bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn

BÀI 2


I. KHÁI NIỆM BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN

1. Bất phương trình một ẩn
Cho một ví dụ về bất phương trình
một ẩn, chỉ rõ vế trái, vế phải của
bpt
3x > 3, Vế trái là 3x , vế phải là 3
- 2x ≤ 5 , Vế trái là – 2x , vế phải là 5

Bất phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng
f(x) < g(x)
(f(x) ≤ g(x))
(1)
Trong đó f(x) và g(x) là những biểu thức của x
Ta gọi f(x) và g(x) lần lượt là vế trái và vế phải của
bpt (1). Số thực x0 sao cho f(x0) < g(x0) (f(x0) ≤
g(x0)) là mệnh đề đúng được gọi là một nghiệm của
bpt (1).
Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó, khi
tập nghiệm rỗng thì ta nói bpt vô nghiệm
Chú ý: bpt (1) cũng có thể viết theo dạng f(x) > g(x)

(f(x) ≥ g(x))


Hđ2 : Cho bpt 2x ≤ 3

1
a) Trong các số - 2 ; 2 ; π ;
2

10 số nào là

nghiệm, số nào ko phải là nghiệm của bpt trên?

Giải
b) Giải bpt
và biểu diễn
tập nghiệm
trên trục số

a)số - 2 là nghiệm
b) 2x ≤ 3 ⇔ x ≤ 3/2
0

3/2
] ///////////////

2. Điều kiện của một bất phương trình
Ta gọi các điều kiện của ẩn số x để f(x) và g(x)
có nghĩa là điều kiện xác định (hay điều kiện)
của bất phương trình (1)
Ví dụ: Điều kiện của bpt

3 − x + x +1 ≤ x

2

là 3 – x ≥ 0 và x + 1≥ 0
Tìm điều
kiện của bpt

2x
3x − 2 +
≤1
x−1
ĐK: 3x – 2 ≥ 0 và x – 1 > 0


3. Bất phương trình chứa tham số

Trong một bất phương trình , ngoài các chữ đóng
vai trò là tham số còn có các chữ khác được xem
nhu những hằng số được gọi là tham số
VD: (2m – 1)x + 3 < 0
x2 – mx + 1 ≥ 0
Có thể được coi là những bpt ẩn x tham số m


II. HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN
3 − x ≥ 0
Ví dụ 1. Giải hệ bất phương trình 
x + 1 ≥ 0

Giải:

3–x≥0⇔3≥x

x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ -1
3
] ///////////
////////////[
-1
Giao của hai tập hợp trên là đoạn [- 1; 3]
Vậy tập nghiệm của hệ là [- 1; 3] hay – 1 ≤ x ≤ 3

Giải hệ bất
phương
trình sau
Giải

3 x − 2 ≥ 0

x −1 > 0

3x – 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2/3
x–1>0⇔x>1

////////////[
2/3
////////////////////////////(
1
Nghiệm của hệ là x > 1


III. MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI BẤT PHƯƠNG TRÌNH

1. Bất phương trình tương đương
Hđ3:

Hai bất
phương trình
trong ví dụ
(1) có tương
đương hay
không ?. Vì
sao?

Hai bất phương trình
không tương đương vì
chúng có tập nghiệm
khác nhau

Hai bất phương trình
tương đương là hai bất
phương trình có cùng
tập nghiệm


2. Phép biến đổi tương đương
Ví dụ: 3 − x ≥ 0 ⇔ 3 ≥ x ⇔ −1 ≤ x ≤ 3



x + 1 ≥ 0

 x ≥ −1

3 x − 2 ≥ 0  x ≥ 2 / 3
⇔
⇔ x >1

x −1 > 0
x > 1


3. Cộng (trừ)

Cộng (trừ) hai vế của bpt mà không làm thay đổi
điều kiện của bpt ta được một bpt tương đương
P(x) < Q(x) ⇔ P(x) + f(x) < Q(x) + f(x)
Ví dụ 2. Giải bất phương trình
(x + 2)(2x – 1) – 2 ≤ x2 + (x – 1)(x + 3)

Giải:(x + 2)(2x – 1) – 2 ≤ x2 + (x – 1)(x + 3)

⇔2x2 + 4x – x – 2 – 2 ≤ x2 + x2 – x + 3x – 3
⇔ 2x2 + 3x – 4 ≤ 2x2 + 2x – 3
⇔ 2x2 + 3x – 4 – (2x2 + 2x – 3) ≤ 0
⇔ x – 1 ≤ 0 ⇔ x ≤ 1. Vậy tập nghiệm bpt là (-∞ ;1]

4. Nhân (chia)
P(x) < Q(x) ⇔ P(x).f(x) < Q(x). f(x) nếu f(x) > 0, ∀x
P(x) < Q(x) ⇔ P(x).f(x) > Q(x). f(x) nếu f(x) < 0, ∀x
Giải bpt
Giải:

x + x +1 x + x
> 2
2
x +2

x +1
2

2

Bpt ⇔ (x2 + x + 1)(x2 + 1) > (x2 + x)(x2 + 2)
⇔x4 + x3 + 2x2 + x + 1 > x4 + x3 + 2x2 + 2x
⇔ x4 + x3 + 2x2 + x + 1 – x4 – x3 – 2x2 – 2x > 0
⇔-x+1>0⇔x<1
Vậy nghiệm của bpt là x < 1

5. Bình phương
Bình phương hai vế của một bpt có hai vế không âm
mà không làm thay đổi điều kiện của nó ta được
một bpt tương đương
P(x) < Q(x) ⇔ P2(x) < Q2(x) nếu P(x) ≥ 0, Q(x) ≥ 0, ∀x

Ví dụ:
Giải bất phương trình

x + 2x + 2 = x − 2x + 3
2

2


Giải:
Hai vế của bpt dương ∀x, bình phương hai vế ta được

(

x +2x +2
2

) =(

2

x − 2 x +3

⇔ x2 + 2x + 2 > x2 − 2x + 3
⇔ 4x > 1
1
⇔x>
4
Vậy nghiệm của bpt là x > 1/4

2

)

2


Ví dụ

Giải:

Giải bất phương trình

5x + 2 3 − x
x 4−3 3− x
−1 > −
4
4
6
Điều kiện: 3 – x ≥ 0 ⇔ x ≤ 3

Bpt ⇔

5x
3− x

x 2
3− x
+
−1> − +
4
2
4 3
2

5x 3 − x
x 2 3− x
⇔ +

− 1− + −
>0
4
2
4 3
2
1
1
⇔ x− > 0 ⇔ x >
3
3
Kết hợp với đk ta được nghiệm bpt là

1/3 < x ≤ 3