Đề cương toán cao cấp 1 chương 2

Chương II. LÝ THUYẾT GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC
A. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
§1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1.1. Dãy số và giới hạn của dãy số
Định nghĩa 1. Dãy số là ánh xạ
*
:
( )
n
a
n a n a
→
=
¥ ¡
a
Người ta thưòng ký hiệu dãy số là
{ }
n
a
.
Ta gọi mỗi số
; 1, 2, 3,
n
a n =
là số hạng (hay phần tử) của dãy số;
n
là
chỉ số của số hạng
n
a
. Dãy số được xác định nếu ta biết số hạng tổng quát

n
a
của
nó.
Định nghĩa 2. Số
a∈¡
gọi là giới hạn của dãy số
{ }
n
a
và ta viết

( )
lim , 0 :
n n n
n
a a a a n N n N a a
ε ε
→∞
= → → ∞ ⇔ ∀ > ∃ ∀ ≥ − <
.
Nếu dãy
{ }
n
a
có giới hạn là
a
ta nói dãy đó hội tụ về
a
. Nếu dãy không

có giới hạn ta nói dãy phân kỳ.
Định lý 1. Giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất.
Chứng minh. Thật vậy, giả sử dãy
{ }
n
a
có hai giới hạn khác nhau là
a
và
b
. Khi
đó chọn
0a b
ε
= − >
. Bởi vì
1 1
lim :
2
n n
n
a a N n N a a
ε
→∞
= ⇒∃ ∀ ≥ − <
,
và
2 2
lim :
2

n n
n
a b N n N a b
ε
→∞
= ⇒ ∃ ∀ ≥ − <
.
Chọn
{ }
1 2
ax ,N m N N=
thì với mọi
n N≥
ta có:
2 2
n n n n
a b a a a b a a a b
ε ε
ε ε
= − = − + − ≤ − + − < + =
Mâu thuẫn chứng tỏ điều phải chứng minh.
Ví dụ 1. Dãy
{ }
n
a
trong đó
n
a a=
với mọi
n

, có giới hạn là
a
. Thật vậy, với
mọi
0 1N n N
ε
> ∃ = ∀ ≥
ta có
n
a a a a
ε
− = − <
.
Do đó
lim
n
n
a a
→∞
=
.
1
Ví dụ 2. Dãy
{ }
n
a
trong đó
1
n
a

n
=
, có giới hạn là
0
. Thật vậy, với mọi
0
ε
>

1
1N n N
ε
 
∃ = + ∀ ≥
 
 
ta có
1 1 1
0
n
a a
n n N
ε
− = − = ≤ <
.
Do đó
1
lim 0
n
n

→∞
=
.
Ví dụ 3.
lim 0
n
n
q
→∞
=
nếu
1q <
+ Nếu
0q =
thì
0
n
q =
với mọi
n
. Do đó theo ví dụ 1, ta có
lim 0
n
n
q
→∞
=
.
+ Nếu
0q ≠

thì với mọi
0 log 1
q
N n N
ε ε
 
> ∃ = + ∀ ≥
 
ta có
log
0
q
n n N
q q q q
ε
ε
− = ≤ < =
.
Ví dụ 4. Dãy
{ }
( 1)
n
n
a
= −
không có giới hạn. Thật vậy, nếu dãy
( )
{ }
1
n

−
có giới
hạn là
a
, thì với
1 N n N
ε
= ∃ ∀ ≥
ta có:
( 1) 1
n
a− − <
. Khi đó, với
n
chẵn và
n
lẻ ta có
1 1 1a a− − = + <

1 1a− <
.
Điều đó đi đến mâu thuẫn
2 1 1 1 1 1 1 1 1 2a a a a= + < − + + ≤ − + + < + =
.
Vậy dãy
( )
{ }
1
n
−

không có giới hạn.
1. 2. Mở rộng khái niệm dãy số
Định nghĩa 3. Dãy
{ }
n
a
được gọi là có giới hạn là
+∞
và ký hiệu là
lim 0 :
n n
n
a M N n N a M
→∞
= +∞ ⇔ ∀ > ∃ ∀ ≥ >
;
Dãy
{ }
n
a
được gọi là có giới hạn là
+∞
và ký hiệu là
lim 0 :
n n
n
a M N n N a M
→∞
= −∞ ⇔ ∀ > ∃ ∀ ≥ < −
.

Chú ý. Mặc dù viết
lim
n
n
a
→∞
= −∞
hoặc
lim
n
n
a
→∞
= +∞
nhưng ta không gọi chúng là
các dãy hội tụ mà gọi chúng phân kỳ đến
±∞
.
Ví dụ 1.
lim
n
n
→∞
= +∞
. Thật vậy với mọi
2
0 1M N M n N> ∃ = + ∀ ≥
ta có
2 2
1n N M M M≥ = + > =

2
Ví dụ 2.
( )
lim 1
n
n
→∞
− = −∞
. Thật vậy với mọi
0 2M N M n N> ∃ = + ∀ ≥
ta có
( )
2
2
1 1 2 1n M M M− ≤ − + = − − < −
1.3. Dãy bị chặn
Định nghĩa 4. Dãy
{ }
n
a
được gọi là bị chặn nếu tập
{ }
:
n
a n∈¥
có tính chất
tương ứng.
Định lý 2. Mọi dãy hội tụ đều bị chặn
Chứng minh. Giả sử
lim

n
n
a a
→∞
=
. Khi đó với
1 N n N
ε
= ∃ ∀ ≥
ta có
1
n n
a a a a− ≤ − <
.
Từ đó ta nhận được
1
n
a a< +
với mọi
n N≥
.
Chọn
{ }
1 2 1
ax , , , , 1
N
M m a a a a
−
= +
thì rõ ràng

n
M a M− ≤ ≤
với mọi
1, 2, 3, n =
1.4. Dãy con và giới hạn riêng
Định nghĩa 5. Cho dãy
{ }
n
a
và dãy các số nguyên dương tăng nghiêm ngặt
1 2

n
m m m< < < <
.
Ta gọi dãy mới
{ }
n
m
a
là dãy con của dãy
{ }
n
a
, ký hiệu là
{ }
{ }
n
m n
a a⊂

.
Định nghĩa 6. Nếu dãy
{ }
n
m
a
hội tụ thì ta gọi giới hạn của nó là giới hạn riêng
của dãy
{ }
n
a
.
Ví dụ 1. Cho dãy
1 1 1
1, , , , ,
2 3 n
. Khi đó dãy
1 1 1 1
, , , , ,
2 4 6 2n
là dãy con của
nó.
Ví dụ 2. Dãy
{ } { }
2 1n n
a a
+
⊂
. Nhưng dãy
1 1 2 2

, , , , a a a a
không phải là dãy con của dãy
{ }
n
a
.
Chú ý. Hiển nhiên rằng
1.
n
m n≥
.
2. Mỗi dãy là dãy con của chính nó.
3. Nếu dãy
{ }
{ }
n
m n
a a⊂
và
{ }
{ }
n n
k
m n
a a⊂
thì
{ }
{ }
n
k

m n
a a⊂
.
Định lý 3. Mỗi dãy con
{ }
n
m
a
của một dãy hội tụ cũng là một dãy hội tụ và
lim lim
n
m n
n n
a a
→∞ →∞
=
Chứng minh. Giả sử
3
lim 0 :
n n
n
a a N n N a a
ε ε
→∞
= ⇔ ∀ > ∃ ∀ ≥ − <
.
Nhưng
n
m n N> ≥
nên ta cũng có

n
m
a a
ε
− <
Điều đó có nghĩa là
lim
n
m
n
a a
→∞
=
.
§ 2. CÁC PHÉP TOÁN VÀ TÍNH CHẤT CỦA CÁC DÃY HỘI TỤ
1. Phép toán.
Định lý 4. Nếu các dãy
{ }
n
a
và
{ }
n
b
hội tụ thì các dãy
{ } { }
; . ;
n
n n n n
n

a
a b a b
b
 
±
 
 

(nếu
0
n
b ≠
với mọi
n
) cũng hội tụ và
(i).
( )
lim lim lim
n n n n
n n n
a b a b
→∞ →∞ →∞
± = ±
(ii).
( )
lim . lim .lim
n n n n
n n n
a b a b
→∞ →∞ →∞

=
(iii).
lim
lim
lim
n
n n
n
n n
n
a
a
b b
→∞
→∞
→∞
 
=
 ÷
 
(nếu
lim 0
n
n
b
→∞
≠
).
Chứng minh. Giả sử
lim

n
n
a a
→∞
=
và
lim
n
n
b b
→∞
=
.
(i). Khi đó với mọi
0
ε
>
tồn tại số nguyên dương
N
sao cho
,
2 2
n n
a a b b
ε ε
− < − <
;
với mọi
n N≥
. Từ đó ta có

( )
( )
( ) ( )
2 2
n n n n n n
a b a b a a b b a a b b
ε ε
ε
± − ± = − ± − ≤ − + − < + =
.
(ii). Bởi vì
{ }
n
a
hội tụ nên theo Định lý 2, tồn tại
0M >
sao cho
n
a M≤

với mọi
1, 2, 3, n =
. Theo giả thiết, với mọi
0
ε
>
tồn tại số nguyên dương
N

sao cho

;
n n
a a b b
M b M b
ε ε
− < − <
+ +
; với mọi
n N≥
.
Khi đó, với mọi
n N≥
ta có
( ) ( )
. . . .
. .
n n n n n
n n n
a b a b a b b b a a
a b b b a a
− = − + −
≤ − + −

. .M b
M b M b
ε ε
ε
< + =
+ +
.

Vậy
( )
lim . lim .lim
n n n n
n n n
a b a b
→∞ →∞ →∞
=
.
4
(iii). Từ (ii) ta chỉ cần chứng minh
1 1
lim
n
n
b b
→∞
=
. Bởi vì
0b ≠
và
lim
n
n
b b
→∞
=

nên với
0

ε
>
tồn tại số nguyên dương
N
sao cho
2
.
2
n
b
b b
ε
− <
và
2
n
b
b b− <
; với mọi
n N≥
.
Từ
2
n n
b
b b b b− ≤ − <
, ta suy ra
2
n
b

b >
; với mọi
n N≥
. Do đó
2
.
1 1
2
. .
.
2
n
n
n n n
b
b b
b b
b
b b b b b b
b
ε
−
−
− = = <
Vậy
1 1
lim
n
n
b b

→∞
=
.
Định nghĩa. Nếu
lim , lim
n n
n n
a A b B
→∞ →∞
= =
thì ta gọi
( )
lim
n n
n
a b
→∞
±
có dạng
A B±
;
( )
lim .
n n
n
a b
→∞
có dạng
.A B
và

lim
n
n
n
a
b
→∞
có dạng
a
b
.
Định lý 5. Ta có thể mở rộng cho các dạng sau đây
(i).
a + ∞ = +∞
(ii).
a − ∞ = −∞
(iii).
( )
0
.
0
khi a
a
khi a
+∞ >

+∞ =

−∞ <


(iv).
0
a
=
±∞
(v).
0
a
= +∞
Ngoài ra ta cũng có các dạng chưa xác định sau đây, gọi là các dạng vô định
0
; 0. ; ;
0
∞
∞ − ∞ ∞
∞
Ví dụ 1.
1 1
, 1
n n
a n b n
n n
   
= + = − + +
   
   
. Rõ ràng
( )
lim
n n

n
a b
→∞
−
có dạng
∞ − ∞
. Ta có
( )
lim 1
n n
n
a b
→∞
− =
.
Ví dụ 2.
2 1
,
n n
a b
n n
   
= =
   
   
. Ta có
lim
n
n
n

a
b
→∞
có dạng
0
0
và
lim 2
n
n
n
a
b
→∞
=
.
2. Tính chất về giới hạn
5
Định lý 6. Nếu
lim
n
n
a a
→∞
=
thì dãy
{ }
n
a
hội tụ và có

lim
n
n
a a
→∞
=
.
Chứng minh. Bởi vì
lim
n
n
a a
→∞
=
nên với mọi
0
ε
>
tồn tại số nguyên dương
N

sao cho
n
a a
ε
− <
; với mọi
n N≥
.
Khi đó ta cũng có

n n
a a a a
ε
− ≤ − <
; với mọi
n N≥
.
Như vậy
lim
n
n
a a
→∞
=
.
Định lý 7. Nếu
lim ; lim
n n
n n
a a b b
→∞ →∞
= =
và
n n
a b≤
; với mọi
n
thì
a b≤
.

Chứng minh. Giả sử trái lại
a b>
. Khi đó với
0
0
2
b a
ε
−
= >
tồn tại số nguyên
dương
N
sao cho
0n
a a
ε
− <
và
0n
b b
ε
− <
;
với mọi
n N≥
. Từ đó ta suy ra
0N
a a
ε

> −
và
0N
b b
ε
< +
. Ta đi đến mâu thuẫn
0 0N N
b b a a
ε ε
< + = − <
.
Định lý 8 (giới hạn kẹp). Nếu
lim lim
n n
n n
a b
β
→∞ →∞
= =
và
n n n
a c b≤ ≤
với mọi
n
thì
dãy
{ }
n
c

cũng hội tụ và
lim
n
n
c
β
→∞
=
.
Chứng minh. Bởi vì
n n n
a c b
β β β
− ≤ − ≤ −
với mọi
n
nên
{ }
ax ,
n n n
c m a b
β β β
− ≤ − −
.
Từ giả thiết
lim lim
n n
n n
a b
β

→∞ →∞
= =
suy ra với mọi
0
ε
>
tồn tại số nguyên dương
N

sao cho
n
a
β ε
− <
và
n
b
β ε
− <
; với mọi
n N≥
.
Do đó ta cũng có
n
c
β ε
− <
; với mọi
n N≥
Điều đó có nghĩa rằng

lim
n
n
c
β
→∞
=
.
Ví dụ . Tìm giới hạn
2 2 2
2 2 2
1 2
lim
n
n n n n
n n n
→∞
 
+ + +
+ + +
 ÷
 ÷
 
.
Ta có
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
1 1 2
. .
n n n n n n n

n n
n n n n n
+ + + + +
≤ + + + ≤
hay
2 2 2
2 2 2 2
1 1 2 1
1 1
n n n n
n n n n n
+ + +
+ ≤ + + + ≤ +
Từ đó suy ra
6
2 2 2
2 2 2
1 2
lim 1
n
n n n n
n n n
→∞
 
+ + +
+ + + =
 ÷
 ÷
 
§ 3. TIÊU CHUẨN HỘI TỤ CỦA DÃY SỐ

3.1. Tiêu chuẩn hội tụ đơn điệu
Định nghĩa 1. Dãy
{ }
n
a
được gọi là
(i). tăng nếu
1 2

n
a a a≤ ≤ ≤ ≤
; giảm nếu
1 2

n
a a a≥ ≥ ≥ ≥
.
(ii). tăng thực sự nếu
1 2

n
a a a< < < <
; giảm thực sự nếu
1 2

n
a a a> > > >
Dãy tăng hay giảm gọi chung là dãy đơn đơn điệu.
Nhận xét. Dãy tăng luôn bị chặn dưới, dãy giảm luôn bị chặn trên.
Định lý 9. Một dãy đơn điệu hội tụ nếu và chỉ nếu nó là dãy bị chặn.

Chứng minh.
Điều kiện cần. Được suy từ Định lý 2 mà không cần đến giả thiết dãy đó là đơn
điệu.
Điều kiện đủ. Trước hết ta chứng minh dãy
{ }
n
a
đơn điệu tăng và bị chặn trên là
hội tụ. Ký hiệu
{ }
*
:
n
A a n
= ∈
¥
. Theo nguyên lý supremum tồn tại
supa A=
.
Khi đó với mỗi
0
ε
>
tồn tại
0
n
sao cho
0
n
a a

ε
> −
. Từ đó với mọi
0
n n≥
ta có
0
n n
a a a a a
ε ε
− < ≤ ≤ < +
Do đó
n
a a
ε
− <
. Như vậy
lim
n
n
a a
→∞
=
.
Trường hợp dãy
{ }
n
a
giảm và bị chặn dưới được chứng minh tương tự.
Ví dụ 1. Xét sự hội tụ của dãy

2 2 2 2
1 1 1 1

1 2 3
n
a
n
 
= + + + +
 
 
.
Hiển nhiên dãy trên là tăng. Mặt khác với mọi
n
ta có
1 1 1
1
1.2 2.3 ( 1).
n
a
n n
≤ + + +
−

1 1 1 1 1 1
1
1 2 2 3 2 3
     
= − − + − + + −
 ÷  ÷  ÷

     

1
2 2
n
= − <
.
Như vậy dãy
{ }
n
a
bị chặn. Do đó dãy đã cho hội tụ.
Ví dụ 2. Xét dãy sự hội tụ của dãy
1
1
n
n
a
n
 
 
 
= +
 
 ÷
 
 
 
Trước hết ta chứng minh dãy đã cho tăng. Thật vậy, theo công thức khai triển nhị
thức Newton ta có

7

0 1 2
2
1 1 1 1
1 . . .
n
n
n n n n
n
C C C C
n n n n
 
+ = + + + +
 ÷
 


2
1 ( 1) 1 ( 1) 1 1
1 . . .
1.2 1.2
n
n n n n
n
n n n n
− −
= + + + +

1 1 1 1 2 1

1 1 1 1 . 1 1
2! !
n
n n n n n
−
       
= + + − + + − − −
 ÷  ÷ ÷  ÷
       
Tương tự ta cũng có
1
1 1 1 1 1 2 1
1 1 1 1 1 . 1 1
1 2! 1 ! 1 1 1
n
n
n n n n n n
+
−
         
+ = + + − + + − − −
 ÷  ÷  ÷ ÷  ÷
+ + + + +
         

1 1 2
1 . 1 1
( 1)! 1 1 1
n
n n n n

     
+ − − −
 ÷  ÷  ÷
+ + + +
     
Các số hạng trong khai triển
1
1
1
1
n
n
+
 
+
 ÷
+
 
đều lớn hơn hoặc bằng các số hạng
tương ứng trong khai triển
1
1
n
n
 
+
 ÷
 
. Ngoài ra khai triển
1

1
1
1
n
n
+
 
+
 ÷
+
 
còn nhiều
hơn một số hạng dương. Vì vậy
1
1 1
1 1
1
n n
n n
+
   
+ < +
 ÷  ÷
+
   
Cũng theo khai triển trên ta có
1 1 1
1 1 1
2! !
n

n n
 
+ ≤ + + + +
 ÷
 

1 1 1
2
1.2 2.3 ( 1).n n
≤ + + +
−

1 1 1 1 1
2 1
2 2 3 1n n
     
= + − + − + + −
 ÷  ÷  ÷
−
     

1
3 3
n
= − <
.
Theo tiêu chuẩn đơn điệu dãy đã cho hội tụ.
Định nghĩa 2.
1
lim 1

n
n
e
n
→∞
 
+ =
 ÷
 
, người ta chứng minh được
e
là số vô tỷ
2,718281828 e =
Định nghĩa 3. Ta gọi logarit cơ số
e
là logarit tự nhiên hay logarit Nepier. Thay
cho cách viết
log
e
x
ta viết là
ln x
.
3.2. Tiêu chuẩn Cauchy
8
Định nghĩa 4. Dãy các đoạn thẳng
[ ]
{ }
,
n n

a b
được gọi là dãy đoạn thắt nếu thoả
mãn hai điều kiện sau
(i).
[ ] [ ]
1 1
, ,
n n n n
a b a b
+ +
⊂
với mọi
1, 2, 3, n =
(ii)
( )
lim 0
n n
n
b a
→∞
− =
.
Bổ đề 1 (Cantor). Nếu
[ ]
{ }
,
n n
a b
là một dãy đoạn thắt thì tồn tại điểm chung duy
nhất thuộc mọi đoạn.

Chứng minh. Theo giả thiết
1 2 2 1

n n
a a a b b b≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
Do đó tập
{ }
: *
n
A a n N= ∈
bị chặn trên. Gọi
supc A=
. Hiển nhiên rằng
n n
a c b≤ ≤
với mọi
1, 2, 3, n =
Vậy
[ ]
,
n n
c a b∈
với mọi
1, 2, 3, n =
Mặt khác, giả sử còn có
[ ]
' ,
n n
c a b∈
với mọi

1, 2, 3, n =
thì
' 0
n n
c c b a− ≤ − →
khi
n → ∞
.
Do đó
'c c≡
.
Bổ đề 2 (Bolzano-Weierstrass). Từ mọi dãy bị chặn đều rút ra được một dãy con
hội tụ.
Chứng minh. Giả sử dãy
{ }
n
a
bị chặn. Khi đó tồn tại hai số
a
và
b
sao cho
n
a a b≤ ≤
với mọi
1, 2, 3, n =
Chia đoạn
[ ]
,a b
thành hai phần bằng nhau. Ít nhất một trong hai đoạn phải chứa

vô số số phần tử của dãy
{ }
n
a
, ta gọi đoạn đó là
1
∆
. Lại chia
1
∆
thành hai phần
bằng nhau, một trong hai đoạn đó gọi là
2
∆
phải chứa vô số số phần tử của dãy
{ }
n
a
. Tiếp tục mãi quá trình đó ta được dãy các đoạn thắt
[ ]
1 2
,
n
a b ⊃ ∆ ⊃ ∆ ⊃ ⊃ ∆ ⊃
Trong đó
[ ]
,
n n n
a b∆ =
và

0;
2
n n
n
b a
b a n
−
− = → → ∞
.
Theo Bổ đề 1, tồn tại điểm
α
chung cho mọi đoạn và
lim lim
n n
n n
a b
α
→∞ →∞
= =
.
Ta rút ra một dãy con của dãy
{ }
n
a
như sau: trong
1
∆
lấy một phần tử bất
kỳ ký hiệu là
1

m
a
, trong
2
∆
lấy một phần tử bất kỳ ký hiệu là
2
m
a
sao cho
2 1
m m>
(điều đó thực hiện được vì
2
∆
chứa vô số số phần tử của dãy
{ }
n
a
). Tiếp
tục quá trình đó ta được một dãy con
{ }
{ }
n
m n
a a⊂
. Bởi vì
n
m n>
nên

n n
m m n
a ∈∆ ⊂ ∆
. Do đó
9
n
n m n
a a b
α α
≤ ≤
↓ ↓
Từ đó suy ra
lim
n
m
n
a
α
→∞
=
.
Ví dụ. Dãy
( )
{ }
1
n
n
a = −
bị chặn rút ra được các dãy con hội tụ là
{ }

2
1 ;
n
a =

{ }
2 1
1
n
a
+
= −
với
2
lim 1
n
n
a
→∞
=
và
2 1
lim 1
n
n
a
+
→∞
= −
Định lý 10 (Tiêu chuẩn Cauchy). Dãy

{ }
n
a
hội tụ khi và chỉ khi với mọi
0 , :
m n
N m n N a a
ε ε
> ∃ ∀ ≥ − <
Chứng minh.
Điều kiện cần: Giả sử
lim
n
n
a a
→∞
=
. Khi đó với mọi
0
ε
>
cho trước luôn tồn tại số
nguyên dương
N
để với mọi
n N≥
ta có
2
n
a a

ε
− <

Như vậy, với mọi
m N≥
ta cũng có
2
m
a a
ε
− <
.
Từ đó suy ra
2 2
m n m n m n
a a a a a a a a a a
ε ε
ε
− = − + − ≤ − + − < + =
;
với mọi
,m n N≥
.
Điều kiện đủ. Trước hết ta chú ý rằng dãy
{ }
n
a
bị chặn. Theo giả thiết với
1
ε

=

tồn tại số nguyên dương
N
sao cho
1
m n
a a− <
với mọi
,m n N≥
.
Đặc biệt
1 1 1
n N N n N
a a a a a− < ⇔ − < < −
với mọi
n N≥
.
Điều đó chứng tỏ
{ }
n
a
bị chặn.
Theo Bổ đề Bolzano-Weierstrass, từ dãy
{ }
n
a
trích ra được dãy con
{ }
n

m
a

hội tụ. Giả sử
lim
n
m
n
a a
→∞
=
. Khi đó với mọi
0
ε
>
tồn tại số nguyên dương
N
để
với mọi
n N≥
ta có
2
n
m
a a
ε
− <
Bởi vì
n
m n N≥ ≥

nên theo giả thiết
10
2
n
m n
a a
ε
− <
Khi đó ta có
2 2
n n n n
n n m m n m m
a a a a a a a a a a
ε ε
ε
− = − + − ≤ − + − < + =
.
Vậy
lim
n
n
a a
→∞
=
.
Định nghĩa 5. Dãy
{ }
n
a
đựoc gọi là dãy Cauchy nếu với mọi

0
ε
>
tồn tại số
nguyên dương
N
sao cho
m n
a a
ε
− <
với mọi
,m n N>
§4. GIỚI HẠN TRÊN VÀ GIỚI HẠN DƯỚI
Định nghĩa. Nếu tồn tại giới hạn riêng lớn nhất (nhỏ nhất) của dãy
{ }
n
a
thì nó
được gọi là giới hạn trên (giới hạn dưới) của dãy đó và ký hiệu là
limsup
n
n
a
→∞
hoặc
lim
n
n
a

→∞
(
liminf
n
n
a
→∞
hoặc
lim
n
n
a
→∞
) .
Định lý 11. Mọi dãy số
{ }
n
a
đều có giới hạn trên và giới hạn dưới trong
¡
.
Chứng minh. Trước hết ta chứng minh sự tồn tại giới hạn trên của dãy
{ }
n
a
.
(i). Nếu
{ }
n
a

không bị chặn trên, thì bao giờ ta cũng trích ra được một dãy
con
{ }
n
m
a
mà
lim
n
m
n
a
→∞
= +∞
. Khi đó
+∞
là giới hạn riêng lớn nhất của
{ }
n
a
, tức
là
lim
n
n
a
→∞
= +∞
.
(ii). Nếu

{ }
n
a
bị chặn trên thì tồn tại số
M
sao cho
n
a M≤
với mọi
n
. Ta
ký hiệu
{ } { }
1 2
sup sup , , ,
k n k k k
n k
M a a a a
+ +
≥
= =
Ta thấy rằng
k
M M≤
với mọi
k
và
{ }
k
M

giảm. Vì
{ }
k
M
giảm nên bao giờ
cũng có
*
lim
k
k
M M
→∞
=
(hữu hạn hoặc bằng
−∞
). Ta sẽ chứng minh
*
lim
n
n
a M
→∞
=
.
1.
*
M
là một giới hạn riêng của dãy
{ }
n

a

+ Trường hợp
*
lim
k
k
M M
→∞
= = −∞
: Với mỗi số
0R >
tồn tại số nguyên
dương
N
để
k
M R< −
với
k N>
. Khi đó ta cũng có
{ }
sup
n k k
n k
a a M R
≥
≤ = < −
; với
n k N≥ >

.
Điều đó có nghĩa là
lim
n
n
a
→∞
= −∞
và mọi dãy con của nó cũng có giới hạn bằng
−∞
.
+ Trường hợp
*
M
hữu hạn: Vì
*
lim
k
k
M M
→∞
=
nên với mọi
0
ε
>
tồn tại số
nguyên dương
0
N

sao cho
11
*
k
M M
ε
− <
; với mọi
0
k N≥
.
Hay
* *
k
M M M
ε ε
− < < +
; với mọi
0
k N≥
. (1)
Vì
{ }
sup
k n
n k
M a
≥
=
nên ta có

*
n k
a M M
ε
≤ < +
; với mọi
0
n k N≥ ≥
. (2)
Xét
k
M
với
0
k N>
. Theo định nghĩa cận trên đúng tồn tại số nguyên dương
0
N k N≥ >
sao cho
k N
M a
ε
− <
.
Lại do dãy
{ }
k
M
giảm nên
*

k N
M M a
ε ε
− < − <
. (3)
Từ (2) và (3) suy ra
* *
N
M a M
ε ε
− < < +
.
Như vậy với mỗi
0
ε
>
tồn tại chỉ số
N
sao cho
*
N
a M
ε
− <
Ta lấy dãy số dương
{ }
i
ε
mà
lim 0

i
i
ε
→∞
=
. Theo chứng minh trên với mỗi
i
ε
tồn tại
một
i
N
a
sao cho
*
i
N
a M
ε
− <
.
Đương nhiên ta có thể chọn
1
( 1, 2, )
i i
N N i
+
> =
. Do đó ta nhận được dãy con
{ }

{ }
i
N n
a a⊂
và
*
lim
n
N
n
a M
→∞
=
. Vậy
*
M
là một giới hạn riêng của dãy
{ }
n
N
a
.
2.
*
M
là giới hạn riêng lớn nhất. Thật vậy giả sử
{ }
{ }
i
n n

a a⊂
mà
lim
i
n
i
a a
→∞
=
.
Theo (2) với
i
n
đủ lớn ta có
*
i
n
a M
ε
< +
Do đó
*
a M
ε
< +
Vì
0
ε
>
nhỏ tuỳ ý nên

*
a M≤
. Điều đó chứng tỏ mọi giới hạn riêng của
{ }
n
a

đều không vượt quá
*
M
.
Tương tự ta chứng minh được sự tồn tại giới hạn dưới
*
M
của
{ }
n
a
. Trong
trường hợp này dãy
{ }
n
a
bị chặn dưới
n
a M≥
; với mọi
1, 2, 3, n =
.
Ta ký hiệu

{ }
inf
k n
n k
M a M
≥
= ≤
và
*
lim
k
k
M M
→∞
=
.
Trường hợp
*
M
hữu hạn ta có
Với mỗi
0
ε
>
tồn tại số nguyên dương
0
N
sao cho
12
*n

a M
ε
> −
; với mọi
0
n N>
. (4)
Định lý 12. Điều kiện cần và đủ để dãy
{ }
n
a
có giới hạn (hữu hạn hoặc
∞
) là
lim lim
n n
n
n
a a
→∞
→∞
=
.
Chứng minh.
Điều kiện cần. Nếu dãy
{ }
n
a
có giới hạn là
a

thì mọi dãy con của nó cũng có giới
hạn là
a
, nên hiển nhiên
lim lim
n n
n
n
a a
→∞
→∞
=
Điều kiện đủ. Giả sử
lim lim
n n
n
n
a a
→∞
→∞
=
. Nếu ký hiệu
*
*
lim , lim
n n
n
n
a M a M
→∞

→∞
= =

thì
*
*
M M M= =
. Theo (2) và (4) tồn tại số nguyên dương
N
sao cho
n
M a M
ε ε
− < < +
; với mọi
n N>
.
Điều đó có nghĩa rằng
lim
n
n
a a
→∞
=
.
B. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
§ 1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1.1. Giới hạn của hàm số tại một điểm.
Định nghĩa 1. Cho tập hợp

X
⊂
¡
. Ta nói điểm
0
x ∈¡
là điểm giới hạn của tập
X
nếu tồn tại dãy
{ } { }
0
\
n
x X x⊂
sao cho
0
,
n
x x n→ → ∞
.
Nếu có thể chọn dãy
{ }
n
x
như trên nhưng
0n
x x<
hoặc
0n
x x>

với mọi
1n ≥
thì ta nói
0
x
là điểm giới hạn trái hoặc điểm giới hạn phải của
X
.
Định nghĩa 2. Cho hàm số
( )y f x=
xác định trên
{ }
0 0
\ ,X x x ∈¡
là điểm tụ
của tập
X
. Số
l ∈¡
được gọi là giới hạn của hàm số
( )y f x=
, và viết là
0
lim ( )
x x
l f x
→
=
nếu thoả mãn một trong hai điều kiện tương đương sau
(i). Với mọi dãy

{ } { }
0
\
n
x X x⊂
mà
0n
x x→
thì ta có
( )
n
f x l→
;
(ii). Với mọi
0
ε
>
tồn tại
0
δ
>
sao cho với mọi
x X∈
mà
0
0 x x
δ
< − <

ta có

( )f x l
ε
− <
.
Chứng minh sự tương đương của hai định nghĩa.
(i)
⇒
(ii). Giả sử ngược lại có (i) nhưng không xảy ra (ii). Khi đó, tồn tại
0
0
ε
>

sao cho với mọi
1
n
δ
=
tồn tại
n
x X∈
mà
0
1
0
n
x x
n
< − <
ta có

0
( )f x l
ε
− ≥
.
13
Khi đó ta có dãy
{ } { }
0
\
n
x X x⊂
mà
0n
x x→
nhưng dãy
{ }
( )
n
f x
không hội tụ
về
l
. Vậy ta gặp mâu thuẫn với (i).
(ii)
⇒
(i). Giả sử có (ii), ta xét dãy
{ } { }
0
\

n
x X x⊂
mà
0n
x x→
. Với mọi
0
ε
>

tồn tại
0
δ
>
thoả mãn điều kiện (ii), ta chọn số nguyên dương
N
sao cho
0
0
n
x x
δ
< − <
; với mọi
n N≥
.
Khi đó ta cũng có
( )
n
f x l

ε
− <
; với mọi
n N≥
.
Điều đó có nghĩa là
( )
n
f x l→
.
Ví dụ 1.
( )
1
lim 2 3 5
x
x
→
+ =
. Bởi vì với mọi
0
ε
>
chọn
2
ε
δ
=
để với mọi
x∈¡

mà
0 1x
δ
< − <
thì ta có
( )
2 3 5 2 2 2. 1 2.
2
x x x
ε
ε
+ − = − = − < =
Ví dụ 2.
0
lim sin 0
x
x
→
=
. Bởi vì với mọi
0
ε
>
chọn
δ ε
=
để với mọi
x∈¡
mà
0 0x

δ
< − <
thì ta có
sin 0x x
δ ε
− ≤ < =
.
Định lý 1. Giới hạn của hàm số nếu có là duy nhất
Chứng minh. Giả sử rằng hàm số
( )f x
có hai giới hạn khác nhau là
l
và
'l
. Khi
đó
' 0l l
ε
= − >
ta chọn được
0
δ
>
sao cho với mọi
x X∈
mà
0
0 x x
δ
< − <

thì ta có
( )
2
f x l
ε
− <
và
( ) '
2
f x l
ε
− <
.
Khi đó ta gặp mâu thuẫn
' ( ) ( )
2 2
l l l f x f x l
ε ε
ε ε
= − ≤ − + − < + =
.
Điều đó chứng tỏ khẳng định của định lý.
1.2. Giới hạn một phía
Định nghĩa. Ta gọi số
l
là giới hạn trái của hàm số
( )y f x=
khi
0 0

,x x x x→ <

và viết là
0
0
lim ( ) 0 0
x x
f x x x
ε δ
−
→
⇔ ∀ > ∃ > ∀ <
mà
0
0 x x
δ
< − <
ta có
( )f x l
ε
− <
Ta gọi số
l
là giới hạn phải của hàm số
( )y f x=
khi
0 0
,x x x x→ >
và viết là
0

0
lim ( ) 0 0
x x
f x x x
ε δ
+
→
⇔ ∀ > ∃ > ∀ >
mà
0
0 x x
δ
< − <
ta có
( )f x l
ε
− <
Ví dụ . Cho hàm
14
1 0
( ) 0 0
1 0
khi x
S x sign x khi x
khi x
+ >


= = =



− >

Ta có
0
lim 1
x
−
→
= −
và
0
lim 1
x
+
→
= +
. Bởi vì với mọi
0
ε
>
ta có
( ) ( 1) 0S x
ε
− − = <
, với mọi
0x <
và
( ) ( 1) 0S x
ε

− − = <
; với mọi
0x >
Định lý 2. Điều kiện cần và đủ để
0
lim ( )
x x
f x l
→
=
là
0 0
lim ( ) lim ( )
x x x x
f x f x l
− +
→ →
= =
Chứng minh.
Điều kiện cần. Bởi vì
0
lim ( )
x x
f x l
→
=
nên với mọi
0
ε
>

tồn tại
0
δ
>
sao cho với
mọi
x
thoả mãn
0
0 x x
δ
< − <
ta có
( )f x l
ε
− <
.
Từ đó suy ra rằng
+ Với
x
mà
0
0 x x
δ
< − <
ta có
( )f x l
ε
− <
+ Với

x
mà
0
0x x
δ
− < − <
ta có
( )f x l
ε
− <
Hay
0
lim ( )
x x
f x l
+
→
=
và
0
lim ( )
x x
f x l
−
→
=
.
Điều kiện đủ. Vì
0
lim ( )

x x
f x l
−
→
=
và
0
lim ( )
x x
f x l
−
→
=
nên với mỗi
0
ε
>
tồn tại
1 2
0, 0
δ δ
> >
sao cho với mỗi
x
mà
1 0
0x x
δ
− < − <
ta có

( )f x l
ε
− <
v à với
mỗi
x
mà
0
0 x x
δ
< − <
ta có
( )f x l
ε
− <
. Chọn
{ }
1 2
min ,
δ δ δ
=
thì với mọi
x
mà
0
0 x x
δ
< − <
ta có
( )f x l

ε
− <
. Vậy
0
lim ( )
x x
f x l
→
=
.
1.3. Giới hạn ở vô tận và giới hạn vô tận
Định nghĩa. Ta nói
(i).
lim ( ) 0 0 : ( )
x
f x l M x M f x l
ε ε
→+∞
= ⇔ ∀ > ∃ > ∀ > − <
(ii).
lim ( ) 0 0 : ( )
x
f x l M x M f x l
ε ε
→−∞
= ⇔ ∀ > ∃ > ∀ < − − <
(iii).
0
0
lim ( ) 0 0 , 0 : ( )

x x
f x A x x x f x A
δ δ
→
= +∞ ⇔ ∀ > ∃ > ∀ < − < >
(iv).
0
0
lim ( ) 0 0 , 0 : ( )
x x
f x A x x x f x A
δ δ
→
= −∞ ⇔ ∀ > ∃ > ∀ < − < < −

(v).
lim ( ) 0 0 : ( )
x
f x A M x M f x A
→−∞
= +∞ ⇔ ∀ > ∃ > ∀ < − >
(vi).
lim ( ) 0 0 : ( )
x
f x A M x M f x A
→+∞
= −∞ ⇔ ∀ > ∃ > ∀ > < −
Ví dụ 1.
1
lim 1

x
x
e
→±∞
=
.
15
Thật vậy với mọi
0
ε
>
tồn tại
1
0
ln(1 )
M
ε
= >
+
sao cho với mọi
x M>
ta có
1
ln(1 )
1 1 (1 ) 1
x
e e
ε
ε ε
+

− < − = + − =
.
Với mọi
0
ε
>
tồn tại
1
0
ln(1 )
M
ε
= − >
−
sao cho với mọi
1
ln(1 )
x M
ε
< − =
+

ta có
1
ln(1 )
0 1 1 (1 ) 1
x
e e
ε
ε ε ε

−
> > − > − = − − = −
.
Ví dụ 2.
1
lim ln
x
x
→+∞
= −∞
.
Thật vậy, với mọi
0A >
tồn tại
1
0
A
M
e
−
= >
sao cho với mọi
1
A
x M
e
−
> =
ta có
1

ln ln
A
e A
x
−
< = −
§ 2. TÍNH CHẤT VÀ PHÉP TOÁN
2.1. Tính chất
Định lý 3. Cho các hàm
( )f x
và
( )g x
xác định trên tập hợp
X ⊂ ¡
và
0
x
là
điểm giới hạn của tập hợp
X
. Nếu
( ) ( )f x g x≤
với mọi
{ }
0
\x X x∈
và
0
lim ( )
x x

f x A
→
=
,
0
lim ( )
x x
g x B
→
=
, thì
A B≤
.
Chứng minh. Lấy dãy
{ } { }
0
\
n
x X x⊂
mà
0
( )
n
x x n→ → ∞
. Khi đó ta có
( ) ( )
n n
f x g x≤
, với mọi
n

A B
↓ ↓
Theo định lý , ta có
A B
≤
.
Định lý 4. Nếu
0
lim ( )
x x
f x l
→
=
thì
0
lim ( )
x x
f x l
→
=
Định lý 5. Cho các hàm
( )f x
,
( )g x
và
( )h x
xác định trên tập hợp
X
⊂

¡
và
0
x
là điểm giới hạn của tập hợp
X
. Nếu
( ) ( ) ( )f x g x h x≤ ≤
với mọi
{ }
0
\x X x∈
và
0 0
lim ( ) lim ( )
x x x x
f x h x l
→ →
= =
, thì tồn tại
0
lim ( )
x x
f x l
→
=
.
16
Ví dụ 1.
0

1
lim sin 0
x
x
x
→
 
=
 ÷
 
Thật vậy, ta có
1
sinx x x
x
− ≤ ≤
; với mọi
0x ≠
Bởi vì
( ) ( )
0 0
lim lim 0
x x
x x
→ →
− = =
nên
0
1
lim sin 0
x

x
x
→
 
=
 ÷
 
.
Ví dụ 2.
1
lim 1
x
x
e
x
→ ± ∞
 
+ =
 ÷
 
.
Trường hợp
x → +∞
. Từ định nghĩa số
e
, ta dễ dàng suy ra rằng
1
1 1
lim 1 lim 1
1

n n
n n
e
n n
+
→∞ →∞
   
+ = + =
 ÷  ÷
+
   
.
Lấy dãy tuỳ ý
{ }
n
x
mà
( )
n
x n→ +∞ → ∞
. Khi đó với
N
tồn tại số nguyên
dương
1
N
sao cho
1
n
x N> +

;. với mọi
1
n N≥
.
Với mỗi
n
x
ta tìm được
m N>
sao cho
1
n
m x m< ≤ +
. Từ đó ta có
1
1 1 1
1 1 1
1
n
x
m m
n
m x m
+
 
   
+ < + < +
 ÷
 ÷  ÷
+

   
 
Do đó
1
lim 1
x
x
e
x
→ + ∞
 
+ =
 ÷
 
.
Trường hợp
x → −∞
. Đặt
x t= −
ta có

1 1 1
lim 1 lim 1 lim
x t t
x t t
t
x t t
− −
→ − ∞ →+ ∞ →+ ∞
−

     
+ = − =
 ÷  ÷  ÷
     

1
1 1
lim lim 1 . 1
1 1 1
t t
t t
t
e
t t t
−
→+ ∞ →+ ∞
     
= = + + =
 ÷  ÷  ÷
− − −
     
.
2.2. Các phép toán
Định lý 6. Cho hàm
( )y f x=
xác định trên tập
{ }
0
\X x
và

( )z g y=
xác định
trên miền chứa
( )f X
. Khi đó, nếu tồn tại
0
lim ( )
x x
f x A
→
=
và
lim ( )
y A
g y B
→
=
,
thì
( )
0
lim ( )
x x
g f x B
→
=o
17
Định lý 7. Cho các hàm
( )f x
và

( )g x
xác định trên tập hợp
X
⊂
¡
và
0
x
là
điểm giới hạn của tập hợp
X
. Nếu tồn tại các giới hạn
0
lim ( )
x x
f x A
→
=
và
0
lim ( )
x x
g x B
→
=
thì tồn tại các giới hạn sau đây (nếu vế phải là xác định).
(i).
( )
0
lim ( ) ( )

x x
f x g x A B
→
± = ±
(ii).
( )
0
lim ( ). ( ) .
x x
f x g x A B
→
=
(iii).
0
( )
lim
( )
x x
f x A
g x B
→
 
=
 ÷
 
Chú ý 1. Từ Định lý, ta có các dạng vô định sau đây
0
, 0. , ,
0
∞

∞ − ∞ ∞
∞
2. Ngoài ra từ Định lý, ta còn nhận được các dạng vô định mũ
0 0
0 , 1 ,
∞
∞
.
§ 3. ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI GIỚI HẠN
Định nghĩa 1. Hàm
( )y f x=
được gọi là bị chặn trên, bị chặn dưới và bị chặn
nếu tập
{ }
( ) ( ) :f X f x x X= ∈
có tính chất tương ứng.
Định lý 8. Cho hàm
( )f x
xác định và đơn điệu trên khoảng
( , )a b
. Khi đó tồn
tại các giới hạn
lim ( )
x a
f x
+
→
và
lim ( )
x b

f x
−
→
Nếu
( )f x
bị chặn trên khoảng
( , )a b
thì các giới hạn trên thuộc
¡
.
Chứng minh. Ta chứng minh trường hợp
( )f x
đơn điệu tăng và bị chặn. Đặt
{ }
sup ( ): ( , )M f x x a b= ∈
và
{ }
inf ( ): ( , )m f x x a b= ∈
.
Khi đó
lim ( ) , lim ( )
x a x b
f x m f x M
+ −
→ →
= =
. Thật vậy, theo định nghĩa của supremum,
với mọi
1 1
0 ( , ) : ( )x a b f x M

ε ε
> ∃ ∈ > −
. Chọn
1
b x
δ
= −
. Khi đó với mọi
( , )x a b∈
mà
0 x b
δ
< − <
thì suy ra
1
x x>
. Do đó
1
( ) ( )M M f x f x M
ε ε
+ > ≥ ≥ > −
.
Do đó
lim ( )
x b
f x M
−
→
=
.

Phần còn lại được chứng minh tương tự.
Định lý 9 (Bolzano-Cauchy). Cho hàm số
( )f X
xác định trên tập
X
. Khi đó
điều kiện cần và đủ để
0
lim ( )
x x
f x
→
là với mọi
0
ε
>
tồn tại
0
δ
>
sao cho với mọi
', "x x X∈
mà
0 0
0 ' , 0 "x x x x
δ δ
< − < < − <
ta đều có
( ') ( ")f x f x
ε

− <
.
18
Chứng minh.
Điều kiện cần. Giả sử
0
lim ( )
x x
f x l
→
=
. Khi đó, với mọi
0
ε
>
tồn tại
0
δ
>
sao cho
với mọi
'x X∈
mà
0
0 'x x
δ
< − <
ta có
( ')
2

f x l
ε
− <
và với mọi
"x X∈
mà
0
0 "x x
δ
< − <
ta cũng có
( ")
2
f x l
ε
− <
.
Từ đó suy ra
( ') ( ") ( ') ( ")
2 2
f x l l f x f x l l f x
ε ε
ε
− + − ≤ − + − < + =
.
Điều kiện đủ. Lấy một dãy
{ } { }
0
\
n

x X x⊂
mà
0
( )
n
x x n→ → ∞
. Với mọi
0
ε
>

gọi
0
δ
>
là số nói trong giả thiết của Định lý. Khi đó tồn tại số nguyên dương
N

sao cho với mọi
,m n N≥
ta có
0 0
0 , 0
m n
x x x x
δ δ
< − < < − <
.
Từ đó ta nhận được
( ) ( )

m n
f x f x
ε
− <
.
Điều đó chứng tỏ
{ }
( )
n
f x
là dãy Cauchy, nên nó có giới hạn là
l
.
Ta chứng minh rằng mọi dãy
{ }
{ }
' '
0 0
\ ,
n n
x X x x x
⊂ →
thì
'
( )
n
f x l→
.
Khi đó chọn số nguyên dương
N

đủ lớn sao cho
'
0 0
,
n n
x x x x
δ δ
− < − <
và
( )
2
n
f x l
ε
− <
với mọi
n N≥
. Từ đó ta suy ra
' '
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
n n n n
f x l f x f x f x l
ε ε
ε
− = − + − < + =
.
Vậy
'
( )

n
f x l→
.
§ 4. ĐẠI LƯỢNG VÔ CÙNG BÉ
VÀ ĐẠI LƯỢNG VÔ CÙNG LỚN
4.1. Định nghĩa.
Hàm số
( )x
α
xác định trên khoảng
[ ]
0
( , ); ,a b x a b∈
. Khi đó
( )x
α
được
gọi là một đại lượng vô cùng bé (VCB) khi
0
x x→
nếu
0
lim ( ) 0
x x
x
α
→
=
;
( )x

α

được gọi là một đại lượng vô cùng lớn (VCB) khi
0
x x→
nếu
0
lim ( )
x x
x
α
→
= +∞
.
4.2. Tính chất và các phép toán. Theo tính chất của giới hạn ta có
(i). Tổng của hai vô cùng bé là một vô cùng bé;
19
(ii). Tích của một VCB với một đại lượng bị chặn là một VCB;
(iii). Tích hai VCL là một VCL;
(iv). Tổng của một VCL và một đại lượng bị chặn là một VCL;
(v). Nếu
( )x
α
là một VCL thì
1
( )x
α
là một VCB;
(vi). Nếu
( )x

α
là một VCB và
( ) 0x
α
≠
thì
1
( )x
α
là một VCL;
(vii).
0
lim ( ) ( ) ( ); ( )
x x
f x l f x l x x
α α
→
= ⇔ = +
là một VCB khi
0
x x→
.
4.3. Phân loại VCB.
Bởi vì nếu
( )x
α
là một VCB và
( ) 0x
α
≠

thì
1
( )x
α
là một VCL nên ta chỉ cần
phân loại các VCB.
Định nghĩa. Cho
( )x
α
và
( )x
β
là các VCB khi
0
x x→
. Ta nói:
(i).
( )x
α
là VCB cấp cao hơn
( )x
β
, ký hiệu là
( )
( ) 0 ( )x x
α β
=
nếu
0
( )

lim 0
( )
x x
x
x
α
β
→
=
.
(ii).
( )x
α
và
( )x
β
là các VCB cùng bậc nếu
{ }
0
( )
lim \ 0
( )
x x
x
A
x
α
β
→
= ∈¡

.
(iii).
( )x
α
và
( )x
β
là các VCB tương đương, ký hiệu là
( ) ( )x x
α β
:
nếu
0
( )
lim 1
( )
x x
x
x
α
β
→
=
.
Ví dụ.
2
( ) ; ( ) sin ; ( ) 1 cos ; ( ) tag sin ; ( )x x x x x x x x x x x
α β γ µ η
= = = − = − =
là

các VCB khi
0x →
. Ta có
1.
0 0
( ) sin
lim lim 1
( )
x x
x x
x x
β
α
→ →
= =
; nên
( ) ( )x x
α β
:
2.
2
2 2
0 0 0
2.sin
( ) 1 os 1
2
lim lim lim
( ) 2
x x x
x

x c x
x x x
γ
η
→ → →
−
= = =
; nên
( )x
γ
và
( )x
η
là các
VCB cùng bậc.
3.
0 0
tag sin 1
lim lim 1 0
sin cos
x x
x x
x x
→ →
−
   
= − =
 ÷  ÷
   
, nên

( )
( ) 0 ( )x x
µ β
=
.
4.4. Ứng dụng của các VCB để tính giới hạn
Định lý 10. Nếu các VCB
( ) *( ); ( ) *( )x x x x
α α β β
: :
khi
0
x x→
thì
0 0
*( ) ( )
lim lim
*( ) ( )
x x x x
x x
x x
α α
β β
→ →
=
Chứng minh. Ta có
20
0 0 0
*( ) ( ) ( ) *( ) ( ) ( ) ( )
lim . . lim . . lim

*( ) ( ) ( ) ( ) *( ) ( ) ( )
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
α β α α β α α
β α β α β β β
→ → →
   
= =
 ÷  ÷
   
Ví dụ 1. Tính
0 0
sin 2 2 2
lim lim
sin5 5 5
x x
x x
x x
→ →
= =
Ví dụ 2. Tính
0
1 cos
lim
1 os
x
x
c x
→

−
−
.
Ta có
( ) ( )
1 cos 1 cos
1 os
1 os . 1 cos
x x
c x
c x x
− −
=
−
− +
Bởi vì
2
1 cos ; 1 os
2 2
x x
x c x− −: :
nên
( )
( )
2
0 0 0
1 cos 0
2
lim lim lim 0
2

1 os
1 cos
. 1 cos
2
x x x
x
x x
x
c x
x
x
→ → →
−
= = = =
−
+
+
.
C. HÀM SỐ LIÊN TỤC
§ 1. KHÁI NIỆM CƠ BẢN
VÀ PHÉP TOÁN TRÊN CÁC HÀM SỐ LIÊN TỤC
1.1. Định nghĩa hàm số liên tục
Định nghĩa 1. Cho hàm số
( )y f x=
xác định trên tập
X
và
0
x X∈
. Cho

0
x

một số gia
x∆
, ta được giá trị mới của đối số là
0
x x x= + ∆
. Đại lượng
0
( ) ( )y f x f x∆ = −
gọi là số gia của hàm số tại điểm
0
x
ứng với số gia
x∆
của đối
số. Hàm số được gọi là liên tục tại điểm
0
x
nếu thoả mãn một trong các điều kiện
tương đương sau đây:
(i). Với mọi dãy
{ }
n
x X⊂
mà
0n
x x→
ta có

0
( ) ( )
n
f x f x→
;
(ii). Với mọi
0
ε
>
tồn tại
0
δ
>
sao cho với mọi
x X∈
mà
0
x x
δ
− <

ta có
0
( ) ( )f x f x
ε
− <
;
(iii).
0
0

lim ( ) ( )
x x
f x f x
→
=
;
(iv).
0
lim 0
x
y
∆ →
∆ =
.
Định nghĩa 2. Nếu chỉ tồn tại
0
0
lim ( ) ( )
x x
f x f x
−
→
=
và
0
0
lim ( ) ( )
x x
f x f x
+

→
=
, thì hàm
số được gọi lần lượt là liên tục trái và liên tục phải tại
0
x
21
Định lý 1. Hàm số
( )y f x=
liên tục tại điểm
0
x
nếu và chỉ nếu hàm số liên tục
phải và liên tục trái tại đó.
Chứng minh.
Điều kiện cần. Hiển nhiên
Điều kiện đủ. Giả sử
0
0
lim ( ) ( )
x x
f x f x
−
→
=
và
0
0
lim ( ) ( )
x x

f x f x
+
→
=
. Khi đó với mọi
0
ε
>
tồn tại
0
δ
>
sao cho:
+ Với mọi
x
thoả mãn
0
0x x
δ
− < − <
ta có
0
( ) ( )f x f x
ε
− <
;
+ Với mọi
x
thoả mãn
0

0 x x
δ
< − <
ta có
0
( ) ( )f x f x
ε
− <
.
Khi đó với mọi
x
thoả mãn
0
x x
δ
− <
ta có
0
( ) ( )f x f x
ε
− <
. Vậy
( )f x
liên
tục tại
0
x
.
1.2. Điểm gián đoạn. Phân loại điểm gián đoạn
Định nghĩa 3. Cho hàm số

( )y f x=
xác định trên tập
X
và
0
x X∈
. Nếu
( )f x

không liên tục tai điểm
0
x
ta nói hàm số gián đoạn tại điểm đó. Điểm
0
x
được gọi
là điểm gián đoạn của hàm số đã cho.
Ta có sự phân loại các điểm gián đoạn của hàm số như sau:
Điểm gián đoạn loại I. Điểm
0
x
được gọi là điểm gián đoạn loaị I của hàm số
( )f x
nếu tồn tại và hữu hạn các giới hạn
0
lim ( )
x x
f x
−
→

và
0
lim ( )
x x
f x
+
→
;
Đặc biệt. Nếu
0 0
0
lim ( ) lim ( ) ( )
x x x x
f x f x f x
− +
→ →
= ≠
, thì
0
x
được gọi là điểm gián đoạn
bỏ được.
Điểm gián đoạn loại II. Nếu một trong các giới hạn
0
lim ( )
x x
f x
−
→
hoặc

0
lim ( )
x x
f x
+
→

không tồn tại hoặc tồn tại nhưng bằng
±∞
.
Ví dụ 1. Hàm số
1 0
( ) 0 0
1 0
khi x
f x sign x khi x
khi x
− <


= = =


>

Ta có
0
0 0
lim sign 1 si ( ) 0 1 lim sign
x x

x gn x x
− +
→ →
= − ≠ = ≠ =
.
Vậy
0x =
là điểm gián đoạn loại I của hàm số đã cho.
Ví dụ 2. Hàm số
sin
0
( )
0 0
x
x
f x
x
x

≠

=


=

22
Ta có
0
sin

lim 1 (0)
x
x
f
x
→
= ≠
. Vậy
0x =
là điểm gián đoạn bỏ được của hàm số đã
cho.
Ví dụ 3. Hàm số
ln 0
( )
1 0
x x
f x
x
>

=

≤

Ta có
0 0
lim ( ) ; lim ( ) 1
x x
f x f x
+ −

→ →
= −∞ =
.
Vậy hàm số gián đoạn loại II tại
0x =
, liên tục trái tai đó.
Ví dụ 4. Hàm số
1
( ) sinf x
x
=
gián đoạn loại II tại
0x =
vì không tồn tại các giới
hạn
0 0
lim ( ); lim ( )
x x
f x f x
+ −
→ →
1.3. Các định lý về phép tính
Định lý 2. Nếu các hàm
( )f x
và
( )g x
liên tục tại điểm
0
x
thì các hàm

( )
0
( )
( ) ( ); ( ). ( ); ( ) 0
( )
f x
f x g x f x g x g x
g x
± ≠
cũng liên tục tại đó.
Định lý 3. Nếu hàm
( )y f x=
liên tục tại điểm
0
x
và hàm
( )z g y=
liên tục trên
một miền chứa
0 0
( )y f x=
thì
( )g f xo
liên tục tại
0
x
.
§ 2. CÁC TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ
LIÊN TỤC TRÊN MỘT ĐOẠN
Định nghĩa 1. Hàm số

( )y f x=
được gọi là liên tục trên khoảng
( )
,a b
nếu nó
liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
Hàm số
( )y f x=
được gọi là liên tục trên đoạn
[ ]
,a b
nếu liên tục trên
khoảng
( )
,a b
và liên tục phải tại
a
, liên tục trái tại
b
.
Định lý 4 (Weierstrass). Nếu hàm số
( )y f x=
liên tục trên đoạn
[ ]
,a b
thì nó
đạt cận trên đúng và cận dưới đúng trên đoạn đó. Điều đó có nghĩa là tồn tại
[ ]
1 2
, ,c c a b∈

sao cho
1 2
( ) ( ) ( )f c f x f c≤ ≤
với mọi
[ ]
,x a b∈
.
Chứng minh. Trước hết ta chứng minh
( )f x
bị chặn trên đoạn
[ ]
,a b
. Thật vậy
nếu hàm số không bị chặn trên thì với mỗi số nguyên dương
n
tồn tại
[ ]
,
n
x a b∈

sao cho
( )
n
f x n>
.
23
Theo Định lý Bolzano-Cauchy, tồn tại dãy con
{ }
{ }

k
n n
x x⊂
sao cho
[ ]
,
n
x c a b→ ∈
. Bởi vì
( )f x
liên tục trên
[ ]
,a b
, nên
( ) ( )
k
n
f x f c→
. Ta gặp
mâu thuẫn vì
( )
k
n k
f x n> → +∞
. Vậy
( )f x
bị chặn trên trên
[ ]
,a b
, việc chứng

minh
( )f x
bị chặn dưới được tiến hành tương tự.
Đặt
[ ]
{ }
[ ]
{ }
sup ( ): , ; inf ( ): ,M f x x a b m f x x a b= ∈ = ∈
.
Ta sẽ chỉ ra tồn tại
[ ]
1 2
, ,c c a b∈
sao cho
1 2
( ) , ( )f c m f c M= =
. Theo định
nghĩa của supremum, với mỗi số nguyên dương
n
tồn tại
[ ]
,
n
x a b∈
sao cho
( )
1 1
n
M f x M M

n n
− < ≤ < +
.
Từ dãy
{ }
[ ]
,
n
x a b⊂
ta lại trích ra được dãy con
{ }
{ }
k
n n
x x⊂
sao cho
[ ]
2
,
n
x c a b→ ∈
. Bởi tính liên tục của hàm số
( )f x
và
( )
1 1
k
n
k k
M f x M

n n
− < < +
,
suy ra
2
( )M f c=
. Việc chỉ ra sự tồn tại của
1
c
được tiến hành tương tự.
Định lý 5 (Bolzano-Cauchy). Nếu hàm số
( )f x
liên tục trên đoạn
[ ]
,a b
và
( ) , ( )f a A f b B= =
thì hàm số nhận mọi giá trị trung gian giữa
A
và
B
. Điều
đó có nghĩa là với mọi giá trị
η
nằm giữa
A
và
B
đều tồn tại
( )

,c a b∈
để
( )f c
η
=
.
Chứng minh. Đặt
( ) ( )x f x
ϕ η
= −
ta có
( ) ( )
( ). ( ) ( ) . ( ) 0a b f a f b
ϕ ϕ η η
= − − <
Hơn nữa, điều kiện
( )f c
η
=
tương đương với
( ) 0c
ϕ
=
. Vì vậy để chứng minh
định lý ta chỉ cần chứng minh
Bổ đề. Nếu hàm
( )x
ϕ
liên tục trên đoạn
[ ]

,a b
và thoả mãn
( ). ( ) 0a b
ϕ ϕ
<
thì
tồn tại
( )
,c a b∈
sao cho
( ) 0c
ϕ
=
.
Chứng minh Bổ đề. Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử
( ) 0, ( ) 0a b
ϕ ϕ
< >
. Đặt
[ ]
,a b∆ =
và chia đoạn đó thành hai đoạn bằng nhau bởi
điểm chia
2
a b
d
+
=
.
+ Nếu

( ) 0d
ϕ
=
thì
d
là điểm cần tìm;
+ Nếu
( ) 0d
ϕ
>
thì ta chọn
[ ]
1
,a d∆ =
, nếu
( ) 0d
ϕ
<
thì ta chọn
[ ]
1
,d b∆ =
. Lại chia
1
∆
thành hai đoạn bằng nhau và chọn
2
∆
là đoạn có tích giá
trị của hàm

ϕ
tại hai đầu mút là trái dấu,…. Tiếp tục quá trình đó ta được một
dãy đoạn thắt
{ }
k
∆
có tích giá trị của hàm
ϕ
tại hai đầu mút là trái dấu. Đặt
24
[ ]
,
k k k
a b∆ =
và gọi
c
là điểm chung của mọi đoạn đó. Khi đó, ta có
k
a c→
và
( ) 0
k
a
ϕ
<
. Do đó
( ) ( ) 0
k
a c
ϕ ϕ

→ ≤
. Đồng thời
k
b c→
và
( ) 0
k
b
ϕ
>
. Do đó
( ) ( ) 0
k
b c
ϕ ϕ
→ ≥
. Từ đó ta nhận được
( ) 0c
ϕ
=
.
Vì
( ). ( ) 0a b
ϕ ϕ
<
và
( ) 0c
ϕ
=
, nên

( )
,c a b∈
.
Hệ quả. Cho hàm
( )f x
liên tục trên
[ ]
,a b
. Đặt
[ ]
{ }
[ ]
{ }
sup ( ): , ; inf ( ): ,M f x x a b m f x x a b= ∈ = ∈
Khi đó với mọi
[ ]
,m M
µ
∈
tồn tại
( )
,c a b∈
sao cho
( )f c
µ
=
.
Chứng minh. Theo định lý 4, tồn tại
[ ]
{ }

[ ]
{ }
sup ( ): , ; inf ( ): ,M f x x a b m f x x a b= ∈ = ∈
để
1 2
( ) , ( )f c m f c M= =
.
Nếu
m M=
thì
( )f x
là hàm hằng và kết quả là hiển nhiên. Nếu
m M<

thì ta được hàm
( )f x
liên tục trên đoạn đầu mút là
1
c
và
2
c
. Từ đó theo Định lý
trên ta nhận được kết quả.
§ 4. LIÊN TỤC ĐỀU
Định nghĩa. Hàm
( )f x
liên tục đều trên tập
X
nếu với mọi

0
ε
>
tồn tại
0
δ
>

sao cho với mọi
, 'x x X∈
mà
'x x
δ
− <
ta có
( ) ( ')f x f x
ε
− <
.
Nhận xét. Hàm
( )f x
liên tục đều trên tập
X
thì liên tục tại mọi điểm
0
x X∈
,
tức là liên tục trên
X
. Tuy nhiên điều ngược lại chưa chắc đúng.

Ví dụ. Xét hàm
( )
1
( ) , 0;f x x
x
= ∈ + ∞
.
Với
0
1
ε
=
và
0
δ
>
tuỳ ý
'
,
2
n n
x x
n n
δ δ
∃ = =
(với số tuỳ ý
n
δ
≥
) ta có

'
2 2
x x
n n n
δ δ δ
δ
− = − = <
.
Tuy nhiên
0
2
( ) ( ') 1
n n n
f x f x
ε
δ δ δ
− = − = ≥ =
.
Vậy
( )f x
không liên tục đều.
Định lý (Cantor). Nếu hàm
( )f x
liên tục trên đoạn
[ ]
,a b
thì nó liên tục đếu trên
đó.
Chứng minh. Giả sử rằng
( )f x

không liên tục đều trên
[ ]
,a b
. Khi đó tồn tại
0
0
ε
>
để với mỗi
1
n
δ
=
tồn tại
[ ]
'
, ,
n n
x x a b∈
sao cho
'
1
n n
x x
n
− <
nhưng
'
0
( ) ( )

n n
f x f x
ε
− ≥
.
25