Bài tập cấp số cộng lop 11

Ngời soạn thảo: Lã Duy Tiến trờng THPT Yên Mô B
Bài tập cấp số cộng
Dạng I: chứng minh một dãy số là csc
Bài 1:
C1)chứng minh dãy số hữu hạn sau: 1, 3, 5, 7, 9 là một csc
C2)dãy số sau có là csc không: -3, 1, 5, 8
Bài 2: chứng minh các dãy số sau là csc, tìm u
1
và d
C1)u
n
=2n-1
C2)u
n
=9-3n
C3)u
n
=v
n
-v
n-1
, trong đó v
n
=(2n+1)
2
Dạng II: Tìm các yếu tố của csc
Bài 3:
C1)cho u
1
=-5; d=3
a) tìm u

15
b) 100 là số hạng thứ bao nhiêu
c) 201 có thuộc csc trên không
C2)cho dãy số có u
1
=-9; u
n+1
=u
n
-5 . Tìm u
25
C3) cho u
5
=-43; u
21
=-171
a) tìm d và u
1
b) tìm u
30
c) cho biết -35 có thuộc csc trên không
C4) cho csc -1; a; 3; b. Tìm a, b
C5) biết u
31
=77, d=-3 . Tìm u
2
C6) cho dãy (u
n
) với u
n

=9-5n
a) viết 5 số hạng đầu của dãy
b) chứng minh dãy số (u
n
) là một csc. Tìm u
1
và d;
c) Tính S
100
.
Bài 4:
C1) cho (u
n
) với u
n
=5n-2.
a) cm (u
n
) là một csc
b) tính S
50
c) biết S
n
=2576, tính n
C2) hoàn thành bảng
u
1
d u
n
n S

n
3 -17 11
3 15 345
-5 3/2 7
-491 100 -24350
3 3 -171
1
Ngời soạn thảo: Lã Duy Tiến trờng THPT Yên Mô B
C3)tìm số hạng đầu u
1
và công sai d của csc (u
n
) , biết
1)
1 5
4
2 0
14
u u
S
+ =


=

2)
4
7
10
19

u
u
=


=

3)
1 5 3
1 6
10
7
u u u
u u
+ =


+ =

4)
7 3
2 7
8
. 75
u u
u u
=


=

5)
2 6 4
8 7 4
7
2
u u u
u u u
+ =


=

6)
1
5 10 5
1
1
( )
4
u
S S S
=



=


(đht-411-)

7)
5 2 5
4 7
0,1
0,1
S S u
S u
=


+ =

8)
2 4 6
2 3
36
54
u u u
u u
+ + =


=

9)
5
3
2 6
4
11

u
u
u u

=



=

10)
2 2
3 7
1 7
122
4
u u
u u
+ =


+ =

11)
1 2 3
1 2 3
9
21
u u u
u u u

+ + =


=

12)
1 2 3
2 2 2
1 2 3
27
275
u u u
u u u
+ + =


+ + =

C4) csc (u
n
) có S
6
=18 và S
10
=110
a) lập công thức số hạng tổng quát
b) tính S
20
C5)(sbt)
tìm csc biết

a)u
3
=-6 và u
8
=4
b)u
1
=-15 và S
10
=300
c)u
1
=10 và S
20
=105
d)
1 2 3
2 2 2
1 2 3
27
275
u u u
u u u
+ + =


+ + =

e)
1 2

2 2 2 2
1 2
...
...
n
n
u u u a
u u u b
+ + + =


+ + + =


C6) cho một csc có 5 số hạng. Biết rằng số hạng thứ hai bằng 3 và số hạng thứ t bằng 7. Hãy tìm
các số hạng còm lại của csc đó
C7)(P
2
)
tìm 3 số hạng liên tiếp của csc biết tổng của chúng bằng 12 và tích của chúng bằng -48
C8) (sbt nc)
2
Ngời soạn thảo: Lã Duy Tiến trờng THPT Yên Mô B
một csc có 7 số hạng mà tổng của số hạng thứ ba và số hạng thứ năm bằng 28, tổng của số hạng thứ
năm và số hạng cuối bằng 140. Tìm csc đó
C9) cho một csc có 7 số hạng cới công sai dơng và số hạng thứ t bằng 11. Hãy tìm các số hạng còn
lại của csc đó, biết hiệu của số hạng thứ ba và số hạng thứ năm bằng 6

C10)
a)cho số -3 và 13 . Hãy tìm 7 số chen vào giữa -3 và 13 để đợc một csc

b)viết 6 số xen giữa 3 và 24 để đợc một csc có tám số hạng. Tính tổng các số hạng của csc này.
c) viết xen giữa 25 và 1 để đợc một csc có bảy số hạng. Số hạng thứ 50 của csc này là bao nhiêu.
C11)csc có u
17
-u
20
=153 và u
2
17
+u
2
20
=153. Hãy tìm số hạng đầu và công sai của csc đó
C12)cho csc có d>0 , u
31
+u
34
=11 và u
2
31
+u
2
34
=101. tìm csc
C13)hãy tính các tổng sau đây
a. tổng của tất cả các số hạng của một csc có số hạng đầu bằng 102, số hạng
thứ hai bằng 105 và số hạng cuối bằng 999
b. tổng của tất cả các số hạng của một csc có số hạng đầu bằng 1/3, số hạng thứ
hai bằng -1/3 và số hạng cuối bằng -2007
C14)cho csc có u

5
+u
19
=90. Hãy tính S
23
C15)cho csc có u
2
+u
5
=42 và u
4
+u
9
=66. Tính S
346
C16)cho csc tăng (u
n
) có u
1
3
+u
3
15
=302094 và tổng 15 số hạng đầu tiên bằng 585. hãy tìm số hạng
đầu và công sai của csc đó
C17)cho csc có u
1
=123 và u
3
-u

15
=84.tìm u
17
C18)cho (u
n
) và tổng n số hạng đầu tiên của nó , kí hiệu là S
n
, đợc tính theo công thức sau:
S
n
=
(7 3 )
2
n n
a.Hãy xác định u
1
, u
2
và u
3
.
b.Hãy xác định số hạng tổng quát của (u
n
).
c.Chứng minh dãy số (u
n
) là một csc. Tìm u
1
và d.
C19)cho dãy số xác định bởi

u
1
=1 và u
n+1
=u
n
+2n-1 (n

1)
xét dãy số (v
n
) mà v
n
=u
n+1
-u
n
với n

1
a) chứng minh (v
n
) là một csc. Tìm u
1
và d.
b) cho số nguyên dơng N, hãy tính tổng N số hạng đầu tiên của dãy số (v
n
) theo N. Từ đó hãy
suy ra số hạng tổng quát của dãy số (u
n

).
C20)(sgk nc)
một csc có năm số hạng mà tổng của số hạng đầu và số hạng thứ ba bằng 28, tổng của số hạng
thứ ba và số hạng cuối bằng 40. Hãy tìm csc đó
C21) cho csc (u
n
) có u
20
=-52 và u
51
=-145. Hãy tìm số hạng tổng quát của csc đó.
C22) cho csc (u
n
) có u
1
-u
3
=6 và u
5
=-10. Hãy tìm công sai và số hạng tổng quát của csc đó
C23) cho csc có u
2
+u
22
=60. Hãy tính tổng của 23 số hạng đầu tiên của csc đó

C24)(P
2
)
tìm 3 số tạo thành csc biết rằng tổng của 3 số đó bằng -3 và tổng bình phơng của chúng bằng 35

C25) xác định csc (u
n
) biết
1 3 5 7
2 4 6
0
20
u u u u
u u u
+ + + =


+ + =

C26)
a) xác định csc biết S
10
=170; S
12
=252.
b) xác định csc biết u
20
=1/2 và S
20
=105
Dạng III-chứng minh tính chất của csc và một số bài toán khác
Bài 5:
a)Cho csc (u
n
), Chứng minh rằng

m n
S S
d
m n

=

với m

n; d là công sai
b)cho csc, chứng minh S
3n
=3(S
2n
-S
n
)
3
Ngời soạn thảo: Lã Duy Tiến trờng THPT Yên Mô B
Bài 6: Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để a
2
, b
2
, c
2
tạo thành csc là
1 1 1
, ,
b c c a a b+ + +
cũng

tạo thành một csc.
Bài 7: cho csc (u
n
) và các số nguyên dơng m, k với m<k. Chứng minh rằng
2
k m k m
k
u u
u
+
+
=
áp dụng: hãy tìm một csc có 7 số hạng mà số hạng thứ ba bằng 2 và tổng của số hạng đầu và số hạng
cuối bằng 10.
Bài 8(Đs nc)
Chứng minh rằng trong mọi csc ta có:
( ) ( ) ( ) 0
m n k
S S S
n k k m m n
m n k
+ + =
ở đây m, n, k là các số nguyên dơng
Bài 9:
1)cho csc, chngs minh nếu
2
2
m
n
S m

S n
=
thì
2 1
2 1
m
n
u m
u n

=

2)cho csc có tính chất S
m
=S
n
với m

n. chứng minh S
m+n
=0
3) cho csc có tính chất
m
n
u m
u n
=
với m

n

Chứng minh
( 1)
( 1)
m
n
S m m
S n n
+
=
+
Bài 10(ds nc-15)
cho csc u
1
, u
2
, ..,u
n
. Trong đó u
i

0 với mọi i=1,2,,n
Chứng minh rằng

1 2 2 3 1 1
1 1 1 1
...
n n n
n
u u u u u u u u

+ + + =
Bài 11(dsnc-16)
Cho csc u
1
,u
2
,,u
n
, trong đó u
i

0 với mọi i=1,2,3,,n. chứng minh
a) u
1
+u
n
=u
k
+u
n-k+1
(1

k

n)
b)
1 2 1 1 2 1 1 1 2
1 1 1 1 2 1 1 1
... ...

n n n n n n
u u u u u u u u u u u u u


+ + + + = + + +
ữ
+

Bài 12(sbt):
a)cho phơng trình : 1+6+11+16++x=970; tìm x biết 1, 6, 11, x là csc
b)giải phơng trình (x+1)+(x+4)+(x+7)++(x+28)=155. biết 1, 4, 7,28 là một csc
c)giải phơng trình 2+7+12++x=245, biết 2, 7, 12,.,x là csc
d)(2x+1)+(2x+6)+(2x+11)++(2x+96)=1010, biết 1, 6, 11 96là csc
Bài 13(snc-7): có tồn tại hay không một csc, sao cho csc ấy chứa đồng thời ba phần tử 1,
3
, 3.
Bài 14(sbt-112): có thể có một tam giác mà số đo các cạnh và chu vi của nó lập thành một csc đợc
hay không
B i 15: có thể có một tam giác vuông mà số đo các cạnh của nó lập thành một csc không?
Bài 15:(dht-412-)
Tìm m để phơng trình sau có 4 nghiệm lập thành một csc:
x
4
-2(m+1)x
2
+2m+1=0.
4