TUAN 8a NTPCHN 1

Ôn tập lý thuyết khảo sát hàm số :
1) Các bước khảo sát hàm đa thức và hàm phân thức .
2) Giải toán dùng đồ thò để biện luận số nghiệm ptr .
3) Giải toán tìm phương trình tiếp tuyến .

Vận dụng giải bài tập :
. Chú ý khảo sát và vẽ đồ thò
. Biện luận tìm nghiệm bằng đồ thò vừa vẽ
. Viết pttt với đồ thò .


Bài 1 trang 105 :
a) Khảo sát hàm số : y = x2 − x + 2 (C) .
b) Chứng minh rằng từ điểm A(7/2 ; 0) có thể
vẽ được 2 tiếp tuyến với đồ thò (C) của hàm số đã cho
và chúng vuông góc .
c) Gọi d là đường thẳng đi qua điểm B (1 ; −1)
và có hệ số góc k . Biện luận theo k vò trí tương đối của
d và (C) .
a) Khảo sát :
D=R
y’ = x − 1 = 0 ⇔ x = 2 ; y’’ = ½ > 0 ⇒ đồ thò y lõm/D


BBT:
∞

x
y’
y

2

−∞
−

0

y

+
+

+∞

+∞
1

2

Điểm cắt trục toạ độ : x

0

y

2

Đồ thò :

1

O

2

x

b) Chứng minh :
. Pttt (∆) : y − y0 = y’x0 (x − x0)
trong đó (x0; y0) là toạ độ tiếp điểm.

1
7




. A ∈ (∆) ⇒ 0 − y0 =  x 0 − 1  − x 0  ⇔ x 20 − 7x 0 + 6 = 0
2
 2



5
1
1
7

x 0 = 1 ⇒ y 0 = ; y' x = − ⇒ ( ∆ 1 ) : y = − x +


0
4
2
2
4
⇔

x 0 = 6 ⇒ y 0 = 5 ; y' x 0 = 2 ⇒ ( ∆ 2 ) : y = 2x − 7

(∆ 1) ⊥ (∆ 2) vì y’(x1).y’(x2) = (−1/2).2 = −1

c) Biện luận :
Đt (d) qua B(1 ; −1) có hệ số góc k là : y + 1 = k (x − 1)

y = kx − k − 1

Xét tương giao của (d) và (C) : 
1 2
y =
x −x+2

4

⇔ x2 − 4 (k + 1) x + 12 + 4k = 0 (*)

∆’ = (k +1)2 −4k −12 = 4k2 + 4k −8 = 4 (k2 + k −2) = 0
⇔ x = {1;−2}

* k < −2 ; k > 1 ⇒ (*) có 2 nghiệm ⇒ (d) ∩ (C) tại 2 điểm
* k = −2 ; k = 1 ⇒ (*) có nghiệm kép ⇒ (d) tiếp xúc (C)
* −2 < k < 1 ⇒ (*) vô nghiệm ⇒ (d) không cắt (C) .
Bài 3 trang 105 :
a) Khảo sát hàm số y = x3 + 3x2 + 1 (1)
b) Từ gốc toạ độ có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến
của đồ thò (1) . Viết phương trình tiếp tuyến đó.
c) Dựa vào đồ thò (1) , biện luận số nghiệm của
phương trình sau đây theo m : x3 + 3x2 + m = 0
a) Khảo sát :
D = R ; y’ = 3x2 + 6x = 0 ⇔ x = 0 ; x = − 2
y’’ = 6x + 6 = 0 ⇔ x = −1 ;

lim y = −∞ ;

x → −∞

lim y = +∞

x → +∞


BBT :
x

−∞

y’
y

+

−2

−1

0

0
5

−

0

1

−∞

y

Ñoà thò :

5

1
-2 -1

x

+∞
+
+∞


b) Viết pttt đi qua gốc toạ độ :
. Đường thẳng qua O(0 ; 0) có (∆) : y = kx ;
tiếp xúc với (1) tại (x0 ; y0) là :
x 3 + 3x 2 + 1 = kx
0
0
 0
3
2
⇒
2
x
+
3
x

0
0 −1 = 0
2
k = y' x = 3x 0 + 6x 0

0


⇔ (x0 + 1) (2x02 + x0 − 1) = (x0 + 1)2(2x0 − 1) = 0

⇔ x0 = − 1 ; ½ ⇒ k = −3 ; 15/4 ⇒ có 2 pttt là :
(∆ 1) : y = − 3x ; (∆ 2) : y = 15x/4


x3 + 3x2+ m = 0
c) Biện luận y = 3 :
⇔ x3 + 3x2 + 1 = 1 − m
Số nghiệm là tương giao
y>5
y
của y = x3 + 3x2 + 1
y=5
và y = 1 − m
5
1*1− m>5 ⇔ m<− 4 ⇒
ptr có 1 nghiệm đơn
* 1 − m = 5 ⇔ m = −4 ⇒
y=1–m
1–m
ptr có 1 đơn ; 1 kép .
y=1
1
* 1 < 1 − m < 5⇔ −4 < m <
x 0 ⇒ ptr có 3 nghiệm đơn .
y<1
-2 -1
*1− m=1⇔ m=0 ⇒
ptr có 1 đơn ; 1 kép .
*1− m<1 ⇔ m>0 ⇒

ptr có 1 nghiệm đơn .


Bài 5 trang 105 :
Cho hàm số y = x4 + mx2 − m − 1 (Cm) .
a) Tìm m để hàm số có đúng 1 cực trò .
b) Chứng minh rằng (Cm) luôn đi qua 2 điểm A(1 ; 0)
; B(−1;0)
c) Đònh m để tiếp tuyến của (Cm) tại A song song
y = 10x + 7.
d) Khảo sát (C) ứng với m vừa tìm trong câu c) .
a) Tìm m ? :
Hàm số có đúng 1 cực trò
⇔ y’ = 4x3 + 2mx = 2x (2x2 + m) có 1 nghiệm
⇔ 2x2 + m = 0 vô nghiệm V có 1 nghiệm 0 ⇔ m ≥ 0


b) Chứng minh :
x4 + mx2 − m − 1 − y = 0 ⇔ x4 − y − 1 + m (x2 − 1) = 0
để ∀m∈R ⇔
2

x
−1= 0
x = 1 ; y = 0

⇔ 
 4
x = −1 ; y = 0



x
−
y
−
1
=
0

⇒ luôn có A(1;0) ; B(−1;0)
c) Đònh m ? :
Tiếp tuyến tại A(1 ; 0) luôn song song y = 10x + 7 ⇒
y’(1) = 10 ⇔ 4 + 2m = 10 ⇔ m = 3


4
2
.
m
=
3
⇒
y
=
x
+
3x
−4
d) Khảo sát :
D = R ; y’ = 4x3 + 6x = 0 ⇔ x = 0

lim y = +∞ ; lim y = +∞

x → −∞

x → +∞

BBT: x − ∞
y’

y

−

0
0

y

+∞
+

+∞

+∞
−4 (Ct)

Điểm cắt trục toạ độ :
x 0 ±1
y −4 0

-1

1

-4

x


Bài 8 trang 105 :

3x + 2
x+2

a) Khảo sát hàm số : y =

( C)

b) Tìm các điểm trên (C) của hàm số có toạ độ là
số nguyên.
c) Chứng minh không có tiếp tuyến nào của (C) đi
qua giao điểm 2 đường tiệm cận .
d) Dựa vào đồ thò (C) vẽ các đường sau :

y=

3x + 2
x+2

;

3x + 2
y =
x+2


a) Khaûo saùt :
D = R\{−2} ; y’ =

4

( x + 2)

>0

2

⇒ y taêng treân D.

lim y = + ∞ ⇒ TCÑ : x = −2 ; lim y = 3 ⇒ TCN : y = 3

x → −2

BBT :

x →∞

x

-∞

-2

y’

+

y

+
∞
3

y

+∞
+

3

3
-∞

x= 0 ⇒ y = 1 ; y = 0 ⇒ x=−2/3

1
-2

-1/2

x


b) Tìm các điểm thuộc (C) có toạ độ nguyên :
3x + 2
4
y =
=3−
x+2
x+2

⇔ x+ 2=± 1
x+ 2=± 2
x+ 2=± 4

∈Z ⇔

4
∈ Z ⇔ 4 ( x + 2 )
x+2

⇒ điểm toạ độ nguyên là :
x −6 −4 −3 −1
0
y
4 5
7 −1
1

2
2

c) Chứng minh :
Đường thẳng (D) đi qua I(−2 ; 3) có hệ số góc k thoã :
y − 3 = k ( x + 2 )
8

4
⇔
= 0 ⇒ Vô nghiệm ⇒ đpcm
 y' = k =
x+2
2
 x0
( x 0 + 2)



d) Dựa vào đồ thò (C) vẽ : y =

y=

3x + 2

3x + 2
y =
x+2

;

x+2

3x + 2

x+2
 3x + 2
3x + 2 ≥ 0

 x+2
 ⇒ (C) giữ nguyên
=
 − 3x + 2
3x + 2 < 0
 x+2
 ⇒ (C) đxứng qua Ox


y
3
1
-2

-2/3

x


Dựa vào đồ thò (C) vẽ :
3x + 2

y=
x+2
 3x + 2
y≥0

 x+2
 ⇒ (C) giữ nguyên
=
 − 3x + 2
y<0
 x+2
 ⇒ (C) đxứng qua Ox


3x + 2
y =
x+2
y
3
1
-2

-2/3

x


Kớnh chaứo taùm bieọt !