Một phương pháp điểm bất động giải bài toán chấp nhận tách

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐỖ THẾ ĐẠO

MỘT PHƯƠNG PHÁP ĐIỂM BẤT ĐỘNG GIẢI
BÀI TOÁN CHẤP NHẬN TÁCH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2015


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐỖ THẾ ĐẠO

MỘT PHƯƠNG PHÁP ĐIỂM BẤT ĐỘNG GIẢI
BÀI TOÁN CHẤP NHẬN TÁCH

Chuyên ngành: Phương pháp Toán ứng dụng
Mã số:

60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TSKH. LÊ DŨNG MƯU

Thái Nguyên - 2015


i

Mục lục

Lời cam đoan

ii

Lời cảm ơn

iii

Danh sách ký hiệu

iv

Mở đầu

1

1

Điểm bất động của ánh xạ không giãn

3

1.1

Không gian Hilbert thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Tập lồi, hàm lồi và dưới vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.3

Điểm bất động của ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.4

Thuật toán Mann, Halpern tính điểm bất động của ánh xạ không giãn

11

1.5

Toán tử chiếu trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2

Bài toán chấp nhận tách

15

2.1

Bài toán bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.2

Bài toán chấp nhận tách (Split feasibility problem) . . . . . . . . . .

18

Kết luận

41

Tài liệu tham khảo

42


ii

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan rằng nội dung bản luận văn đã được tổng hợp từ các tài liệu
nêu trong phần tài liệu tham khảo theo chủ đề của đề tài. Tôi cũng xin cam đoan bản
luận văn không phải là sự sao chép của bất kì tài liệu nào đã có.

Thái Nguyên, ngày 01 tháng 12 năm 2015
Học viên

Đỗ Thế Đạo


iii

Lời cảm ơn
Để hoàn thành luận văn một cách hoàn chỉnh, tôi luôn nhận được sự hướng dẫn
và giúp đỡ nhiệt tình của GS.TSKH. Lê Dũng Mưu (viện Toán học).Tôi xin chân
thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy và những điều thầy đã giành cho tôi.
Tôi xin cảm ơn ban lãnh đạo phòng sau Đại học, các quý thầy cô giảng dạy lớp Cao
học K7Y (2014-2016) Trường Đại học Khoa học- Đại học Thái Nguyên đã tận tình
truyền đạt những kiến thức quý báu cũng như tạo điều kiện cho tôi hoàn thành khóa
học.
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới gia đình, bạn bè, những người đã luôn
động viên, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và thực
hiện luận văn này.
Xin trân trọng cảm ơn!

Thái Nguyên, 2015

Đỗ Thế Đạo
Học viên Cao học Toán K7Y,
Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Nguyên

iv

Danh sách ký hiệu
R

không gian số thực

H

không gian Hilbert thực

X∗

không gian đối ngẫu của X

domf

miền hữu hiệu của f

epif

trên đồ thị f

V IP (Ω, F )

bài toán V IP với ánh xạ F trên tập Ω

Sol(Ω, F )

tập nghiệm của bài toán V IP

∂f (xo )

dưới vi phân của f tại xo

∇f (x)

đạo hàm của hàm số f tại x

NC (x)

nón pháp tuyến tại điểm x trên tập C

dC (x)

khoảng cách từ điểm x đến tập C

PC (x)

phép chiếu khoảng cách của điểm x lên tập C

F ix(S)

tập điểm bất động của ánh xạ S

x, y

tích vô hướng của hai vectơ x và y

x

chuẩn của vectơ x

xn → x

dãy {xn } hội tụ mạnh tới x

xn

dãy {xn } hội tụ yếu tới x

x

x := y

x được gán bằng y

∀x

mọi x

∃x

tồn tại x

∅

tập rỗng

I

ánh xạ đơn vị


1

Mở đầu
Chúng ta xét bài toán sau:
Cho C1 , Q1 là hai tập lồi, đóng sao cho ∅ = C1 ⊆ H1 , ∅ = Q1 ⊆ H2 với H1 , H2 là
hai không gian Hilbert. Bài toán đặt ra là:
Tìm x∗ ∈ C1 : Ax∗ ∈ Q1
trong đó A : H1 → H2 là một toán tử tuyến tính liên tục (bị chặn).
Với những tập C1 và Q1 khác nhau, ta có các bài toán chấp nhận tách khác nhau.
Bài toán này có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau và gần đây đang được
quan tâm nghiên cứu. Một trường hợp thường được xét là khi C1 và Q1 là tập điểm
bất động của các ánh xạ không giãn.
Mục đích của luận văn là tìm hiểu một phương pháp giải bài toán này dựa theo
phương pháp điểm bất động của ánh xạ không giãn.
Nội dung của luận văn gồm hai chương:
Chương 1: Điểm bất động của ánh xạ không giãn.
Trong chương này chúng ta nghiên cứu các định lí về điểm bất động của ánh xạ
không giãn, nhắc lại một số kiến thức cơ bản như: Không gian Hilbert thực, tập lồi,
hàm lồi, dưới vi phân, ánh xạ không giãn, phương pháp lặp Mann và Halpern tìm
điểm bất động của ánh xạ không giãn, toán tử chiếu trong không gian Hilbert...
Chương 2: Tiếp cận điểm bất động giải bài toán chấp nhận tách.
Trong chương này phát biểu bài toán chấp nhận tách, bài toán bất đẳng thức biến
phân trên tập nghiệm của bài toán chấp nhận tách. Trình bày một thuật toán giải bài
toán chấp nhận tách dựa trên tiếp cận điểm bất động của ánh xạ không giãn.

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, dưới


2
sự hướng dẫn tận tình và chu đáo của thầy giáo GS.TSKH. Lê Dũng Mưu. Tôi xin
được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến người thầy, người đã chỉ dạy những kiến
thức, những kinh nghiệm trong học tập, nghiên cứa khoa học.
Nhân dịp này tôi cũng xin cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán, khoa sau Đại
học cùng các bạn trong lớp Cao học Toán khóa học 2014 -2016 đã thường xuyên
quan tâm, tạo điều kiện thuận lợi giúp tôi hoàn thành luận văn.
Mặc dù có nhiều cố gắng, song chắc chắn luận văn vẫn còn nhiều thiếu sót. Tôi mong
nhận được những đóng góp quý báu của thầy cô giáo và các bạn để luận văn ngày
càng hoàn thiện hơn.

Thái Nguyên, ngày 01 tháng 12 năm 2015
Đỗ Thế Đạo
Học viên Cao học Toán lớp Y, khóa 02/2014-02/2016
Chuyên ngành Toán ứng dụng
Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên
Email:


3

Chương 1

Điểm bất động của ánh xạ không giãn
Chương này chúng ta nghiên cứu các định lý về điểm bất động của ánh xạ không
giãn. Dưới đây ta chúng nhắc lại một số kiến thức cơ bản như: Không gian Hilbert
thực, tập lồi, hàm lồi, dưới vi phân, ánh xạ không giãn, phương pháp lặp Mann và

Halpern tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn, toán tử chiếu trong không gian
Hilbert... Các kiến thức trong chương này được lấy trong các tài liệu [1], [2], [3], [4].

1.1

Không gian Hilbert thực

Định nghĩa 1.1. Cho H là một không gian tuyến tính trên trường R. Hàm số
.,. : H × H → R
được gọi là một tích vô hướng trên H nếu nó thoả mãn đồng thời các tính chất sau
a) y, x = x, y , ∀x, y ∈ H;
b) x + y, z = x, z + y, z , ∀x, y, z ∈ H;
c) λx, y = λ x, y , ∀x, y ∈ H, ∀λ ∈ R;
d) x, x ≥ 0, ∀x ∈ H, x, x = 0 ⇒ x = 0.
Không gian H được trang bị một tích vô hướng .,. được gọi là không gian unita hay
không gian tiền Hilbert thực.
Định lí 1.1. Nếu (H, .,. ) là một không gian unita thì hàm số
||x|| =
là một chuẩn trên H.

x, x , ∀x ∈ H


4
Vậy không gian unita là một không gian tuyến tính định chuẩn.
Định nghĩa 1.2. Không gian unita đầy đủ được gọi là không gian Hilbert thực.
Định lí 1.2. (Đẳng thức hình bình hành).
Nếu H là một không gian unita thì ||x+y||2 +||x−y||2 = 2(||x||2 +||y||2 ), ∀x, y ∈ H.
Định lí 1.3. ( Định lý Riesz). Giả sử H là một không gian Hilbert. Khi đó
a) Với mỗi phần tử y thuộc H, phiếm hàm x∗ xác định bởi x∗ (x) = x, y , x ∈ H là

tuyến tính liên tục và ||x∗ || = ||y||.
b) Ngược lại, nếu x∗ là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên H thì tồn tại duy nhất
một phần tử y của H sao cho x∗ (x) = x, y , x ∈ H.
Định lí 1.4. Không gian Hilbert là không gian phản xạ.

1.2

Tập lồi, hàm lồi và dưới vi phân

Định nghĩa 1.3. Một tập C ⊆ H được gọi là tập lồi nếu
∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C.
Định nghĩa 1.4. Một tập C ⊆ H được gọi là nón nếu
∀x ∈ C, ∀λ > 0 ⇒ λx ∈ C.
Một nón được gọi là nón lồi nếu nó đồng thời là một tập lồi.
Như vậy, một tập lồi C là nón lồi khi và chỉ khi nó có các tính chất sau:
i) λC ⊆ C, λ > 0.
ii) C + C ⊆ C.
Tập C ⊆ H dưới đây ta luôn giả thiết C là tập lồi (nếu không giải thích gì thêm).
Định nghĩa 1.5. Cho x ∈ C , nón pháp tuyến ngoài của C tại x, kí hiệu là
NC (x) := {w ∈ H : w, y − x ≤ 0, y ∈ C} .
Cho C ⊆ H và f : H → 2H ta kí hiệu


5
epif := {(x, µ) ∈ H × H|f (x) < µ}
domf := {x ∈ H|f (x) < +∞}
Tập epif được gọi là trên đồ thị của hàm f .
Tập domf được gọi là miền hữu hiệu của f .
Hàm f được gọi là chính thường nếu domf = ∅ và f (x) > −∞, ∀x ∈ C.

Định nghĩa 1.6. Cho hàm f : H → R ∪ {+∞} , C ⊆ H. Khi đó hàm f được gọi là
i) lồi trên C nếu
f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ C, λ ∈ [0, 1].
ii) lồi chặt trên C nếu
f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ C, x = y, λ ∈ (0, 1).
iii) lồi mạnh với hệ số β > 0 trên C nếu với mọi x, y ∈ C, λ ∈ (0, 1) ta có
f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y) − λ(1 − λ)β||x − y||2 .
Định nghĩa 1.7. Giả sử f : H → R ∪ {+∞} là hàm lồi trên tập C ⊆ H ta định
nghĩa dưới vi phân của hàm lồi như sau:
Véctơ w ∈ H được gọi là dưới đạo hàm (gradient) của f tại xo ∈ C ⊆ H nếu
w, x − xo + f (xo ) ≤ f (x), ∀x ∈ C.
Tập tất cả các dưới đạo hàm (gradient) của hàm f tại xo được gọi là dưới vi phân
của f tại xo , kí hiệu là ∂f (xo ) tức là
∂f (xo ) := {w ∈ H : w, x − xo + f (xo ) ≤ f (x), ∀x ∈ C} .
Hàm f được gọi là khả dưới vi phân tại xo nếu ∂f (xo ) = ∅


6

1.3

Điểm bất động của ánh xạ không giãn

Định nghĩa 1.8. Giả sử (M,d) là một không gian mêtric và D ⊆ M . Một ánh xạ
T : D → M được gọi là ánh xạ không giãn nếu
||T x − T y|| ≤ ||x − y||, ∀x, y ∈ D.
Hiển nhiên, các ánh xạ co, các phép đẳng cự đều là những ánh xạ không giãn.
Ví dụ 1.1. Cho ánh xạ T x = x + 1 với x ∈ R. Rõ ràng T là một phép đẳng cự từ
R vào R nhưng T không có điểm bất động. Như vậy các ánh xạ không giãn có thể
không có điểm bất động và nếu chúng có điểm bất động thì điểm đó không nhất thiết

là duy nhất (chẳng hạn, ánh xạ đồng nhất).
Ví dụ 1.2. Phép tịnh tiến trên đường thẳng thực, phép quay của đường tròn đơn vị
trên mặt phẳng quanh gốc tọa độ là những ví dụ về ánh xạ không giãn mà không có
điểm bất động.
Nguyên lý Banach phát biểu cho ánh xạ co trong một không gian mêtric đầy đủ
tuỳ ý. Cho không gian một cấu trúc phức tạp hơn ta có thể nới lỏng tính co của ánh
xạ thành tính không giãn, tất nhiên tính duy nhất của điểm bất động không thể bảo
toàn. Trong mục này chúng ta xét không gian Hilbert thực, ta có mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.1. Cho H là một không gian Hilbert thực, và giả sử u, v là hai phần tử
của H. Nếu có một phần tử x ∈ H sao cho
||x − u|| ≤ R, ||x − v|| ≤ R
và
||x −

u+v
|| ≥ r
2

thì
√
||u − v|| ≤ 2 R2 − r2 .


7
Chứng minh. Theo quy tắc hình bình hành ta có
||u − v||2 = ||(x − v) − (x − u)||2
= 2||x − v||2 + 2||x − u||2 − ||(x − v) + (x − u)||2
u+v
||
= 2||x − v||2 + 2||x − u||2 − 4||x −

2
do đó
||u − v||2 ≤ 4R2 − 4r2 .
Như vậy,
√
||u − v|| ≤ 2 R2 − r2 .

Ta áp dụng mệnh đề này đi nghiên cứu ánh xạ không giãn trên các tập bị chặn:

Bổ đề 1.1. Cho C ⊆ H là một tập bị chặn và giả sử F : C → C là ánh xạ không
x+y
giãn. Giả sử x, y và a =
đều thuộc vào C. Nếu
2
||x − F (x)|| ≤ ε, ||y − F (y)|| ≤ ε
thì
√
||a − F (a)|| ≤ 2 2δ(C) ε,
trong đó δ(C) = diamC = sup {||x − y||, ∀x, y ∈ C} .
Chứng minh. Vì
a + F (a)
a + F (a)
− y−
2
2
a + F (a)
a + F (a)
≤ x−
+ y−
2

2

||x − y|| =

x−

nên ít nhất một trong các số hạng ở vế phải, giả sử đó là số hạng đầu phải thỏa mãn
x−

a + F (a)
2

≥

1
||x − y||
2


8
Ta có ||x − a|| = x −

x+y
2

=

1
||x − y|| và
2

||x − F (a)|| = ||(x − F (x)) + (F (x) − F (a))|| ≤ ||x − F (x)|| + ||F (x) − F (a)||
≤ ε + ||x − a|| = ε +

1
||x − y||
2

Theo Mệnh đề (1.1), ta được
1
ε + ||x − y||
2

2

1
||x − y||
a − F (a) ≤ 2
−
2
√
= 2 ε2 + ε||x − y|| = 2 ε + ||x − y|| ε.

2

Do x, y ∈ C nên ||x − y|| ≤ δ(C). Ta chọn ε không vượt quá δ(C), vì thế
√
||a − F (a)|| ≤ 2 2δ(C) ε.

Định lí 1.5. (Browder -G¨ohde-Kirk). Cho C là một tập khác rỗng, lồi đóng, bị chặn

trong không gian Hilbert thực. Khi đó mỗi ánh xạ không giãn F : C → C có ít nhất
một điểm bất động.
Chứng minh. Không mất tính tổng quát, ta giả sử 0 ∈ C. Với mỗi số nguyên n =
1
2, 3, ... Đặt Fn = 1 −
F, do C lồi và chứa gốc nên Fn : C → C. . Ta có F là
n
1
ánh xạ không giãn nên ||F (x) − F (y)|| ≤ ||x − y||, vì 1 −
≤ 1 với n = 2, 3, ...
n
nên mỗi ánh xạ Fn : C → C là ánh xạ co. Theo nguyên lý ánh xạ co Banach, tồn tại
xn sao cho Fn (xn ) = xn . Khi đó
||xn − F (xn )|| = ||Fn (xn ) − F (xn )||
=

1−

1
F (xn ) − F (xn )
n

1
||F (xn )||
n
1
≤ δ(C).
n

=

9
1
δ(C) , ta có Q2 ⊃ Q3 ⊃ ...là
n
dãy giảm của các tập đóng và Qn khác rỗng (vì xn ∈ Qn ).
1
Ta thấy rằng nếu x, y ∈ Q8n2 thì ||x − F (x)|| ≤ 2 δ(C) với x ∈ C,
8n
1
||y − F (y)|| ≤ 2 δ(C) với y ∈ C
8n
Với mỗi n ≥ 2, xét Qn =

x ∈ C : ||x − F (x)|| ≤

Theo Bổ đề (1.1), ta được
δ(C)
1
=
δ(C).
8n2
n

||a − F (a)|| ≤ 2 2δ(C)
nên
a=

x+y

∈ Qn .
2

Đặt dn = inf {||x|| :∈ Qn } . Vì Qn là dãy giảm nên d2 ≤ d3 ≤ ... là dãy các số thực
không giảm, bị chặn bởi δ(C), hội tụ đến một số d nào đó. Ta xét
An = Q8n2 ∩ B 0, d +
=

1
n

x ∈ C : ||x − F (x)|| ≤

1
1
δ(C) ∩ x ∈ C : ||x|| ≤ d +
2
8n
n

,

khi đó An là dãy giảm của các tập đóng, khác rỗng. Ta tìm đường kính của An nếu
1
1
x, y ∈ An thì ||0 − x|| ≤ d + , ||0 − y|| ≤ d +
n
n
x+y
và ta thấy rằng 0 −

≥ dn .
2
Theo Mệnh đề (1.1), ta tìm được
1
d+
n

||x − y|| ≤ 2

2

− dn

= 2 2dn−1 + n−2 + (d2 − dn 2 )
Số hạng ở vế phải là chặn trên của δ(An ) và khi n → ∞ thì δ(An ) → ∞.
Theo định lý Cantor, có một xo ∈
vì thế

An suy ra xo ∈
n

||xo − F (xo )|| ≤
Do đó

Q8n2 ,
n

δ(C)
, ∀n.
8n2

10
||xo − F (xo )|| = 0 (vì n → ∞ thì

δ(C)
→ 0).
8n2

Như vậy F (xo ) = xo .
Định lí 1.6. (Điểm bất động ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert thực). Cho
C là tập con lồi, đóng, không rỗng của không gian Hilbert H. Ánh xạ T : C → C
không giãn. Các mệnh đề sau tương đương:
(i) Tập F(T) các điểm bất động của ánh xạ T không rỗng.
(ii) Với mọi x ∈ C, dãy {T n x} bị chặn.
Hơn nữa, trong trường hợp này F(T) là tập lồi, đóng.
Chứng minh. (i) ⇒ (ii) : Do F (T ) không rỗng nên tồn tại u ∈ F (T ). Khi đó u = T u
kéo theo {u} = (T u). Do đó ta có (ii).
(ii) ⇒ (i) : Với mọi x ∈ C, y ∈ C, do T không giãn nên
0 ≤ T kx − y

2

− T k+1 x − T y

= T kx − T y + T y − y

2

− T k+1 x − T y

2

Kéo theo
0 ≤ T kx − T y
Đặt Sn x =
0≤

2

− T k+1 x − T y

2

2

+ ||T y − y|| + 2 T k x − T y; T y − y

1 n−1 k
T x cộng theo vế bất đẳng thức trên ta được
n k=0

1
1
2
||x − T y||2 + 2(Sn x − T y; T y − y) + ||T y − y||2 − ||T n x − T y||
n
n

Do {T n x} bị chặn nên {Sn x} bị chặn. Lại có {Sn x} là dãy trong C mà C là tập lồi

đóng của không gian Hilbert H nên {Sn x} là tập con compact yếu . Do đó {Sn x} có
dãy con {Sn1 x} hội tụ yếu về phần tử p ∈ C. Vì vậy, ta có
0 ≤ 2(p − T y; T y − y) + ||T y − y||2 ,
chọn y = p ta được
0 ≤ 2(p − T p; T p − p) + ||T p − p||2 .


11
Kéo theo ||T p − p||2 ≤ 0, hay T p = p hay p ∈ F (T ) hay F (T ) = Ø
Tiếp theo ta chứng minh F (T ) là tập lồi, đóng. Rõ ràng F (T ) là tập đóng.
Với
x, y ∈ F (T ); 0 ≤ λ ≤ 1,
đặt z = λx + (1 − λ)y, giả sử T z = z, theo đẳng thức hình bình hành, ta có
z + Tz
−x
2

2

1
1
1
+ ||z − T z||2 = ||z − x||2 + ||T z − x||2
4
2
2
≤ ||z − x||2 .

Do T là ánh xạ không giãn nên
z + Tz

−y
2

2

1
≤ ||z − x||2 − ||z − T z||2 < ||z − x||2 .
4

(1.1)

1
≤ ||z − y||2 − ||z − T z||2 < ||z − y||2 .
4

(1.2)

Tương tự ta cũng có
z + Tz
−y
2

2

Từ (1.1) và (1.2) suy ra
||x − y|| ≤

z + Tz
z + Tz
−x +

−y
2
2

< ||z − x|| + ||z − y||
≤ ||x − y||.
Điều này vô lý, do vậy T z = z hay z ∈ F (T ) hay F (T ) là tập lồi.
Hệ quả 1.1. (Suy ra trực tiếp từ định lý 1.6) Cho C là tập con lồi, đóng, bị chặn
trong không gian Hilbert thực H. Ánh xạ T : C → C không giãn. Khi đó T có một
điểm bất động trong C.

1.4

Thuật toán Mann, Halpern tính điểm bất động của
ánh xạ không giãn

Trước tiên chúng tôi xin trình bày một số định nghĩa.


12
Định nghĩa 1.9. Cho C là tập con, lồi, khác rỗng, của không gian tuyến tính X và
T : C → C. Cho {αn } là dãy không âm thỏa mãn điều kiện
∞

0 ≤ αn < 1 với mọi n ∈ N,

αn = ∞
n=1

Định nghĩa {xn } như sau



x0 ∈ C

(1.3)


xn+1 = M (xn , αn , T ), n ∈ N
trong đó M (xn , αn , T ) = (1 − αn )xn + αT xn . Khi đó dãy {xn } được gọi là dãy lặp
Mann.
Như đã biết dãy lặp Mann xác định bởi công thức (1.3) hội tụ yếu đến điểm bất
động của ánh xạ T .
Định nghĩa 1.10. Cho C là tập con, lồi, khác rỗng, của không gian Hilbert H và
T : C → C là một ánh xạ không giãn. Với bất kỳ x0 ∈ C ta định nghĩa dãy
{xn } ⊂ C như sau
xn+1 = αn u + (1 − αn )T (xn ), n ≥ 0

(1.4)

trong đó u, x0 ∈ C, {xn } ⊂ (0, 1).
Khi đó {xn } gọi là dãy lặp Halpern.
Halpern đã chứng minh được rằng nếu αn−α , α ∈ (0, 1) thì dãy {xn } xác định bởi
(1.4) hội tụ về điểm bất động của ánh xạ T .
Định nghĩa 1.11. Cho H là không gian Hilbert thực, C là tập con, lồi, đóng, khác
rỗng của H, T : C → H là một ánh xạ không giãn. Với x0 bất kỳ, định nghĩa phương


13
pháp lặp Mann- Halpern cải biên như sau:





x0 ∈ H







zn = αn PC (xn ) + (1 − α)PC T PC (xn );






yn = βn x0 + (1 − β)PC T zn ;



Hn = z ∈ H : ||yn − z||2 ≤ ||xn − z||2 + βn (||x0 ||2 + 2 xn − x0 , z ) ;








Wn = {z ∈ H : xn − z, x0 − xn ≥ 0} ;






xn+1 = PHn ∩Wn (x0 ), n ≥ 0.
Sau đây chúng tôi trình bày phương pháp lặp Mann-Halpern cải biên tìm điểm
bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert.
Định lí 1.7. Cho C là tập con, lồi, khác rỗng, của không gian Hilbert thực H và
T : C → C là một ánh xạ không giãn sao cho F (T ) = ∅. Giả sử {αn } và {βn } là
các dãy số trong [0,1] thỏa mãn αn → 1 và βn → 0. Khi đó, dãy {xn } , {yn } và
{zn } được định nghĩa bởi Định nghĩa 1.11 hội tụ mạnh tới điểm uo = PF (T ) (xo ) khi
n → ∞.
Hệ quả 1.2. Cho C là tập con, lồi, khác rỗng, của không gian Hilbert thực H và
T : C → C là một ánh xạ không giãn sao cho F (T ) = ∅. Giả sử {βn } là các dãy số
trong [0,1] thỏa mãn βn → 0. Khi đó, dãy {xn } , {yn } được định nghĩa bởi



x0 ∈ H









yn = βn x0 + (1 − βn )PC T PC (xn );



Hn = z ∈ H : ||yn − z||2 ≤ ||xn − z||2 + βn (||x0 ||2 + 2 xn − z, z ) ;






Wn = {z ∈ H : xn − z, x0 − xn ≥ 0} ;






xn+1 = PH ∩W (x0 ), n ≥ 0,
n
n
hội tụ mạnh tới điểm uo = PF (T ) (xo ) khi n → ∞.
Hệ quả 1.3. Cho C là tập con, lồi, khác rỗng, của không gian Hilbert thực H và
T : C → C là một ánh xạ không giãn sao cho F (T ) = ∅. Giả sử {αn } là các dãy số


14
trong [0,1] thỏa mãn αn → 0. Khi đó, dãy {xn } , {yn } được định nghĩa bởi




x0 ∈ H








yn = PC T (αn PC (xn ) + (1 − αn )PC T PC (xn ));



Hn = {z ∈ H : ||yn − z|| ≤ ||xn − z||} ;






Wn = {z ∈ H : xn − z, x0 − xn ≥ 0} ;






xn+1 = PH ∩W (x0 ), n ≥ 0,
n

n

hội tụ mạnh tới điểm uo = PF (T ) (xo ) khi n → ∞.

1.5

Toán tử chiếu trong không gian Hilbert

Định nghĩa 1.12. Cho C ⊂ H khác rỗng. với x ∈ H, ta đặt
dC (x) := inf ||x − y||
x∈C

và gọi dC (x) là khoảng cách từ x đến C.
Nếu tồn tại x∗ ∈ C sao cho dC (x) := ||x − x∗ || thì x∗ gọi là hình chiếu của metric
của x trên C, ký hiệu x∗ := PC (x).
Định lí 1.8. Cho C ⊂ H là tập lồi đóng khác rỗng. Khi đó
a) Với mọi x ∈ H, hình chiếu x∗ của x trên C luôn tồn tại duy nhất và
x∗ = PC (x) ⇔ x − x∗ , y − x∗ ≤ 0, ∀y ∈ C ⇔ x − x∗ ∈ NC (x∗ )
b) Ánh xạ PC : H → C có các tính chất sau
i)||PC (x) − PC (y)|| ≤ ||x − y||, ∀x, y (tính không giãn)
ii)||PC (x) − PC (y)||2 ≤ PC (x) − PC (y), x − y , ∀x, y (tính đồng bức).
Tính hình chiếu của một điểm lên một tập lồi, đóng bất kỳ là một vấn đề khó.
Tuy nhiên trong một số trường hợp ví dụ như khi tập lồi đóng là đa diện được cho
dưới dạng bất đẳng thức tuyến tính thì hình chiếu có thể tính được theo các chương
trình có sẵn trong phần mềm MALAB. Thậm chí khi tập lồi đóng là hình cầu, hình
hộp hay siêu phẳng thì có công thức hiển đế tính hình chiếu.


15

Chương 2

Bài toán chấp nhận tách
Trong chương này phát biểu bài toán chấp nhận tách, bài toán bất đẳng thức biến
phân trên tập nghiệm của bài toán chấp nhận tách. Trình bày một thuật toán giải bài
toán chấp nhận tách dựa trên tiếp cận điểm bất động của ánh xạ không giãn. Các kiến
thức được lấy từ các tài liệu [3], [5].

2.1

Bài toán bất đẳng thức biến phân

Trước khi xét bài toán bất đẳng thức biến phân ta xét một số định nghĩa về toán
tử đơn điệu.
Định nghĩa 2.1. Ánh xạ F từ không gian X vào không gian Y là đơn trị nếu ứng với
mỗi phần tử x ∈ X, xác định duy nhất một phần từ F (x) = y ∈ Y và ta thường kí
hiệu là:
F : X → Y.
Định nghĩa 2.2. Ánh xạ F từ không gian X vào không gian Y là đa trị nếu ứng với
mỗi phần tử x ∈ X, thì F(x) là một tập con của không gian Y (có thể là tập rỗng) và
ta thường kí hiệu là:
F : X → 2Y .
Hiển nhiên ánh xạ đơn trị là một trường hợp riêng của ánh xạ đa trị.
Định nghĩa 2.3. Toán tử đơn trị T : H → H được gọi là toán tử đơn điệu trên Hnếu


16
T (x) − T (y), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ H.
Ví dụ 2.1. Cho toán tử T đơn trị xác định trên tập R như sau

T (x) = x, ∀x ∈ R.
Khi đó, T là toán tử đơn điệu vì với mọi x, y ∈ R ta có
T (x) − T (y), x − y = x − y, x − y
= (x − y)2 ≥ 0.
Định nghĩa 2.4. Toán tử đa trị T : H → 2H được gọi là toán tử đơn điệu nếu
u − v, x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ domT, ∀u ∈ T (x), ∀v ∈ T (y),
trong đó, domT = {z ∈ H : T (z) = ∅} .
Ví dụ 2.2. cho hàm lồi f : H → [−∞, +∞], khi đó ánh xạ dưới vi phân
T = ∂f : H → H
của f là toán tử đa trị đơn điệu.
Chứng minh. Với mọi x, y ∈ domT, u ∈ T (x), v ∈ T (y), ta cần chứng minh rằng:

u − v, x − y ≥ 0.
Thật vậy, theo định nghĩa dưới vi phân của hàm lồi, ta có u ∈ T (x) = ∂f (x) khi và
chỉ khi:

f (z) − f (x) ≥ v, z − x , ∀z ∈ H.
Thay z = y ta có:
f (y) − f (x) ≥ u, y − x ⇔ f (y) − f (x) ≥ − u, x − y
Tương tự, v ∈ T (y) = ∂f (y) khi và chỉ khi:

(2.1)


17
f (z) − f (y) ≥ v, z − y , ∀z ∈ H.
Thay z = x ta có:
f (x) − f (y) ≥ v, x − y

(2.2)

Cộng hai bất đẳng thức (2.1) và (2.2), ta được
v, x − y − u, x − y ≤ 0 ⇔ v − u, x − y ≤ 0
hay
u − v, x − y ≥ 0
Vậy T = ∂f là toán tử đơn điệu.

Định nghĩa 2.5. Toán tử đa trị T : H → 2H được gọi là đơn điệu chặt nếu
u − v, x − y > 0, ∀x, y ∈ domT, x = y, ∀u ∈ T (x), ∀v ∈ T (y).
Định nghĩa 2.6. Toán tử đa trị T : H → 2H được gọi là đơn điệu mạnh nếu với
hằng số α ∈ R, α > 0, ∀x, y ∈ domT, ∀u ∈ T (x), ∀v ∈ T (y), ta có
u − v, x − y ≥ α||x − y||2 .
Sau đây là bài toán bất đẳng thức biến phân.
Phát biểu bài toán
Cho C là một tập lồi, đóng, khác rỗng trong H và F : H → H là một ánh xạ đơn
trị. Khi đó bài toán bất đẳng thức biến phân phát biểu như sau:
Tìm x∗ ∈ C : F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ C.

(V IP )

Bài toán bất đẳng thức biến phân (V IP ) có quan hệ mật thiết với nhiều bài toán
khác của giải tích phi tuyến như: Bài toán bù phi tuyến, bài toán điểm bất động, bài
toán quy hoạch lồi,... Ngoài ra, còn có nhiều ứng dụng trong thực tế như: Bài toán
xác định phương án sản xuất, bài toán cân bằng mạng giao thông,...
Dưới đây ta xét một trường hợp riêng điển hình của bài toán bất đẳng thức biến phân.


18
Bài toán điểm bất động Brouwer
Cho C là tập tùy ý lồi, đóng trong không gian Hilbert H và T : C → C là ánh xạ

đơn trị. Bài toán điểm bất động của ánh xạ đơn trị F được phát biểu như sau
Tìm
x∗ ∈ C : x∗ = T (x∗ ).
Sau đây là một số định lí về sự tồn tại nghiệm.
Định lí 2.1. Cho C là một tập lồi, đóng của không gian H, cho F : C → H thỏa
mãn F là nửa liên tục trên. Giả sử rằng một trong các điều kiện sau đây đúng:
i) C là tập compact.
ii) Điều kiện bức: Tồn tại một tập con U = ∅, compact của C sao cho với mọi
x ∈ C\U , tồn tại y ∈ U thỏa mãn
F (x), x − y > 0.
Khi đó, bài toán (VIP) có nghiệm.
Định lí 2.2. Cho ánh xạ đơn trị F : C ⊆ H → H
i) Nếu F là đơn điệu chặt trên C thì bài toán bất đẳng thức biến phân (VIP), nếu có
nghiệm, thì nghiệm là duy nhất.
ii) Nếu F là đơn điệu mạnh trên C thì bài toán bất đẳng thức biến phân (VIP) luôn
có duy nhất một nghiệm.

2.2

Bài toán chấp nhận tách (Split feasibility problem)

Chúng ta xét bài toán sau:
Cho C1 , Q1 là hai tập lồi, đóng sao cho ∅ = C1 ⊆ H1 , ∅ = Q1 ⊆ H2 với H1 , H2 là
hai không gian Hilbert. Bài toán đặt ra là:
Tìm x∗ ∈ C1 : Ax∗ ∈ Q1


19
trong đó A : H1 → H2 là một toán tử tuyến tính liên tục (bị chặn).
Với những tập C1 và Q1 khác nhau, ta có các bài toán chấp nhận tách khác nhau.

Một trường hợp thường được xét là khi C1 và Q1 là tập điểm bất động của các ánh
xạ không giãn.
Ví dụ 2.3. Giả sử có ba công ty cùng sản xuất một loại hàng hóa. Gọi xj (j = 1, 2, 3)
là số lượng hàng được sản xuất bởi công ty j, Aj = [αj ; βj ](j = 1, 2, 3) là miền giới
hạn lượng hàng hóa của công ty j. Tức là số lượng
xj ∈ Aj = [αj ; βj ](j = 1, 2, 3)

(2.3)

Giả sử khi sản xuất hàng hóa này các công cần đến hai loại nguyên vật liệu. Gọi
aij là số lượng vật liệu thứ i (i=1,2) để sản xuất một đơn vị hàng hóa của công ty j
(j=1,2,3).
Vậy để sản xuất x1 , x2 , x3 hàng hóa thì tổng số vật liệu i (i=1,2) là:
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 ≤ b1 ; a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 ≤ b2

(2.4)

Bài toán tìm phương án sản xuất cho mỗi công ty để bảo đảm điều kiện (2.3) và bảo
đảm điều kiện (2.4).
Nếu ta đặt

C1 = A1 × A2 × A3


a11 a12 a13

A = (aij ) = 
a21 a22 a23
∗ ∗ ∗
Điều kiện (2.3) có nghĩa là tìm x∗ = (x

1 , x2 , x
3 ) ∈ C1


Điều kiện (2.4) có nghĩa là Ax∗ ≤ b = 

b1
b2



Vậy
Q1 := y ∈ R2 : 0 ≤ y ≤ b