sach toan cao cap a2 khoi ky thuat

BỘ MÔN TOÁN

TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM

GVC ThS NGUYỄN THỊ MINH THƯ Chủ biên
ThS DƯƠNG THỊ XN AN; ThS NGUYỄN THỊ THU THỦY

GIÁO TRÌNH

TỐN CAO CẤP A2
PHẦN ĐẠI SỐ
KHỐI KỸ THUẬT
(LƯU HÀNH NỘI BỘ )

TP HỒ CHÍ MINH 2013


TRệễỉNG CAO ẹANG CNTT TP HCM

BO MON TOAN

Hoan nghờnh bn c gúp ý phờ bỡnh
Chõn thnh cm n

2


TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM

BỘ MÔN TOÁN

LỜI NĨI ĐẦU
Nhằm đáp ứng nhu cầu học tập và giảng dạy mơn Tốn
trong trường, Bộ mơn Tốn Trường Cao Đẳng Cơng Nghệ
Thơng Tin TPHCM đã tổ chức biên soạn và ấn hành cuốn
TỐN CAO CẤP A2 dành cho sinh viên khối ngành kỹ thuật.
Cuốn sách do các giảng viên thuộc bộ mơn Tốn biên soạn,
trên cơ sở đề cương mơn học theo tín chỉ đã được Hội Đồng
Khoa học trường phê duyệt.
Nội dung cuốn sách là phần Đại số tuyến tính và Tính gần
đúng, giải quyết hầu hết các vấn đề trọng yếu của mơn học,
giúp sinh viên có nền tảng về tốn để tiếp cận các mơn học
khác trong chương trình đào tạo hệ cao đẳng khối ngành kinh
tế. Phần lý thuyết được trình bày logic, ngắn gọn, dễ hiểu, với
nhiều ví dụ phù hợp với đối tượng là sinh viên hệ cao đẳng.
Ngồi ra, còn có phần cho sinh viên tự nghiên cứu, sau mỗi
chương đều có bài tập để sinh viên rèn luyện.
Đây là tài liệu được sử dụng chính thức trong trường giúp
sinh viên học tập và thi kết thúc học phần có hiệu quả tốt theo
chương trình đào tạo tín chỉ. Trong q trình giảng dạy, giáo
trình sẽ được cập nhật, chỉnh lý để ngày càng hồn thiện và đầy
đủ hơn. Do khả năng có hạn, thời gian ngắn và cũng là lần đầu
biên soạn theo hướng đào tạo tín chỉ nên giáo trình khơng tránh
khỏi sai sót.Tập thể giáo viên bộ mơn Tốn rất mong nhận
được các ý kiến góp ý, phê bình của bạn đọc trong và ngồi
trường. Các ý kiến góp ý, phê bình của bạn đọc xin gửi về chủ
biên: NGUYỄN THỊ MINH THƯ - Trưởng bộ mơn TỐN
Trường Cao đẳng Cơng nghệ Thơng tin TP HCM. Địa chỉ

Xin chân thành cảm ơn.
BỘ MƠN TỐN

3


TRệễỉNG CAO ẹANG CNTT TP HCM

4

BO MON TOAN


TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM

BỘ MÔN TOÁN

MỤC LỤC
PHẦN
1.1
1.2
1.3
1.4

2. 1

2. 2

2. 3

2. 4

3.1

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

CHƯƠNG I SỐ PHỨC
TẬP HỢP
ANH XẠ
TẬP HỢP SỐ THỰC
SỐ PHỨC
BÀI TẬP CHƯƠNG I
CHƯƠNG II
MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
KHÁI NIỆM VỀ MA TRẬN
I. Định nghĩa ma trận
II. Phân loại ma trận
III. Các phép tốn về ma trận
IV. Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận
ĐỊNH THỨC
I. Định nghĩa định thức của ma trận vng
II. Tính chất của định thức
III. Khai triển định thức theo một hàng hoặc cột
IV. Cách tính định thức bằng phép biến đổi sơ cấp
MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
I. Định nghĩa
II. Các định lý
III. Các phương pháp tìm ma trận nghịch đảo
HẠNG CỦA MA TRẬN
I. Định nghĩa
II. Phương pháp tìm hạng của ma trận
BÀI TẬP CHƯƠNG II

CHƯƠNG III
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
KHÁI NIỆM HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
I. Các khái niệm về hệ phương trình tuyến tính

Trang
7
7
12
14
16
22
23
23

30

37

42
45
49
49

5


TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM

3.2

3.3

4.1
4.2

4.3

6

BỘ MÔN TOÁN

II. Định lí tồn tại nghiệm Kronecker-Capelli
CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
TUYẾN TÍNH
I. Phương pháp Cramer
II. Phuơng pháp Gauss-Jordan
III. Hệ thuần nhất
HỆ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG MA TRẬN
BÀI TẬP CHƯƠNG III
CHƯƠNG IV
MỘT SỐ THUẬT TỐN TÍNH GẦN ĐÚNG
LÝ THUYẾT SAI SỐ
I. Số gần đúng và sai số
II.Sai số tính tốn
TÌM NGHIỆM GẦN ĐÚNG CỦA PHƯƠNG
TRÌNH MỘT ẨN SỐ
I.Nghiệm và khoảng phân ly nghiệm.
II.Một số phương pháp xấp xỉ nghiệm
TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

I.Phương pháp hình thang.
II. Phương pháp Simpson.
BÀI TẬP CHƯƠNG IV
ĐỀ THI THAM KHẢO
TÀI LIỆU THAM KHẢO

53

61
65
68
68
75

84
89
92
93


TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM

BỘ MÔN TOÁN

CHƯƠNG I
SỐ PHỨC
Tập R rất phong phú. Nhưng phương trình x2 + 1 = 0 khơng có
nghiệm là số thực. Vì vậy, người ta xây dựng thêm những số
mới ,gọi là số phức.
1.1 TẬP HỢP

I. Khái niệm về tập hợp.
1. Khái niệm.
Tập hợp là một khái niệm ngun thủy của tốn học,
người ta khơng định nghĩa khái niệm tập hợp qua những khái
niệm khác đơn giản hơn được.
Để kí hiệu một tập hợp người ta dùng chữ cái in: A,B…
Một vật, một đối tượng nằm trong tập hợp gọi là một
phần tử của tập hợp, thường ký hiệu bằng chữ cái thường:
a,b,c,…
Để chỉ rằng x là một phần tử của tập hợp E, ta viết x ∈ E.
Để chỉ rằng x là một phần tử khơng thuộc tập hợp E,
ta viết x ∉E hoặc x ∉ E.
Tập hợp khơng chứa một phần tử nào được gọi là tập hợp
trống ( rỗng) kí hiệu ∅
2. Các phương pháp biểu diễn một tập hợp :
a. Biểu diễn theo kiểu liệt kê: Liệt kê tất cả các phần tử của
tập hợp trong dấu ngoặc nhọn, mỗi phần tử chỉ viết 1 lần.

7


BO MON TOAN

TRệễỉNG CAO ẹANG CNTT TP HCM

Vớ d : {2,3, 4,7}
b. Biu din theo thuc
tớnh c trng : Ch ra
cỏc c tớnh ca tp hp
.

Vớ d : Tp hp

{

4
7
3

2

}

A

A = x x 2 + 2.x + 1 = 0

Hỡnh 1-1
c. Biu din theo gin
VENN: Minh ha tp
hp bi 1 min phng gii hn bi 1 ng cong hay
ng gp khỳc kớn. Xem hỡnh 1-1.

3. Quan h gia cỏc tp hp
a) Tp con : Cho 2 tp hp E, F .Nu mi phn t ca E u l
phn t ca F thỡ ta núi E bao hm trong F hay E l tp con ca
F.
F

E

Hỡnh 1-2

Kớ hiu

E F . Minh ha hỡnh hc xem hỡnh 1-2

b) Tp hp bng nhau:
Hai tp E v F c gi l bng nhau nu mi phn t
ca E u l mt phn t ca F v ngc li.Kớ hiu : E = F.
4. Mt s tp hp thng gp.
N : l tp hp cỏc s t nhiờn .

8


BỘ MÔN TOÁN

TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM

Z : là tập hợp các số ngun.
Q : là tập hợp các số hữu tỉ.
R : là tập hợp các số thực.
II. Các phép tốn về tập hợp.
1. Phép hợp :
B

Hợp của 2 tập hợp A và B
là một tập hợp các phần tử hoặc
thuộc A hoặc thuộc B,

A

kí hiệu:
A ∪ B = { x x ∈ A ∨ x ∈ B}

Hình 1-3

Minh họa hình học xem hình 1-3
2. Phép giao
Giao của hai tập hợp A và B là
tập hợp tất cả các phần tử thuộc
phần tử chung của A và B,

A

B

Kíhiệu: A ∩ B= { x x ∈ A ∧ x ∈ B}
Minh họa hình học xem hình 1-4

Các tính chất cơ bản:
-

Tính chất 1 : Tính giao hốn :
A∪ B = B∪ A ;

-

A ∩ B= B ∩ A

Tính chất 2 : Tính kết hợp :
A ∪ B ∪ C = A ∪ (B ∪ C);
A ∩ B ∩ C = A ∩ (B ∩ C).

9


BỘ MÔN TOÁN

TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM

-

Tính chất 3 : Tính phân bố :
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C);

A ∪ (B ∩ C)=(A ∪ B) ∩ (A ∪ C) .
3. Phép hiệu hai tập hợp

Cho 2 tập A và B. Tập hợp gồm mọi phần tử của A nhưng
khơng thuộc B gọi là hiệu của tập A với tập B.
Ký hiệu
A\B= { x : x ∈ A và x ∉ B} .
Minh họa hình học xem hình
1-5
4. Phần bù

Tập hợp A ⊂ B, thì ta gọi
tập B\A là tập bù của tập A
đối với tập B.

A

B

Hình 1-5

Ký hiệu là CBA. Hay A
Minh họa hình học xem hình 1-6
B
A
Hình 1-6

10

A


TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM

BỘ MÔN TOÁN

III. Khái niệm về các kí hiệu lơgic
1. Mệnh đề tốn học: là một khẳng định tốn học chỉ có thể
đúng hoặc sai.

Để diễn tả các lập luận tốn học một cách thuận lợi
người ta sủ dụng các kí hiệu logic.
2. Các kí hiệu.

Kí hiệu: A ⇒ B, nghĩa là mệnh đề A suy ra mệnh đề B.
Kí hiệu : A ⇔ B, nghĩa là mệnh đề A suy ra mệnh đề B và
ngược lại. Hay nói một cách khác là A và B là hai mệnh đề
tương đương.
Kí hiệu : = được hiểu là được định nghĩa.
Kí hiệu ∀ x ∈ A: α nghĩa là với mọi x thuộc A mệnh đề α
đươc thỏa mãn.
Kí hiệu ∃ x ∈ A: α nghĩa là tồn tại phần tử x thuộc A mệnh
đề α được thỏa mãn.
Kí hiệu x : nghĩa là “khơng x ” .
Ta có : ∀x ∈ E : α ⇔ ∃x ∈ E : α
∀y ∈ E : β ⇔ ∃y ∈ E : β

11


BỘ MÔN TOÁN

TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM

1.2 ÁNH XẠ.
Mở đầu: Ánh xạ là một khái niệm rất quan trọng trong tốn
học. Ánh xạ dùng để khảo sát các tính chất, các mối quan hệ
của một tập hợp và các phần tử của nó.
I.Các định nghĩa
1. Định nghĩa ánh xạ:
Anh xạ từ tập E vào tập F là một
luật tương ứng sao cho với mỗi phần tử x∈E có một phần tử
tương ứng xác định y ∈ F.

Kí hiệu : f: E

F ; E là tập nguồn ; F là tập đích.

Phần tử y ứng với x được gọi là ảnh của x qua f
kí hiệu y=f(x) hay x

y=f(x); x

y.

Tập ảnh : f(E) = { y y = f ( x); x ∈ E}
VÍ DỤ 1 : E = F = R; x ∈ R liên hệ với y ∈ R bởi y=x3 lá ánh
R. Xác định bởi y=x3
xạ f: R
R : xác định bởi y=x2.

VÍ DỤ 2 : f: R

{

}

VÍ DỤ 3 : E= x x ∈ R : x ≤ 1 ; F=2 ; x ∈ E liên hệ với y ∈ R
theo qui luật y=cung có sin là x Là ánh xạ f: E
Chẳng hạn x=1/2 ∈ E thì các cung

π
6

R

+ k .2.π và

5.π
+ k .2.π
6

đều có sin là 1/2.
2. Đơn ánh.

f:E

F được gọi là đơn ánh nếu f(x) = f(x’) , suy ra x = x’

Nghĩa là một phần tử y ∈ F là ảnh của nhiều nhất một phần tử
x ∈ E. Hay phương trình f(x)=y; y ∈ F với ẩn x có nhiều là một
nghiệm với mọi y.

12


TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM

VÍ DỤ: f : R

BỘ MÔN TOÁN

R, xác định y=x3 là đơn ánh.

Giải phương trình x2 = y ; y ∈R có 2 nghiệm khác nhau
nếu y>0.
3. Tồn ánh .

f:E F được gọi là tồn ánh nếu f(E)=F. Nghĩa là một
phần tử y∈F là ảnh của ít nhất một phần tử x∈E. Hay phương
trình f(x)=y; y∈F có nghiệm với mọi y∈F.
R, xac định y=x3 là tồn ánh còn f:R R xác
VÍ DỤ : f : R
2
định y=x khơng phải là tồn ánh vì phương trình x2=y có
nghiệm khi y ≥ 0.
4. Song ánh

E F được gọi là song ánh nếu f vừa là đơn ánh vừa là
tồn ánh
Nghĩa là một phần tử y∈F là ảnh của một và chỉ một phần tử
x∈E. Hay phương trình f(x)=y; có duy nhất một nghiệm.
VÍ DỤ: f : R

R, xác định y = 3x + 5 là 1 song ánh .

5.Anh xạ ngược.

f: E → F là một song ánh thì y ∈ F có một phần tử duy nhất
x ∈ E sao cho f(x)=y. Khi đó ánh xạ từ F → E gọi là ánh xạ
ngược của f.Kí hiệu f -1.
Vậy f-1 : F → E ⇒ f(x) = y ⇒ f-1(y) = x ; x∈E; y∈F
VÍ DỤ: f: R → R xác định y=x3 ⇒ f-1 : R → R được xác định
y∈R x= 3 y ∈R .

II. Tích của hai ánh xa (ánh xa hợp)

g:E → F ; f:F → G ; h: E → G xác định h(x) = f(g(x)) với mọi
x thuộc E được gọi là ánh xạ tích. Kí hiệu h = f.g.
Chú ý : f.g ≠ g.f

13


TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM

BỘ MÔN TOÁN

1.3. TẬP HỢP SỐ THỰC
I. Khái niệm về số hữu tỉ – vơ tỉ và số thực.
1. Số hữu tỉ

là tất cả các số có thể viết dưới dạng tỉ số của 2 số ngun
kể cả số khơng.
VÍ DỤ : 1/3 ; 6/7; 0,18 …..
Số hữu tỉ có thể viết thành một số thập phân hữu hạn hoặc
vơ hạn nhưng tuần hồn.
VÍ DỤ:

3
= 0, 75
4

4
= 1,33...

3

2. Số vơ tỉ

Một số có thể viết thành một phân số thập phân vơ hạn
khơng tuần hồn gọi là số vơ tỉ.
VÍ DỤ :

π = 3,1415926...; 2 = 1, 414...

Suy ra : số vơ tỉ khơng thể là tỉ số của hai số ngun.
3. Số thực là các số hữu tỉ và các số vơ tỉ hợp lại.

Ký hiệu R : là tập số thực
II. Các định lí:

Định lí 1 : Tập Q là đếm được
Định lí 2 : Tập hợp tất cả các phân số thập phân vơ hạn là
khơng đếm được
Hệ quả : Tập R khơng đếm được
III. Khoảng số thực

Cho a, b, ∈ R, a < b ta định nghĩa

14


TRệễỉNG CAO ẹANG CNTT TP HCM

BO MON TOAN

[a,b] = {x R : a x b }
(a,b) = {x R : a < x < b }
[a,b) = {x R : a x < b }
(a,b] = {x R : a < x b }.
Cho x R v > 0. Ta gi B (x) = (x - , x + ) l - lõn cn
ca im x.
Tp con E R gi l m nu xE, > 0 : B (x) E. Vi
mi a, b R, a < b, ta cú (a, b) l tp m.
IV. Tr tuyt i ca s thc
1. nh ngha

a
a0
nu
a =
a < 0
a

2. Cỏc tớnh ch:

Tớnh cht 1 : Nu x < a -a < x < a.
Tớnh cht 2 : Nu x >b x > b hoc x< -b.
Tớnh cht 3 : a+b a + b
Tớnh cht 4 : a-b a b
Tớnh cht 5 : a.b a . b
Tớnh cht 6 :

a
b

=

a
b

15


TRệễỉNG CAO ẹANG CNTT TP HCM

BO MON TOAN

1.4 S PHC
I. nh ngha s phc.
1.nh ngha 1 :(Dng hỡnh hcca s phc)

S phc l mt cp s thc (a,b)
a R l thnh phn th nht. b R l thnh phn th hai.
Tp tt c cỏc s phc kớ hiu l C.
2.nh ngha 2 (V s bng nhau ca hai s phc).

(a, b) C

(a ', b ') C : (a,b) = (a,b) a=a ; b=b.

3.nh ngha 3 : Dng chớnh tc ca s phc.

(Dng i s ca s phc)
z= a+b.i ;

i2 = -1 ; a,b R

a : gi l phn thc ; a= Re (z).
b: gi l phn o ; b= im(z).

i :n v o.

4.nh ngha 4 :

S phc liờn hp ca z=a+b.i l s phc z = a-b.i
II. Biu din s phc trờn mt phng.

Cho z= a+b.i . Trờn mt phng Oxy bng im A(a,b)
Nu b = 0 A Ox z = a:s thc
Nu a= 0 A Oy z = b.i:s thun o.
Ni A vi O ta c OA l biu din hỡnh hc s phc ó cho.
III. Dng i s ca s phc.
1. Phộp cng v tr.

16


TRệễỉNG CAO ẹANG CNTT TP HCM

BO MON TOAN

Cho Z1 = a1 + i. b1 ; Z2 = a2 + i. b2 thỡ
Z1 + Z2 = ( a1 + a2 ) +i. ( b1 + b2 ).
Z1-Z2 = (a1- a2) + (b1-b2) .i.

c bit ( a + i.b ) +(a-i.b) = 2.a.
V D: (3 +2.i) +(5 4.i) = (3+5) + (2-4).i=8-2i
V D: (3 +2.i) -(5 4.i) = (3-5) + (2+4).i.=-2+6i.
V D: (3 +2.i) +(3 -2.i) = 2.3=6
2. Phộp nhõn s phc:

Cho Z1 = a1 + i. b1 ; Z2 = a2 + i. b2 thỡ
Z1.Z2 = (a1.a2 b1.b2) +(b1.a2+a1.b2).i .
c bit : ( a+ i.b ).(a-i.b) = a2+b2.
V D: (3 +2.i) .(5 4.i) = (3.5-2(-4) )+ (2.5+3.(-4)).i=23-2i
V D: (3 +2.i) (3 2.i) = 9+ 4=13
3. Phộp chia s phc.

Z1 a1 + i.b1 ( a1 + i.b1 ) . ( a2 i.b2 ) a1.a2 b1.b2 a2 .b1 + a1.b2
=
=
=
+
.i
Z 2 a2 + i.b2
a22 + b22
a22 + b22
a22 + b22
2 + 3.i (2 + 3.i )(4 + 5.i)
7 22
V D:
=
= .... = + .i
4 5.i (4 5.i )(4 + 5.i )
41 41

4.Phộp ly tha: zn =

z.z......z.z
n lan

V D TNG QUT :
Tớnh

S=

(2.i + 1) 2 (1 i )3
(3 + 2.i )3 (2 + i ) 2

BI GII

17


BO MON TOAN

TRệễỉNG CAO ẹANG CNTT TP HCM

Khai trin, rỳt gn, nhõn liờn hp, ta c:

S=

1 + 6.i
264 30i 44
5
i

=
=

12 + 42.i
1908
318 318

5. Phộp khai cn bc n:

n

z =

nu

n = z.

IV. Dng lng giỏc ca s phc
1. nh ngha : Cho z= a + i.b.

Gi r 0 v l ta cc ca A(a,b) i vi trc Ox v Oy
r gi la mụun ca s z; gi l acgumen ca z

Kớ hiu: z = a + i.b

= Arg (a +i.b) a= r cos ; b = r.sin
Vy dng lng giỏc ca s phc l z = r ( cos + i.sin )
Ngc li r =

a 2 + b 2 ; tg = b/a.

Chỳ ý: tg = b/a cú 2 gúc ta chn gúc sao cho sin
cựng du vi b.

V D Vit s sau di dng lng giỏc: Z= 1+i.
Ta cú: r = 12 + 12 = 2

tg = 1/1 =1 chn = /4 vỡ b=1>0
Vy dng lng giỏc ca s phc Z = 1+ i l
Z= 2 (cos



4

+i.sin



4

)

V D tng t :
1 = 1. (cos 0+i.sin0); -1 =1. (cos +i.sin )

18


BỘ MÔN TOÁN

TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM

-i =1. (cos

3.π
3.π
π
π
+i.sin
); i =1. (cos +i.sin )
2
2
2
2

2.Các phép tốn

Cho Z1= r1.(cos ϕ 1+i.sin ϕ 1); Z2= r2.(cos ϕ 2+i.sin ϕ 2)

a)Phép nhân
Z1.Z2 = r1.r2.[cos( ϕ 1+ ϕ 2) +i.sin( ϕ 1+ ϕ 2)]
Đặc biệt : Z1.Z1 = r12[cos2. ϕ 1 +i.sin2. ϕ 1]
VÍ DỤ
Cho Z1= 2 (cos

π
4

Z1.Z2 = 2 .1[cos(

Z1.Z1 = 2 .

+i.sin

π
4

+

π
4

) và Z2 =1. (cos

3.π
3.π
+i.sin
) thì
2
2

3.π
π 3.π
)+i sin( +
)]
2
4 2

2 [cos(2.

π
4

)+i sin(2.

π
4

)]

b) Phép chia
Z1 r1
= .[cos( ϕ 1- ϕ 2) +i.sin( ϕ 1- ϕ 2)]
Z 2 r2

Đặc biệt:

1
1
= [cos(- ϕ 1) +i.sin(- ϕ 1)]
Z1 r1

VÍ DỤ
Cho Z1= 2 (cos

π
4

+i.sin

π
4

) và Z2 =1. (cos

3.π
3.π
+i.sin
) thì
2
2

Z1
2
π 3.π
π 3.π
.[cos( =
) +i.sin( )]
Z2
1
4 2
4 2

19


TRệễỉNG CAO ẹANG CNTT TP HCM

BO MON TOAN

1
1


[cos(- ) +i.sin(- )]
=
Z1
4
4
2
c) Phộp ly tha
Cho Z= r. (cos +i.sin ) thỡ Zn= rn. (cos .n. +i.sin.n. )

V D Cho Z= 2 (cos
Z3 =


4

+i.sin


4

) thỡ

( 2 ) . (cos .3. 4 +i.sin.3. 4 )
3

Cụng thc Moivre:

T Zn= rn. (cos +i.sin )n V Zn= rn. (cos .n. +i.sin.n. )

ta cú : (cos +i.sin )n = cos n +i.sin n
Cụng thc ỳng vi mi n Z.
3

V D






cos + i sin = cos 3. + sin 3.
4
4
4
4


d) Phộp khai cn :

n

z =

nu n = z.

Gi s : Z= r.(cos +i.sin )

= (cos +i.sin ) n(cos +i.sin )n = r.(cos +i.sin )
n
(cosn +i.sinn ) = r.(cos +i.sin )

= n r
n = r


= + 2.k .
n. = + 2.k .

n

Vy :

20


BO MON TOAN

TRệễỉNG CAO ẹANG CNTT TP HCM
n

z = n r (cos

+ 2.k .
n

+i.sin

+ 2.k .
n

).

vi k = 0,1,2..n-1
V D Khai cn bc 3 ca 1 .

BI GII
Ta t = 3 1 thỡ
0 + 2.k .
0 + 2.k .

+ i sin
3
3

Vi k=0,1,2

= 3 r cos

2.k .
2.k .

+ i sin
= cos
3
3

Ta cú 3 cn bc 3 khỏc nhau ca 1 l :

0= cos 0 + i. sin 0 = 1.

1 = cos

1
2.
2.
3
+ i. sin
=
+ i.
3
3
2
2

2 = cos

1
4.
4.
3
+ i. sin
=
i.
3
3
2

2

V D Khai cn bc 3 ca s phc z= 1 i 3

BI GII
Ta t = 3 1 i 3 thỡ
4
4

+ 2.k .
+ 2.k .

= 3 2 cos 3
+ i sin 3
3
3





Vi k=0,1,2



21


TRệễỉNG CAO ẹANG CNTT TP HCM

BO MON TOAN

BI TP CHNG I
1. 1 Hóy tớnh (1 + i )33 di dng i s
1. 2 Hóy tớnh s phc 1 3 i
1. 3 Tớnh cn bc ba ca s phc z= 1 i 3
1. 4 Xỏc nh m s phc z1 = m 1 + (m 2 2)i v
z 2 = 1 + 2i bng nhau ?

1.5 Thc hin cỏc phộp tớnh:
S=

1.6

(i + 1)5 1
(i + 1)5 + 1

Tỡm dng lng giỏc ca s phc v rỳt gn
a) Z = (1 + i ) 25

b) Z =

1.7

1 + i. 3
3 +i

, tớnh Z100

Gii phng trỡnh :

4

a) x + 6.x3 + 9.x2 + 100 = 0.
b) z2 (1 + i. 3 ).z -1+i. 3 = 0.

22


BO MON TOAN

TRệễỉNG CAO ẹANG CNTT TP HCM

CHNG II
MA TRN - NH THC
2.1 KHI NIM V MA TRN
I. nh ngha v ma trn
Ma trn cp m ì n l mt bng s hỡnh ch nht cú m hng n
ct. Ký hiu: A, B, C,...

a11

a21

A=
ai1


a
m1

a11

a1 j a1n

a22 a2 j a2 n


ai 2 aij ain


am 2 amj amn

aij l phn t nm dũng i, ct j ca ma trn A
Cú th vit gn ma trn dng A = (aij)mxn hoc A=[aij]mxn

Tp tt c cỏc ma trn cp m ì n , cú cỏc phn t l s thc
thỡ ký hiu l: M mxn ( ) = { A = aij
| aij }

( )

mxn

II. Phõn loi ma trn
1. Ma trn khụng
l ma trn cú tt c cỏc phn t u bng khụng, kớ hiu .
2. Ma trn hng
l ma trn cú dng 1 hng v n ct (cũn gi l vộct hng).

A = ( a11

a12 a1n ) = ( aij )

1ìn

3. Ma trn ct
l ma trn cú dng m hng v 1 ct (cũn gi l vộct ct)

23


BO MON TOAN

TRệễỉNG CAO ẹANG CNTT TP HCM

a11

a
A = 21 = ( aij )mì1


am1
4. Ma trn vuụng cp n l ma trn cp n cú s dũng bng s
ct.

a11

a21

A=

ai1


a
n1

a11 a1 j

a1n

a22 a2 j a2 n

= ( aij )
nìn
ai 2 aij ain


an 2 anj ann

Cỏc phn t a11, a22, a33, .aii,... ann c gi l cỏc
phn t nm trờn ng chộo chớnh.
Cỏc phn t an1, an-1 2, an-2 3, .aii,.. a1n. c gi l cỏc
phn t nm trờn ng chộo ph.
5. Ma trn ng chộo (ma trn chộo) l ma trn vuụng cp
n, trong ú aij = 0; i j , tc l cỏc phn t khụng nm trờn
ng chộo chớnh u bng khụng.

a11 0

0 a22

A=
0
0


0
0

24



0



0

aii



0



0

0

0


ann


TRệễỉNG CAO ẹANG CNTT TP HCM

BO MON TOAN

6. Ma trn n v l ma trn chộo cú cỏc phn t nm trờn
ng chộo chớnh u bng 1. Kớ hiu: I; E
1 0 0 0


0 1 0 0

I =

0 0 1 0



0 0 0 1
7. Ma trn tam giỏc trờn, tam giỏc di
a) Ma trn tam giỏc trờn l ma trn vuụng, trong ú aij = 0
____

i > j; i, j = 1, n
a11 a11

0 a22

A=
0
0


0
0


a1 j

a1n

a2 j a2 n


aii ain


0 ann

b) Ma trn tam giỏc di l ma trn vuụng, trong ú aij = 0
____

i < j; i, j = 1, n

a11

a21

A=
ai1


an1

0
a22

ai 2






an 2

0
0

aii

0

0

0


anj ann

25