CHUYEN DE TICH PHAN
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (823.29 KB, 27 trang )
CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN
Bảng công thức tích phân bất định :
0dx C
n
x dx
dx x C
x n 1
C n 1
n 1
1
x dx ln x C
ax
C
ln a
cos xdx sin x C
x
a dx
x
x
e dx e C
sin xdx cos x C
1
cos
1
sin
dx tan x C
dx cot x C
2
x
x
u( x)
1
1
xa
u( x) dx ln u( x) C
x2 a 2 dx 2a ln x a C
x 2
a
2
2
x adx 2 x a 2 ln x x a C
2
Phương pháp biến số phụ :
Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn a; b có nguyên hàm là F (x) .
Giả sử u (x) là hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn , và có miền giá trị là a; b
thì ta có :
f u( x).u' ( x)dx F ( x)u( x) C
BÀI TẬP
Tính các tích phân sau :
1
a) I1
0
1
e
e x dx
ex 1
0
xdx
x2 1
b) I 2
c) I 3
1
1 ln x dx
x
Bài làm :
a) Đặt t x 2 1 dt 2 xdx xdx
dt
2
x 0 t 1
x 1 t 2
Đổi cận :
2
2
2
xdx
1 dt 1
1
Vậy : I1 2 ln t ln 2
x 1 2 1 t 2
2
1
1
b) Đặt t e x 1 dt e x dx
Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Văn – Sinh – Anh – tốt nhất!
Trang 1
x 1 t e 1
Đổi cận :
2
x 2 t e 1
1
x
e dx
x
e
1
0
Vậy : I 2
e2 1
e1
e2 1
dt
ln t
ln(e 1)
t
e1
1
x
c) Đặt t 1 ln x tdt dx
x 1 t 1
x e t 2
Đổi cận :
e
I3
1
2
1 ln x dx
2 3
2
t dt t 2 (2 2 1)
x
3 1 3
1
2
Tích phân lượng giác :
Dạng 1 : I sin mx.cos nxdx
Cách làm: biến đổi tích sang tổng .
Dạng 2 : I sin m x. cos n x.dx
Cách làm :
Nếu m, n chẵn . Đặt t tan x
Nếu m chẵn n lẻ . Đặt t sin x (trường hợp còn lại thì ngược lại)
Dạng 3 : I
dx
a. sin x b. cos x c
Cách làm :
2t
sin
x
x
1 t2
Đặt : t tan
2
2
cos x 1 t
1 t2
a. sin x b. cos x
.dx
Dạng 4 : I
c
.
sin
x
d
.
cos
x
Cách làm :
Đặt :
a. sin x b. cos x
B(c. cos x d . sin x)
A
c. sin x d . cos x
c. sin x d . cos x
Sau đó dùng đồng nhất thức .
Dạng 5: I
a. sin x b. cos x m
.dx
c. sin x d . cos x n
Cách làm :
Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Văn – Sinh – Anh – tốt nhất!
Trang 2
Đặt :
a. sin x b. cos x m
B(c. cos x d . sin x)
C
A
c. sin x d . cos x n
c. sin x d . cos x n c. sin x d . cos x n
Sau đó dùng đồng nhất thức.
BÀI TẬP
Tính tích phân :
2
2
cos xdx
(sin x 1) 4
0
a) I1
4
b) I 2 cos 5 xdx
c) I 3 tan 6 xdx
0
0
Bài làm :
a) Đặt : t sin x 1 dt cos xdx
x 0 t 1
Đổi cận :
x 2 t 2
2
2
cos xdx
dt
1
4 3
4
3t
0 (sin x 1)
1 t
Vậy : I1
2
1
7
24
b) Đặt : t sin x dt cos xdx
x 0 t 0
Đổi cận :
x 2 t 1
Vậy :
2
1
0
0
1
I 2 cos 5 xdx 1 t 2 dt 1 t 4 2t 2 dt
2
0
1
1
t5 2
8
t 3 t
5 3
0 15
0
c) Đặt : t tan x dt (tan2 x 1)dx
x 0 t 0
Đổi cận :
x 4 t 1
t 6 dt
1
I 3 tan xdx 2
t 4 t 2 1 2
dt
t 1
0
0 t 1
0
1
4
1
6
Vậy :
1
4
t5 t3
13
t du
15 4
5 3
0 0
Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Văn – Sinh – Anh – tốt nhất!
Trang 3
Tính các tích phân sau :
2
a) I1
0
3
sin x. cos x
a 2 .sin 2 x b 2 . cos 2 x
cos x
b) I 2
dx
2 cos 2 x
0
dx
Bài làm :
a) Đặt : t a 2 .sin 2 x b 2 .cos 2 x dt 2(b 2 a 2 ) sin x.cos xdx
x 0 t a 2
Đổi cận :
2
x t b
2
Nếu a b
2
Vậy :
sin x. cos x
1
dx
2
2 b a2
a 2 .sin x b 2 . cos x
I1
0
1
t
2
b a2
b
2
a2
ab
b a
2
2
b2
a2
dt
t
1
ab
Nếu a b
2
Vậy :
2
sin x. cos x
I1
a 2 . sin 2 x b 2 . cos 2 x
0
sin x. cos xdx
a
0
dx
2
2
1
1
1
sin
2
xdx
cos
2
x
2a 0
4a
2a
0
b) Đặt : t sin x dt cos xdx
x 0 t 0
Đổi cận :
3
x t
3
2
3
Vậy : I 2
0
cos x
2 cos 2 x
dx
3
2
0
dt
3 2t 2
1
2
3
2
0
dt
3 2
t
2
3
3
cos u dt
sin udu
2
2
t 0 u 2
Đổi cận :
t 3 u
2
4
Đặt : t
Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Văn – Sinh – Anh – tốt nhất!
Trang 4
1
I2
2
3
2
0
Vậy :
dt
3 2
t
2
2
2
4
3
sin udu
2
3
1 cos 2 u
2
2
4
1
1
du
2
1
2
4
u
4 2
4
Tính các tích phân sau :
sin x 7 cos x 6
dx
4
sin
x
3
cos
x
5
0
2
2
1
dx
a) I 1
4
sin
x
3
cos
x
5
0
b) I 2
Bài làm :
x
x
2dt
dt tan 2 1dx dx 2
2
2
t 1
x 0 t 0
Đổi cận :
x 2 t 1
2
1
1
2
dt
1
t
I1
dt
2
2
2t
1 t
0
0 t 1
4
3
5
Vậy :
1 t2
1 t2
a) Đặt : t tan
1
1
1
t2 0 6
sin x 7 cos x 6
4 cos x 3 sin x
C
A B
4 sin x 3 cos x 5
4 sin x 3 cos x 5 4 sin x 3 cos x 5
Dùng đồng nhất thức ta được: A 1 , B 1 , C 1
b)Đặt :
2
Vậy :
I2
0
2
sin x 7 cos x 6
4 cos x 3 sin x
1
dx 1
dx
4 sin x 3 cos x 5
4 sin x 3 cos x 5 4 sin x 3 cos x 5
0
x ln 4 sin x 3 cos x 5 02 I1
2
ln
9 1
8 6
Bạn đọc tự làm :
2
a) I1
3
cos x
dx
sin 2x
2
b) I 2 cos3 x. sin xdx
0
2
dx
sin x 2
0
c) I 3
6
Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Văn – Sinh – Anh – tốt nhất!
Trang 5
2
1
sin x cos x 1
dx d) I 6
dx
d) I 5
sin
x
2
cos
x
3
sin
x
2
cos
x
3
0
0
4 sin 3 x
dx
c) I 3
cos
x
1
0
2
2
Tính nguyên hàm,tích phân các hàm hữu tỷ
dx
1
1
.
C với a, n C N 0,1 ta có :
n
n 1 x a n1
x a
dx
Nếu n 1 , a R ta có : I
ln x C
xa
, , a, b, c R
x
Dạng 2 : I 2
dx trong đó :
n
2
ax bx c
b 4ac 0
Dạng 1 : I
* Giai đoạn 1 : 0 ,làm xuất hiện ở tử thức đạo hàm của tam thức ax2 bx c ,
sai khác một số :
I
2a
2ax b
2a ax
2
bx c
b
n
dx
2a ax
2ax b
2
bx c
n
dx
2a
dx
b
n
2
2a
ax bx c
* Giai đoạn 2 :
Tính I
dt
4a
dx
.
n
2
2a 2 ax b 1 t 2
ax bx c
t
dx
n
n
* Giai đoạn 3 :
Tính I
Dạng 3 : I
t
1
2
1
Pm x
dx
Qn x
n
dt có thể tính bằng hai phương pháp , truy hồi hoặc đặt t tan
Pm x am x m ...... a1 x a0
Ta có :
Qn x bn x n ...... b1 x b0
Nếu : degP degQ thì ta thực hiện phép chia
phân số
Rr x
có degR degQ
Qn x
Pm x
R x
trong đó
Am n x r
Qn x
Qn x
Nếu : degP degQ ta có các qui tắc sau :
Pm x
A1
An 1
An
......
n 1
x a x a
x a
x a n
n
Pm x
Ai
Vdụ 1a : n
i
i
x ai i1 x ai
*Qt 1:
n
i 1
Vdụ 1b :
Pm x
A
B
C
D
2
( x a)( x b)( x c)
x a x b x c x c 2
Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Văn – Sinh – Anh – tốt nhất!
Trang 6
Pm x
An1 x Bn1
An x Bn
A1 x B1
......
n 1
2
2
ax bx c
ax bx c
ax bx c
ax 2 bx c
m
n
Pt x
Ai
Ai x B1
*Qt 3:
n
i
m
x ax 2 bx c i 1 x k 1 ax 2 bx c i
Pt x
A
Bx C
Vdụ 1 :
2
( x ) ax bx c
x ax 2 bx c
Pt x
B1 x C1
B2 x C2
A
Vdụ 2 :
2
2
x ax 2 bx c x ax bx c ax 2 bx c 2
*Qt 2':
n
2
n
BÀI TẬP
Tính các tích phân sau :
1
a) I1
0
1
dx
2
x 3x 2
b) I 2
dx
x
0
2
3x 2
2
Bài làm :
dx
dx
1
1
a) I1 2
dx
x 1x 2 0 x 1 x 2
0 x 3x 2
0
1
1
1
ln x 1 ln x 2 0 ln
4
3
1
1
1
dx
1
2
b) I 2 2
dx
dx
2
2
2
x 2 x 1x 2
0 x 3 x 2
0 x 1
1
1
1
1
2ln x 1 ln x 2 OK
x 1 x 2
0
Tính các tích phân sau :
1
a) I1
0
1
dx
4
x 3x 2 3
b) I 2
0
4x 2
dx
x 1 x 2
2
Bài làm :
dx
1
x
arctan C với a 0
2
x a
a
a
1
dx
1 1
1
2
2
dx
2
2
x 1 x 3 2 0 x 1 x 3
a)* Bạn đọc dễ dàng chứng minh được I 0
1
1
dx
I1 4
x 3x 2 3 0
0
2
1
1
1
x
arctan x
arctan
92 3
2
3
30 2
Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Văn – Sinh – Anh – tốt nhất!
Trang 7
với 0
4x 2
A
Bx C x 2 A B x2 B C 2C A
x 2 x 2 1 x 2 x 2 1
x 2 x 2 1
A B 0
A 2
Do đó ta có hệ : 2 B C 4 B 2
2C A 0
C 0
b) Đặt :
1
Vậy : I 2
0
4x 2
2
2x
dx
dx
2
x
2
x
1
x 2 1 x 2
0
1
1
2 ln x 2 ln x 2 1 2 ln 3 ln 2 ln 2 ln 1 ln
0
4
9
Bạn đọc tự làm :
3
a) I1
2
2
c) I 3
1
x 1
dx
2
x x 1
b) I 2
x 1
dx
4x3 x
d) I 3
5
2
2
3
dx
x 2x 3
x
2
4
3
x
dx
3x 2 2
HD:
1
A
B
x 1
A B
C
b) 2
2
x 1
x 2x 3 x 1 x 3
x x 1 x x
3
x 1 1
x4
x
A
B
C
D
d) 4
c) 3
1
2
4 x x 4 x2 x 12 x 1
x 3x 2 x 1 x 1 x 2 x 2
a)
2
Đẳng thức tích phân :
Muốn chứng minh đẳng thức trong tích phân ta thường dùng cách đổi biến số và nhận
xét một số đặc điểm sau .
* Cận tích phân , chẵn lẻ , tuần hoàn , cận trên + cận dưới, ….
Chúng ta cần phải nhớ những đẳng thức nầy và xem nó như 1 bổ đề áp dụng.
BÀI TẬP
1
1
0
0
Chứng minh rằng : x m 1 x n dx x n 1 x m dx
Bài làm :
1
Xét I x m 1 x n dx
0
Đặt : t 1 x dt dx dx dt
Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Văn – Sinh – Anh – tốt nhất!
Trang 8
x 0 t 1
x 1 t 0
Đổi cận :
1
0
1
Vậy : I x 1 x dx 1 t t dt 1 t m t n dt (đpcm)
n
m
m n
0
1
0
Chứng minh rằng nếu f (x) là hàm lẻ và liên tục trên đoạn a, a thì :
a
I
f x dx 0
a
Bài làm :
a
I
0
f ( x)dx
a
Xét
a
0
f x dx
a
f x dx f x dx
1
0
. Đặt t x dt dx dx dt
a
x a t a
x 0 t 0
Đổi cận :
V ậy :
0
a
a
a
0
0
f x dx f t dt f t dt
Thế vào (1) ta được : I 0 (đpcm)
Tương tự bạn đọc có thể chứng minh : Nếu f (x) là hàm chẳn và liên tục trên đoạn
a, a thì
a
I
a
a
f x dx 2 f x dx
0
Cho a 0 và f x là hàm chẵn , liên tục và xác định trên R .
Chứng minh rằng :
f x
f x
f x
dx x
dx x
dx
x
1
a
1
a
1
0
Xét
0
a
f x
a x 1 dx 0 f x dx
0
Bài làm :
1
f x
dx . Đặt t x dt dx dx dt
x
1
a
x t
x 0 t 0
Đổi cận :
Vậy :
f x
f t
at f t
dx
dt
a x 1 0 a t 1 0 at 1
0
Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Văn – Sinh – Anh – tốt nhất!
Trang 9
f x
a x f x
f x
Thế vào (1) ta được : x dx x
dx x
dx f x dx (đpcm)
a 1
a 1
a 1
0
0
0
Cho hàm số f x liên tục trên 0,1 . Chứng minh rằng :
x. f sin x dx
0
2 0
f sin x dx
Bài làm :
Xét x. f sin x dx . Đặt t x dt dx dx dt
0
x 0 t
x t 0
Đổi cận :
Vậy : x. f sin x dx t . f sin t dt t . f sin t dt
0
0
0
0
0
f sin t dt t. f sin t dt
2 x. f sin x dx f sin x dx
0
0
x. f sin x dx 2 f sin x dx
0
0
Từ bài toán trên , bạn đọc có thể mở rộng bài toán sau .
Nếu hàm số f x liên tục trên a, b và f a b x f x. Thì ta luôn có :
b
x. f x dx
a
ab
f x dx
2 0
Cho hàm số f x liên tục,xác định , tuần hoàn trên R và có chu kì T .
a T
Chứng minh rằng :
T
f x dx f x dx
a
0
Bài làm :
a T
f x dx f x dx
T
a T
a
a
T
Vậy ta cần chứng minh
Xét
0
T
a T
0
T
f x dx f x dx f x dx
a
a
a T
0
T
f x dx
f x dx f x dx
a
f x dx . Đặt
t x T
dt dx
0
Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Văn – Sinh – Anh – tốt nhất!
Trang 10
x 0 t T
x a t a T
Đổi cận :
Vậy :
a T
a T
f t T dt f t dt
T
a T
T
T
a
0
f x dx f x dx (đpcm)
Hay :
Từ bài toán trên , ta có hệ quả sau :
Nếu hàm số f x liên tục,xác định , tuần hoàn trên R và có chu kì T , thì ta luôn
có :
T
2
T
f x dx f x dx
0
T
2
Bạn đọc tự làm :
1
1
a) I1 x1 x dx
b) I 2 sin 2 x.cos x ln x x 2 1 dx
6
1
0
x. sin x
dx
2
9
4
cos
x
0
x.sin x
dx
2
1
cos
x
0
d) I 4
c) I 3
e) I 5
2
x 2 sin x
1 2x
2
2
x 2 sin x
dx
1 x2
1
1
f) I 6
dx
g) I 7 ln sin x 1 sin x dx
2
2009
h) I 8
0
1 cos 2 x dx
0
Tích phân từng phần :
Cho hai hàm số u và v có đạo hàm liên tục trên đoạn a, b , thì ta có :
b
b
udv uv a vdu
b
a
a
Trong lúc tính tính tích phân từng phần ta có những ưu tiên sau :
*ưu tiên1: Nếu có hàm ln hay logarit thì phải đặt u ln x hay u log a x .
*ưu tiên 2 : Đặt u ?? mà có thể hạ bậc.
BÀI TẬP
Tính các tích phân sau :
1
a) I1 x.e x dx
0
2
b) I 2 x 2 . cos xdx
0
e
c) I 3 ln xdx
1
Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Văn – Sinh – Anh – tốt nhất!
Trang 11
Bài làm :
u x du dx
a) Đặt :
x
x
dv e dx v e
1
1
Vậy : I1 x.e x dx x.e x 0 e x dx e e x 0 e e 1 1
1
0
u x
b) Đặt :
1
0
2
du 2 xdx
dv cos xdx v sin x
1
2
Vậy : I1 x.e x dx x. cos x 02 2 x. sin xdx
0
2
4
0
2
2 x. sin xdx
1
0
2
Ta đi tính tích phân x. sin xdx
0
u x du dx
dv sin xdx v cos x
Đặt :
2
2
x. sin xdx x. cos x 02 cos xdx x. cos x 02 sin 02 1
Vậy :
0
0
1
Thế vào (1) ta được : I1 x.e dx
x
2 8
4
0
1
u ln x du dx
c) Đặt :
x
dv dx v x
e
e
Vậy : I 3 ln xdx x. ln x 1 dx x. ln x 1 x 0 1
e
1
e
e
1
Tính các tích phân sau :
a) I1 e . sin xdx
x
0
4
x
b) I 2 2 dx
cos x
0
e
c) I 3 cosln x dx
1
Bài làm :
u e x du e x dx
a) Đặt :
dv sin xdx v cos x
Vậy : I1 e x . sin xdx e x . cos x 0 e x . cos xdx e 1 J 1
0
u e
Đặt :
0
x
du e dx
x
dv cos xdx v sin x
Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Văn – Sinh – Anh – tốt nhất!
Trang 12
Vậy : J e . cos xdx e . sin x 0 e x . sin xdx I
x
x
0
0
Thế vào (1) ta được : 2 I1 e 1 I1
e 1
2
u x du dx
b) Đặt :
1
dv
dx v tan x
cos 2 x
4
x
2
Vậy : I 2 2 dx x. tan x 04 tan xdx ln cos x 04 ln
cos x
4
4
2
0
0
4
1
u cosln x du sin ln x dx
c) Đặt :
x
dv dx v x
e
e
Vậy : I 3 cosln x dx x. cosln x 1 sin ln x dx e 1 J
e
1
1
1
u sin ln x du cosln x dx
Đặt :
x
dv dx v x
e
e
Vậy : I 3 sin ln x dx x. sin ln x 1 cosln x dx 0 I 3
e
1
1
Thế vào (1) ta được : 2 I 3 e 1
e 1
I3
2
Bạn đọc tự làm :
ln 2
e
b) I 2 1 ln x 2 dx
a) I1 x.e dx
x
0
1
c) I 3
1
1
dx
2
ln x ln x
e
2
1
d) I 4 ln x 1 x 2 dx
0
3
e) I 5 sin x. ln tan x dx
e
f) I 6 cos 2 ln x dx
1
4
4
g) I 7 x cos 2 x
2
0
1 sin x x
e dx
1 cos x
0
2
h) I 7
Tích phân hàm trị tuyệt đối, min , max :
b
Muốn tính I f x dx ta đi xét dấu f x trên đoạn a, b , khử trị tuyệt đối
a
Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Văn – Sinh – Anh – tốt nhất!
Trang 13
b
Muốn tính I max f x , g x dx ta đi xét dấu f x g x trên đoạn a, b
a
b
Muốn tính I min f x , g x dx ta đi xét dấu f x g x trên đoạn a, b
a
Tính các tích phân sau :
2
4
b) I1 x 2 2 x 3 dx
a) I1 x 2 dx
1
0
Bài làm :
x 1
a)
x-2
2
-
4
0
+
2
4
x2 x2
Vậy : I1 x 2 dx 2 x dx x 2dx 2 x 2 x
2 1 2
2
1
1
2
1
5
4 2 2 8 8 2 4
2
2
4
2
4
b) Lập bảng xét dấu x 2 2 x 3 , x 0,2 tương tự ta được
2
1
2
I1 x 2 x 3 dx x 2 x 3 dx x 2 2 x 3 dx
2
0
2
0
1
.
1
2
x
x
I1 3x x 2 3x x 2 4
3 0
3 1
3
3
1
Tính I a x x a dx với a là tham số :
0
Bài làm :
x
x-a
a
0
-
+
(Từ bảng xét dấu trên ta có thể đánh giá ).
Nếu a 0 .
1
1
I a x x a dx
0
0
1
x 3 ax 2
1 a
x ax dx
2 0 3 2
3
2
Nếu 0 a 1 .
Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Văn – Sinh – Anh – tốt nhất!
Trang 14
1
a
1
I a x x a dx x ax dx x 2 ax dx
0
2
0
a
a
1
ax 2 x 3 ax 2 x 3
1 a 2 a3
3 0 2
3 a 3 2
2
2
Nếu a 1 .
1
x 3 ax 2
1 a
I a x x a dx x ax dx
2 0
3 2
3
0
0
1
1
2
Tính : a) I1 min 1, x dx
3
2
I 2 max x 2 , x dx
2
0
0
Bài làm :
a) Xét hiệu số : 1 x 2 x 0,2
2
1
2
2
x3
4
2
x1
Vậy : I1 min 1, x dx x dx dx
3 0
3
0
0
1
2
2
b) Xét hiệu số : xx 1 x 0,3 tương tự như trên ta có .
3
1
1
3
3
x2
x3
55
I 2 max x , x dx xdx x dx
2 0 31 6
0
0
1
2
2
Bạn đọc tự làm :
3
4
a) I1 min x, x 2 3dx b) I 2 max sin x, cos x dx c) I 3 sin x cos x dx
3
2
2
0
0
d) I 4 max x 2 ,4 x 3dx d) I 4 x 2 x 1 x 2 x 1 dx
3
5
2
1
Nguyên hàm , tích phân của hàm số vô tỷ :
Trong phần nầy ta chỉ nghiên cứu những trường hợp đơn giản của tích phân Abel
Dạng 1: R x, ax 2 bx c dx ở đây ta đang xét dạng hữu tỷ.
2
a 0
2ax b
2
ax bx c
1
4a
0
Rx,
ax 2 bx c dx
S t,
2 axb
t
1 t 2 dt Tới đây , đặt t tan u .
2
a 0
2ax b
2
ax bx c
Dạng 2:
1
4a
0
Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Văn – Sinh – Anh – tốt nhất!
Trang 15
Rx,
S t,
ax 2 bx c dx
t
1 t 2 dt Tới đây , đặt t sin u .
2 axb
2
a 0
2ax b
2
Dạng 3:
ax bx c
1
4a
0
Rx,
t
t 2 1 dt Tới đây, đặt t
2 axb
dx
ax 2 bx c
Một số cách đặt thường gặp :
2
2
đặt x a. cos t
S x, a x dx
S x,
S x,
a2
x dx
a dx
đặt x a. tan t
2
1
.
sin u
x
Dạng 4 (dạng đặc biệt) :
S t,
ax 2 bx c dx
t
1
x
dt
t 2 t
0t
t
2
2
a
2
đặt x
t k
x2
cos t
2
2
ax bx c xt c ; c 0
2
2
S x, ax bx c dx đặt ax bx c t x x0 ; ax0 bx0 c 0
ax 2 bx c a .x t
; a0
ax b
ax b
; ad cb 0
đặt t m
S x, m cx d
cx d
Tính : I
x
dx
2
4x 7
3
Bài làm :
x
dx
2
4x 7
3
t x2
t
dt
2
3
3
Đặt : t 3 tan u dt 3tan 2 u 1du
3 tan 2 u 1 du
1
3
cos udu
3 tan u
3 3. tan 2 u 1
1
1 t
1
x2
sin u C
C
C
2
2
3
3 t 1
3 x 4x 7
Ta có I
3 tan u
3
Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Văn – Sinh – Anh – tốt nhất!
Trang 16
Tính : a) I
xdx
b) I
x2 x 1
dx
x x2 2x 1
Bài làm :
xdx
a)
I
x x 1
2
1
2
3t 1
t2 1
2 x 1
t
3
xdx
2
1 3
x
2 4
dt
1
2
3t 1
2 x 1
t
3
t2 1
dt
3 2
1
t 1 ln t t 2 1 C
2
2
1
1
ln x x 2 x 1 C
2
2
1
dt
b)Đặt : x dx 2
t
t
dx
dt
t 1
I
arcsin
C
2
2
x x 2 2x 1
1 2 t 1
x
x2 x 1
t
1
1
x 1
arcsin x
C arcsin
C
2
2
Tìm các nguyên hàm sau
dx
1 x 3 1 x
a) I
b) I
dx
x 1 x 1
Bài làm :
a)Đặt : t 6 1 x t 6 1 x 6t 5dt dx
Vậy : I
dx
t 5 dt
1
6
6 t 2 t 1
dt
3
2
3
t 1
t t
1 x 1 x
t 6 1 x
t 6 1 x
2t 3 3t 2 6t 6 ln t 1 C
2 1 x 33 1 x 66 1 x 6 ln 6 1 x 1 C
b) I
Xét
1
dx
1 x x 1
1
1
x 1
dx x 2 1dx
dx
2
2
x
x 1 x 1
2 x
1
1
x 1
x x
dx
2
2
x
x 1
dx
x
Đặt : t
x 1
x
1
x
1
2t
dx
dt
2
t 1
t 2 1
2
Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Văn – Sinh – Anh – tốt nhất!
Trang 17
Vậy :
x 1
dx 2
x
t
t 2 dt
t 12 OK
x 1
x
Tìm các nguyên hàm sau :
a) I x 2 . x 2 9dx
b) I 16 x 2 . x 2 4dx
Bài làm :
a)Đặt :
x2 9 x t
t2 9 t2 9
.
.
I1
2
2t 2t
Vậy :
1 3 162 6561
1 t4
6561
162 ln t 4 C
t
dt
5
16
t
t
16 4
4t
1 x x2 9
16
4
b)Đặt :
t2 9
t2 9
dx
dt
2t
2t 2
2
2
t2 9
1 t 4 81
dt
dt
4t 2
16
t5
x
162 ln x
4
x2 4 x t
x
x2 9
t2 4
2t
t2 4 t2 4 t2 4
.
.
I 16
2
2
2t 2t
4t
C
4
2
4 x x 9
dx
2
dt
t
4
6561
t2 4
dt
2t 2
2
16
dt
t5
t4
36 256
64
t 3
5 dt 36 ln t 4 C
t
t
t
4
x x2 4
4
4
36 ln x x 2 4
C
4
x x2 4
64
Tính các tích phân sau :
8
1
dx
dx
x
1
x
3
a) I1 x x 2 dx
b) I 2
1
2
Bài làm :
1
I1
1
2
1
1
2
x x dx 1 2 x 1 dx
21
2
2
Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Văn – Sinh – Anh – tốt nhất!
Trang 18
1
2
Đặt : 2 x 1 sin t dx cos tdt
1
x 2 t 0
Đổi cận :
x 1 t
2
2
1
12
1
1
2
Vậy : I1 cos tdt 1 cos 2t dt 1 sin 2t
40
80
8 2
0
2
1
0 0 0
8 2
16
b) Đặt : t 1 x 2tdt dx
x 3 t 2
x 8 t 3
Đổi cận :
8
3
3
dx
tdt
dt
dx 2
2
2
1 t t
1 t 2
3 x 1 x
2
2
Vậy : I 2
3
t 1
1
ln
ln ln 1 ln 2
t 1 2
2
Bạn đọc tự làm :
a) I1
dx
x x2 1
d) I 4 1 x 2 dx
b) I 2 4 x x 2 dx
d) I 5
1 x2 1
1 x2 1
c) I 3
dx
d) I 6
x
dx
2
4
3
1
1 x2 1
dx
Bất đẳng thức tích phân :
b
Nếu f x 0 x a, b f x dx 0
a
b
b
Nếu f x g x x a, b f x dx g x dx
a
a
b
Nếu m f x x a, b mb a f x dx M b a
a
Trong các trường hợp nầy ta thường dùng khảo sát , Bunhiacopxki, AM-GM
Và các bước chặn sinx,cosx
BÀI TẬP
Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Văn – Sinh – Anh – tốt nhất!
Trang 19
Chứng minh các bất đẳng thức sau :
1
a) x1 x dx
0
1
4
2
5
2
b)
1
x
1
dx
2
x 1
2
c) 1 x 1 x dx 2
1
0
Bài làm:
a)Áp dụng AM-GM ta có :
1
x 1 x
x1 x
x 0,1
2
4
1
1
1
1
Vậy : x1 x dx dx (đpcm)
40
4
0
2
b) Xét hàm số : f x
x
x 1,2
x 1
2
Đạo hàm :
f x
1 x2
x
2
1
2
x 1
f x 0
x 1
1
f 1 2
Ta có :
f 2 2
5
2
x
1
2
x 1,2
5 x 1 2
2
2
2
2
x
1
Vậy : dx 2 dx dx
51
x 1
21
1
2
2
x
1
2
dx
5 1 x 1
2
Áp dụng Bunhicopxki ta có :
1 x 1 x 12 12 1 x 1 x 2 x 0,1
Vậy :
1
1 x 1 x dx 21 0
0
1
1 x 1 x dx 2 (đpcm)
0
Chứng minh rằng :
e x . sin x
1 x 2 1 dx 12e
3
Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Văn – Sinh – Anh – tốt nhất!
Trang 20
Bài làm :
x 1 e x
x 1, 3
e x . sin x
1
2
2
x 1
e x 1
Xét
3
ex
1
2
1
1
e
3 x
e .sin x
2
dx
x 1
1
3
ex
1
1
2
dx
1
dx
1
Đặt : x tan t dx tan 2 t 1dt
x 1 t 4
Đổi cận :
x 3 t
3
tan t 1dt dt
Do đó :
etan t 1 e 12
2
3
3
2
4
4
Từ đó ta được đpcm.
Bạn đọc tự làm :
Chứng minh rằng :
a)
16
dx
2
5 3 cos x 10
0
3
2
b)
3
sin x
1
dx
4 x
2
3
6
c)
d ) Cho 2 hàm số liên tục :
4 x2 x3
2
8
6
6
*
dx
f : 0,1 0,1 ; g : 0,1 0,1
2
1
1
1
Chứng minh rằng : f x .g x dx f x dx. g x dx
0
0
0
Một số ứng dụng của tích phân thường gặp :
1)Tính diện tích :
Cho hai hàm số f x & f x liên tục trên đoạn a, b . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
các đường là :
x a
x b
;
y f x
y g x
Được tính như sau :
b
S f x g x dx
a
2)Tính thể tích :
Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Văn – Sinh – Anh – tốt nhất!
Trang 21
Nếu diện tích S x của mặt cắt vật thể do mặt phẳng vuông góc với trục tọa độ , là
hàm số liên tục trên đoạn a, b thì thể tích vật thể được tính :
b
V f x dx
a
Nếu hàm số f x liên tục trên a, b và (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường:
x a , x b
y f x
Ox
Khi (H) quay quanh Ox ta được 1 vật thể tròn xoay . Lúc đó thể tích được tính :
b
V f x dx
2
a
Tương tự ta cũng có thể tính thể tích vật thể quay quanh oy
3)Tính giới hạn :
b
n
xi 1 i x
lim f i .xi f x dx trong đó
n
i 1
a
x xi xi 1
Từ đó ta xây dựng bài toán giới hạn như sau :
n
1
i
Viết dãy số thành dạng : S n f sau đó lập phân hoạch đều trên 0,1 , chọn
i 1
i xi
n n
n
1 i
i
f f x dx
ta có lim
n
n
n 0
i 1 n
1
4)Tính độ dài cung đường cong trơn:
Nếu đường cong trơn cho bởi phương trinh y f x thì độ dài đường cung nó được tính
như sau :
b
l 1 y dx với a, b là hoành độ các điểm đầu cung .
2
a
4)Tính tổng trong khai triển nhị thức Newton.
Tìm công thức tổng quát , chọn số liệu thích hợp,sau đó dùng đồng nhất thức, bước cuối
cùng là tính tích phân .
Hình1a
hình1b
Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Văn – Sinh – Anh – tốt nhất!
Trang 22
hình1c
hình1d
BÀI TẬP
Tính diện tích hình tròn , tâm O , bán kính R.
Bài làm : (hình 1a)
Phương trình đường tròn có dạng :
x2 y 2 R2 y R2 x2
R
Do tính đối xứng của đồ thị nên : S 4 R 2 x 2 dx
0
Đặt : x R sin t dx R cos tdt
x 0 t 0
Đổi cận :
x R t 2
Vậy :
x 0 t 0
x R t 2
2
2
S 4 R 2 sin 2 t R cos tdt 2 R 2 1 cos 2t dt
0
0
1
2
2 R 2 x sin 2t R 2
2
0
dvdt
Xét hình chắn phía dưới bởi Parabol y x 2 , phía trên bởi đường thẳng đi qua điểm
A(1,4) và hệ số góc là k . Xác định k để hình phẳng trên có diện tích nhỏ nhất .
Bài làm (hình 1b)
Phương trình đường thẳng có dạng.
y k x 1 4
Phương trình hoành độ giao điểm .
x 2 k x 1 4
x 2 kx k 4 0
Phương trình trên luôn có hai nghiệm , giả sử x1 x2
Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Văn – Sinh – Anh – tốt nhất!
Trang 23
Vậy diện tích là :
S
x1
x2
x3 k
k x 1 4 x dx x 2 4 k x
3 2
x1
x2
2
1
1 2
x2 x1 x2 x1 x2 x12 k x2 x1 4 k
2
3
x2 x1 k
Với : x2 .x1 k 4
2
x2 x1 2 x 2 2 x 21 4 x2 .x1 k 2 4k 4
Thế vào * ta được :
1
1
S k 2 4k 16 k 2 4k 4 k 2 4 k
2
3
1 2
k 4k 16 k 2 4k 16
6
3
3
1
1
k 22 12 4 3
k 2 4k 16
6
6
Vậy : min S 4 3 khi k 2
*
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :
ax y 2
ay x 2
Bài làm : (hình 1c)
Do tính chất đối xứng của đồ thị mà ta chỉ cần xét a 0
ax y 2
x y x y a 0
Xét : ay x 2 ay x 2
a 0
a 0
Với x y ta được :
x y
x a n
2
ay x
x 0 l
a 0
Với x y a 0 ta được :
x 2 ax a 2 0
x y a 0
x a
2
ay x 2
ay x
x 0
a 0
a 0
n
l
Ta lại có :
Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Văn – Sinh – Anh – tốt nhất!
Trang 24
y ax
ax y 2
x2
2
ay x y
a
a 0
a 0
Vậy diện tích cần tính là :
1
a
a
x2
x2
S ax dx a x 2 dx
a
a
0
0
a
3
3
x3
1
ax 2 a2
3a
3
2
dvtt
0
Bạn đọc tự làm :
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :
x y 3 1 0
a) x y 1 0
x 2
y x2
b) y 4 x
y 4
x y
c) x y 2 0
y 0
x2 y2
1
d) a 2 b 2
a , b 0
Hình vẽ tương ứng ↓↓↓
hình a
hình b
hình c
hình d
Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Văn – Sinh – Anh – tốt nhất!
Trang 25
