DE THI CHON HSG QN

SỞ GD-ĐT Tỉnh Quảng Ngãi ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THỊ
Phòng GD-ĐT TX Quảng Ngãi Năm học : 2002–2003.
Môn thi : Toán lớp 9 .
(150 phút không kể thời gian giao đề ).
********************
Câu 1: Gọi a
1
, a
2
, ……. a
n-1
, a
n
, là các số nguyên thoả mãn điều kiện :
a
1
+ a
2
+ a
3
+……. +a
n-1
+ a
n
= q
a
1
5
+ a
2
5

+a
3
5
+ ……. +a
n-1
5
+ a
n
5
= p
Chứng minh rằng : Nếu q

30 thì p

30
Câu 2: Tìm tất cả các giá trò x, y, z thoả mãn đẳng thức :
zyxzyx
+−=+−
Câu 3 : Cho hai phương trình bậc hai : x
2
+a
1
x + b
1
= 0 (1)
x
2
+ a
2
x + b

2
= 0 (2)
có các hệ số thoả mãn điều kiện a
1
a
2

≥
2(b
1
+b
2
).
Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình trên phải có
nghiệm.
Câu 4 :
Tam giác ABC có ba góc đều nhọn . Kẻ ba đường cao AD ,BE, CF .
Lấy điểm M trên đoạn FD , lấy điểm N trên tia DE sao cho
MAN = BAC.
Chứng minh MA là phân giác NMF .



SỞ GD-ĐT Tỉnh Quảng Ngãi ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THỊ
Phòng GD-ĐT TX Quảng Ngãi Năm học : 2002–2003.
Môn thi : Toán lớp 8
(150 phút không kể thời gian giao đề )
********************************
Câu 1 : Có hay không số tự nhiên n sao cho 3
n

+1

10
1993
Câu 2 : Cho a, b, c là 3 số phân biệt thoả mãn :

0
ba
c
ac
b
cb
a
=
−
+
−
+
−
Chứng minh :
0
)ba(
c
)ac(
b
)cb(
a
222
=
−

+
−
+
−
.
Câu 3 :
Giải phương trình nghiệm nguyên :
x(x+1)(x+7)(x+8) = y
2
.
Câu 4 :
Trên mỗi cạnh của hình bình hành người ta lấy một điểm khác
đỉnh. Chứng minh rằng diện tích tứ giác có các đỉnh là các điểm
này thì bằng nửa diện tích của hình bình hành ,khi và chỉ khi 1
trong các đường chéo của tứ giác song song với một trong các cạnh
của hình bình hành .
SỞ GD-ĐT Tỉnh Quảng Ngãi . ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THỊ
Phòng GD-ĐT TX Quảng Ngãi Năm học : 2002–2003.
Môn thi : Toán lớp 7 .
(150 phút không kể thời gian giao đề ).
**************************
Câu 1: Tìm abcd biết abcd + ab +cd = 7968 .
Câu 2 : Giải phương trình :

163xx21x
=++−+−
Câu 3 : Cho a , b , c dương và
1
b
a

〈
.
Chứng minh rằng
cb
ca
b
a
+
+
〈
.
Câu 4 :
Từ trung điểm D của cạnh BC của
ABC
∆
người ta kẻ các đường
vuông góc với đường phân giác trong của góc A , đường này cắt
các đường thẳng AB và AC lần lượt tại M và N .
a) Chứng minh rằng : BM = CN.
b) Tính AM , BM theo AC = b ; AB = c.
SỞ GD-ĐT Tỉnh Quảng Ngãi ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THỊ
Phòng GD-ĐT TX Quảng Ngãi Năm học : 2002–2003.
Môn thi : Toán lớp 6.
(150 phút , không kể thời gian giao đề ).
**********************
Câu 1: Tính ab biết ab + a + b = 84
Câu 2 : Chứng minh
5
2
1000

1
999
1
............
5
1
4
1
3
1
2
1
〈+−−+−
Câu 3 : Tìm x
4x135x
+−=−
Câu 4 : Cho
ABC
∆
. Hãy xác đònh vò trí của điểm M thuộc đoạn BC sao
cho tổng khoảng cách từ các đỉnh B và C đến đường thẳng AM là :
a) Lớn nhất
b) Nhỏ nhất