Đề thi HSG toan 9

Đề thi học sinh giỏi toán 9
TP Hồ Chí Minh
Năm học 2002 – 2003
Vòng 1 (150 phút):
Bài 1 (3đ):
Giải các phương trình sau:

2241
4241
222
222
++=−+−
+−=−+−
xxxx
xxxx
Bài 2 (3đ):
Chứng minh hằng đẳng thức:
a
b
a
ba
b
a
b
ab
−
−
=
−
−
Bài 3 (3đ):

Rút gọn biểu thức:
( )
)32423241(2.3
3814
3
3612
++−−−
−
−
Bài 4 (3đ):
Trong các hình chữ nhật có chu vi P, hình chữ nhật nào có diện tích lớn
nhất ? Tính diện tích lờn nhất đó.
Bài 5 (4đ):
Cho đường tròng (O; R), từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) kẻ 2 tiếp
tuyến AM, AN tới đường tròn (O) (M, N là hai tiếp điểm). Đường thẳng chứa
đường kính // MN cắt AM, AN lần lượt tai B, C.
1, Chứng minh: Tứ giác MNCB là hình thang cân.
2, Chứng minh: MA. MB = R
2
.
3, Từ điểm K thuộc cung nhỏ MN kẻ tiếp tuyến với (O) cắt AM, AN lần
lượt tại P và Q. Chứng minh rằng: BP. CQ =
4
2
BC
Bài 6 (4đ):
1
Đề thi học sinh giỏi toán 9
Vòng 2 (150 phút):
Bài 1 (4đ):

Cho phương trình:
(2m – 1)x – 2mx + 1 = 0
1, Tìm m để phương trình trên có nghiệm thuộc khoảng (– 1; 0).
2, Tìm m để phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn:
1
2
2
2
1
=−
xx

Bài 2 (5đ):
Giải các phương trình và hệ phương trình sau đây:
1,
381257
2
+−=−+−
xxxx
2,





=++

=+++
7
8
22
22
xyyx
yxyx
3,





=++
=++
11
11
yx
yx
Bài 3 (3đ):
1, Cho a > c; b > c; c > 0. Chúng minh:
abcbccac
≤−+−
)()(
2, Cho x ≥ 1 và y ≥ 1. Chứng minh:
xy
yx
+
≥
+

+
+
1
2
1
1
1
1
22
Bài 4 (3đ):
Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O) kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường
tròn (B, C là các tiếp điểm). Trên tia đối của tia BC lấy điểm D. Gọi E là giao
điểm của DO và AC. Qua E kẻ tiếp tuyến thứ hai với đường tròn (O), tiếp tuyến
này cắt đường thẳng AB ở K.
Chứng minh bốn điểm D, B, O, K cùng thuộc một đường tròn.
Bài 5(2đ):
Cho ∆ABC vuông tại A có M là trung điểm của BC. Có hai đường thẳng
di động và vuông góc với nhau tại M cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại D
và E.
Xác định vị trí của D, E để diện tích ∆DME đạt giá trị nhỏ nhất.
2
Đề thi học sinh giỏi toán 9
Bài 6 (3đ):
Cho hai đường tròn (O) và (O
’
) cắt nhau ở A và B. Qua A vẽ hai đường
thẳng d và d
’
, đường thẳng d cắt (O) tại C và cắt (O
’

) tại D; đường thẳng d’ cắt
(O) tại M và cắt (O’) tại N sao cho AB là phân giác của góc MAD.
Chứng minh: CD = MN
3
Đề thi học sinh giỏi toán 9
TP Hồ Chí Minh
Năm học 2003 – 2004
(150 phút)
I – Phần bắt buộc:
Bài 1 (4đ):
Giải các phương trình và hệ phương trình:
1,
141232532
2
+−=−+−
xxxx
2,





=+
=++
7
41
yx
yx
Bài 2 (4đ):
1, Cho xy = 1 và x > y

Chứng minh rằng:
22
22
≥
−
+
yx
yx
2, Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác thoả mãn: a + b + c = 2
Chứng minh rằng: a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2abc < 2
Bài 3 (4đ):
Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp trong đường tròn (O;
2
AI
). Gọi E là
trung điểm của BC và K là trung điểm của OI.
Chứng minh rằng: Tứ giác AEKC nội tiếp đường tròn.
Bài 4 (4đ):
Cho hai nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và M là một điểm
thuộc đường tròn (M ≠ A, M ≠ B). Tiếp tuyến của (O) tại M cắt tiếp tuyến tại A,
B của (O) lần lượt tại C, D.
Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích các tam giác ACM và DBM.
II – Phần tự chọn: Chọn 1 trong 2 bài.
Bài 5a (4đ):

Cho phương trình:
2x
2
+ 2mx + m
2
– 2 = 0
1, Xác định m để phương trình trên có 2 nghiệm.
2, Gọi 2 nghiệm của phương trình trên là x
1
, x
2
. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức:
A =
42
2121
−++
xxxx
4
Đề thi học sinh giỏi toán 9
Bài 5b (4đ):
Cho biểu thức:
P =






−+

−
−
+
−
+
−
−






−
−
−
6
9
3
2
2
3
:
9
3
1
xx
x
x
x

x
x
x
xx
(x ≥ 0; x ≥ 9; x ≥ 4)
1, Rút gọn P.
2, Tìm x để P = 1
5