TUAN 8b PHNGTR 1

Bài toán 1 : Tìm giao điểm của 2 đường :
1) Cho (C1) : y = f(x) ; (C2) : y = g(x)
2) Giải tìm hoành độ giao điểm : f(x) = g(x)

Ví dụ :Biện luận số giao điểm của đồ thò theo m
2

x − 6x + 3
và y = x − m
y=
x +2
Vẽ đồ thò của y = (x2 – 6x + 3)/(x + 2) và y = x – m
trên cùng hệ trục toạ độ


y
y

=

x

3/2

O-2+√19

-2-√19
-1

8

-10+2√19

-8

-10-2√19

x


a) Nhìn vào đồ thò thì m = 8 đường y = x – 8 là tiệm
cận xiên ( nên không cắt đồ thò (C)) .
b) m ≠ 8 đường y = x – 8 luôn cắt (C) tại 1 điểm
Cách 2 :
Giải bằng phương pháp tìm giao điểm hoành độ :

−6 x +3
(8 −m )x = 2 m +3
= x −m⇔
x +2
x ≠ −2
Biện luận :
* m = 8 ⇒ hệ vô nghiệm (0.x = 2.8 + 3 = 19) :
2 m +3
* m ≠ 8 ⇒ hệ có nghiệm : x =
8 −m
2 m +3
⇒3 = −16 (vô lý)
Xét x = - 2 ⇒ −2 =
8 −m
* Vậy với m ≠ 8 ⇒ hai đồ thò luôn cắt nhau tại 1 điểm

x

2


Ví dụ 2 : a) Vẽ đồ thò y = x3 + 3x2 – 2
b) Biện luận bằng đồ thò số nghiệm của phương trình :
x3 + 3x2 – 2 = m
a) Vẽ đồ thò :

y
2

y = x3 + 3x2 – 2

y = x3 + 3x2 – 2
y=m

m

y=m
O
-1-√3

-2

-1

-1+√3

-2

x


Bieọn luaọn :

y
2

-2

y=2

x

O
y = -2
-2

*) m = 2 pt coự 1 nghieọm keựp vaứ 1 nghieọm ủụn
*) m = - 2 pt coự 1 nghieọm keựp vaứ 1 nghieọm ủụn


Bieän luaän :

y
2

-2

x

O

-2

*) m > 2 ⇒ pt coù 1 nghieäm ñôn
*) m < - 2 ⇒ pt coù 1 nghieäm ñôn

y=m>2

y=m<-2


Bieän luaän :

y

-2

x

O

-2

*) - 2 < m < 2 ⇒ pt coù 3 nghieäm ñôn

-2 < m < 2

2


Bieọn luaọn :

y >2

y

y=2

2

-2

O

-2 < y < 2

x

y = -2
-2

y <-2

*) m = - 2 ; 2 pt coự 1 nghieọm keựp vaứ 1 nghieọm ủụn
*) m < - 2 ; m > 2 pt coự 1 nghieọm ủụn
*)

- 2 < m < 2 pt coự 3 nghieọm ủụn


* Củng cố cách vẽ đồ thò :
y = x3 + 3x2 – 2 và y = m trên cùng 1 hệ trục toạ độ
m > 2

y
2

y=2
y=m

m

-2 < m < 2

O
-1-√3

-2

-1

x

-1+√3

y=- 2

-2

m<-2


Bài toán 2 : Viết phương trình tiếp tuyến :
a) Viết pttt tại M0 (x0 ; y0) ∈ (C) : y = f(x) .
y – y0 = y’(x 0) (x – x 0)
b) Viết pttt với (C) đi qua M1(x1 ; y1) ∉ (C) :
. Lập pt đt đi qua M1 có hệ số góc k :
(d) : y – y 1 = k (x – x 1)
. Để (d) là tt với (C) tại điểm có hoành độ x0 thì :

f x 0 = k x 0 − x1 + y1
hệ có nghiệm


k = f ' x 0
f ( x ) = g( x )
 y = f ( x ) C1
* Chú ý : Nếu 
(C1) ∩ (C2) ⇔ f ' ( x ) = g' ( x )

 y = g( x ) C 2

( )

(
( )

)

( )
( )


Ví dụ :
Viết pttt với (C) : y = (2 – x2 )2 đi qua điểm A(0 ; 4) .
* Pt đt đi qua A có hệ số góc k : (d) : y – 4 = k ( x – 0 )
* Để (d) là tt của (C) tại điểm có hoành độ x0 thì :

x 4 − 4 x 2 + 4 = kx + 4
 0
0
0

3

 k = 4 x 0 − 8x 0

hệ có nghiệm :

⇔ 3 x04 – 4 x02 = 0 có nghiệm .
Vậy có :
⇒


x 0 = 0 ⇒ k = 0


2 3
−16 3

x
=
⇒
k
=
 0
3
9


2 3
16 3
⇒k =
x 0 = −
3
9



y = 4

16 3

y
=
−
x +4


9


16 3
x +4
y =
9



c) Viết pttt với (C) có hệ số góc k :
. Giải pt f’(x) = k tìm các nghiệm là toạ độ tiếp điểm .
. Viết pttt :

(d) : y – y 1 = k (x – x 1)

Ví dụ : Viết pttt với (C) y = – x3 + 3x2 – 4x + 2
và vuông góc với đt : 4y = x + 12
. (d) vuông góc với 4y = x + 1 ⇒ hệ số góc (d) : k = - 4
. (d) tiếp xúc (C) ⇔ - 4 = - 3 x2 + 6x – 4 ⇔
Vậy x = 0 ⇒ y = 2 ⇒ pttt : y – 2 = - 4 (x – 0)
⇔ y=-4x+2
x = 2 ⇒ y = - 2 ⇒ pttt : y + 2 = - 4 (x – 2 )
⇔ y=-4x+6

x=0;x=2


. Củng cố và dặn dò :

Làm các bài tập : 3,4,5 trang 104 s.g.k.


BÀI TẬP LIÊN QUAN KHẢO SÁT
1) KIỂM LẠI :

Lý thuyết : Biện luận ; viết pttt

2) Bài tập số 3 trang 104
a) Khảo sát hàm số : y = − x3 + 3x + 1 (1)
b) Dựa vào đồ thò (C) của hàm số (1) , biện luận số
nghiệm của phương trình sau theo m : x3 − 3x + m = 0
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò (C) biết
tiếp tuyến đó song song đường thẳng : y = − 9x + 1.


) Khảo sát hàm số : y = - x3 + 3x + 1
Giải :

. Tập xác đònh : D = R
. y’ = - 3x2 + 3
. y’ = 0 ⇔ -3(x2 - 1) = 0 ⇔ x1 = -1 ; x2 = 1

.

lim y = +∞ ;

x →−∞

. Bảng biến thiên :

x
- ∞
y’
y
+∞

lim y = − ∞

x→+∞

-1
0
+
-2

0

+

1
0
3

-

+∞
- ∞


* Đồ thò :

y

. Tìm điểm cắt trục toạ độ :
x

0

y

1

3

1
-1

0

-2

1

x


b) Dựa vào đồ thò (C) biện luận số nghiệm pt :
x3 – 3 x + m = 0
Giải :

. Biến đổi x3 – 3x + m = 0 ⇔ - x3 + 3x + 1 = m + 1
. Vẽ 2 đồ thò : y = - x3 + 3x + 1
y
m +1

-1

3

o

(C) và y = m + 1
y=m+1

1

-2

x

(C)
. Cố đònh (C) và di động (d) : y = m + 1

⇒ Biện luận tìm số nghiệm


y

(d) : y
(d) :y = 3

m+1
3

m+1
-1

1

o
m+1
- 2

m+1

* m+1 = 3 m = 2
>2
(d) (C) taùi 2 ủieồm

pt coự nghieọm 1 keựp ; 1 ủụn

* m+1 = - 2 m = - 3
(d) (C) taùi 2 ủieồm
(d) :-2 < y < 3
pt coự nghieọm 1 keựp ; 1 ủụn
* m+1 > 3 m > 2
x
(d) (C) taùi 1 ủieồm

pt coự 1 nghieọm ủụn

(d) :y = - 2
* m+1 < - 2 m < - 3
(d) (C) taùi 1 ủieồm
(d) :y < - 2
(C) pt coự 1 nghieọm ủụn
* -2 < m+1 < 3 -3 < m < 2
(d) (C) taùi 3 ủieồm
pt coự 3 nghieọm ủụn


m+1

y

(d) : y
(d) :y = 3

m+1
3

m+1
-1

1

o
m+1
- 2

m+1

* m+1 = 3 m = 2
>2
(d) (C) taùi 2 ủieồm

pt coự nghieọm 1 keựp ; 1 ủụn

* m+1 = - 2 m = - 3
(d) (C) taùi 2 ủieồm
(d) :-2 < y < 3
pt coự nghieọm 1 keựp ; 1 ủụn
* m+1 > 3 m > 2
x
(d) (C) taùi 1 ủieồm

pt coự 1 nghieọm ủụn
(d) :y = - 2
* m+1 < - 2 m < - 3
(d) (C) taùi 1 ủieồm
(d) :y < - 2
(C) pt coự 1 nghieọm ủụn
* -2 < m+1 < 3 -3 < m < 2
(d) (C) taùi 3 ủieồm
pt coự 3 nghieọm ủụn


c) Phửụng trỡnh tieỏp tuyeỏn .
() // y = 9x + 1 y' = 9 3x 2 + 3 = 9
x0
0

x 0 = 2 y 0 = 3

x 0 = 2 y 0 = 1

(

Pttt coự daùng : y y 0 = y' x x x 0
0

)

coự 2 tt laứ :

y 3 = 9 ( x + 2 )
y + 1 = 9 ( x 2 )


y = 9x 15
y = 9x + 17