CHUONG 1 toán cao cấp

Chương 1: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA
HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ
•
•
•

I. Hàm số một biến số
II. Giới hạn của hàm số
III. Tính liên tục của hàm số


I. Hàm số một biến số

• 1. Khái niệm hàm số
• 2. Một số tính chất cho hàm số
• 3. Các hàm sơ cấp


1. Khái niệm hàm số
• Cho tập X ⊂ , X  . Hàm f có miền xác
định X là một quy tắc cho tương ứng
mỗi số x  X với một và chỉ một số
thực y.
• Ký hiệu: f: X  
x y
x: biến độc lập
y: biến phụ thuộc


2. Một số tính chất cho hàm số
•

•
•
•
•

Hàm
Hàm
Hàm
Hàm
Hàm

số đơn điệu
chẵn (lẻ)
tuần hoàn
bị chặn
hằng


3. Các hàm sơ cấp
3.1 Các phép toán số học của hàm số
+ Tổng (hiệu)
+ Tích (thương)


3. Các hàm sơ cấp
3.2 Hàm hợp, hàm ngược:
• Hàm hợp: cho hai hàm f(x) xác định D,
u(x) xác định trên E sao cho f(D) E
Hàm hợp của hai hàm f và u là hàm ký
hiệu u.f với (u.f)(x) = u(f(x))

• Hàm ngược:
+ I là hàm đồng nhất trên D nếu I(x)=x,
xD
+ Nếu tồn tại hàm g thỏa g.f=I, f.g=I thì
g được gọi là hàm ngược của hàm f, ký
hiệu:f-1


3. Các hàm sơ cấp
3.3 Hàm sơ cấp cơ bản:
• Hàm lũy thừa: y = x ,   
• Hàm mũ: y = ax (a > 0, a 1)
• Hàm lôgarit: y = logax, (0• Hàm lượng giác: y=sinx, y=cosx,
y=tanx, y=cotanx
• Hàm lượng giác ngược: y=arcsinx,
y=arccosx, y=arctanx, y=arccotanx


3. Các hàm sơ cấp
3.4 Hàm sơ cấp:
• Hàm sơ cấp là hàm được tạo thành bởi
các hàm sơ cấp cơ bản bởi hữu hạn
các phép toán số học và phép lấy hàm
hợp.


II. Giới hạn của hàm số
• 1. Giới hạn của dãy số (SGK)
• 2. Giới hạn của hàm số

2. Giới hạn của hàm số
•
•
•
•

2.1.
2.2.
2.3.
2.4.

Khái niệm
Các định lý về giới hạn
Giới hạn thông dụng
Vô cùng bé, vô cùng lớn


2.1. Khái niệm
• Định nghĩa:
Hàm số f(x) có giới hạn là L khi x tiến
tới
x0 nếu:

∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho 0 < x − x0 < δ ⇒ f ( x ) − L < ε
• Ký hiệu:

lim f ( x ) = L

x → x0


2.1. Khái niệm
 Giới hạn một phía:
• Định nghĩa: Số L được gọi là giới hạn
trái (phải) của hàm số f(x) tại x0 nếu:
∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho 0 < x0 − x < δ ( 0 < x − x0 < δ )
⇒ f ( x) − L < ε

• Ký hiệu:
lim− f ( x ) = L
+ Giới hạn trái:
x → x0

lim+ f ( x ) = L
+ Giới hạn phải:
x → x0


2.2. Các định lý về giới hạn
 Các tính chất
lim f ( x ) = L
• Định lý 1: Giới hạn
x→ x
tại khi và
0

lim− f ( x )

x → x0

chỉ khi tồn tại
lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) = L
x →và
x0
x → x0

lim+ f ( x )

x → x0

,

tồn


2.2. Các định lý về giới hạn
• Định lý 2: Giới hạn của hàm số f(x) khi
xx0 nếu có là duy nhất.
• Định lý 3: Nếu f(x)  g(x) với mọi x nằm
lim f x
x0) và
, limtồn
g ( x)
(
trong một lân cận nào đó chứa
x → x0
x → x0
tại lim f ( x ) ≤ lim g ( x )

x→ x
x→ x
thì
0

0


2.2. Các định lý về giới hạn
 Các phép toán về giới hạn
• Định lý 4: Nếu các giới hạn
lim f ( x ) , lim g ( x )
x → x0

tồn tại hữu hạn thì

x → x0

1) lim  f ( x ) ± g ( x )  = lim f ( x ) ± lim g ( x )
x → x0

x → x0

x → x0

2) lim f ( x ) g ( x ) = lim f ( x ) . lim g ( x )
x → x0

x → x0

x → x0

f ( x)
f ( x ) xlim
→ x0
3) lim
=
, lim g ( x ) ≠ 0
x → x0 g ( x )
lim g ( x ) x → x0
x → x0

(

)


2.2. Các định lý về giới hạn
 Giới hạn của hàm hợp
• Định lý 5: Giả sử các hàm số f(u), u = u(x)
thỏa
mãn các điều kiện:

u ( x ) = b, lim f ( u ) = L
+ lim
x →a
u →b
+ Tồn tại số  > 0 sao cho với x(a- ,a+ ) và
xa

lim f ( u ( x ) ) = L

thì u(x)  b. Khi đó: x → a


2.2. Các định lý về giới hạn
• Định lý 6: Cho ba hàm f(x), g(x), h(x).
Giả sử trên miền xác định chung ta
có:
+ f(x) g(x) h(x)
+

lim f ( x ) = lim h ( x ) = L
x →a

x →a

lim g ( x ) = L

Khi đó: x →a


2.3. Giới hạn thông dụng
 Hai giới hạn cơ bản:

sin x
1) lim
=1
x →0
x

1
x

2) lim ( 1 + x ) = e,
x →0

x

 1
lim 1 + ÷ = e
x →∞
 x


2.3. Giới hạn thông dụng
 Giới hạn vô cùng của một số hàm sơ
cấp
α
α
• Hàm lim
lũy xthừa
= +∞, lim+ x = 0
x →+∞
x →0
+ >0:

lim xα = 0, lim+ xα = +∞

x →+∞

+ <0:
• Hàm mũ
lim
+a>1

x →+∞

x →0

a = +∞, lim a = 0
x

x

x →−∞

lim a = 0, lim a = +∞
x

+0
x →+∞

x

x →−∞


2.3. Giới hạn thông dụng
 Giới hạn vô cùng của một số hàm sơ cấp

• Logarit
+ a>1: lim

x →+∞

log a x = +∞, lim+ log a x = −∞

lim
+ 0
x →+∞

x →0

log a x = −∞, lim+ log a x = +∞
x →0

• Hàm lượng giác ngược
π

π
lim arc tan x = , lim arc tan x = −
x →+∞
2 x →−∞
2
lim arcco tan x = 0, lim arcco tan x = π
x →+∞

x →−∞

2.3. Giới hạn thông dụng
 Giới hạn vô cùng của một số hàm sơ cấp
• Hàm lượng giác

lim tan x = +∞, lim tan x = −∞
x→

π
2

x →−

π
2

lim co tan x = +∞, lim co tan x = −∞
x →0

x →π

• Hàm phân thức hữu tỉ

0, khi n < m

n
n −1
an x + an −1 x + ... + a0  an
lim
=  , khi n = m

m
m
−
1
x →∞ b x + b
+ ... + b0  bn
m
m −1 x
∞, khi n > m


2.4. Vô cùng bé, vô cùng lớn
• Định nghĩa:
- Hàm số (x) được gọi là vô cùng bé
(VCB) khi x  a nếulim α ( x ) = 0
x →a

- Hàm số (x) được gọi là vô cùng lớn
(VCL) khi x  a nếulim β ( x ) = +∞
x →a


2.4. Vô cùng bé, vô cùng lớn
 Tính chất
• Tổng hai VCB là VCB
• Tích một VCB và một đại lượng bị chặn
là một VCB
• Tích hai VCL là VCL
• Tổng một VCL và một đại lượng bị chặn
là một VCL

• Nếu (x) là một VCB và (x) 0 thì 1/ (x)
là VCL và ngược lại


2.4. Vô cùng bé, vô cùng lớn
• Định nghĩa: Cho (x), (x) là hai VCB

α ( x)
=L
khi x  a. Giả sử lim
x →a β ( x )
- Nếu L = 0: ta nói (x) là VCB cấp cao
hơn (x)
- Nếu L=1: ta nói (x) và (x) là hai VCB
tương đương
- Nếu L hữu hạn khác 0: ta nói (x) và
(x) là
hai VCB cùng bậc


2.4. Vô cùng bé, vô cùng lớn
• Định lý: (x) là một VCB tương đương
(x) khi x  a khi và chỉ khi
(x) = (x)+0((x))
• Định lý: Giả sử khi x  a ta có các cặp
VCB tương đươngα ( x ) ≈ α * ( x ) , β ( x ) ≈ β * ( x )

α *( x)
lim
và nếu tồn tại

x →a β * ( x )

α ( x)
α *( x)
lim
= lim
thì
x→a β ( x )
x →a β * ( x )