BÀI tập hệ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

Trường THPT Chun Nguyễn Thiện Thành
Tổ: Tốn – Tin
GV: Phạm Thị Hồng Nhụy

BÀI TẬP HỆ THỨC LƯNG
TRONG TAM GIÁC
A
c

b
h

B

m
a

Trà Vinh, ngày 27/11/2014

C


KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I. Định lí Cosin trong tam giác

a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A
b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos B
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C

b2 + c2 − a 2
cos A =

2bc
a 2 + c2 − b2
cos B =
2ac
a 2 + b2 − c2
cos C =
2ab

II. Định lí Sin trong tam giác
a
b
c
=
=
= 2R
sin A sin B sin C
III. Định lí Trung tuyến trong tam giác
b2 + c2 a 2
ma =
−
2
4
a 2 + c2 b2
2
mb =
−
2
4
a 2 + b2 c2
2

mc =
−
2
4
2


KIẾN THỨC CẦN NHỚ
IV. Công thức tính Diện tích tam giác
1
1
1
ah a = bh b = ch c
2
2
2
1
1
1
S = bcsin A = acsin B = ab sin C
2
2
2
abc
S=
4R
S = p(p − a)(p − b)(p − c)
S=

S = pr

S = (p − a)ra = (p − b)rb = (p − c)rc


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP





Tính toán các yếu tố trong tam giác
Chứng minh các đẳng thức trong tam giác
Tỉ số diện tích
Giải tam giác và ứng dụng thực tế


1. Tính toán các yếu tố trong tam giác
 

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4, diện tính S = Tính
BC.
Giải: Ta có

1
AB.AC.sinA
2
1
⇔ 3 3 = 3.4.sin A
2
3
⇔ sin A =

2
⇔ µA = 60 0 ∨ µA = 120 0
S=

Với
BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2AB.AC.cosA
Ta tìm được
BC = 13 ∨ BC = 37

Cách khác
S=

p( p − a)( p − b)( p − c)

⇔ S 2 = p( p − a)( p − b)( p − c)
7 + BC 7 − BC BC + 1 BC − 1
⇔ 27 =
.
.
.
2
2
2
2
⇔ 432 = (49 − BC 2 )(BC 2 − 1)
⇔ BC 4 − 50BC 2 + 481 = 0
⇔ BC = 37 ∨ BC = 13


2. Chứng minh các hệ thức trong tam giác

 

Bài 2. Cho tam giác ABC có . Chứng minh rằng:

Giải: Ta có

mc =

3
3
c ⇔ mc2 = c2
2
4

a 2 + b 2 c2 3 2
⇔
−
= c
2
4 4
⇔ a 2 + b 2 = 2c2

Khi đó

Suy ra

 2 a 2 + c2 b 2 3 2

3
−

= a
a
m b =
m b =


2
4 4
2
⇔

2
2
2
a
3 2
 2 b +c
m = 3 b
m
=
−
=
b
 a
 a
2
2
4 4

ma + m b + mc =

3
(a + b + c)
2


3. Tỉ số diện tích
 Chú

ý:
• Nếu hai tam giác có chung cạnh thì dùng công thức

h1
h2

• Nếu hai tam giác có chung góc thì dùng công thức b.sinC

a1

b1

a2
b2


3. Tỉ số diện tích
Bài 3. Trên các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC, lấy lần lượt các điểm M, N, P
sao cho AM BN CP
(k > 0, k cho trước)
MB

=

NC

=

PA

=k

a) Biết SABC = S0. Tính SMNP theo S0 và k.
b) Tam giác ABC cố định. Hãy chọn số k sao cho tam giác MNP có diện tích nhỏ
nhất
A

AM
AM
AM
k
MB
=
=
=
AB AM + MB AM
k +1
+1
MB
M
AP

AP
1
1
=
=
=
PC k + 1
AC AP + PC
1+
AP
B

P

N

C


3. Tỉ số diện tích
Bài 3. Trên các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC, lấy lần lượt các điểm M, N, P
sao cho AM BN CP
(k > 0, k cho trước)
MB

=

NC

=

PA

=k

a) Biết SABC = S0. Tính SMNP theo S0 và k.
b) Tam giác ABC cố định. Hãy chọn số k sao cho tam giác MNP có diện tích nhỏ
nhất

Giải: Ta có

Khi đó

AM
AM
AM
k
=
= MB =
AB AM + MB AM
k +1
+1
MB
AP
AP
1
1
=
=
=

PC k + 1
AC AP + PC
1+
AP

BN CP
k
=
=
BC CA k + 1
BM CN
1
=
=
BA CB k + 1

SMNP S0 − (SAMP − SBMN − SCNP )
=
S0
S0
S
S
S 
= 1 −  AMP + BMN + CNP ÷
S0
S0 
 S0
 AM AP BM BN CN CP 
= 1−
.

+
.
+
.
÷
AB
AC
BA
BC
CB
CA 


= 1−

3k
(k + 1) 2


3.Tỉ số diện tích
Bài 3. Trên các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC, lấy lần lượt các điểm M, N, P
sao cho AM BN CP
(k > 0, k cho trước).
MB

=

NC

=

PA

=k

a) Biết SABC = S0. Tính SMNP theo S0 và k.
b) Tam giác ABC cố định. Hãy chọn số k sao cho tam giác MNP có diện tích nhỏ
nhất.

Giải:
b)Ta có


3k 
SMNP = S0 . 1 −
÷
(k + 1)2 


3k 
≥ S0 . 1 −
÷
4k


S0
=
4

 Suy

ra nhỏ nhất là khi k = 1.


4. Giải tam giác và ứng dụng thực tế
 

Bài 4. Một chiếc thuyền đang neo đậu ở vị trí C trên hồ và hai
người ở các vị trí quan sát A và B cách nhau 500m. Họ đo được
góc 870 và 620. Tính các khoảng cách AC và BC.
Giải:
Ta có
BC
AB
=
sin A sin C
ABsin A
⇒ BC =
≈ 969m
sin C

*

AC
AB
=
sin B sin C
ABsin B
⇒ AC =
≈ 857m

sin C

*

A
C

5oom
B


CỦNG CỐ





Tính toán các yếu tố trong tam giác
Chứng minh các đẳng thức trong tam giác
Tỉ số diện tích
Giải tam giác và ứng dụng thực tế


A1k23
Have a nice day!