Đề thi HSG lớp 12 có đáp án đề 36

đề thi học sinh giỏi lớp 12
Môn: Toán - Bảng A
Thời gian làm bài: 180 phút
Bài 1: Cho phơng trình:
m.Cosx + Cos3x - Cos2x =1
1) Giải phơng trình trên với m=1.
2) Tìm m để phơng trình đã cho có đúng 8 nghiệm phân biệt
5
;
2 2
x



ữ

Bài 2:
1) Giải phơng trình (Sin)
x
+ (tg)
x
= ()
x
(với x là tham số, 0 < x <
2

)
2) Tìm a để phơng trình sau có đúng 3 nghiệm phân biệt.
3
2-

x - Sin a +1

. log

(x
2
+ 4x + 6) +
2
4
1
( 3) .log
2( 1 1)
x x
x Sina


+ +
=0
Bài 3: Với mọi ABC, k
3
0,
4



. Chứng minh:

( ) ( ) ( )
2 2 2 3 3 3
A B B C C A

Cos Cos Cos Cosk A Cosk B Cosk C


+ + + +
Bài 4: Xét hai dãy số:
{ } { }
+
+


>



= +



= +



1 1
1
1
a ; 0
1
; ; voi
1
(i=1, 2...)

n n i i
i
i i
i
b
a b a b
a
b a
b
Chứng minh (a
2006
+ b
2006
)
2
> 16039
Bài 5: Cho tứ diện ABCD
1) Gọi
i
(i= 1, 2, , 6) là độ lớn các góc nhị diện có cạnh lần l ợt là các cạnh
của tứ diện
Chứng minh:

=


6
1
2
i

i
Cos
.
2) Gọi G là trọng tâm của tứ diện; mặt phẳng () quay quanh AG, cắt DB tại
M và cắt DC tại N. Gọi V, V
1
lần lợt là thể tích của tứ diện ABCD và DAMN.
Chứng minh:
1
4 1
9 2

V
V
3) Gọi diện tích các mặt đối diện với các đỉnh A, B, C, D của tứ diện lần lợt là:
S
a
, S
b
, S
c
, S
d
. I là tâm hình cầu nội tiếp tứ diện ABCD. Chứng minh:

+ + + =
uur uur uur uur r
. . . . 0
a b c d
S IA S IB S IC S ID

Hớng dẫn chấm thi học sinh giỏi lớp 12
Môn: Toán. Bảng A
Câu Nội dung Điểm
Bài 1 5
1 3
Với m =1; Phơng trình
=



=

2
0
4 2 2 0
Cosx
Cos x Cosx







+


=

= =




= = +




x=
0
2
1 2
1 2
2
2 3
k
Cosx
Cosx x k
Cosx x k
1
2
2 2
Phơng trình
=



+ =

2
0
4 2 3 0
Cosx
Cos x Cosx m
* Cosx =0 Có 2 nghiệm:

=
3
; x=
2 2
x
* Ycbt 4Cosx
2
- 2 Cosx +m - 3 =0
=



= +

2
(-1 1)
( ) 4 2 3
Cosx t t
f t t t m
Có 2 nghiệm t
1
, t

2
thỏa mãn:
< < < <



1 2
2
1 0 1: (a)
0<t<1=t (b)
t t
* Trờng hợp (b) loại (vì nếu t
2
=1 thì t
1
<0)
* Trờng hợp (a)
<



<

( 1). (0) 0
1< m < 3
(0). (1) 0
f f
f f
Vậy giá trị m cần tìm: 1< m < 3
0,5

0,5
0,5
0,5
Bài 2 4
1 2
Phơng trình



+ =
ữ ữ

1
x x
Sin tg
Chứng minh:



ữ

0,
2
u
có Sinu < u < tgu
0,5
0,5
0,5
nên:

< <
ữ

1 : 0,
2
Sin tg
Khi đó





x =0: VT =2 > VP
x >0: VT > VP
x <0; VT> VP
Vậy phơng trình vô nghiệm
0,5
2 2
Đặt Sina -1 =m (-2 m 0)
ta luôn có: xR thì:

+ +


+

2
x 4 6 2
2 x-m 2 2
x
nên TXĐ của phơng trình là R
Ta có phơng trình
( )

+
+ +
+ + = +
2
2 2
4 6 2
( 3) .log ( 4 6) 3 log (2 2)
x m
x x
x x x m
Xét hàm số: f(t) =
( )
[
)

3 log ( ) : 2; +
t
t
là hàm số đồng biến với x[2; +)
nên phơng trình x
2
+ 4x +6 = 2 x-m +2 (*)

+ + + =


+ + =

2
2
2 2 4 0 : (1)
6 4 2 0 : (2)
x x m
x x m
Theo yêu cầu bài toán (*) có 3 nghiệm phân biệt







0 0
0 1
(1) có nghiệm kép x ;(2) có 2 nghiệm x
(2) có nghiệm kép x ;(1) có 2 nghiệm x
(1), (2) có 1 nghiệm chung; 2 nghiệm còn lại khác nhau

=

=


=



3
2
5
2
2
m
m
m
(loại)
Vậy theo yêu cầu bài toán:







+



=

= +


=



= +


a=- 2
6
3
1
5
- '2
2
6
1 2
- "2
2
k
Sina
a k
Sina
a k
Có 3 họ giá trị của a cần tìm
0,5
0,25

0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
Bài 3 2
Mọi ABC có


< < < 0 1
4 4 4 4
A C A C
Cos
(1)
mà:


= <
3 1
0 . 3
3 4 3 4 2
k B B B
nên:

>
3
. 0
3 4 3
Cosk B Cos B
(2)

Ta có:
1 2
os os os .
2 2 2 4 4
3 3
os os . : (a)
4 4 4 4 3 3 3
A C B C A C A C B
C C C Cos
A C B A C
C Cos C Cos B Cosk B Cosk B

+

+ =




= = =
ữ

Chứng minh tơng tự có:
1
os os : (b)
2 2 2 3
B C C A
C C Cosk C

+
ữ


và
1
os os : (c)
2 2 2 3
C A A B
C C Cosk A



+
ữ


Từ (a), (b), (c) suy ra (đpcm)
Dấu "=" khi A=B = C=
3

ABC đều
0,5
0,5
0,5
0,5
Bài 4 2
Ta có S
i

= (a
i
+ b
i
) (i=1,2,3 .)
Thì

( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2
i+1 i+1 i+1
2
2
2
2 2
1 1
S = (a + b ) = : (i=1,2,....)
1 1 1 1
= +2
1 1
8 8
i i
i i
i i i i
i i i i
i i i i
i i
a b

a b
a b a b
a b a b
a b a b
a b


+ + +

ữ




+ + + + +
ữ ữ


+ + + + > + +
ữ

nên ta có: (a
1
+ b
1
)
2
> 0
(a
2

+b
2
)
2
> 0
(a
2
+b
2
)
2
> (a
1
+ b
1
)
2
+ 8
.
(a
2006
+b
2006
)
2
> (a
2005
+ b
2005
)

2
+ 8
Cộng các bđt trên, ta có:
0,5
0,5
0,5