Luận Văn Các phép đạo hàm trên đại số banach

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN

TRƯƠNG VĂN ĐẠI

CÁC PHÉP ĐẠO HÀM TRÊN ĐẠI SỐ
BANACH

LUẬN VĂN THẠC SĨ
CHUYÊN NGÀNH TOÁN GIẢI TÍCH

ĐẮK LẮK, 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN

TRƯƠNG VĂN ĐẠI

CÁC PHÉP ĐẠO HÀM TRÊN ĐẠI SỐ
BANACH

LUẬN VĂN THẠC SĨ
Chuyên ngành: Toán Giải Tích.
Mã số: 60.46.01.02

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Nguyễn Hữu Quang

ĐẮK LẮK, 2016

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của chính tôi, với sự hướng dẫn
của Thầy, PGS.TS. Nguyễn Hữu Quang.
Các kết quả trong luận văn được sử dụng và trích dẫn chính xác với sự trân
trọng và lòng biết ơn đối với các Nhà khoa học.

i


MỤC LỤC

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

LỜI CẢM ƠN

iii

BẢNG KÍ HIỆU

iv

MỞ ĐẦU

1

1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

4

1.1

Đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Đại số Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.3

Đồng cấu đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.4

Ideal đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2 ĐẠO HÀM TRÊN ĐẠI SỐ BANACH

25

2.1

Định nghĩa và các ví dụ về đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.2

Ánh xạ ad

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.3

Một số tính chất của đạo hàm trên đại số Banach . . . . . . .

30

2.4

Đạo hàm trên đại số Rn∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

TÀI LIỆU THAM KHẢO

40

ii

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Tây Nguyên dưới sự hướng
dẫn tận tình của thầy PGS.TS Nguyễn Hữu Quang. Tác giả xin bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc đến thầy, người đã đặt bài toán và tận tình hướng dẫn tác giả
trong quá trình nghiên cứu và hoàn thiện luận văn này.
Trong quá trình học tập và nghiên cứu, thông qua các bài giảng, hội nghị và
seminar, tác giả luôn nhận được sự quan tâm giúp đỡ cũng như có được những
ý kiến đóng góp quý báu của các Thầy Cô ở Trường Đại học Tây Nguyên. Tác
giả xin chân thành cảm ơn.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban lãnh đạo nhà Trường Đại học Tây Nguyên,
Phòng Sau đại học - Trường Đại học Tây Nguyên và Bộ môn Toán - Khoa KHTN
và CN - Trường Đại học Tây Nguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả
trong thời gian học tập tại trường.
Đặc biệt, cũng nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn
bè, các học viên trong lớp Cao học Toán Giải tích K09 đã cộng tác, giúp đỡ tác
giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này.
Đắk Lắk, tháng 11 năm 2016

iii


BẢNG KÍ HIỆU

K

: Trường số thực hoặc phức.

R[x]

: Tập hợp tất cả các đa thức một biến x trên trường số thực R.

F (Rn )

: Tập hợp các ánh xạ khả vi trên R.

Mn

: Tập hợp các ma trận vuông thực cấp n.

adX

: Ánh xạ ad theo X .

Rad(A) : radical của A.

iv


MỞ ĐẦU
Giả sử C là một đại số các hàm liên tục trên một không gian Hausdorff,
compact địa phương.
Một đạo hàm trên C là một ánh xạ tuyến tính d : C → C thỏa mãn điều
kiện sau

d(f g) = d(f )g + f d(g), ∀f, g ∈ C.
Khi đó, mỗi đạo hàm giới trên C đều là ánh xạ không. Tổng quát hơn, nếu d là
một đạo hàm giới nội trên một đại số Banach giao hoán A thì d(A) nằm trong

rad(A) và nếu A là nửa đơn thì thì d = 0.
Đây là kết quả kinh điển về đạo hàm trên đại số Banach được Wermer (1925)
và Singer (1924) trình bày trong một bài báo của họ ([10]), theo đó nhiều nhà
toán học đã mở rộng các kết quả đó cho các đại số Jordan, các C ∗ − đại số
Các phép đạo hàm có nhiều ứng dụng trong nhiều nghành của toán học cũng
như trong vật lí, khoa học kĩ thuật,... . Đặc biệt các phép đạo hàm trên đại số
là công cụ hữu hiệu thường được sử dụng để khảo sát độ cong, độ xoắn của các
đại số.
Cho đến thời điểm hiện nay việc nghiên cứu các tính chất của các phép đạo
hàm trên các đại số, đại số Banach vẫn được nhiều nhà toán học trong và ngoài
nước quan tâm ([6], [7], [8], ..., [12] ).
Năm 2010, Sultanow ([11]), đã trình bày các tính chất cơ bản về đạo hàm
Lie của các dạng trên đại số Banach giao hoán B và ứng dụng nó để xét độ
cong, độ xoắn của B .
Năm 2013, Yong So Jung ([8]), đã trình bày về phép đạo hàm tổng quát,
đạo hàm trên các vành và đạo hàm trên các đại số Banach.
Năm 2014, Arslan và Inceboz ([6]), đã trình bày về một số đặc trưng của
1


các phép đạo hàm Jordan tổng quát trên các đại số Banach.
Năm 2015, Koustantina Panagiot và Juan De Pe’rez ([12]), đã trình bày về
đạo hàm Lie trên siêu mặt thực trong không gian CP 2 và CH 2 với liên thông
tuyến tính tổng quát kiểu Tanaka -Webster;...
Ta quay lại với định nghĩa đạo hàm trên đại số, giả sử A là một đại số
( tương ứng đại số Banach), một phép đạo hàm trên A là ánh xạ tuyến tính

d : A → A thỏa mãn d(x, y) = d(x).y + xd(y), ∀x, y ∈ A. Hiện nay nhiều
nhà toán học quan tâm đến hai bài toán:

Bài toán 1: Tìm điều kiện để d là ánh xạ liên tục;
Bài toán 2: Tìm điều kiện để d là một phép đạo hàm trong (nghĩa là tìm điều
kiện để d(x) = ax − xa ∀x ∈ A và a cố định trong A).
Để tập dượt nghiên cứu khoa học, chúng tôi tiếp cận hướng nghiên cứu trên
nhằm tìm hiểu một cách có hệ thống một số các tính chất của các phép đạo
hàm trên đại số Banach. Trên cơ sở tài liệu tham khảo, dưới sự hướng dẫn của
PGS.TS. Nguyễn Hữu Quang, chúng tôi đã thực hiện đề tài "Các phép đạo
hàm trên đại số Banach".
Ngoài Phần mở đầu, Kết luận, và Danh mục tài liệu tham khảo, Luận văn
được bố cục thành hai chương
Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ. Trình bày các kiến thức cơ bản
cần thiết nhất cho việc tìm hiểu nghiên cứu ở chương tiếp theo. Các kiến thức
này bao gồm đại số, đại số Banach, đồng cấu và ideal đại số.
Chương 2 ĐẠO HÀM TRÊN ĐẠI SỐ BANACH. Đây là chương chứa
nội dung chính của luận văn, chương này tập trung nghiên cứu về các phép đạo
hàm trên đại số, đại số Banach. Đầu tiên chúng tôi tập hợp một số định nghĩa
và tính chất đã có về phép đạo hàm trên đại số, đại số Banach trong các tài liệu
tham khảo sau đó trình bày chi tiết và hệ thống lại theo một logic riêng phù

2


hợp với nội dung của luận văn tiếp theo đó chúng tôi đề xuất đại số Banach Rn∗
từ đó nghiên cứu một số tính chất của các phép đạo hàm trên đại số này.

3


Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1

Đại số

Định nghĩa 1.1.1. ([2]) Giả sử K là một trường (K = R, C) và A là không
gian vectơ trên K. Khi đó A được gọi là đại số trên K nếu A được trang bị
thêm một phép toán nhân trong (hay tích trong) "•" với

•:A×A→A
(a, b) → a • b
thỏa mãn
1) a • (b + c) = a • b + a • c, ∀a, b, c ∈ A;
2) (a + b) • c = a • c + b • c, ∀a, b, c ∈ A;
3) (αa) • b = a • (αb) = α (a • b) , ∀a, b ∈ A, ∀α ∈ K.
Chú ý 1.1.2. 1) Để tiện cho việc trình bày, từ nay về sau khi nói đến tích trong
(hay phép nhân trong) của hai phần tử a, b trong một đại số A chúng tôi kí
hiệu ab thay cho a • b;
2) Nếu tích trong (hay phép nhân trong) của đại số A có tính kết hợp thì ta nói

A là đại số kết hợp;

4


3) Đại số A được gọi là có đơn vị nếu trong A tồn tại phần tử e sao cho

ea = ae = a, ∀a ∈ A, phần tử e được gọi là đơn vị của A;
4) Phần tử a ∈ A được gọi là khả nghịch nếu tồn tại b ∈ A sao cho ab = ba = e
khi đó ta gọi b là phần tử nghịch đảo của a và kí hiệu là a−1 ;

5) Nếu tích trong có tính chất giao hoán thì A được gọi là đại số giao hoán; Nếu
tích trong có tính chất kết hợp thì A được gọi là đại số kết hợp; Nếu ab = 0
với mọi a, b ∈ A thì A được gọi là đại số tầm thường;
6) Giả sử C là một tập con của đại số A. Khi đó C được gọi là đại số con của

A nếu C khép kín với các phép toán trên A.
Nhận xét 1.1.3. Giả sử A là một đại số, khi đó phần tử đơn vị (nếu có) và
phần tử nghịch đảo của một phần tử x (nếu có) trong A là duy nhất
Chứng minh. Thật vậy, giả sử trái lại tức là tồn tại e ∈ A sao cho e a = ae =

a, ∀a ∈ A. Khi đó ta có e = ee = e e = e . Như vậy phần tử đơn vị là duy
nhất, tương tự ta giả sử x và x” là hai phần tử nghịch đảo của x trong A. Ta
có xx = x x = e = xx” = x”x, suy ra x = x”.
Ví dụ 1.1.4. Ta kí hiệu R[x] là tập hợp tất cả các đa thức một biến trên trường
số thực. Trên R[x] ta trang bị các phép toán xác định như sau
i) (f + g)(x) = f (x) + g(x), ∀f, g ∈ R[x];
ii) (λf )(x) = f (x) + g(x), ∀λ ∈ R, ∀f ∈ R[x];
iii) (f g)(x) = f (x)g(x), ∀f, g ∈ R[x].
Khi đó R[x] là một đại số kết hợp trên R.
Chứng minh. Thật vậy, Rõ ràng R[x] là một không gian vectơ với hai phép toán

i) và ii). Mặt khác ∀f, g ∈ R[x], ∀λ ∈ R và ∀x ∈ R ta có
5


((f + g)h)(x) = ((f + g)(x))h(x)
= (f (x) + g(x))h(x)
= f (x)h(x) + g(x)h(x)
= (f h)(x) + (gh)(x), ∀x ∈ R.
Suy ra (f + g)h = f h + gh. Tương tự ta cũng thu được f (g + h) = f g + f h.

Cuối cùng giả sử f, g ∈ R[x], ta có

((f h)h)(x) = (f h)(x)h(x)
= f (x)g(x)h(x)
= f (x)(gh)(x)
= (f (gh))(x), ∀x ∈ R.
Suy ra (f g)h = f (gh). Vậy R[x] là một đại số kết hợp trên R.
Ví dụ 1.1.5. Ta kí hiệu F (Rn ) = f : Rn → R|f trơn . F (Rn ) được trang
bị các phép toán như sau
i) (f + g)(x) = f (x) + g(x), ∀f, g ∈ F (Rn ) ;
ii) (αf )(x) = αf (x), ∀f, g ∈ F (Rn ) , ∀α ∈ R;
iii) (f.g) (x) = f (x) .g (x) , ∀f, g ∈ F (Rn ) .
Khi đó, F (Rn ) cùng với ba phép toán trên lập thành một đại số giao hoán kết
hợp và có đơn vị trên R.

Chứng minh. Thật vậy, rõ ràng với hai phép toán (i) và (ii), F (Rn ) lập thành
một không gian véctơ thực có đơn vị của phép nhân trong (phép toán (iii)) là
hàm đồng nhất. Mặt khác,
Với mọi f, g, h ∈ F (Rn ) , α ∈ R, ta có:

6


f (g + h)(x) = f (x)(g + h)(x)
= f (x)[g(x) + h(x)]
= f (x)g(x) + f (x)h(x)
= (f g + f h)(x)
Suy ra f (g + h) = f g + f h.
Tương tự ta cũng có (f + g)h = f h + gh.

(αf ) g (x) = (αf ) (x) g (x)
= αf (x) g (x)
= α (f g) (x)
= f (αg) (x)
Suy ra (αf ) g = f (αg) = f (αg) .
Cuối cùng giả sử f, g, h ∈ F (Rn ) . Khi đó tính giao hoán của F (Rn ) được
suy ra từ định nghĩa của phép toán (iii) kết hợp với tính giao hoán của R. Hơn
nữa,

(f (gh))(x) = f (x)(gh)(x)
= f (x)g(x)h(x)
= (f g)(x)h(x)
= ((f g)h)(x), ∀x ∈ Rn .
Do đó f (gh) = (f g)h.
Ví dụ 1.1.6. Ta kí hiệu Mn = A = aij |aij ∈ R , A là ma trận vuông thực
cấp n.
Với mọi A = aij , B = bij , C = cij ∈ Mn và λ ∈ R, các phép toán trên

Mn được xác định như sau
i) A + B = aij + bij ;
ii) λA = λaij ;
7


n

iii) AB = (cij ); (cij ) =

aik bkj ;
k=1

Khi đó Mn là một đại số trên R.
Chứng minh. Thật vậy, như ta đã biết với hai phép toán (i) và (ii) thì Mn lập
thành một không gian vectơ trên R.
Với mọi A = aij , B = bij , C = cij ∈ Mn , λ ∈ R, ta có:

• Giả sửD = A(B + C) =(dij ) ∈ Mn . Khi đó
n

dij

=

aik (bkj + ckj )
k=1



n

=

aik bkj +
k=1



n

aik ckj  .

k=1

Do đó D = AB + AC, vậy A(B + C) = AB + AC.
Tương tự ta cũng có (A + B)C = AC + BC.

• Đặt F= A(λB) = (f
ij ) ∈Mn . Khi đó 
n

fij = 

n

n

(λaik )bkj  = λ 

aik (λbkj ) = 
k=1



k=1



aik bkj  .
k=1

Do đó E = (λA)B = λ(AB).

Suy ra A(λB) = (λA)B = λ(AB).
Ví dụ 1.1.7. Với mọi a (a1 , a2 , a3 ) , b (b1 , b2 , b3 ) ∈ R3 và λ ∈ R, ta trang bị ba
phép toán
i) a + b = (a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 );
ii) λa = (λa1 , λa2 , λa3 );
iii) a ∧ b = (a2 b3 − a3 b2 , a3 b1 − a1 b3 , a1 b2 − a2 b1 ) .
Khi đó R3 cùng với ba phép toán trên lập thành một đại số trên R.
Chứng minh. Thật vậy, với hai phép toán (i) và (ii), R3 lập thành một không
gian véctơ. Mặt khác ta có
8


(i) (a + b) ∧ c = (a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 ) ∧ (c1 , c2 , c3 )
= ((a2 + b2 ) c3 − (a3 + b3 ) c2 , (a3 + b3 ) c1
− (a1 + b1 ) c3 , (a1 + b1 ) c2 − (a2 + b2 ) c1 )
= (a2 c3 + b2 c3 − a3 c2 − b3 c2 , a3 c1 + b3 c1
− a1 c3 − b1 c3 , a1 c2 + b1 c2 − a2 c1 − b2 c1 )
= (a2 c3 − a3 c2 , a3 c1 − a1 c3 , a1 c2 − a2 c1 )
+ (b2 c3 − b3 c2 , b3 c1 − b1 c3 , b1 c2 − b2 c1 )
= a ∧ c + b ∧ c.
(ii) a ∧ (b + c) = (a1 , a2 , a3 ) ∧ (b1 + c1 , b2 + c2 , b3 + c3 )
= (a2 (b3 + c3 ) − a3 (b2 + c2 ) , a3 (b1 + c1 )
− a1 (b3 + c3 ) , a1 (b2 + c2 ) − a2 (b1 + c1 ))
= (a2 b3 + a2 c3 − a3 b2 − a3 c2 , a3 b1 + a3 c1 − a1 b3
− a1 c3 , a1 b2 + a1 c2 − a2 b1 − a2 c1 )
= (a2 b3 − a3 b2 , a3 b1 − a1 b3 , a1 b2 − a2 b1 )
+ (a2 c3 − a3 c2 , a3 c1 − a1 c3 , a1 c2 − a2 c1 )
= a ∧ b + a ∧ c.
(iii) λ (a ∧ b) = λ (a2 b3 − a3 b2 , a3 b1 − a1 b3 , a1 b2 − a2 b1 )
= λ (a2 b3 − a3 b2 ) , λ (a3 b1 − a1 b3 ) , λ (a1 b2 − a2 b1 )

= (λa2 ) b3 − (λa3 ) b2 , (λa3 ) b1 − (λa1 ) b3 , (λa1 ) b2 − (λa2 ) b1
= λa ∧ b.
Tương tự ta có λ (a ∧ b) = a ∧ λb.

9


1.2

Đại số Banach

Định nghĩa 1.2.1. ([2]) Cho A là đại số có đơn vị e trên R, A được gọi là đại
số Banach nếu A được trang bị thêm một chuẩn . thỏa mãn các điều kiện
sau
i) A là một không gian Banach với chuẩn . ;
ii) xy ≤ x

y , ∀x, y ∈ A;

iii) chuẩn của phần tử đơn vị e = 1.
Nhận xét 1.2.2. ([2]) Phép nhân trong trên A là liên tục.
Chứng minh. Thật vậy, giả sử {(xn , yn )} là một dãy tùy ý trong A × A và

(xn , yn ) → (x, y) ∈ A × A, n → ∞. Khi đó,
xn → x ∈ A, n → ∞ và yn → y ∈ A, n → ∞. Ta có
xn yn − xy = xn yn − xyn + xyn − xy
= (xn − x)yn + x(yn − y)
≤ (xn − x)yn + x(yn − y)
≤ (xn − x) yn + x (yn − y) → 0, n → ∞

Ví dụ 1.2.3. Không gian C với phép nhân trong là phép nhân các số phức theo
nghĩa thông thường cùng với chuẩn z = |x| + |y| , ∀z = x + yi ∈ C lập thành
một đại số Banach có đơn vị là 1. Thật vậy, C là không gian vectơ trên R. Mặt
khác, ∀z1 = x1 + y1 i, z2 = x2 + y2 i, z3 = x3 + y3 i ∈ C, ∀λ ∈ R ta có:

• (z1 z2 )z3 = z1 (z2 z3 );
• (z1 + z2 )z3 = z1 z3 + z2 z3 , z1 (z2 + z3 ) = z1 z2 + z1 z3 ;
• λ(z1 z2 ) = z1 (λz2 ) = (λz1 )z2 .
Như vậy C là một đại số và ánh xạ
10


.

:

C −→ R

z −→

z := |x| + |y| , z = x + yi ∈ C

Là một chuẩn trên C. Rõ ràng C cùng với chuẩn trên là một không gian Banach
có 1 = 1 và z1 z2 = x1 x2 − y1 y2 + (x1 y2 + x2 y1 )i
= |x1 x2 − y1 y2 | + |x1 y2 + x2 y1 |

≤ |x1 x2 | + |y1 y2 | + |x1 y2 | + |x2 y1 |
= (|x1 | + |y1 |)(|x2 | + |y2 |)
= z1

z2 .

Vậy C là một đại số Banach.
Ví dụ 1.2.4. Giả sử E là một không gian Banach. Kí hiệu B(E) là không gian
các toán tử liên tục từ E vào E . Như ta đã biết B(E) là không gian Banach
với chuẩn

f = Sup f (x) , ∀f ∈ B(E).
x =1

Khi đó B(E) là đại số Banach với phép nhân trong là phép hợp thành các toán
tử, có phần tử đơn vị là toán tử đồng nhất idE và idE = 1. Thật vậy, rõ ràng

B(E) là một đại số trên K, với K = R hoặc K = C. Mặt khác, ∀f, g ∈ B(E)
ta có

f g = Sup

x =1

≤ g

f (x)

≤ g

f .

g(f (x))

Vậy B(E) là một đại số Banach.
Bây giờ ta kí hiệu Rn∗ = a = (a0 , a1 , ..., an−1 ), ai ∈ R, ∀i = 0, 1, 2, ..., n − 1
Trên Rn∗ ta trang bị các phép toán như sau

11


i) Phép cộng

a + b = (a0 + b0 , a1 + b1 , ..., an−1 + bn−1 ), ∀a = (a0 , a1 , ..., an−1 );
b = (b0 , b1 , ..., bn−1 ) ∈ Rn∗ ;
ii) Phép nhân với vô hướng

αa = (αa0 , αa1 , ..., αan−1 ), ∀a = (a0 , a1 , ..., an−1 ) ∈ Rn∗ , ∀α ∈ R;
iii) Phép nhân trong

∀a = (a0 , a1 , ..., an−1 ), b = (b0 , b1 , ..., bn−1 ) ∈ Rn∗ . Khi đó
i

ab = (c0 , c1 , ..., cn−1 ), với ci =

aj bi−j .
j=0

Mặt khác, trên Rn∗ ta xét ánh xạ

:

,

Rn∗ −→ R

a −→

a

Xác định bởi
n−1

a =
i=0

|ai |, ∀a(a0 , a1 , ..., an−1 ) ∈ Rn∗ .

Nhận xét 1.2.5. Rn∗ là một không gian định chuẩn với chuẩn , .
Chứng minh. Thật vậy, rõ ràng Rn∗ là một không gian vectơ trên trường số thực
R có cơ sở là {e0 ; e1 ; ...; en−1 } với ei = (0, ..., 1, ..., 0), (số 1 ở vị trí thứ i) bây
giờ ta lần lượt kiểm tra ánh xạ ,

thỏa mãn các tính chất của một chuẩn

Với mọi a(a1 , a2 , ..., an−1 ) ∈ Rn∗ , ta có
n−1

|ai | ≥ 0

a =
i=0

n−1

a =0⇔

|ai | = 0
i=0

⇔ |ai | = 0, ∀i = 0, 1, ...n − 1.
⇔ ai = 0, ∀i = 0, 1, ...n − 1.
⇔ a = 0.
12


Giả sử λ ∈ R, a(a1 , a2 , ..., an−1 ) ∈ Rn∗ , ta có

λa = (λa0 , λa1 , ..., λan−1 )∀λ ∈ R, a(a0 , a1 , ..., an−1 ) ∈ Rn∗ .
n−1

|λa|

Do đó λa =
i=0
n−1

|λ||a|

=
i=0

n−1

= |λ|

|a|
i=0

= |λ| a ∀a(a0 , a1 , ..., an−1 ) ∈ Rn∗ , λ ∈ R.
Cuối cùng vì, a + b = (a0 + b0 , a1 + b1 , ..., an−1 + bn−1 ), với mọi a(a0 , ..., an−1 ),

b(b0 , ..., bn−1 ) ∈ Rn∗ nên ta có
n−1

|ai + bi |

a+b =
i=0
n−1

≤

(|ai | + |bi |)
i=0
n−1

n−1

|ai | +

=

|bi |

i=0

i=0

= a + b
Mệnh đề 1.2.6. Rn∗ là một đại số Banach, giao hoán, có đơn vị e0 (1, 0, ..., 0)
và có cơ sở là {e0 , e1 , ..., en−1 } với ei = (0, ..., 1, ...0), (số 1 ở vị trí thứ i).
Chứng minh. Thật vậy, với a(a0 , ..., an−1 ), b(b0 , ..., bn−1 ) ∈ Rn∗ , giả sử

ab = (c0 , c1 , ..., cn−1 );
ba = (d0 , d1 , ..., dn−1 ).
Ta có
i

ci =

ai bi−j =
j=1

ak bl =
k+l=i

bai−m = di , ∀i = 0, 1, ..., n − 1.

al bk =
m=0

l+k=i

Suy ra ab = ba.
Rõ ràng e0 a = ae0 , ∀a(a0 , a1 , ..., an−1 ) ∈ Rn∗ và chuẩn e = 1.
Với mọi a(a0 , ..., an−1 ), b(b0 , ..., bn−1 ), c(c0 , c1 , ..., cn−1 ) ∈ Rn∗ .
Giả sử ab = d∗ (d∗1 , d∗2 , ..., d∗n−1 );

a(b + c) = a.a∗
Với a∗ (a∗0 , a∗1 , ..., a∗n−1 ) và a∗i = bi + ci , ∀i = 0, 1, ..., n − 1.
13


Ta có d∗i =
Ở đây b∗i =

i
j−0
i
j=0
i

aj bi−j , d∗∗
i =

i
j=0

aj ci−j , mặt khác, a.a∗ = b∗ (b∗0 , b∗1 , ..., b∗n−1 )

aj a∗i−j
aj (bi−j + ci−j )

=
j=0
i

=

(aj bi−j + aj ci−j )
j=0
i

=
=

i

aj bi−j +
j=0
d∗i +

aj ci−j
j=0

d∗∗
i , ∀i = 0, 1..., n − 1.

Suy ra a(b + c) = ab + ac.
Tính toán tương tự ta thu được (b + c)a = ba + ca.
Với mọi λ ∈ R, a(a0 , a1 , ..., an−1 ), b(b0 , b1 , ..., bn−1 ) ∈ Rn∗ giả sử
i

ab = c(c0 , c1 , ..., cn−1 ), ci =

aj bi−j . Khi đó
j=0

λ(ab) = (λc0 , λc1 , ..., λcn−1 ).
Vì
i

λci = λ

aj bi−j
j=0

i

=

λ(aj bi−j )
j=0
i

=

(λaj )bi−j
j=0

Suy ra λ(a.b) = (λa).b
Tính toán tương tự ta thu được λ(a.b) = a.(λb).
Vậy λ(a.b) = (λa).b = a.(λb.), ∀a = (a0 , a1 , ..., an−1 ), b = (b0 , b1 , ..., bn−1 ).

Tích trong có tính kết hợp. Thật vậy,

∀x(x0 ; ...; xn−1 ), y(y0 ; ...; yn−1 ), z(zo ; ...; zn−1 ) ∈ Rn∗ . Giả sử, (xy)z = (a0 ; ...an−1 ),

14


x(yz) = (b0 ; ...; bn−1 ). Khi đó :
ak =

(

xr .ys )zj =

i+j=k r+s=i

=

(xr .ys )zj
i+j=k r+s=i

xr .ys .zj =
r+t=k s+j=t

r+s+j=k

=

(ys .zj )xr

ys .zj )xr = bk , ∀k = 0, 1, 2, ..., n − 1.

(
t+r=k s+j=t

Như vậy, (xy)z = x(yz).
Với mọi x(x0 ; ...; xn−1 , y(y0 ; ...; yn−1 )), ta có:

x + y = |x0 + y0 | + ... + |xn−1 + yn−1 |
≤ (|x0 | + ... + |xn−1 |) + (|y0 | + ... + |yn−1 |)
= x + y .
Bây giờ ta chứng minh Rn∗ đầy đủ với chuẩn xác định như trên. Thật vậy,
Giả sử {xk }, xk = (xk0 ; ...; xkn−1 ) là một dãy Cauchy trong Rn∗ .
Khi đó, ∀ > 0, ∃n0 ∈ N sao cho ∀m, p ≥ n0 , ta có: xm − xp <
n−1

Suy ra
Do đó

i=0
|xm
i

n
|xm
i − xi |

− xni | < ; ∀m, p ∈ N, mà m, p ≥ n0 .

Như vậy, {xki } là dãy Cauchy trong R. Do R đầy đủ nên tồn tại x0i ∈ R; với

mọi i = 0, 1, ..., n − 1 : xki −→ x0i (khi k → ∞). Từ đây, ta suy ra {xk } hội tụ
về x0 , với x0 = (x01 ; ...; xn−1
0 ).
Cuối cùng, ta có
n−1

|

xy =

x i yj |

k=0 i+j=k
n−1

n−1 k

≤

|xi yj | =
k=0 i+j=k

|xi yk−i | =
k=0 i=0

n−1 n−1

≤

n−1

|xi ||yk | = (
k=0 i=0

n−1 k

n−1

|xi |)(
i=0

15

|xi ||yk−i |
k=0 i=0

|yk |) = x y .
k=0




 ei+j , nếu i + j ≤ n − 1;
Nhận xét 1.2.7. 1) ei .ej =

 0, nếu i + j > n − 1.
2)

ei = 1; ∀i = 0, 1, ..., n − 1.

Mệnh đề 1.2.8. ([2]) Giả sử A là một đại số Banach có đơn vị e, x ∈ A và

x < 1. Khi đó
a) e − x là phần tử khả nghịch trong A;
−1

b) (e − x)

x 2
−e−x ≤
.
1− x

Chứng minh. Ta xét chuỗi:
∞
2

n

xn

e + x + x + ... + x + ... =
n=0

trong đó ta quy ước x0 = e
Vì xn ≤ x

n

và x < 1 nên chuỗi tuyệt đối vì thế hội tụ.

Do đó:
∞

xn = s ∈ A.
n=0

Với mỗi n ≥ 1 ta đặt:

Sn = e + x + x2 + ... + xn .
Vì

e − xn+1 = (e − x)Sn = Sn (e − x), lim Sn = s
n→∞

và lim xn = 0 nên từ tính liên tục của phép nhân trong A ta nhận được:
n→∞

e = (e − x)s = s(e − x)
Vậy tồn tại (e − x)−1 = s ∈ A

16


b) Từ chứng minh trên ta có:

(e − x)−1 − e − x ≤ s − (e − x)
= x2 + x3 + ... + xn + ...
≤

x

n

=

n≥2

1.3

x 2
.
1− x

Đồng cấu đại số

Định nghĩa 1.3.1. ([2]) Cho A, B là hai đại số trên trường K (K = R hoặc K =
C). Một ánh xạ tuyến tính ϕ : A −→ B được gọi là một đồng cấu từ A vào B
nếu ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b), ∀a, b ∈ A.
Chú ý 1.3.2. Ánh xạ ϕ : A −→ B; x → 0, ∀x ∈ A là một đồng cấu và được
gọi là đồng cấu tầm thường. Trong suốt mục này chúng tôi luôn giả thiết một
đồng cấu là một ánh xạ khác không.
Ví dụ 1.3.3. Từ Ví dụ 1.1.3. ta biết rằng R[x] là đại số các đa thức một biến
trên trường số thực R. Mặt khác ta cũng dễ dàng kiểm tra được R là một đại số
với phép nhân trong là một đại số Banach, kết hợp và có đơn vị. Với mỗi λ ∈ R
xét ánh xạ

ϕλ :

R[x] −→ R

f −→ f (λ)
Khi đó ϕλ là một đồng cấu từ R[x] đến R. Thật vậy, ∀f, g ∈ R[x], ∀α ∈ R ta
có

ϕλ (f + g) = (f + g)(λ) = f (λ) + g(λ)
= ϕλ (f ) + ϕλ (g).
ϕλ (αf ) = (αf )(λ) = αf (λ)
= αϕλ (f ).
17


ϕλ (f g) = (f g)(λ) = f (λ)g(λ)
= ϕλ (f )ϕλ (g).
Vậy ϕλ là một đồng cấu từ R[x] đến R.
Chú ý 1.3.4. Một đồng cấu đại số và là đơn cấu được gọi là đơn cấu đại số
(gọi tắt là đơn cấu), một đồng cấu đại số và là toàn ánh thì gọi là toàn cấu đại
số (gọi tắt là toàn cấu). Một đồng cấu đại số và là song ánh thì đẳng cấu đại số
(gọi tắt là đẳng cấu).
Mệnh đề 1.3.5. ([1]) Giả sử A, B là hai đại số trên trường K và ϕ : A → B
là một đẳng cấu đại số. Khi đó ϕ−1 : B → A cũng là một đẳng cấu đại số.
Chứng minh. Thật vậy, vì ϕ là đẳng cấu nên ϕ là song ánh, do đó ϕ−1 cũng là
song ánh. Mặt khác, giả sử ∀f , g ∈ B, ∀a, b ∈ K sao cho ϕ(f ) = f , ϕ(g) = g ,
ta có

• ϕ−1 af + bg = ϕ−1 aϕ (f ) + bϕ (g)
= ϕ−1 ϕ (af + bg)
= af + bg
= aϕ−1 f + bϕ−1 g .
• ϕ−1 f g = ϕ−1 ϕ (f ) ϕ (g)

= ϕ−1 ϕ (f g)
= fg
= ϕ−1 f ϕ−1 g .

Mệnh đề 1.3.6. ([1]) Giả sử A, B, C là các đại số trên K. Các ánh xạ ϕ :

A → B và ψ : B → C là các đồng cấu đại số. Khi đó ánh xạ ψ ◦ ϕ : A → C
cũng là một đồng cấu đại số.
Chứng minh. Với mọi f, g ∈ G; a, b ∈ K , ta có
18


• (ψ ◦ ϕ)(af + bg) = ψ(ϕ(af + bg)
= ψ(a.ϕ(f ) + b.ϕ(g))
= a.ψ(ϕ(f )) + b.ψ(ϕ(g))
= a.(ψ ◦ ϕ)(f ) + b.(ψ ◦ ϕ)(g).
• (ψ ◦ ϕ)(f.g) = ψ(ϕ(f.g))
= ψ(ϕ(f ).ϕ(g))
= ψ(ϕ(f )).ψ(ϕ(g))
= (ψ ◦ ϕ)(f ).(ψ ◦ ϕ)(g).
Vậy ψ ◦ ϕ là một đồng cấu đại số.

Mệnh đề 1.3.7. ([2]) Cho A, B là hai đại số phức giao hoán có đơn vị lần lượt
là e và e . Giả sử ϕ là một đồng cấu từ A đến B. Khi đó
a) Nếu ϕ = 0 thì ϕ(e) = e ;
b) ϕ = 0 nếu x là phần tử khả nghịch.
Chứng minh. a) Vì ϕ = 0 nên tồn tại x ∈ A sao cho ϕ(x) = 0
Ta có ϕ(x) = ϕ(xe) = ϕ(ex)

= ϕ(x)ϕ(e)

Suy ra ϕ(e) = e .
b) Giả sử x là phần tử khả nghịch trong A khi đó, từ đẳng thức

e = ϕ(e) = ϕ(x−1 x) = ϕ(x−1 ϕ(x))
Ta suy ra ϕ(x) = 0
Mệnh đề 1.3.8. ([2]) Giả sử A là một đại số Banach có đơn vị e, x ∈ A,

x < 1 và ϕ là một đồng cấu phức trên A. Khi đó, |ϕ(x)| < 1.

19