Phương trình và bất phương trình bậc nhất một ẩn

Phương trình bậc nhất một ẩn
Ví dụ 1 :
ax = b
(1)
-3x + 5 = 7
3
13
5 8 343
4 4
x x
x − + =
2
3
x = −
Ví dụ 2 : -7x = 0
0
0
7
x = =
−
Ví dụ 3 :
3
3
20 13
8 7
4 4
x x x−
+ =
7 32 7x x+ =
0. 32x
= −

Ví dụ 4 :
0x = 0
0 = 0 (hiển nhiên đúng)
Dạng tổng quát :
I. Các ví dụ :
ax = b
Cụ thể, xét hệ số a trước x và hệ số tự do b với số 0 :
i. Trường hợp 1.1 :
a = 0 và b = 0
(1)
: Pt (1) ↔ 0.x = 0
Nhận xét , dù x thay đổi với bất kỳ giá trị nào ta thấy VT và
VP luôn bằng nhau và cùng bằng 0. Nghĩa là (1) đúng.
→ pt (1) có vô số nghiệm x Є R → S = R
ii. Trường hợp 1.2 :
a = 0 và b ≠ 0: Pt (1) ↔ 0.x = b
Nhận xét , dù x thay đổi với bất kỳ giá trị nào ta thấy VT = 0
còn VP luôn khác 0. Nghĩa là (1) luôn sai.
→ pt (1) có vô nghiệm
→ S = ɸ
iii. Trường hợp 2 :
a ≠ 0
→ pt (1) có nghiệm duy nhất :
b
x
a
=
b
S
a

 
=
 
 
Vậy :
II. Phương trình bậc nhất một ẩn :
Ví dụ : Giải và biện luận các phương trình sau :
a. (x+2)m + 3 = 3x + m
b. kx( x + k ) + 2k + 3 = k(x2 – 1) +kx
Giải :
a. (x+2)m + 3 = 3x + m

mx + 2m + 3 = 3x + m mx – 3x = m – 2m – 3
(m – 3)x = –m – 3
⇔
⇔
⇔
(1)
Biện luận :
TH 1: m – 3 = 0 ↔ m = 3 → pt(1) trở thành : 0.x = – 6 (vô lý)
→ pt(1) vô nghiệm. Do đó , tập nghiệm S = Ф
TH 2: m – 3 ≠ 0 ↔ m ≠ 3 → pt(1) có nghiệm duy nhất :
3
3
m
x
m
− −
=
−

Do đó , tập nghiệm là :
3
3
m
S
m
− −
 
=
 
−
 
b. kx( x + k ) + 2k – 3 = k(x2 – 1) +kx
⇔
kx2 + k2x + 2k – 3 = kx2 – k + kx
k2x – kx = – k – 2k + 3
⇔
⇔
k(k – 1)x = – 3k + 3
⇔
k(k – 1)x = – 3(k – 1) (1)
Biện luận :
TH1: k(k – 1) = 0
⇔
0
1
k
k
=



=

*TH1.1: k = 0 → pt(1) trở thành : 0.x = –3(0 – 1) ↔ 0.x = 3
(vô lý) → pt(1) vô nghiệm . Do đó: S = Ф
*TH1.2: k = 1 → pt(1) trở thành : 0.x = 0 (luôn đúng VxЄR )
→ pt(1) có vô số nghiệm VxЄR. Do đó: S = R
TH2: k(k – 1) ≠ 0
⇔
0
1
k
k
≠


≠

→ pt(1) có nghiệm duy nhất :
3( 1) 3
( 1)
k
x
k k k
− −
= = −
−
Do đó , tập nghiệm là :
3
S

k
 
= −
 
 
Bất phương trình bậc nhất một ẩn
i. ax > b ii. ax < b
iv. ax ≤ b iii. ax ≥ b
Xét cho ví dụ : i. ax > b
Trường hợp 1.1 :
a = 0 và b = 0: Bpt (i) ↔ 0.x > 0
( vô lý)
Bpt (i) vô nghiệm
Trường hợp 1.2 :
a = 0 và b < 0 : Bpt (i) ↔ 0.x > b
( đúng) với mọi x
Bpt (i) có vô số nghiệm x
Trường hợp 1.3 :
a = 0 và b > 0
: Bpt (i) ↔ 0.x > b
( vô lý)
Bpt (i) vô nghiệm
Lưu ý: khi nhân hay chia hai vế của một bất pt với
số âm thì bất pt sẽ đổi chiều.