Đề cương toán cao cấp 1 chương 1

Chương I. SỐ THỰC VÀ HÀM SỐ
§ 1. TẬP HỢP VÀ ÁNH XẠ
1. Tập hợp và các phép toán trên tập hợp
1.1. Khái niệm tập hợp
Tập hợp là khái niệm cơ bản của toán học, không định nghĩa. Người ta
thường mô tả tập hợp. Chẳng hạn, tập hợp các học sinh trong một lớp học, tập hợp
các số tự nhiên, tập hợp nghiệm của phương trình
2
4 3 0x x− + =
,…
Một vật (hoặc đối tượng) nào đó nằm trong tập hợp được gọi là một phần tử
của tập hợp. Ta ký hiệu
x X∈
nếu
x
là phần tử của tập hợp
X
;
x X∉
nếu
x

không phải là phần tử của tập hợp
X
.
Một tập hợp được coi là đã cho nếu ta có thể xác định được một đối tượng
thuộc hay không thuộc tập hợp.
Ví dụ 1. Cho tập hợp
{ }
1, 2, 3X =
thì

2 , 5X X∈ ∉
.
Ví dụ 2. Nếu
{ }
2
: 4 3 0X x x x= − + =
thì
1 , 2X X∈ ∉
.
Định nghĩa 1. Cho hai tập hợp
A
và
B
. Ta nói
1.
( )A B B A x A x B⊆ ⊇ ⇔ ∀ ∈ ⇒ ∈
2.
,
A B
A B
x B x A
⊆

⊂ ⇔

∃ ∈ ∉

Ví dụ 3. Nếu
{ }
1, 2, 3, , , A n=

và
{ }
2, 4, 6, , 2 , B n=
thì
B A⊂
. Hiển
nhiên
A A⊆
với mọi tập hợp
A
.
Định nghĩa 2.
A B
A B
B A
⊆

= ⇔

⊆

Nếu
A
không bằng
B
ta viết là
A B≠
Tập hợp không chứa phần tử nào gọi là tập hợp rỗng, ký hiệu là Ø. Tập hợp
rỗng là tập hợp con của mọi phần tử. Chẳng hạn tập nghiệm thực của phương trình
2

12 0x x+ + =
là tập rỗng.
1.2. Các phép toán trên tập hợp
1.2.1. Hợp và giao
Định nghĩa 1. Hợp của một họ các tập hợp
{ }
1
n
k
k
A
=
là tập hợp gồm các phần tử
thuộc ít nhất một trong các tập hợp
; 1,
k
A k n=
, và được ký hiệu là
1
n
k
k
A
=
∪
.
Định nghĩa 2. Cho các tập hợp
1 2
, , ,
n

A A A
. Tập hợp
{ }
1
: ,
n
k k
k
A x x A k
=
∩ = ∈ ∀
gọi là giao của các tập hợp đã cho.
1
Nếu giao của các tập hợp bằng rỗng ta nói các tập hợp đó rời nhau. Hiển
nhiên
A A A
∩ =
.
Ví dụ 1. Nếu
{ }
0,2,4, ,2 , A n=
và
{ }
1,3,5, ,2 1, B n= −
thì
{ }
0,1,2, , , ;A B n A B Ø∪ = = ∩ =¥
Định lý 1. Với các tập hợp
,A B
và

C
ta có
(i). Tính chất giao hoán:
A B B A∪ = ∪

A B B A∩ = ∩
(ii). Tính chất kết hợp:
( ) ( )A B C A B C∪ ∪ = ∪ ∪

( ) ( )A B C A B C∩ ∩ = ∩ ∩
(iii). Tính chất phân phối:
( ) ( ) ( )A B C A B A C∪ ∩ = ∪ ∩ ∪

( ) ( ) ( )A B C A B A C∩ ∪ = ∩ ∪ ∩
Chứng minh.
1.2.2. Hiệu hai tập hợp
Định nghĩa 3. Cho hai tập hợp
A
và
B
. Tập hợp
{ }
: ,A B x x A x B− = ∈ ∉
gọi là hiệu của hai tập hợp
A
và
B
.
Nếu
B A⊆

thì ta gọi hiệu
A B
−
là phần bù của tập hợp
B
đối với tập hợp
A
và ký hiệu là
A
C B
.
Ví dụ 2.
{ }
1,2,3,4,5A =
và
{ }
1,5,6,7B =
{ }
1,2,3A B− =
,
{ }
6,7B A− =
Ví dụ 3.
{ } { }
1,2,3, , , ; 2,4,6, ,2 , A n B n= =
{ }
1,3,5, ,2 1,
A
A B C B n− = = −
1.2.3. Công thức đối ngẫu De Morgan

Nếu mọi tập hợp được xét đến đều nằm trong một tập hợp
R
nào đó thì
R

được gọi là không gian. Hiệu
R E
−
của không gian
R
và tập
E R⊆
được gọi là
phần bù của tập hợp
E
và ký hiệu là
R
C E
hoặc
CE
.
Định lý 2. Ta có
(i).
( )
( )
C E CE
α α
α α
∪ = ∩
(ii).

( )
( )
C E CE
α α
α α
∩ = ∪
Chứng minh.
1.2.4. Tích Decartess.
Tích Decartess của hai tập hợp
X
và
Y
là tập hợp
{ }
x ( , ): ,X Y x y x X y Y= ∈ ∈
Ví dụ. Nếu
{ } { }
, , ; ,X x y z Y a b= =
thì
2
{ }
x Y= ( , );( , );( , );( , );( , );( , )X x a x b y a y b z a z b
.
1.3. Ánh xạ
1.3.1. Ánh xạ
Định nghĩa 1. Cho hai tập hợp
X
và
Y
. Nếu có một quy luật

f
sao cho mỗi
phần tử
x X∈
có một và chỉ một phần tử
y Y∈
xác định theo quy luật
f
đó thì
ta sẽ gọi
f
là một ánh xạ của tập
X
vào tập
Y
. Ký hiệu
:f X Y→
Phần tử
y
ứng với phần tử
x
qua ánh xạ
f
được gọi là ảnh của
x
(qua
ánh xạ
f
), còn phần tử
x

được gọi là tạo ảnh của
y
, ký hiệu
: ( )f x y f x=a
Ví dụ 1. Ánh xạ hằng
0
:f X Y
x y
→
a
Ví dụ 2. Cho
X Y⊆
. Ánh xạ
:f X Y
x x
→
a
được gọi là ánh xạ đồng nhất.
Định nghĩa 2. Cho ánh xạ
:f X Y→
. Với mỗi tập con
A X⊂
, ta ký hiệu
{ }
( ) ( ) :f A y f x x A= = ∈
gọi là ảnh của tập hợp
A
qua ánh xạ
f
.

Định lý 1. Cho ánh xạ
:f X Y→
. Với mỗi tập con
,A X B X⊂ ⊂
, ta có
1.
( )A f A= ∅ ⇔ = ∅
2.
( ) ( )A B f A f B⊂ ⇒ ⊂
3.
( ) ( ) ( )f A B f A f B∩ ⊂ ∩
4.
( ) ( ) ( )f A B f A f B∪ = ∪
Định nghĩa 3. Cho ánh xạ
:f X Y→
. Với mỗi tập con
B Y⊂
, ta ký hiệu
{ }
1
( ) : ( )f B x X f x B
−
= ∈ ∈
gọi là tạo ảnh của tập hợp
B
qua ánh xạ
f
.
Định lý 2. Cho ánh xạ
:f X Y→

. Với các tập con
,M N Y⊂
ta có
1.
1 1
( ) ( )M N f M f N
− −
⊂ ⇒ ⊂
2.
1 1 1
( ) ( ) ( )f M N f M f N
− − −
∩ = ∩
3.
1 1 1
( ) ( ) ( )f M N f M f N
− − −
∪ = ∪
4.
1 1 1
( ) ( ) ( )f M N f M f N
− − −
− = −
nếu
M N⊃
1.3.2. Đơn ánh, toàn ánh, song ánh
3
1.3.3. Ánh xạ ngược
1.3.4. Ánh xạ tích
§ 2. TẬP HỢP SỐ THỰC

1. Sự cần thiết mở rộng tập hợp số thực.
Tập hợp các số hữu tỷ không đủ giải ngay cả những bài toán đơn giản.
Chẳng hạn ta dễ dàng chứng minh được không có số hữu tỷ
r
nào mà
2
2r =
.
Thật vậy, giả sử ngược lại có số hữu tỷ
p
r
q
=
với
, *p q∈ ∈¢ ¥
và phân số là tối
giản mà
2
2
p
q
 
=
 ÷
 
. Từ đó ta suy ra
2 2
2p q=
hay
p

là số chẵn, tức là
2p k=
.
Do đó ta nhận được
2 2
2q k=
và
q
cũng là số chẵn. Điều đó mâu thuẫn với
( )
, 1p q =
.
Nếu chỉ hạn chế trong tập hợp các số hữu tỷ thì có những đoạn thẳng không
có độ dài. Chẳng hạn độ dài đường chéo của hình vuông có cạnh bằng
1
không
phải là số hữu tỷ
p
q
. Bởi vì nếu ngược lại thì
2
2
2
p
q
=
.
2. Tiên đề Achimede. Với mỗi số hữu tỷ
0r >
luôn tồn tại một số tự nhiên

n
sao
cho
n r>
.
3. Nhắt cắt Dedekin
Định nghĩa 1. Ta gọi tập
α
các số hữu tỷ là một nhắt cắt nếu
(i).
,
α α
≠ ∅ ≠ ¤
;
(ii). Nếu
p
α
∈
và số hữu tỷ
q p<
, thì
q
α
∈
;
(iii). Trong
α
không có số lớn nhất.
Nhận xét 1. Những số không thuộc nhắt cắt
α

đếu lớn hơn mọi số thuộc nhắt cắt
đó. Tức là nếu
p
α
∈
và
q
α
∉
thì
p q<
. Thật vậy, giả sử ngược lại thì xảy ra
hai khả năng sau
+
q p
α
= ∈
.
+
q p
α
< ∈
thì theo tiên đề (ii) ta được
q
α
∈
.
Định nghĩa 2. Ta gọi tập những số không thuộc nhắt cắt
α
là lớp trên của nhắt cắt

đó và ký hiệu là
'
α
. Mỗi số thuộc
α
gọi là số dưới, mỗi số thuộc
'
α
gọi là số
trên.
Ví dụ 1. Cho số hữu tỷ
r
. Tập
{ }
:a a r
α
= ∈ <¤
là một nhát cắt.
(i). Hiển nhiên các số hữu tỷ
1r
α
− ∈
và
1r
α
+ ∉
.
4
(ii). Nếu
p

α
∈
và số hữu tỷ
q p<
, thì
p r<
. Do đó
q p r< <
, tức là
q
α
∈
.
(iii). Giả sử tập
α
có số lớn nhất là
m
. Khi đó
m r<
và hiển nhiên
2
m r
m r
+
< <
Do đó
2
m r
α
+

∈
. Điều đó trái với giả thiết
m
là số lớn nhất.
Ngoài ra ta thấy
r
là số bé nhất trong lớp trên
'
α
. Thật vậy, theo định
nghĩa
r
α
∉
nên
'r
α
∈
. Mặt khác, số hữu tỷ tuỳ ý
'q
α
∈
thì
q r≥
vì nếu trái lại
thì
q
α
∈
.

Ví dụ 2. Tập
α
gồm mọi số hữu tỷ không dương và những số hữu tỷ dương
a
mà
2
2a <
là một nhát cắt.
(i). Hiển nhiên
0
α
∈
và
2
α
∉
.
(ii). Giả sử
p
α
∈
và số hữu tỷ
q p<
.Khi đó.
+ nếu
0q <
thì
q
α
∈

;
+ nếu
0q >
thì
2 2
2q p< <
. Do đó ta cũng có
q
α
∈
.
(iii). Giả sử trong
α
có số lớn nhất là
m
(đương nhiên
0m >
). Bởi vì
0m >
và
m
α
∈
nên chọn số nguyên dương
n
đủ lớn sao cho
2
2
2
1 1 2

2
m
m m
n n n
 
+ = + + <
 ÷
 
,
tức là

2
2
1 2
2
m
m
n n
+ < −
(1)
Bởi vì
2
1 2 1 2m m
n n n
+
+ ≤
,
nên ta sẽ có (1) nếu chọn được
n
đủ lớn sao cho

2
2
1 2 1 2
2
2
m m
m n
n m
+ +
< − ⇔ >
−
Điều đó thực hiện được theo tiên đề Achimede. Như vậy
1
m
n
α
+ ∈
và
1
m m
n
+ >
, trái với giả thiết rằng
m
là số lớn nhất trong
α
.
Nhận xét 2. Lớp trên
'
α

không có số bé nhất. Thật vậy, giả sử tập
{ }
2
' : 0; 2r r r
α
= ∈ > >
¤
5
Có số bé nhất là
'r
α
∈
. Bởi vì
0r >
và
2
2r >
nên
1r
>
và
1
0r
n
− >
. Ta chọn
n
đủ lớn sao cho
2
2

2
1 1 2
2
r
r r
n n n
 
− = + − >
 ÷
 
,
tức là
2
2
2 1
2
r
r
n n
− < −
.
Muốn vậy ta chọn
n
sao cho
2
2
2 2
2
2
r r

r n
n r
< − ⇔ >
−
.
Rõ ràng
1
'r
n
α
− ∈
và
1
r r
n
− <
. Điều mâu thuẫn này chứng tỏ
r
không phải là
số bé nhất trong lớp trên
'
α
.
Nhận xét 3. Mỗi nhát cắt
α
thuộc một trong hai loại sau:
Loại 1. Lớp trên
'
α
có số bé nhất.

Loại 2. Lớp trên
'
α
không có số bé nhất.
Nhận xét 4. Từ ví dụ 1 ta thấy với mỗi số hữu tỷ
r
tập
{ }
:a a r
α
= ∈ <¤
Là một nhát cắt loại 1, trong đó
r
là số bé nhất của lớp trên. Như vậy tập hợp các
số hữu tỷ và tập các nhát cắt loại 1 có sự tương ứng 1-1. Ta gọi nhát cắt loại 1 là
nhát cắt hữu tỷ và ký hiệu là
r
+
. Nhát cắt
{ }
: 0a a
α
= ∈ <¤
được ký hiệu là
0
+
.
Định nghĩa. Ta ký hiệu tập hợp các nhát cắt là
¡
.

4. Quan hệ thứ tự trong
¡
Định nghĩa 1. Cho hai nhát cắt
α
và
β
. Ta nói hai nhát cắt đó bằng nhau, viết là
α β
=
nếu các tập
α
và
β
bằng nhau. Ngược lại ta nói chúng khác nhau, viết là
α β
≠
.
Định nghĩa 2. Cho hai nhát cắt
α
và
β
. Ta nói rằng
+
α
bé hơn
β
và viết là
α β
<
(hoặc

β α
>
) nếu tồn tại số hữu tỷ
p
sao
cho
p
β
∈
và
p
α
∉
.
+
α β α β
≤ ⇔ <
hoặc
α β
=
+
α β β α
> ⇔ <
.
Ta nói rằng
+
α
dương nếu
0
α

+
>
,
+
α
không âm nếu
0
α
+
≥
+
α
âm nếu
0
α
+
<
,
+
α
không dương nếu
0
α
+
≤
.
6
Định lý 1. Với các nhát cắt
α
và

β
có một và chỉ một trong ba quan hệ
, ,
α β α β α β
< = >
.
Chứng minh. Rõ ràng chỉ xảy ra một trong hai khả năng:
(i). nếu
α β
=
thì định lý được khẳng định.
(ii). nếu
α β
≠
thì hai tập hợp không trùng nhau. Do đó phải tồn tại số hữu
tỷ
p
sao cho
+ Hoặc
p
β
∈
và
p
α
∉
. Khi đó
α β
<
.

+ Hoặc
p
α
∈
và
p
β
∉
. Khi đó
α β
>
.
Định lý 2. Cho các nhát cắt
,
α β
và
γ
. Nếu
α β
<
và
β γ
<
thì
α γ
<
.
Chứng minh. Bởi vì
β γ
<

nên tồn tại số hữu tỷ
p
γ
∈
và
p
β
∉
. Khi đó, từ
α β
<
và
p
β
∉
suy ra
p
α
∉
. Điều đó có nghĩa là
α γ
<
.
5. Các phép toán trên
¡
5.1. Phép cộng nhát cắt.
Bổ đề 1. Giả sử
,
α β
∈¡

. Nếu
γ
là tập các số hữu tỷ
; ,r p q p q
α β
= + ∈ ∈

thì
γ
∈¡
.
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh
γ
là một nhát cát. Thật vậy
(i). Hiển nhiên
γ
khác rỗng. Gọi
s
và
t
là những số hữu tỷ mà
s
α
∉
và
t
β
∉
thì
s t p q+ > +

với mọi
,p q
α β
∈ ∈
. Điều đó suy ra
s t
γ
+ ∉
hay
γ
≠ ¤
.
(ii). Lấy
r
γ
∈
và
s
là một số hữu tỷ bé hơn
r
. Vì
r
γ
∈
nên tồn tại
p
α
∈

và

q
β
∈
sao cho
r p q= +
. Ta chọn số hữu tỷ
t
sao cho
s t q= +
. Khi đó
t p<

(vì
,s r r p q< = +
). Từ
t p<
và
p
α
∈
suy ra
t
α
∈
. Bởi vì
t
α
∈
và
q

β
∈

nên
s t q
γ
= + ∈
(iii). Giả sử rằng
r
γ
∈
. Khi đó tồn tại
p
α
∈
và
q
β
∈
sao cho
r p q= +
.
Trong
α
tồn tại số hữu tỷ
s
mà
s p>
. Khi đó
s q

γ
+ ∈
và
s q r+ >
, hay
r

không phải là số lớn nhất trong
γ
.
Định nghĩa 1. Giả sử
,
α β
∈¡
. Nhát cắt
{ }
: ,r p q p q
γ α β
= = + ∈ ∈
được
gọi là tổng của các nhát cắt
α
và
β
, ký hiệu là
α β
+
.
Định lý 1. Với các nhát cắt
,

α β
và
γ
ta có
1.
α β β α
+ = +
2.
( ) ( )
α β γ α β γ
+ + = + +
3.
0
α α
+
+ =
.
4. Với mỗi
α
∈¡
tồn tại
β
∈¡
sao cho
0
α β
+
+ =
5. Nếu
β γ

<
thì
α β α γ
+ < +
6. Với các nhát cắt
α
và
γ
tồn tại duy nhất nhát cắt
β
sao cho
α β γ
+ =
. Ta gọi
β
là hiệu của hai nhát cắt
γ
và
α
, ký hiệu là
γ α
−
.
5.2. Phép nhân nhát cắt
7
Bổ đề 2. Cho các nhát cắt
0
α
+
>

và
0
β
+
>
. Khi đó, tập
{
. : ,r p q p q
γ α β
= = ∈ ∈
và mọi số hữu tỷ âm
}
là một nhát cắt.
Định nghĩa 2. Ta gọi nhát cắt xây dựng trong Bổ đề 2 là tích của hai nhát cắt
không âm
α
và
β
, ký hiệu là
.
γ α β
=
.
Định nghĩa 3. Với mỗi nhát cắt
α
cho trước ta gọi số
α
được xác định như sau
là giá trị tuyệt đối của nhát cắt
α

khi 0
khi <0
α α
α
α α
+
+

≥

=

−


Rõ ràng
0
α
+
>
với mọi
α
và
0
α
=
nếu và chỉ nếu
0
α
+

=
.
Định nghĩa 4. Giả sử
,
α β
∈¡
. Tích
.
α β
được định nghĩa như sau
( )
( )
. ; 0 , 0
. . ; 0 , 0
. ; 0 , 0
α β α β
α β α β α β
α β α β
+ +
+ +
+ +

− < >


= − > <


< <



Định lý 2. Cho các nhát cắt
, ,
α β γ
bất kỳ ta có
1.
. .
α β β α
=
2.
( ) ( )
. . . .
α β γ α β γ
=
3.
( )
. . .
α β γ α β α γ
+ = +
4.
.0 0
α
+ +
=
5.
. 0 0 0
α β α β
+ + +
= ⇔ = ∨ =
6.

.1
α α
+
=
7. Nếu
α β
<
và
0
γ
+
>
thì
. .
α γ β γ
<
8. Nếu
0
α
+
≠
thì với mỗi
β
∈¡
đều tồn tại một và chỉ một
γ
∈¡
sao
cho
.

γ α β
=
. Ta gọi nhát cắt
γ
là thương của
β
và
α
, ký hiệu là
β
α
.
Định lý 3. Với các nhát cắt hữu tỷ
,p q
bất kỳ ta có
1.
( )p q p q
+ + +
+ = +
2.
. ( . )p q p q
+ + +
=
3.
p q p q
+ +
< ⇔ <
Chứng minh.
1. Nếu
r p q

+ +
∈ +
thì
r s t= +
trong đó
,s p t q< <
. Do đó
r p q< +
, tức là
( )r p q
+
∈ +
.
8
Ngược lại, nếu
( )r p q
+
∈ +
thì
r p q< +
. Đặt
0, ,
2 2
h h
h p q r s p t q= + − > = − = −
thì ta có
,s p t q
+ +
∈ ∈
và

r s t= +
. Như vậy
r p q
+ +
∈ +
.
2. Chứng minh như tính chất 1.
3. Nếu
p q
+ +
<
thì sẽ có số hữu tỷ
r
sao cho
r q
+
∈
và
r p
+
∉
. Do đó
p r q< <
tức là
p q<
.
Ngược lại, nếu
p q<
thì
p q

+
∈
. Mặt khác ta lại biết
p p
+
∉
. Như vậy
p q
+ +
<
.
6. Tính chất trù mật của tập
¡
Định lý 1. Nếu các nhát cắt
α β
<
thì tồn tại nhát cắt hữu tỷ
r
+
sao cho
r
α β
+
< <
.
Chứng minh. Nếu
α β
<
thì tồn tại số hữu tỷ
p

sao cho
,p p
β α
∈ ∉
. Chọn số
hữu tỷ
r p>
sao cho
r
β
∈
(điều này thực hiện được vì trong
β
không có số lớn
nhất). Vì
,r r r
β
+
∈ ∉
nên
r
β
+
<
.
Mặt khác
p r
+
∈
và

p
α
∉
nên
r
α
+
<
.
Định lý 2. Với mỗi nhát cắt bất kỳ
α
ta có
p
α
∈
khi và chỉ khi
p
α
+
<
.
Chứng minh. Với số hữu tỷ
p
bất kỳ ta có
p p
+
∉
. Do đó nếu
p
p

p p
α
α
+
+
∈

⇒ <

∉

Ngược lại, nếu
p
α
+
<
thì tồn tại số hữu tỷ
q
sao cho
q
p
q p p q
α
α
+
∈

⇒ ∈

∉ ⇒ ≤


.
7. Số thực.
Định nghĩa. Ta gọi mỗi nhát cắt là một số thực. Nhát cắt loại 1 là một số hữu tỷ,
nhát cắt loại 2 là một số vô tỷ - tập hợp các số vô tỷ được ký hiệu là Ι. Ta vẫn ký
hiệu tập hợp số thực là
¡
.
Ví dụ. Nhát cắt
{ } { }
2
: 0 2q q q
α
−
= ∈ ∪ ≤ <
¤
Cho ta một số vô tỷ mà ta thường ký hiệu là
2
.
Định lý (Dedekin). Giả sử
A
và
B
là tập hợp những số thực thoả mãn điều kiện
(i).
,A B≠ ∅ ≠ ∅
9
(ii).
A B∪ = ¡
(iii).

A B∩ = ∅
(iv). nếu
,A B
α β
∈ ∈
thì
α β
<
.
Khi đó tồn tại một và chỉ một số thực
γ
sao cho
α γ
≤
với mọi
A
α
∈
và
γ β
≤

với mọi
B
β
∈
.
Chứng minh.
Duy nhất. Giả sử tồn tại hai số
1 2

γ γ
<
thoả mãn giả thiết của Định lý. Khi đó
1 2
α γ γ β
≤ < ≤
với mọi
A
α
∈
và
B
β
∈
.
Chọn
3
γ
sao cho
1 3 2
γ γ γ
< <
(thực hiện được bởi tính trù mật của
¡
). Bởi vì
A B
∪ =
¡
, nên từ
3 2

γ γ β
< ≤
với mọi
B
β
∈
suy ra
3
A
γ
∈
; từ
1 3
α γ γ
≤ <
với
mọi
A
α
∈
suy ra
3
B
γ
∈
. Điều đó mâu thuẫn với
A B∩ = ∅
.
Tồn tại. Ta gọi
γ

là tập hợp mọi số hữu tỷ
p
thoả mãn điều kiện
p
α
∈
với mọi
số
A
α
∈
. Ta sẽ chứng minh rằng
1.
γ
là một số thực
(i).
A A
α
≠ ∅ ⇒ ∃ ∈
. Bởi vì
α
là nhát cắt nên tồn tại số hữu tỷ
p
α
∈
.
Do đó
γ
≠ ∅
.

Do
B ≠ ∅
nên có thể lấy được số
B
β
∈
. Chọn số hữu tỷ
q
β
∉
. Khi đó
q
α
∉
với mọi
A
α
∈
. Bởi vì (iv) nên
α β
<
, tức là
q
γ
∉
. Vậy
γ
≠ ¤
.
(ii). Lấy

p
γ
∈
và giả sử
q p<
. Vì
p
γ
∈
nên tồn tại một số
A
α
∈
sao
cho
p
α
∈
và
q p<
nên
q
α
∈
(theo tiên đề (ii) đối với nhát cắt Dedekin).
(iii). Với mỗi số
p
γ
∈
đều có số

A
α
∈
sao cho
p
α
∈
. Do
α
là nhát cắt
nên tồn tại
q
α
∈
và
q p>
(theo tiên đề (iii) đối với nhát cắt). Vì
q
α
∈
với
A
α
∈
nên
q
γ
∈
. Điều đó chứng tỏ
γ

không có số lớn nhất.
2.
γ
thoả mãn điều kiện của định lý
Rõ ràng
α γ
≤
với mọi
A
α
∈
Giả sử tồn tại số
B
β
∈
mà
β γ
<
. Vì
β γ
<
nên tồn tại số hữu tỷ
p
sao
cho
,p p
γ β
∈ ∉
. Nhưng nếu
p

γ
∈
thì tồn tại số
A
α
∈
sao cho
p
α
∈
. Từ đó
suy ra
β α
<
. Điều đó mâu thuẫn với (iv). Vậy
γ β
≤
với mọi
B
β
∈
.
Hệ quả. Với các giả thiết của Định lý trên thì hoặc
A
chứa số lớn nhất hoặc
B

chứa số nhỏ nhất.
Chứng minh.
Do giả thiết

A B∪ = ¡
nên phải có
A
γ
∈
hoặc
B
γ
∈
. Nếu
A
γ
∈
thì
γ

là số lớn nhất trong
A
, nếu
B
γ
∈
thì
γ
là số bé nhất trong
B
Mặt khác do
A B∩ = ∅
nên không thể đồng thời
A

γ
∈
và
B
γ
∈
.
8. Cận trên và cận dưới
Định nghĩa 1. Cho tập số thực
E
. Ta nói
(i). Tập hợp
E
bị chặn trên nếu tồn tại số
β
sao cho với mọi
x E∈
thì
x
β
≤
. Khi đó ta cũng nói
β
là một cận trên của tập
E
.
10
(ii). Tập hợp
E
bị chặn dưới nếu tồn tại số

α
sao cho với mọi
x E∈
thì
x
α
≤
. Khi đó ta cũng nói
α
là một cận dưới của tập
E
.
(iii). Tập hợp
E
bị chặn nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới.
Nhận xét. Nếu
α
là một cận dưới của tập hợp
E
thì mọi số
1
α α
<
cũng là cận
dưới của
E
. Nếu
β
là một cận trên của tập hợp
E

thì mọi số
1
β β
>
cũng là cận
trên của
E
.
Định nghĩa 2.
(i). Cận trên
β
nhỏ nhất của tập hợp
E
gọi là cận trên đúng của tập
E
, ký
hiệu là
sup E
β
=
. Hay
sup
0 :
x E x
E
x A x
ε ε
β
β
ε β ε

∀ ∈ ≤

= ⇔

∀ > ∃ ∈ > −

(ii). Cận dưới
α
lớn nhất của tập hợp
E
gọi là cận dưới đúng của tập
E
,
ký hiệu là
inf E
α
=
. Hay
inf
0 :
x E x
E
x A x
ε ε
α
α
ε α ε
∀ ∈ ≥

= ⇔


∀ > ∃ ∈ < +

Ví dụ 1. Cho
*
1
:E n
n
 
= ∈
 
 
¥
. Khi đó
sup 1 , inf 0E E E E= ∈ = ∉
.
Định nghĩa 3. Nếu
sup E
β
=
và
E
β
∈
thì
β
được gọi là giá trị lớn nhất của
E
,
ký hiệu là

max E
β
=
.
Nếu
inf E
α
=
và
E
α
∈
thì
α
được gọi là giá trị nhỏ nhất của
E
, ký
hiệu là
min E
α
=
.
Định lý. Cho tập hợp số thực không rỗng
E
. Khi đó
1. Nếu
E
bị chặn trên thì tồn tại
sup E
.

2. Nếu
E
bị chặn dưới thì tồn tại
inf E
.
Chứng minh.
1. Ký hiệu
A
là tập số thực được xác định như sau:
:A x E x
α α
∈ ⇔ ∈ <
còn
B
là tập số thực không thuộc
A
. Như vậy không có phần tử nào của
A
là cận
trên của
E
và mọi phần tử của
B
đều là cận trên của
E
. Muốn chứng minh tồn
tại cận trên đúng ta chứng minh
B
có số bé nhất. Trước hết ta thấy
,A B

thoả mãn
các giả thiết của định lý Dedekin.
(i). Bởi vì
E ≠ ∅
nên tồn tại phần tử
x E∈
và mọi số
x
α
<
đều thuộc
A

nên
A ≠ ∅
. Do
E
bị chặn trên nên tồn tại
y
sao cho
x y≤
với mọi
x E∈
, nghĩa
là
B ≠ ∅
.
(ii).
A B∪ = ¡
.

(iii).
A B∩ = ∅
11
(iv). Lấy
,A B
α β
∈ ∈
. Vì
A
α
∈
nên tồn tại
x E∈
sao cho
x
α
<
; vì
B
β
∈
nên
x
β
≤
. Như vậy
α β
<
.
Theo hệ quả của Định lý Dedekin thì hoặc

A
chứa số lớn nhất hoặc
B

chứa số bé nhất. Lấy số bất kỳ
A
α
∈
. Khi đó tồn tại
x E∈
sao cho
x
α
<
. Rõ
ràng có số
'
α
sao cho
' x
α α
< <
. Vì
' x
α
<
nên
' A
α
∈

. Điều đó chứng tỏ rằng
α
không phải là số lớn nhất của
A
. Vậy trong
A
không có số lớn nhất và trong
B
có số nhỏ nhất.
2. Chứng minh tương tự
9. Hệ số thực mở rộng
Định nghĩa 1. Hệ thống số thực mở rộng, ký hiệu là
¡
gồm tập hợp số thực
¡
và
hai ký hiệu
,−∞ + ∞
thoả mãn các điều kiện sau đây:
1. với mọi
x∈¡

x−∞ < < + ∞
;
0
x x
= =
−∞ +∞

( ) ; ( )x x+ +∞ = +∞ − +∞ = −∞

2. Nếu
0x >
thì

.( ) ; .( ) ;
0
x
x x+∞ = +∞ −∞ = −∞ = +∞
3. Nếu
0x <
thì

.( ) ; .( ) ;
0
x
x x+∞ = −∞ −∞ = +∞ = −∞
Định nghĩa 2. Giả sử
E
là một tập hợp gồm các phần tử trong tập hợp số thực mở
rộng.
(i). nếu
E
không bị chặn trên thì ta nói
sup E = +∞
;
(ii). nếu
E
không bị chặn dưới thì ta nói
inf E = −∞

.
Như vậy trong
¡
mọi tập hợp số thực đều có cận trên đúng và cận trên đúng.
§ 3. HÀM SỐ
3.1. Khái niệm hàm số
3.2. Các phương pháp cho hàm số
3.3.Các phép toán trên hàm số
3.4. Các hàm số đặc biêt
3.4.1. Hàm số đơn điệu
3.4.2. Hàm số bị chặn và hàm số không bị chặn
3.4.3. Hàm số chẵn và hàm số lẻ
3.4.4. Hàm số tuần hoàn
3.5. Hàm số hợp
12
3.6. Hàm số ngược
3.7. Các hàm sơ cấp đơn giản
13