phương trình đường thẳng11

1. Véc tơ pháp tuyến của đường thẳng
2. Phương trình tổng quát của đường thẳng


3. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng
Hoạt động 4

Cho đường thẳng Δ có phương trình
Và véctơ


n = (3;−2)

 x = −5 + 2t

 y = 4 + 3t

Chứng tỏ n vuông góc với véc tơ chỉ phương của Δ
Giải
Ta có véc tơ chỉ phương của Δ là


n.u = 3.2 + (−2).3 = 0

Vậy


u = (2;3)

 
n ⊥u

Véc tơ n có tính chất như trên được gọi là véctơ pháp
tuyến của Δ


ĐỊNH NGHĨA


Véctơ n được gọi là véctơ
pháp
tuyến
của


đường thẳng Δ nếu n ≠ o và n vuông
góc với véctơ chỉ phương của Δ

 
n ≠ 0


 →n là vtpt của Δ
n ⊥ vtcpu ∆


Nhận xét
☻Nếu n là một véctơ pháp tuyến của đường thẳng

∆ thì kn (k ≠ 0) cũng là một véc tơ pháp tuyến của
r

∆
n
A

Một đường thẳng có

r
b

bao nhiêu véctơ pháp
tuyến?
r
u

☻Một đường thẳng có vô số véctơ pháp tuyến

∆

r
B a

r
x


Một đường thẳng
hoàn toàn xác định
khi nào

Một đường thẳng hoàn toàn xác định khi biết một

điểm và một véctơ pháp tuyến của nó
r
n
.

Mo


4. Phương trình tổng quát của đường thẳng
Trong mặt phẳng Oxy
 cho đường thẳng ∆ đi qua điểm
M0(x0;y0) và nhận n ( a; b) làm véc tơ pháp tuyến
Với M(x;y) ta có


n


M 0 M = ( x − x0 ; y − y0 )

Khi đó


M ( x; y ) ∈ ∆ ⇔ n ⊥ M 0 M

⇔ a ( x − x0 ) + b( y − y0 ) = 0

∆
.

M(x; y

y0

M0

x0

⇔ ax + by + (− ax0 − by0 ) = 0

⇔ ax + by + c = 0


u

Với c = -ax0 – by0


Vậy đường thẳng có
phương trình tổng quát
như thế nào?
a) Định nghĩa
Phương trình ax + by + c = 0 với a và b không
đồng thời bằng không được gọi là phương trình
tổng quát của đường thẳng
Nhận xét
Phương trình ax + by + c = 0 có véctơ pháp tuyến




n = (a; b) và véc tơ chỉ phương u = (−b; a)


b) Ví dụ
Lập phương trình tổng quát của đường thẳng ∆
đi qua hai điểm A(2 ; 2) và B(4 ; 3)
GIẢI 
AB = (2;1) Là véc tơ chỉ phương của ∆


Vtpt của ∆ là n = (−1;2)


∆ qua A(2 ; 2) và có vtpt n = (−1;2)

Nên có PTTQ là
-1(x – 2 ) + 2( y – 2 )=0
⇔ –x + 2 +2y – 4 = 0
hay x – 2y + 2 = 0


Hoạt động 6:
Hãy tìm toạ độ của véctơ chỉ phương của đường
thẳng có phương trình: 3x + 4y +5 =0
GIẢI
Véctơ pháp tuyến


n = (3;4)


Nên véctơ chỉ phương u = (−4;3)


Bài tập
1.Viết PTTQ đường cao AH của tam giác ABC,
với A(2; 5), B(3; -1) và C(4; 1)
GIẢI

A
1. BC = (1;2) là vtcp của BC
AH ⊥ BC nên vtpt của AH
làvtcp củaBC

n AH = BC = (1;2)

B



AH qua A(2 ; 5) và có n AH = BC = (1;2)
nên có PTTQ là 1(x - 2) + 2(y + 5)
=0
Hay x + 2y +8 = 0

H

C

2.Viết PTTQ của ∆ biết phương trình tham số là:
x = 4 + 2t
y = 3+ t
GIẢI

{


u = (2;1)

Vtcp của ∆ là

Nên vtpt của ∆ là n = (−1;2)


∆qua M0 ( 4; 3 ) và có vtpt n = (−1;2)
có PTTQ là
-1( x – 4 ) + 2( y – 3 ) = 0
Hay

x - 2y + 2 = 0

nên


c) Các trường hợp đặc biệt

Hệ số

a=0

b=0

c=0

∆: ax + by +c = 0

Tính chất của ∆

Vị trí trong Oxy

by + c = 0
c
hay y = −
b

Vuông góc với trục
Oy tại điểm (0;− c )

ax + c = 0
c
hay x = −
a

Vuông góc với Ox
tại điểm ( − c ;0)
a

ax + by = 0

x y
+ =1
(2)
a0 b0
a,b,c
c
c
khác 0 a0 = − , b0 = −
a
b

b

Đi qua gốc toạ độ
O
(2) Là phương trình
đường thẳng theo đoạn
chắn, cắt Ox, Oy tại
M(a0 ;0) và N(0;b0 )

y

∆

c
−
b

O
y

x

∆
−

O
y

c
a

x

∆

O
y
N
O

x
bo

M
ao

∆

x

Hoạt động 7
Trong mặt phẳng Oxy, hãy vẽ các đường
thẳng có phương trình sau
d1 : x − 2 y = 0

d2 : x = 2
d3 : y + 1 = 0
x y
d4 : + = 1
8 4


y

GIẢI
d4
d2
1) Vẽ đthẳng d1 :x – 2y = 0
.
.
Dt qua điểm O(0;0) và (2;1)
.
2) Vẽ đthẳng d2 :x = 2
.
Dt song song với Oy và
. . .o . . .
.
cắt Ox tại điểm (2; 0)

.
3) Vẽ đthẳng d3 : y + 1 = 0
⇔ y = - 1 Dt song song
với Ox và cắt Oy tại điểm
(0 ; -1)
x y
+ =1
4) Vẽ đthẳng d4 :
8 4
Dt qua điểm (2; 3) và (0; 4)

d1
x
d3


CỦNG
CỐ
 

n ≠ 0

 → n là vtpt của Δ
n ⊥ vtcpu ∆

☻Nếu n là một véctơ pháp tuyến của đường thẳng


∆ thì
kn (k ≠ 0) cũng là một véc tơ pháp tuyến của ∆

☻Một đường thẳng có vô số véctơ pháp tuyến
☻Phương trình tổng quát của đường thẳng là
Ax + By + C = 0

☻∆ qua M0(x0;y0) có VTPT n = ( A; B) có PTTQ là

A(x – x0) + B(y – y0) = 0


phương trình tổng quát của đường thẳng:

ax + by + c = 0
Phương trình ax + by + c = 0 có véctơ pháp tuyến


n = (a; b) và véc tơ chỉ phương u = (−b; a )
Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn,
cắt Ox, Oy tại M(a0 ;0) và N(0;b0 )

x y
+ =1
a0 b0

với

c
c
a0 = − , b0 = −
a
b