Bài giảng CO HOC DAT c2

CHƯƠNG 2

PHÂN BỐ ỨNG
SUẤT TRONG ĐẤT


II.1 Khái niệm về ứng suất:
Định nghĩa: Ứng suất là cường độ của nội lực
trên 1 đơn vị diện tích
r

∆P
r
p = lim r
∆F

Mục đích:
•Tính lún
•Kiểm tra độ ổn định của nền
Đặc điểm:
•Phụ thuộc trị số của lực tác dụng.
•Phụ thuộc toạ độ của điểm đang xét.
•Phụ thuộc tới mặt phẳng xét ứng suất.


Gồm:
- Ứng suất pháp: σ x , σ y , σ z
- Ứng suất tiếp: τ xy, τ xz , τ yx , τ yz , τ zx , τ zy
- Đơn vị : kN/m2 , Pa, kPa, MPa,
0
(kG/cm2).

σ

x

z

τzx
τxz

τzy

σx

τyz
τxy
y

τyx

σy

z


II.2.1. PHÂN BỐ ỨNG SUẤT DO TRỌNG LƯỢNG
BẢN THÂN:
US do trọng lượng bản thân đất nền tại 1 điểm bất
kì trong nền là do trọng lượng khối đất bên trên
nó gây ra
 Phụ thuộc vào γ và z

z, γi
M


II.2.1.1. Khi không có Mực Nước Ngầm (MNN)
z

• Ứng suất thẳng đứng:

σ z = ∫ γ ( z ) .dz = γ .z
0

• Ứng suất pháp theo phương ngang:

ν
σ x = σ y = K oσ z = K o ∫ γ ( z ) dz K o = ξ =
1 −ν
0
z

Ko: hệ số áp lực ngang; ν : hệ số Poisson
• Ứng suất tiếp:

τ xy = τ yz = τ zx = 0


• Khi nền gồm nhiều lớp:

σz =

n

∑γ
i =1

i

zi = γ 1.h1 + γ 2 .h2 + γ 3 .h3 K

σ x = σ y = K o .σ z

τ =0


II.2.1.2. Khi có Mực Nước Ngầm (MNN)
 Các lớp đất dưới MNN được tính với γ ’
Ứng suất tổng: US do đất và nước gây ra tại điểm M

σ z = γ sat .z = σ z '+ u
Áp lực nước lỗ rỗng:

u = γ w .z

z, γsat
M

Ứng suất có hiệu: US do đất gây ra tại điểm M

σ z ' = σ z − u = (γ sat − γ w ).z = γ '.z

MNN tại mặt đất

Ứng suất tổng thẳng đứng:

σ z = γ sat1.h1 + γ sat 2 .h2
γ sat1

h1

γ sat2

h2

σz

M

Ứng suất có hiệu thẳng đứng:

σ z ' = γ 1 '.h1 + γ 2 '.h2
Ứng suất pháp theo phương
ngang có hiệu:

σ x ' = σ y ' = K o .σ z '
σz’

Ứng suất pháp theo phương ngang tổng:

σ x = σ y = K o .σ z '+ γ w .(h1 + h2 )


MNN cách mặt đất Ứng suất tổng thẳng đứng:
1 đoạn h1:

σ z = γ 1.h1 + γ sat1.h2 + γ sat 2 .h3

h1

γ1

h2

γ sat1

Ứng suất có hiệu thẳng đứng:

σ z ' = γ 1.h1 + γ 1 '.h2 + γ 2 '.z3

γ sat2

h3

σz

M

Ứng suất pháp theo phương
ngang có hiệu:

σ x ' = σ y ' = K o .σ z '
σz’

Ứng suất pháp theo phương ngang tổng:

σ x = σ y = K 0 .σ z ' + γ w (h2 + h3 )


II.2.1.3. Khi có Nước mao dẫn
 Trường hợp có nước mao dẫn thì áp lực
nước lỗ rỗng trong vùng nước mao dẫn có giá
trị âm

u = −γ w .hmd

II.2.1.4. Trường hợp nước có áp

σ z = ∑ γ i .hi + γ w .H
Với H là chiều cao cột nước có áp


II.2.2. PHÂN BỐ ỨNG SUẤT DO TẢI TRỌNG
NGOÀI
II.2.2.1 Bài toán cơ bản - Tải trọng tác dụng
là lực tập trung P:
P
0

Xét 1 điểm M, tại độ sâu z

trong nền đất, chịu tác dụng
của lực tập trung P
cos β
Chuyển vị tại M: S M = A
R
Chuyển vị tại M1:
Biến dạng tương
đối eR của đoạn dR:

SM1

x

β

z

R

r
y

z

M

S

s1 M
1

dR
σR

cos β
=A
R + dR

S M − S M 1 cos β A
A
A cos β
eR =
=
( −
)= 2
dR
dR R R + dR
R + R.dR
A cos β
⇒ eR ≈
R2


Nếu quan hệ giữa US và Biến dạng là tuyến
tính  Ứng suất xuyên tâm σR gây nên biến
dạng eR được xác định như sau:

A
σ R = B 2 cos β
R

Ứng suất tại 1 điểm trong đất nền do lực
tập trung theo phương đứng gây ra:

3 P.z 3
σz =
cos β
5
2 π .R

R = x2 + y2 + z2

Thuận lợi hơn trong tính toán  Tra bảng:

P
σz = k 2
z

k ∈ r/z


P
0

x

β
r

z

z

R
S

M

sM
1 1

d
Rσ
R

r = x2 + y2

r/z
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0

k
0,4775
0,4657
0,4329
0,3849
0,3294
0,2733
0.2214
0,1762
0,1386
0,1083
0,0844

r/z
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0

k
0,0658
0,0513
0,0402
0,0317

0,0251
0,0200
0,0160
0,0129
0,0105
0,0085

r/z
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
4,0

k
0,0070
0,0058
0,0048
0,0040
0,0034
0,0029
0,0024
0,0021
0,0017

0,0015
0.0004

Bảng tra giá trị K để tính US nén do tải tập trung gây ra


Trường hợp có nhiều lực tập trung  Nguyên lý
cộng tác dụng lực
P1

0
r1
z

P2

r2
r3

M

1
σz = 2
z

n

∑ k i Pi
i =1

P3


II.2.2.2 Bài toán không gian – Phân bố US
trong trường hợp bài toán không gian
A./ Tải trọng phân bố đều – Diện
truyền tải hình chữ nhật (VD Móng
2l
đơn, Móng bè…)

2b1

1

Khi Tỉ lệ 2 cạnh thường

l
l1 =
2

o

l
≤7
b

z
b

o

l

z3

b1

[( x − ξ )

x

y

b
b1 =
2

3P.dξ.dη
σz = ∫ ∫
2π
00

p

2

+ (y − η) 2 + z

l1
x

l1

]

5
2 2

b1

b1
y


•Phân bố US ở trục đi qua tâm O của diện truyền tải:
2
2
2

b
l
z
(
b
+
l
+
2
z
)
4 b1 l 1

P 
1 1
1
1
σz =
+ arctg
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2π  ( b1 + z )(l1 + z ) b1 + l1 + z
z
b
+
l
+
z
1
1



 = kop




k0 ∈ (l/b ; z/b)

•Phân bố US ở những điểm nằm ở góc của diện
truyền tải:

4 b1l1z(4 b12 + 4l12 + 2z 2 )
4 b1 l 1
P 
σz =
+ arctg
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2π  (4 b1 + z )(4l1 + z ) 4 b1 + 4l1 + z
z
4
b
+
4
l
+

z
1
1



 = kgp



kg ∈ (l/b ; z/b)


l/b
z/b

1

1,5

2

3

6

10

20

Bài toán
phẳng

0,25

0,808

0,904

0,908

0,912

0,924

0,940

0,960

0,96

0,5

0,696

0,716

0,734

0,762

0,789

0,792

0,820

0,82

1

0,386

0,428

0,470

0,500

0,518

0,522

0,549

0,55

1,5

0,194

0,257

0,288

0,348

0,360

0,373

0,397

0,40

2

0,114

0,157

0,188

0,240

0,268

0,279

0,308

0,31

3

0,058

0,076

0,108

0,147

0,180

0,188

0,209

0,21

5

0,008

0,025

0,040

0,076

0,096

0,108

0,129

0,13

Bảng tra giá trị ko để tính US nén dưới tâm diện truyền
tải hình chữ nhật khi chịu tải phân bố đều


z/
b

l/b
1

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

2,4

2,8

3,2

3,6

4,0

5

6

10

0

0,250

0,250

0,250

0,250

0,250

0,250

0,250

0,250

0,250

0,250

0,250

0,250

0,250

0,250

0,2

2486

2489

2490

2491

2491

2194

2492

2492

2492

2492

2492

2492

2492

2492

0,4

2401

2420

2429

2434

2437

2439

2441

2442

2443

2443

2443

2443

2443

2443

0,6

2229

2275

2300

2315

2324

2329

2335

2338

2340

2341

2341

2342

2342

2342

0,8

1999

2075

2120

2147

2165

2176

2188

2194

2198

2199

2200

2202

2202

2202

Bảng tra giá trị kg để tính US nén tại góc diện truyền tải
hình chữ nhật khi chịu tải phân bố đều


•Phân bố US tại những điểm bất kì trên diện
truyền tải: Dùng phương pháp điểm góc để tính
Xét 1 điểm M nằm ở độ sâu z

1

4

L

3

E

C

z

diện truyền tải

•Từ M vẽ tia ⊥ với diện
truyền tải tại O

2

O

K

D

B •Vẽ

F

A

•Từ O kẻ các tia song song
với 2 cạnh của diện truyền
tải và cắt 2 cạnh tại E,F,L,K

M

σ z =  k g ( AFOK ) + k g ( FBLO ) + k g (OLCE ) + k g (OEDK )  . p


•Phân bố US tại những điểm bất kì nằm ngoài
diện truyền tải:
Xét 1 điểm M nằm ở độ sâu z, bên ngoài DTT ABCD
B

A

Tương tự như trường
hợp trên

2

1
C

D

N
3

E

K

4
F

z

0
M

σ z =  k g ( AK 0 E ) − k g ( BKOF ) − k g ( DNOE ) + k g (CNOF )  . p


B./ Tải trọng phân bố hình tam giác – Diện truyền
tải hình chữ nhật :
p

p

o
x

dη

ξ
y

dξ

C

A

η

l
l

B

b

D
b

z
b

3p 3
σz =
z ∫
2π
0

ξ d ξ dη
∫0 ( x −ξ) 2 + ( y −η)2 + z 2  5 / 2


l

Ứng suất nhỏ nhất tại A, B

Ứng suất lớn nhất tại C,D

σ z = k 'T p

σ z = kT p


l/b

z/b
0

0,25

0,50

1,0

1,5

2,0

3,0

5,0

0,15

0

0,020

0,021

0,010

0,010

0,070

0,004

0,001

0,30

0

0,031

0,037

0,020

0,020

0,013

0,007

0,003

0,60

0

0,035

0,053

0,039

0,039

0,029

0,015

0,006

1,00

0

0,036

0,060

0,053

0,053

0,039

0,022

0,009

1,50

0

0,037

0,061

0,063

0,063

0,049

0,029

0,012

2,00

0

0,037

0,062

0,068

0,068

0,055

0,035

0,017

3,00

0

0,037

0,063

0,071

0,071

0,059

0,041

0,022

6,00

0

0,037

0,063

0,071

0,071

0,062

0,046

0,026

10,0

0

0,038

0,064

0,072

0,072

0,063

0,048

0,030

Bảng tra giá trị k’T để tính US nhỏ nhất tại góc diện truyền tải
hình chữ nhật khi chịu tải phân bố hình tam giác


l/b

z/b
0

0,25

0,50

1,0

1,5

2,0

3,0

5,0

0,15

0.250

0,136

0,101

0,025

0,012

0,008

0,005

0,001

0,30

0.250

0,186

0,116

0,051

0,026

0,017

0,010

0,004

0,60

0.250

0,206

0,160

0,085

0,050

0,031

0,016

0,007

1,00

0.250

0,209

0,170

0,108

0,069

0,045

0,024

0,009

1,50

0.250

0,210

0,173

0,113

0,080

0,056

0,033

0,014

2,00

0.250

0,211

0,175

0,117

0,087

0,064

0,041

0,019

3,00

0.250

0,211

0,175

0,119

0,090

0,071

0,047

0,025

6,00

0.250

0,211

0,176

0,120

0,092

0,075

0,051

0,029

10,0

0.250

0,212

0,177

0,121

0,093

0,076

0,052

0,032

Bảng tra giá trị kT để tính US lớn nhất tại góc diện truyền tải
hình chữ nhật khi chịu tải phân bố hình tam giác


II.2.2.3 Bài toán phẳng:
là bài toán thường gặp trong thực tế, khi công trình có 1
cạnh rất dài so với cạnh còn lại (VD nền đường, đê, đập)

A./ Tải trọng phân bố đều hình băng
US do tải trọng bên ngoài
tác dụng chỉ phụ thuộc theo
2 phương x, z
P
1
1

σ z =  β1 + sin 2β1 − (±) β 2 − sin(±2 β 2 ) 
π
2

2

P
1
1

β
−
sin
2
β
−
(
±
)
β
+
sin(
±
2
β
)
1
1
2
2 
π 
2
2


P
τ zx = τ zxz = τ =
(cos 2 β 2 − cos 2 β1 )
2π

σx =

b
dx

p

B

A

β1

β2

z

r

dβ

2β
M

x

z

β2 lấy dấu (+) khi M nằm ngoài phạm vi diện truyền tải


•Trường hợp nếu M ∈ Oz (trục chính), ta có

p
σ z = σ 1 = [ 2β + sin 2 β ]
π

p
σ x = σ 3 = [ 2 β − sin 2β ]
π

τ =0