ELIP bài giảng toán

ELíp


y

.
.
.

.

.

. .

.

.

F1

.

-c
.

. .
.

.

ELíp

.

M

. y . . .M
. .
a
2a

2

.

2c O

.

.

1. Định nghĩa : trong mặt phẳng
. Cho hai điểm cố định F1 và F2
.
F
x Với F1F2 = 2c > 0
.
x c
. ELÍP (E)={ M / M F1+M F2= 2a}

. * (a là số không đổi và a > c )
.
.
: gọi là 2 tiêu điểm của (E)
F
;F
1
2
*
F1F2 = 2c :gọi là tiêu cự của (E)
* MF và MF: gọi là các bán kính
1
2
qua tiêu của M thuộc (E)
.

2

.

2 . Phương trình chính tắc của elip:


KHÁM PHÁ PHƯƠNG TRÌNH (E)
F1(− c;0) ;F2(c;0)
M(x;y)∈ (E) Ta

y

có

MF12 = (x + c)2 + y2 = x2 + 2cx + c2 + y2 F1M2 = ?
2
MF22 = (x − c)2 + y2 = x2 − 2cx + c2 + y2 F2M = ?
F1M2 − F2M2 = ?
MF12 − MF22 = 4cx
MF12 + MF22 = 2(x2 + y2 + c2)

.
−c
F1

O

F1M2 + F2M2 = ?

M
c.
F2

Mà : MF1 − MF2 < 2aTại sao ....???....
2
⇒ ( MF1 − MF2) − 4a2 ≠ 0.(1)
2 2
a
y
2
Định nghĩa cho ta:MF1 + MFKIẾN
⇔ NHỚ
x + 2 2 = a2

2 = 2a THỨC CẦN
2
2
a −c
⇒ ( MF1 + MF2) − 4a
M = 0.(2)
2
2
x
y
Ta đã biết : trong
giác
Lấy (1)nhân (2) ta được :
⇔ 2 +1tam
= 1thì
2
2
a
a
− c nhỏ hơn
2độ
( MF − MF ) 2 − 4a2 ( MF + MF ) 2
=0
Hiệu
dài
hai
cạnh
luôn
−
4a

1
2
1
2
2
2
2

 

Nếu:
b
=
a
−
c
độ dài cạnh thứ ba
⇔ (MF12 − MF22)2 − 8a2 ( MF12 + MF22 ) + 16a4 = 0
Ta được phương trình:
2 2
2 2
2
2
4
F2 = 0MF1 − MF2 ≤ F1F2 = 2c < 2a
⇔ 16c x − 16a
F1(x + y + c ) + 16a
2
2
x

y
⇔ c2x2 − a2x2 − a2y2 − a2c2 + a4 = 0
⇒ MF1 − MF2 2< +2a2 = 1 Với b2 = a2 − c2
2 2
2
2 2
2 2
2
⇔ x (c − a ) − a y − a (c − a ) = 0
⇔ − x2(a2 − c2) − a2y2 + a2(a2 − c2) = 0
⇔ x2(a2 − c2) + a2y2 = a2(a2 − c2)

a

b

Lưu ý : a > b >0

x


y

.
.
.

.

.

. .

.

. y . .

.

ELíp

M

. .

.

.

.

2 . Phương trình chính tắc của elip:

2
2
.
MF
−
MF
= 4cx

1
2
F
F
O
Ta có
a.xĐịnh lí : Trong mặt phẳng Oxy
.
x 1c − MF2 ) = 4cx
⇔
-c (MF1 + MF2)(MF
. Nếu elip có tiêu điểm F (− c;0) ;F (c;0)
.
1
2
MF
+
MF
=
2a(
1
)
.
1
2và MF + MF = 2a với M(x;y)∈ (E)
.
1
2
. .
.

2cx
. . nghĩa:
Theo định
) . Thì phương trình chính tắc
. ⇒. MF1. − MF2 =(a > c (2)
củaaelip là : x2 y2
(1)+ (2) được gì ?
(1)- (2) được gì ? 2 + 2 = 1 với b2 = a2 − c2

.

1

2

a

*Công thức tính bán kính qua
cx
tiêu
MF1 = a+
a
cx
MF2 = a−
a

b


ELíp

y

.

.

. .

.

.

. .
.

-a .
A1.

F1

.

-c

.

. .
. .

e→ 0

Hay a-> b

. .

b B.2
y

.

O

.
.

-b B1

3 .Các yếu tố của (E)
F1(− c;0);F2(c;0)
* 2 tiêu điểm

M

. .

.

* Tiêu cựF1F2 = 2c
* 2 trục đối xứng là trục Ox và trụ

.
.
* Tâm đối xứng là : O (0;0)
a
. x* (E) có 4 đỉnh
A2
.
2đỉnh trên OxA:1(− a;0);A2(a;0)
.
2 đỉnh trên OyB1:(0;− b);B2(0;b)

. .
F2

x

c

.

.

.

e=

a2 − b2
a

b → 0 ⇒ e→ 1

* Trục lớn : A1A2 = 2a
* Trục bé: B1B2 = 2b
•Hình chữ nhật cơ sở có phương
trình các cạnh làx: = ± a;y = ± b
*Tâm sai của elip là tỉ số giữa ti
cự và độ dài trục lớn , Kí hiệu e
c
Vậy : e = < 1
a


4.BÀI TẬP ÁP DỤNG
x2 y2
+
=1
Bài 1 : cho elíp (E) :
25 9
a / Tìm các yếu tố sau của (E)
* 2 tiêu điểmF1: (−4;0) ;F2(4;0)
* Tiêu cự: F1F2 = 8
A1:A2 = 2a = 10
* Độ dài trục lớn
B1B2 = 2b = 6
* Độ dài trục bé:
*4 đỉnh
A1(−5;0);A2(5;0)

B1(0;−3);B2(0;3)
c 4

e
=
=
*Tâm sai
a 5

b/ Vẽ (E)

a= ?
2

c =?

b= ?
c= ?

* 2 tiêu điểm: F1(− c;0);F2(c;0)
Cáccự:
h vẽ
* Tiêu
F1F:2 = 2c
a;0);A
c đtrên
ịnh 4Ox
đỉnh
củ
và 2 2
tiê(a
u ;0)
điểm

2 *Xá
đỉnh
:A
1(a−(E)
2 đỉnh trên Oy : B1(0;− b);B2(0;b)
* Vẽ 4 cạnh của hình chữ nhật cơ sở
* Trục lớn : A1A2 = 2a
* Vẽ (E) nB
ội B
tiếp= hình
chữ nhật tại 4 đỉnh
2b
* Trục bé: 1 2
* Hình chữ nhật cơ sở có phương
x = ± a;y = ± b
trình các cạnh là
c
y
e=
*Tâm sai của elip 3
là
a

..

−4
−5 F1

.

O

.

−3

..
4
F2

5

x


4.BÀI TẬP ÁP DỤNG
Baøi 2 : cho elíp (E) : 4x2 + 9y2 = 36

30s

Chọn kết quả đúng

a / (E) có tiêu điểm là:
A. F1(−5;0);F2(5;0)

C. F1(0;− 5);F2(0; 5)

;BB. F1(− 5;0);F2( 5;0)
; D. F1(0;−5);F2(0;5)

b / (E) có tiêu điểm là :
A. F1F2 = 5

Nhóm 1

; B. F1F2 = 10

Nhóm 2
; C. F1F2 = 3 5 ; D
D. F1F2 = 2 5

c / (E) có độ dài các trục là: Nhóm 3
C. a = 3;b = 2 ; D. a = 4;b = 9
A. a = 2;b = 3 ; B. a = 9;b = 4 ; C
d / (E) có tâm sai là :
5
5
e
=
e
=
;
B.
A.
A
3
9

Nhóm 4
5

5
; C. e =
; D. e =
2
4


4.BÀI TẬP ÁP DỤNG
Baøi 3: Viết phương trình chính tắc của ( E) biết :
Một tiêu điểm Flà
và độ dài trục lớn bằng 10
1(−2;0)
Giải
Phương trình chính tắc của ( E) có dạng
x2

y2

2
2
2
;
v
ớ
i
+
=
1
b
=

a
−
c
a2 b2

Theo đề bài ta có
2a = 10 ⇒ a = 5
F1(−2;0)⇒ c = 2

Muốn tìm được phương trình ta
phải tìm được yếu tố nào của
( E ) ???..........

Mà b2 = a2 − c2 = 25 − 4= 21
Phương trình chính tắc của elip (E) là
x2 y2
+
=1
25 21


y

..
.

ELíp

a A2

c

. .
−b

B1

F2

.

O

..
.

-c

Chú ý :

F1

− a A1

Nếu chọn hệ trục toạ độ sao cho

. .
b

B2

F1(0;− C);F2(0;C)

x

Thì elip có phương trình là
y2

x2
+ 2 =1
2
a
b

Phương trình này không được gọi
phương trình chính tắc của elip
Ví dụ : phương trình
x2 y2
+
= 1 Là phương trình chính tắc
9
4
của elip
x2 y2
+
=1
9 16

Không là phương trình
chính tắc của elip