∆ ∆ ⇔ =

≠



1 2 x y
D D D 0∆ ≡ ∆ ⇔ = = =

P/t chùm đường thẳng :
2 2
1 1 1 2 2 2
(A x B y C ) (A x B y C ) 0,( 0)λ + + + µ + + = λ + µ ≠
Góc giữa 2 đường thẳng :
0 0
2
.
c ,(0 90 )
. n
1 2

1
n n
os =
n
ϕ ≤ ϕ ≤
r r
r
r
Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng :
0
0
2 2
By C
d(M ; )
A B
0
Ax + +
∆ =
+
Phương trình các đường phân giác:
1 1 1 2 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
A x B y C A x B y C
A B A B
+ + + +
= ±
+ +
Phương trình đường tròn tâm I(a;b) ,bán kính R:
2 2 2

(x a) (y b) R− + − =
Phương trình đường tròn tâm O(0;0) ,bán kính R:
2 2 2
x y R+ =
.
Phương tích của 1 điểm đối với 1 đường tròn :
0
2 2
M 0 0
P /(C) x y 2
0 0
Ax +2By +C= + +
.
Trục đẳng phương :
1 2 1 2 1 2
2(A A )x 2(B B )y C C 0− + − + − =
.
Phương trình chính tắc Elip :
2 2
2 2 2
2 2
x y
1, (a b c )
a b
+ = − =
Bán kính qua tiêu :
1 2
F M a F M aex , ex= + = −
Tâm sai :
c

e ,(e 1)
a
= <
.
Phương trình chính tắc Hypebol :
2 2
2 2 2
2 2
x y
1, (a b c )
a b
− = + =
Bán kính qua tiêu :
1 2
F M a F M a,(x 0)ex+ , ex­= = >


1 2
F M a F M a,(x 0)ex­ , ex+= − = − <
Parabol :
{ }
(P) M / d(M;F) d(M; )= = ∆
Phương trình chính tắcParabol :
2
y 2px=
. Bán kính qua tiêu:
p
FM x
2
= +

.
Các dạng khác:
2 2 2
y 2px ;x 2py;x 2py;(p 0)= − = − = − >

e 1:(C)l
d(M;F)
( ) M / e ;
d(M; )
µ elip
e=1:(C) lµ parabol
e>1: (C) lµ hypebol
<

 

= =
  
∆
 


£
Đường chuẩn của Elip(hoặc hypebol) :
a
x
e
= ±
P/t tiếp tuyến của Elip
2 2

2 2
x y
1
a b
+ =
tại điểm
0 0
M(x ;y ) (E)∈
:
0 0
2 2
x x y y
1
a b
+ =
P/ t tiếp tuyến của Hypebol
2 2
2 2
x y
1
a b
− =
tại điểm
0 0
M(x ;y ) (H)∈
:
0 0
2 2
x x y y
1

a b
− =
P/ t tiếp tuyến của Parabol
2
y 2px=
tại điểm
0 0
M(x ;y ) (P)∈
:
0 0
y y p(x x)= +
P/ t tiếp tuyến của Parabol
2
y 2px= −
tại điểm
0 0
M(x ;y ) (P)∈
:
0 0
y y p(x x)= − +
P/ t tiếp tuyến của Parabol
2
x 2py=
tại điểm
0 0
M(x ;y ) (P)∈
:
0 0
x x p(y y)= +
P/ t tiếp tuyến của Parabol

2
x 2py= −
tại điểm
0 0
M(x ;y ) (P)∈
:
0 0
x x p(y y)= − +
GV:NguyÔn §øc B¸- THPT TIỂU LA-THĂNG-BÌNH QN.

: Ax+By+C=0

2 2 2 2 2
2 2
y
t / 1 a A b B C ,(C 0)
a b
2 2
x
xúc (E) : + = + =

2 2 2 2 2
2 2
y
t / 1 a A b B C ,(C 0)
a b
2 2
x
xúc (H) : = =

2 2
t / y 2px B p 2ACxúc (P) : = =


2 2
t / y 2px B p 2ACxúc (P) : = =


2 2
t / 2py A p 2BCxúc (P) :x = =


2 2
t / 2py A p 2BCxúc (P) :x = =
.
PHNG PHP TO TRONG KHễNG GIAN:

1 2 3 1 2 3
a (a ;a ;a ) a a i a j a k= = + +
r r r
r r

M(x; y;z) OM i yj zk=x + +
uuuur
r r r
.
A B
M
A B
M

A B
M
x kx
x
1 k
y ky
MA kMB y ,(k 1)
1 k
z kz
z
1 k


=





= =





=



uuuur uuur

A B
M
A B
M
A B
M
x x
x
2
y y
MA MB y ,(k 1)
2
z z
z
2
+

=


+

= =


+

=

uuuur uuur

1 2 3 1 2 3
a (a ;a ;a );b (b ;b ;b )= =
r
r

a b ab 0 =
r r
r r

a.b a . b .cos ; =(a,b)=
r r
r
r r
r


1 1 2 2 3 3
a.b a b a b a b= + +
r
r

2 2 2
1 2 3
a a a a= + +
r

2 2 2

1 2 3
b b b b= + +
r
.


c
. b
ab
os =
a

r
r
r
r

2 2
B A B A
AB (x x ) (x x )= +

2 3 3 1
1 2
2 3 3 1
1 2
a a a a a a
a,b ; ;
b b b b
b b

=
ữ


r
r

a,b c a,b 0ù ng phư ơng

=

r r
r
r r
.
a,b a ; a,b b ; a,b a . b .sin ; (a,b)

= =

r r r r r r
r r r r r r
.

ABC
1
S AB,AC
2

=

V
uuur uuur

.c 0a,bvà c đồng phẳng a,b

=

r r
r
r r r
.

ABCD.A 'B'C'D'
V AB,AD .AA'

=

uuur uuur uuuur

T H
1
V V
6
ứ diện ình Hộp
=
GV:Nguyễn Đức Bá- THPT TIU LA THNG BèNH -QN.
Phương trình tổng quátcủa mặt phẳng :
0 0 0 0 0
2 2 2

( )qua M(x ;y ;z ), ) B(y y )C(z z ) 0
(A B C 0)
0
VTPT n=(A;B;C): A(x­x
α + − − =
+ + ≠
r
Phương trình tổng quát của mặt phẳng:
2 2
B C 0)
2
Ax+By+Cz+D=0 ;(A + + ≠
.
Các trường hợp riêng:

D 0: Ax+By+Cz=0=
:mp qua gốc O. 
A 0,B 0,C 0,D 0: By Cz D 0: mp// Ox= ≠ ≠ ≠ + + =

A 0,B 0,C 0,D 0: By Cz 0: mp Ox= ≠ ≠ = + = ⊃

B 0,A 0,C 0,D 0: Ax Cz D 0: mp// Oy= ≠ ≠ ≠ + + =

B 0,A 0,C 0,D 0: Ax Cz 0: mp Oy= ≠ ≠ = + = ⊃

C 0,A 0,B 0,D 0: Ax By D 0: mp// Oz= ≠ ≠ ≠ + + =

C 0,A 0,B 0,D 0: Ax By 0: mp Oz= ≠ ≠ = + = ⊃

Cz D 0: mp//(Oxy)+ =


z 0: mp(Oxy)=

Ax D 0: mp//(Oyz)+ =

x 0: mp(Oyz)=

By D 0: mp//(Oxz)+ =

y 0: mp(Oxz)=
Phương trình theo đoạn chắn :
x y z
1,(a 0,b 0,c 0).
a b c
+ + = ≠ ≠ ≠
Vị trí tương đối của 2 mp: 
( ) c¾t ( ) A:B:C A':B':C'α β ⇔ ≠

A B C D
( ) ( )
A' B' C' D'
α ≡ β ⇔ = = =

A B C D
( ) //( )
A' B' C' D'
α β ⇔ = = ≠
Chùm mp:
2
( ( 0)

2
Ax+By+Cz+D)+ A'x+B'y+C'z+D')=0,(λ µ λ + µ ≠
Phương trình tổng quát của đường thẳng :
{
,(A : B:C A': B': C')
Ax+By+Cz+D=0
A'x+B'y+C'z+D'=0
≠
Phương trình tham số của đường thẳng :
0 1
2 2 2
0 2
0 3
x x a t
y y a t ,(a b c 0)
z z a t
= +


= + + + ≠

= +


Phương trình chính tắc của đường thẳng :
2 2 2
0 0 0
1 2 3
1 2 3
x x y y z z

,(a a a 0)
a a a
− − −
= = + + ≠
Vị trí tương đối của 2 đt: 
[ ]
0
d v .M M' 0µ d' ®ång ph¼ng u,u
⇔ =
uuuuuur
r r
.

[ ]
'
0 0
.M M 0
d v
a : b :c a ': b': c'
u.u'
µ d' c¾t nhau

=

⇔

≠


uuuuuur

r r

[ ]
'
0 0
dche .M M 0o d' u,u'⇔ ≠
uuuuuur
r r
.

0 0 0
x ) : y ) : z )
' ' '
0 0 0
d//d' a : b : c = a' : b' : c' (x (y (z⇔ ≠ − − −
.

0 0 0
x ) : y ) : z )
' ' '
0 0 0
d d' a : b : c = a' : b' : c'=(x (y (z≡ ⇔ − − −
.
GV:NguyÔn §øc B¸- THPT TIỂU LA-THĂNG BÌNH QN.
Vị trí tương đối giữa đt và mp: d có VTCP
u (a;b;c)=
r
;
( )co VTPT n=(A;B;C)α
r

.

dcắt ( ) n.u 0
r r

d ( ) u cù ng phư ơng n a:b:c=A:B:C
r r
.

{ {
0 0 0
u n
d //( )
M ( ) By Cz D 0
0
Aa+Bb+Cc=0
Ax


+ + +
r
r
,(
0
M d
)

{ {
0 0 0 0
u n Aa Bb Cc 0

d ( )
M ( ) Ax By Cz D 0
+ + =

+ + + =
r
r
Khong cỏch t im n mp:
0 0
0
2 2 2
By Cz D
d(M ;( ))
A B C
0
Ax + + +
=
+ +
.
Khong cỏch t im nt:
0 1
1 0
M M ,u
d(M ; ) ,M
u


=
uuuuuur
r

r
.
Khong cỏch gia 2 ng thng chộo nhau:
[ ]
[ ]
0 0
u,u' .M M'
d( ; ')
u,u'
=
uuuuuuur
r r
r r
Gúc gia 2 ng thng :

0 0
c ,(0 90 )
. u '
.
2 2 2 2 2 2
u,u aa'+bb'+cc'
os =
u
a +b +c a' +b' +c'
=
r r
r r
.
Gúc gia 2 mt phng :

0 0
c ,(0 90 )
. n '
A .
2 2 2 2 2 2
n,n' AA'+BB'+CC'
os =
n
+B +C A' +B' +C'
=
r r
r
r
.
Gúc gia t v mt phng :

0 0
2 2 2 2 2 2
Aa Bb Cc
sin cos(n,u) ,(0 90 )
A B C . A' B' C'
+ +
= =
+ + + +
r
r

Phng trỡnh mt cu : Tõm I(a;b;c), bỏn kớnh R :
2 2 2 2
(x a) (y b) (z c) R + + =

.
Phng trỡnh mt cu : Tõm O, bỏn kớnh R :
2 2 2 2
x y z R+ + =
.
P/t mt cu : Tõm I(-A;-B;-C), bỏn kớnh R :
2 2 2
2 2 2
x y z 2 0
A B C D 0
Ax+2By+2Cz+D

+ + + =

+ + >


( ) ti )) Rêp xúc vớ i mặt cầu (S) tại H d(I;( =

P.Phỏp tỡm H:
Lp p/trỡnh ng thng

qua I v ,(VTCP
u VTPT n

=
r r
)
H =
( ) (S) d(I;( )) R = > .

( ) (S) (C) d(I;( )) R = <
:
P.Phỏp tỡm tõm H v bỏn kớnh r ca (C):
Lp p/trỡnh ng thng

qua I v ti H,(
VTCPu VTPTn

=
r r
)
H =

2 2
r R d (I;( ))=
; (IH=d)
GV:Nguyễn Đức Bá- THPT TIU LA-THNG BèNH QN.
O HM: