Giáo án ĐS> 11 Cb Xịn luôn

Tổ Toán – Trường THPT Châu Thành ĐS & GT 11-CƠ BẢN
Chương IV: GIỚI HẠN
Tiết 49-50-51:
§ 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
I.MỤC ĐÍCH YÊU CẦU
1.Kiến thức:
- Nắm được đònh nghóa dãy số có giới hạn là 1 số hữu hạn và dãy số có giới hạn là vô
cực. Ghi nhớ một số giới hạn đặc biệt.
- Nắm được đònh lý về giới hạn hữu hạn để tính c1c giới hạn thường gặp.
- Nắm được công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.
2.Kỹ năng:
- Tính được giới hạn của các dãy số thường gặp.
- Tính được tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.
3.Tư duy – thái độ:
- Chú ý, tích cực tham gia xây dựng bài.
- Cẩn thận, chính xác và linh hoạt.
II. CHUẨN BỊ CỦA THẦY VÀ TRÒ:
1.Chuẩn bò của Gv:
- Soạn giáo án.
- Chuẩn bò một số đồ dùng dạy học như: thước kẻ, phấn màu…
- Bảng phụ: Vẽ hình 4.1 và bảng giá trò của | u
n
| như trong SGK.
2.Chuẩn bò của học sinh:
- Đọc kỹ bài học trước khi đến lớp.
III. PHƯƠNG PHÁP:
Sử dụng phương pháp gợi mở, vấn đáp, nêu vấn đề kết hợp với giải quyết vấn đề, xen kẻ
hoạt động nhóm.
IV. TIẾN TRÌNH BÀI DẠY:
1. Ổn đònh lớp.
Ổn đònh lớp và kiểm tra só số vắng, vệ sinh của lớp.

2. Kiểm tra bài cũ:
Hãy biểu diễn dãy số (u
n
) với u
n
=
1
n
lên trục số. ( Chia nhóm, mỗi nhóm biểu diễn lên
bảng con của nhóm mình)
3. Bài mới:
HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ HS Nội dung ghi bảng
HĐ1:
GV: Xét dãy số ở phần bài cũ. Khoảng cách từ
điểm u
n
đến điểm 0 thay đổi như thế nào khi n đủ
lớn?
HS: Nhìn vào hình biểu diễn để nhận xét.
GV: Yêu cầu HS tìm số hạng u
k
để từ số hạng đó
trở về sau khoảng cách từ nó đến số 0 nhỏ hơn
0.01 ? .nhỏ hơn 0.001? (GV hướng dẫn hs thực
I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ
1. Đònh nghóa dãy số có giới hạn 0:
Xét dãy số(u
n
) với
1

u =
n
n
, tức là dãy số
1 1 1 1 1
1, , , , ,..., ,...
2 3 4 5 n
Khoảng cách
n
-0 = u
1
u =
n
n
từ điểm u
n
đến
Trang 1
Tổ Toán – Trường THPT Châu Thành ĐS & GT 11-CƠ BẢN
hiện)
HS: Thực hiện theo nhóm
GV: Dựa vào việc thực hiện trên đưa ra nhận xét
rằng khoảng cách từ u
n
đến số 0 nhỏ bao nhiêu tùy
ý, miễn là chọn số n đủ lớn
+Tổng quát hoá đi đến đ\n dãy có giơi hạn 0.
điểm 0 trở nên nhỏ bao nhiêu cũng được miễn
là n đủ lớn.
Như vậy mọi số hạng của dãy số đã cho, kể từ

số hạng nào đó trở đi, đều có giá trò tuyệt đối
nhỏ hơn một số dương nhỏ tùy ý cho trước. Ta
nói rằng dãy số
1
n
có giới hạn 0 khi n dần tới
dương vô cực
Đònh nghóa: SGK
Ví dụ: (làm ví dụ 1 SGK- trang 113)
HĐ2:
GV: Đặt vấn đề:Cho dãy số (u
n
) với u
n
=
1
2+
n
-Hãy biểu diễn dãy lên trục số.
-Khi n càng lớn thì u
n
càng gần vối số nào?
HS: Làm việc theo nhóm sau đó đưa ra nhận xét u
n
càng gần đến số 2
GV: Dựa vào nhận xét trên liên hệ với phần 1 để
đưa ra đònh nghóa 2
GV: Hướng dẫn hs làm

2. Đònh nghóa dãy số có giới hạn là 1 số

Đònh nghóa 2 (SGK)
Ví dụ : Cho dãy số (v
n
) với v
n
=
3n+1
n
, CMR:
n
n +
lim v
→ ∞
= 3
Giải
n
n +
lim (v 3)
→ ∞
−
=
n +
3n+1
lim ( 3)
n
→ ∞
−
=
n +
1

lim
n
→ ∞
= 0
Vậy
n
n +
lim v
→ ∞
= 3
GV: cho dãy số u
n
=
4
1
n
, v
n
=
n
2
( )
5
, w
n
= 3, hãy biểu
diễn lên trục số sau đó dự đoán giới hạn các dãy
này,
HS: Làm việc theo nhóm
3. Một vài giới hạn đặc biệt

a).
n +
1
lim
n
→ ∞
= 0 ;
n +
1
lim
k
n
→ ∞
= 0 (k ∈ N
*
);
b).
n
n +
lim q
→ ∞
= 0 nếu q<1
Trang 2
Tổ Toán – Trường THPT Châu Thành ĐS & GT 11-CƠ BẢN
GV: ghi lên bảng , yêu cầu hs nắm kỹ
c). Nếu u
n
= c (hằng số) thì
n
n +

lim u = c
→ ∞
HĐ3
GV: Yêu cầu HS đọc đ lý sgk và ghi lên bảng nội
dung của đònh lý đó
HĐ 4
GV: Hướng dẫn hs biến đổi các giới hạn đã cho về
các tổng, hiệu, tích, thương các giới hạn đặc biệt
HS: Biến đổi theo hướng dẫn của gv sau đó áp
dụng đ lý 1 để tìm giới hạn
II. ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN
1.Đònh lý 1. (SGK)
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: Tìm lim
2
2
2n +3
1-3n
Giải
Chia tử và mẫu cho n
2
Ta được lim
2
2
2n +3
1-3n
= lim
2
2
3

2+
n
1
-3
n
=
2
3
−
Ví dụ 2: Tìm lim
2
5n-2
3+4n
Giải
Ta có lim
2
5n-2
3n+4n
= lim
2
2
n(5- )
n
3
n ( +4)
n
= lim
2
n(5- )
n

3
n ( +4)
n
= lim
2
(5- )
n
3
( +4)
n
=
5
2
HĐ 5
GV: Yêu cầu hs nhắc lại công thức tính tổng của n
số hạng đầu của cấp số nhân.
HS: Đứng tại chổ trả lời
GV: Biến đổi công thức thành S=
n
1 1
u u
-( ).q
1-q 1-q
sau đó yêu cầu học sinh tính giới hạn lim S, từ
đó có được công thức
GV: yêu cầu hs nhận xét các CSN có phải là CSN
lùi vô hạn hay không sau đó yêu cầu hs tính.
II. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN
LÙI VÔ HẠN.
1. Đònh nghóa

CSN vô hạn có công bội q với q<1 gọi là
CSN lùi vô hạn
2. Công thức tính tổng của cấp số nhân
lùi vô hạn

1
u
S= ( q <1)
1-q
3. Ví dụ
a)Tính tổng các số hạng của CSN lùi vô hạn
(u
n
) với u
n
=
1
5
n
b) Tính S= 1+
2 3 4 n
1 1 1 1 1
... ...
2 2 2 2 2
+ + + + + +
Giải
Trang 3
Tổ Toán – Trường THPT Châu Thành ĐS & GT 11-CƠ BẢN
HS: Làm việc theo nhóm
a)Ta có u

1
=
1
5
và q=
1
5
nên CSN đã cho là 1
CSN lùi vô hạn
S=
1
5
1
1
5
−
=
1
4
b) Các số hạng của tổng tạo thành 1 CSN lùi
vô hạn có u
1
= 1 và q=
1
2
nên S =
1
2
1
1

2
=
−
HĐ6
GV: Hướng dẫn hs thực hiện h động 2 sgk từ đó dẫn
tới đònh nghóa
GV: Cho dãy u
n
= n
3
, hãy biểu diễn dãy lên trục
số.Khi n càng lớn, có nhận xét gì về các số u
n
?.Từ
đó tổng quát hóa thành các giới hạn ở phần 2.
HS: Làm việc theo nhóm, đưa ra nhận xét.

GV: Ghi lên bảng các gh đặc biệt, yêu cầu hs nhớ
GV: Hướng dẫn hs đặt thừa số chung ( hoặc chia tử
và mẫu cho n) để đưa về tổng, hiệu, tích, thương
của các giới hạn đặc biệt,sau đó áp dụng đly 1.
HS: Làm sau đó lên bảng giải

III. GIỚI HẠN VÔ CỰC
1. Đònh nghóa
(SGK)
Nhận xét: lim u
n
= +∞ ⇔ lim(- u
n

) = - ∞
Ví dụ ( Làm ví dụ 6 Sgk)
2. Một vài giới hạn đặc biệt
(sgk)
3. Đònh lý
Đònh lý 2 ( sgk)
Các ví dụ:
a). Tìm lim
n
7-2n
(n-3).5
Giải
Ta có lim
n
7-2n
(n-3).5
= lim
n
7
n( -2)
n
3
n(1- ).5
n
=lim
n
7
( -2)
n
3

(1- ).5
n
= 0
b) Tìm lim (2n
2
+3n – 4)
Giải
Ta có lim (2 +3n – 4n
2
) = lim
2
2
2 3
n ( + - 4)
n n
Trang 4
Tổ Toán – Trường THPT Châu Thành ĐS & GT 11-CƠ BẢN
= limn
2
. lim
2
2 3
( + - 4)
n n
= - ∞
V.CŨNG CỐ
- Đònh nghóa dãy số có giới hạn là 1 số hữu hạn và dãy số có giới hạn là vô cực. Ghi
nhớ các giới hạn đặc biệt.
- Đònh lý về giới hạn hữu hạn, áp dụng tính các giới hạn thường gặp.
- Công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.

VI.DẶN DÒ
Bài tập về nhà:1,2,3,5,7,8 (tr121,122)
Tiết 52+53 BÀI TẬP
I. MỤC TIÊU: HS cần nắm được:
1. Về kiến thức:
 Vận dụng đònh nghóa giới hạn của dãy số vào việc giải một số bài toán đơn giản liên quan
đến giới hạn .
 Vận dụng các đònh lý về giới hạn trình bày trong sách để tính giới hạn của các dãy số đơn
giản.
 Biết nhận dạng các cấp số nhân lùi vô hạn và vận dụng công thức vào giải một số bài toán
liên quan có dạng đơn giản.
2. Về kỷ năng:
 Nắm được các bước cơ bản giải một bài toán về giới hạn .
3. Tư duy – thái độ:
 Hiểu được khái niệm giới hạn 0.
 Hiểu được khái niệm là số a.
 Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn .
 Giới hạn vô cực .
II. CHUẨN BỊ PHƯƠNG TIỆN DẠY HỌC:
1. Về kiến thức:
Hs đã được học lý thuyết về giới hạn dãy số .
Trang 5
Tổ Toán – Trường THPT Châu Thành ĐS & GT 11-CƠ BẢN
2. Về phương tiện: bảng con để hoạt động nhóm
III. GI Ý PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC:
Phương pháp gợi mở, giải quyết vấn đề.
Kết hợp hình thức hoạt động nhóm.
IV. TIẾN TRÌNH BÀI HỌC VÀ CÁC HOẠT ĐỘNG
HOẠT ĐỘNG CỦA GV VA Ø HS NỘI DUNG
* hoạt động 1 :

Bài 1 :
Học sinh hiểu được ứng dụng thực tế của khái niệm
giới hạn trong một môn học khác
Bài tập này củng cố khái niệm giới hạn của dãy
số .
Học sinh hiểu rõ hơn ý tưởng “ nhỏ hơn một số
dương bé tùy ý , kể từ một số hạng nào đó trở đi” .
Giáo viên hướng dẫn các em giải bài tập này .
Giáo viên có thể giải thích rõ ràng cụ thể hơn đối
với câu c ) chọn n
0
là một số cụ thể .
Bài 1 :
a)
1 2 3
1 1 1
; ;
2 4 8
u u u= = =
;…
bằng quy nạp ta chứng minh được
1
2
n
n
u =
b)
1
lim lim 0
2

n
n
u
 
= =
 ÷
 
( theo tính chất
lim 0
n
q =
nếu
1).q <
c)
6 6 3 9
1 1 1 1
( ) . ( ) ( )
10 10 10 10
g kg kg= =
Vì
0
n
u →
nên
1
2
n
n
u =
có thể nhỏ hơn một số

dương bé tùy ý , kể từ một số hạng nào đó trở
đi . Như vậy
n
u
nhỏ hơn
9
1
10
kể từ chu kì n
0

nào đó . Nghóa là sau một số năm ứng với chu
kỳ này , khối lượng chất phóng xạ không còn
độc hại đối với con người .
* Hoạt động 2 :
GV: Học sinh nhắc lại đònh nghóa giới hạn ?
GV: Một học sinh lên bảng trình bày . Em khác
nhận xét .Giáo viên sữa nhận xét cho điểm
Bài 2 :
Vì
3
1
lim 0
n
=
nên
3
1
n
có thể nhỏ hơn một số

dương bé tùy ý , kể từ một số hạng nào đó trở
đi .
Mặt khác , ta có
3 3
1 1
1
n
u
n n
− < =
với mọi n .
Từ đó suy ra
1
n
u −
có thể nhỏ hơn một số
dương bé tùy ý , kể từ một số hạng nào đó trở
đi , nghóa là
( )
lim 1 0
n
u − =
. Do đó
lim 1
n
u =
.
* Hoạt động 3
Chia lớp làm 4 tổ mỗi tổ có một bảng con , phấn ,
bút lông để làm việc .

Học sinh có thể thay đổi chỗ ngồi , giáo viên quy
đònh thời gian cho các em làm bài . Tổ nào mặt
bằng khá hơn giáo viên giao cho câu c và câu d .
Bài 3 :
a)
1
6
6 1 6
lim lim 3
2
3 2 2
3
n
n
n
n
−
−
= = =
+
+
.
Trang 6
Tổ Toán – Trường THPT Châu Thành ĐS & GT 11-CƠ BẢN
Sau khi học sinh làm xong giáo viên hoàn chỉnh lại
bài cho các em , cho điểm các tổ . Đây là các dạng
bài tập cơ bản .
Giáo viên có thể tổng quát cho các em
.
lim ( 0, 0)

.
a n b a
a c
c n d c
+
= ≠ ≠
+
2
2
.
lim ( 0, 0)
.
a n bn c a
a d
d n en f d
+ +
= ≠ ≠
+ +
( Hết tiết 1 )
b)
2
2
2
2
1 5
3
3 5 3
lim lim
1
2 1 2

2
n n
n n
n
n
+ −
+ −
= =
+ +
+
c)
3
3
5
5
3 5.4
4
4
lim lim lim 5
2
4 2
1
1
1
4
2
n
n
n n
n

n n
n n
n
 
+
+
 ÷
+
 
= = =
+
 
+
+
 ÷
 
d)
2
2
1 1
9
9 1 3
lim lim
2
4 2 4
4
n n
n n
n
n

− +
− +
= =
−
−
* Hoạt động 4
GV: Học sinh nhắc lại công thức tính tổng của cấp
số nhân lùi vô hạn .
( ghi nhớ với công bội có GTTĐ bé hơn 1 )
GV: Một học sinh lên làm câu a . Các em còn lại
theo dõi và nhận xét bài của bạn .
( Dự đoán công thức của u
n
và chứng minh bằng
phương pháp quy nạp ).
Giáo viên sữa bài và gọi một em khác lên làm câu
b , giáo viên nhận xét rồi cho điểm .
Bài 4 :
a)
1 2 3
2 3
1 1 1 1
; ; ;
4 4 4 4
n
n
u u u u= = = =
.
b) theo công thức tổng của cấp số nhân lùi vô
hạn ta có :

1
1
1
4
lim
1
1 3
1
4
n
u
S
q
= = =
−
−
* Hoạt động 5 :
GV: Mỗi số hạng trong tổng S là số hạng của 1 cấp
số nhân với
1
1
1,
10
u q= − = −
HS: lên bảng làm bài .
Bài 5 :
Theo công thức ta có :
1
1 10
1

1 11
1
10
u
S
q
−
= = = −
−
 
− −
 ÷
 
* Hoạt động 6 :
GV: Sữa bài này.
Bài 6 :
2
2 2 2
1,020202... 1 ... ...
100 100 100
n
a = = + + + + +
2
2 101
100
1 1
1
99 99
1
100

= + = + =
−
( vì
2
2 2 2
, ,..., ,...
100 100 100
n
là một cấp số nhân
lùi vô hạn , công bội
1
).
100
q =
* Hoạt động 7 :
Chia lớp làm 4 tổ mỗi tổ có một bảng con , phấn ,
Bài 7 : ( đáp số)
a)
+∞
;
Trang 7
Tổ Toán – Trường THPT Châu Thành ĐS & GT 11-CƠ BẢN
bút lông để làm việc .
Hs có thể thay đổi chỗ ngồi , gv quy đònh thời gian
cho các em làm bài . Tổ nào mặt bằng khá hơn giáo
viên giao cho câu c và câu d .
Sau khi hs làm xong gv hoàn chỉnh lại bài cho các
em, cho điểm các tổ . Đây là các dạng bt cơ bản .
b)
−∞

;
c)
1
2
−
;
d)
+∞
;
* Hoạt động 8 :
GV: Gợi ý cho các em
Gọi hai học sinh lên bảng làm bài các em ở dưới
làm bài và nhận xet kết quả của bạn .
Bài 8 :
a)
( )
lim 3 1
3 1
lim
1 lim 1
n
n
n n
u
u
u u
−
−
=
+ +

3lim 1
3.3 1
2
lim 1 3 1
n
n
u
u
−
−
= = =
+ +
b)
2
2
2
1 2
2
lim lim 0
1
1
1
n n n
n
n
v v v
v
v
+

+
= =
−
−
V. CỦNG CỐ :
 Kó năng khi làm một bài toán tìm giới hạn của một dãy số
 Kó năng đánh giá một biểu thức so với một hằng số
 Nắm bắt một số công thức cơ bản
Một số câu hỏi trắc nghiệm củng cố :
Câu 1 : Cho dãy số
3 3
1
n
a n n= + − . Kết quả đúng là :
A.
lim 0
n
a =
B.
1
lim
3
n
a =

C .
1
lim
2
n

a =
D.
lim 1
n
a =
Câu 2 : Giới hạn sau đây bằng bao nhiêu :
2
2
7 3
lim
2
n n
n
−
+
bằng
A. 7 B.
3
2
−
C. 0 D.
∞
Câu 3 : Giới hạn sau đây bằng bao nhiêu :
3
3
2
n n
n
+
+

bằng
A. 0 B. 1 C.
1
2
D. 2
Câu 4 : Trong các dãy số sau đây , dãy số nào có giới hạn ?
A.
sin
n
u n=
B.
os
n
u c n=
C.
( )
1
n
n
u = −
D.
1
2
n
n
u =
VI. Dặn dò :
Về soạn bài giới hạn của hàm số .
Trang 8
Tổ Toán – Trường THPT Châu Thành ĐS & GT 11-CƠ BẢN

Tiết 54+55
§2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
I. MỤCTIÊU:
1. Kiến thức:
o Biết khái niệm giới hạn của hàm số và đònh nghóa của nó .
o Biết vận dụng đònh nghóa vào việc giải một số bài toán đơn giản về giới hạn hàm số.
o Biết các đònh lý về giới hạn của hàm số và biết vận dụng chúng vào việc tính các giới hạn dạng
đơn giản .
2. Kó năng: Giúp học sinh
o Rèn luyện kó năng giải một số bài tập áp dụng đơn giản tại lớp , và các bài tập trong sách giáo
khoa.
3. Tư duy - Thái độ :
o Cẩn thận, chính xác.
o Phát triển tư duy logic.
II. CHUẨN BỊ PHƯƠNG TIỆN DẠY HỌC:
o Giáo viên chuẩn bò các phiếu học tập
o Học sinh đọc qua nội dung bài mới ở nhà .
III. GI Ý VỀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC:
o Phương pháp gợi mở vấn đáp .
IV.TIẾN TRÌNH BÀI HỌC:
1. Ổn đònh lớp :
2. Dạy bài mới :
Hoạt động của thầy và trò Nội dung
* Hoạt động 1:
Xét hàm số
( )
2
2 2
1
x x

f x
x
−
=
−
.
1. Cho biến x những giá trò khác 1 lập thành dãy số
( )
, 1
n n
x x →
như trong bảng
sau :
x
2
1
x =
3
2
2
x =
4
3
3
x =
5
4
4
x =
...

1
n
n
x
n
+
=
...
1
→
I. GIỚI HẠN HỮU
HẠN CỦA
HÀM SỐ
1. Đònh nghóa :
(sgk)
Trang 9
Tổ Toán – Trường THPT Châu Thành ĐS & GT 11-CƠ BẢN
( )
f x
( )
1
f x
( )
2
f x
( )
3
f x
( )
4

f x
( )
f x
n
...
?
→
Khi đó ,các giá trò tương ứng của hàm số
( ) ( ) ( )
1 2
, ,..., ,...
n
f x f x f x
cũng lập thành một dãy số mà ta kí hiệu là
( )
( )
.
n
f x
a) Chứng minh rằng
( )
2 2
2 .
n n
n
f x x
n
+
= =
b) Tìm giới hạn của dãy số

( )
( )
.
n
f x
2. Chứng minh rằng với dãy số bất kì
( )
, 1
n n
x x ≠
và
1
n
x →
, ta luôn có
( )
2
n
f x →
.
GV: yêu cầu học sinh làm câu hỏi 1, giáo viên hướng dẫn cho các em làm câu
2 .

GV: các em sử dụng đònh nghóa chứng minh
( )
2
lim 4
x
f x
→−

= −
.
HS: nêu cách chứng minh bằng đònh nghóa .
GV: các em nhận xét
0 0
lim ?; lim ?
x x x x
x c
→ →
= =
HS:
0 0
0
lim ; lim
x x x x
x x c c
→ →
= =
Gv: yêu cầu học sinh giải thích .
Ví dụ :
Cho hàm số
( )
2
4
2
x
f x
x
−
=

+
. Chứng minh rằng
( )
2
lim 4
x
f x
→−
= −
.
Giải :
Hàm số đã cho xác đònh trên
{ }
\ 2R
.
Giả sử
( )
n
x
là một dãy bất kỳ , thõa mãn
2
n
x ≠ −
và
2
n
x → −
khi
n → +∞
.

Ta có :
( )
( ) ( )
( )
2
2 2
4
lim lim lim
2 2
n n
n
n n
x x
x
f x
x x
+ −
−
= =
+ +
( )
lim 2 4
n
x= − = −
NHẬN XÉT :
0 0
0
lim ; lim
x x x x
x x c c

→ →
= =
, với c là hằng số .
GV: Cho học sinh thừa nhận đònh lý 1.
2. Đònh lý giới hạn hữu hạn
Trang 10