cung và góc lượng giác

TUẦN 30, 31, 32, 33, 34


Bài 1:
CUNG VÀ GĨC LƯỢNG
GIÁC
I. Khái niệm cung và góc lượng giác
1. Đường tròn đònh hướng và cung lượng giác
M2
A’
O

.2
M
.1
.A
.-1
1

N1

.-2


Đường tròn đònh hướng: Là một đường tròn
trên đó ta đã chọn một chiều chuyển động
gọi là chiều dương, chiều ngược lại là chiều
âm. (quy ước chiều dương là chiều ngược với
chiều kim đông hồ)
Trên đường tròn định hướng cho hai điểm A, B.
Một điểm M di động trên đường tròn ln theo

một chiều từ A đến B tạo nên một cung lượng
giác có điểm đầu A điểm cuối B.
NX:Với hai điểm A, B đã cho trên đường tròn định
hướng ta có vơ số cung lượng giác điểm đầu A,
điểm cuối B. Mỗi cung như vậy đều được kí hiệu
là AB


2.Goùc löôïng giaùc:
Trên đường tròn định hướng cho
một cung lượng giác CD. Một
điểm M chuyển động trên
đường tròn từ C đến D tạo
nên cung lượng giác CD. Khi
đó tia OM quay xung quanh
gốc O từ vị trí OC tới vị trí
OD. Ta nói OM tạo ra một
góc lượng giác , có tia đầu là
OC, tia cuối là OD.Kí hiệu
góc lượng giác đó là
(OC,OD).

D

O

M

C

3 .Đường tròn lượng giác :
Đường tròn lượng giác là đường tròn đònh
hướng có bán kính bằng 1.
Trong mặt phẳng Oxy đường tròn lượng giác cắt
hai trục toa độ tại 4 điểm
A(1;0), A′(−1;0); B (0;1), B′(0;−1)
B(0;1)
A’(-1;0)

A(1;0)
O
B’(0;-1)


II-Số đo của cung và góc lượng giác
1Độ và Radian
a)Độ:
1
0
1
=
Góc

góc bẹt 10 = 60′,1′ = 60′′
180

b)Radian: Trên đường tròn tuỳ ý cung có độ dài bằng bán
kính được gọi là cung có số đo 1rad.
0

180
π
0
0
≈
57
17′45′′
180 = π rad ; 1
=
=
rad ≈ 0,01745rad 1radđộ
π
180
Nếu góc (cung) có số đo bằng radian là α ta có:
a
α (rad ) π≈ 3,1416
0

180

=

π


Bảng tương ứng giữa số đo bằng độ và bằng
radian của một số góc thông dụng (SGK Tr136)
c) Độ dài của 1 cung tròn
Độ dài của một cung tròn có số đo
đường tròn có bán kính R là:

l=R
α
Hệ quả:a) Nếu α = 1(rad) ⇒ l= R
b) Nếu R = 1 ⇒ l= α

rađian
α của


2. Số đo của một cung lượng giác
Số đo của một cung lượng giác AM (A khác
M) là một số thực, âm hay dương. Kí hiệu sđ
AM.
3. Số đo của 1 góc lượng giác
Số đo của góc lượng giác ( OA,OC) là số đo của cung
lượng giác AC tương ứng.
4. Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn
lượng giác
Chọn điểm gốc A(1;0) làm điểm đầu. Để biểu diễn
cung lượng giác có số đo α trên đường tròn lượng
giác ta chọn điểm cuối M của cung này sao cho
sđAM= α


Bài 2
GIAÙ TRÒ LÖÔÏNG GIAÙC CUÛA MOÄT
CUNG
I.Gía trị lượng giác của 1 cung
Trên đường tròn lượng giác gốc A cho
cung AM có số đo α .

Thế thì tung độ của điểm M là sinα ,
hoành độ của điểm M là cos α
sin α (nếu cosα ≠ 0),
tan α =
cos α
cos α
cot α =
(nếu sin α ≠ 0).
sin α

y
M

B
K
x

A'

H

O

B'

A


Hệ quả

1.

sin(α + k 2π ) = sin α , ∀k ∈ Z

cos(α + k 2π ) = cos α , ∀k ∈ Z
− 1 ≤ sin α ≤ 1;−1 ≤ cos α ≤ 1 , với mọi α
2.
π
α
3. tan không xác định khi và chỉ khi α = + kπ , k ∈ Z
2
4. cot α không xác định khi và chỉ khi α =kπ, k є Z.
5. sin α ≥ 0 khi và chỉ khi điểm cuối M thuộc góc phần
tư thứ I và IV.
6. cos α ≥ 0 khi và chỉ khi điểm cuối M thuộc góc phần
tư thứ I và II.
7. Từ dấu của sin α và cos α suy ra dấu của tan α và
cot α.


II. Ý nghĩa hình học của tang và cơtang

tan αđược biểu diễn bởi độ

dài đại số của vectơ
uuu
r
AT trên trục t’At . Trục t’At
được gọi là trục tang.
cot α được biểu diễn bởi độ

uur
dài đại số của vectơ BS
trên trục s’Bs . Trục
s’Bs được gọi là trục
tang .

t

y
B
M

Q
x

A'
P

O

A

B'

t'

y
S

B

Q

s

M
x

A'
O

B'

P A


III. Quan hệ giữa các giá trị lượng
giác
1. Công thức lượng giác cơ bản
sin 2 α + cos 2 α = 1;
tan α . cot α = 1
1
cos 2 α
1
2
1 + cot α =
sin 2 α
1 + tan 2 α =

kπ
α≠

,k ∈ Z
2
π
α ≠ + kπ , k ∈ Z
2
α ≠ kπ , k ∈ Z


3. Giá trị lượng giác của các
cung đối nhau
cos(- α ) = cos α
sin(- α ) = - sin α
tan(- α ) = - tan α
cot(- α )= - cot α

O

M
αH A
-α
M’


4. Giá trị lượng giác của các
cung bù nhau
sin(π - α ) = sin α
cos(π - α ) = - cos α
tan(π - α) = - tan α
cot(π - α) = - cot α

5. Giá trị lượng giác của các
cung hơn kém nhau π
sin( α + π) = - sin α
cos( α + π) = - cos α
tan( α + π) = tan α
cot( α + π) = cot α


6. Giá trị lượng giác của các
cung phụ nhau

π
sin( - α) = cos
2

α

π
cos( 2- α
) = sin

α

π
tan( - α
) = cot
2

α

π
cot( 2

α) = tan

α


Bài 3:
CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1. Công thức cộng
Cos(a - b) = cosacosb + sinasinb
Cos(a + b) = cosacosb - sinasinb
Sin(a - b) = sinacosb - cosasinb
Sin(a + b) = sinacosb + cosasinb

tan a − tan b
tan(a − b) =
1 + tan a tan b

tan a + tan b
tan(a + b) =
1 − tan a tan b


II. Công thức nhân đôi
sin2a = 2sinacosa
cos2a = cos2 a - sin2 a = 2cos2 a - 1 = 1 - 2sin2 a
tan2a =

2 tan a
1 − tan 2 a


Công thức hạ bậc
1 + cos 2a
cos a =
2
2

1 − cos 2a
sin a =
2
1 − cos 2a
2
tan a =
1 + cos 2a
2


III. Công thức biến đổi tích
thành tổng
1
cos a cos b = [ cos(a − b) + cos(a + b)]
2
1
sin a sin b = [ cos(a − b) − cos(a + b)]
2
1

sin a cos b = [ sin( a − b) + sin( a + b)]
2


IV. Công thức biến đổi tổng
thành tích
u+v
u−v
cos u + cos v = 2 cos
cos
2
2
u+v
u−v
cos u − cos v = −2 sin
sin
2
2

u+v
u−v
sin u + sin v = 2 sin
cos
2
2

u+v
u−v
sin u − sin v = 2 cos
sin

2
2