chuyên đề các bài TOÁN về PHÂN số và số THẬP PHÂN

ch­¬ng 5 : c¸c bµi to¸n vÒ ph©n sè vµ sè thËp ph©n


i. phân số

nội dung :

Dạng 1.Các bài toán về cấu tạo phân số
Dạng 2. So sánh phân số
Dạng 3.Các bài toán về thực hành bốn phép tính trên phân số
Dạng 4. Toán trắc nghiệm khách quan về phân số

II. số thập phân

Dạng 1. Các bài toán về cấu tạo số thập phân
Dạng 2. So sánh các số thập phân
Dạng 3. Các bài toán về thực hành bốn phép tính với số thập
phân
Dạng 4. Điền chữ số thay cho các chữ trong phép tính về số
thập phân
Dạng 5. Các bài toán về tỉ số phần trăm
Dạng 6. Toán trắc nghiệm khách quan về số thập phân


Dạng 1: Các bài toán về cấu tạo phân số
Một số kiến thức cần lưu ý:
1. Để ký hiệu một phân số có tử số bằng a, mẫu số bằng b (với
a
a là số tự nhiên, b là số tự nhiên khác 0) ta viết
.
b

- Mẫu số b chỉ phần đơn vị được chia ra, tử số a chỉ phần đơn
vị được lấy đi.
a
- Phân số
còn được hiểu là thương của phép chia cho b.
b
2. Mỗi số tự nhiên a có thể coi là một phân số có mẫu số bằng
a
a
=
1:
1
3. Phân số có tử số nhỏ hơn mẫu số thì nhỏ hơn 1; có tử số lớn
hơn mẫu số thì lớn hơn 1 và có tử số bằng mẫu số thì bằng 1.


4. Nếu nhân cả tử số và mẫu số của một phân số với cùng một
số tự nhiên khác 0 thì được một phân số bằng phân số đã cho:
a ìn
a (n khác 0)
=
b ìn

b

5. Nếu chia cả tử và mẫu của một phân số cho cùng một số tự
nhiên khác 0 (gọi là rút gọn phân số) thì được một phân số
bằng phân số đã cho:
a:n
a

(n khác 0)
=
b:n

b

6. Phân số có mẫu số bằng 10,100,1000,được gọi là số thập
phân.
7. Nếu ta cộng thêm cả tử và mẫu của một phân số với cùng
một số tự nhiên thì hiệu của tử số và mẫu số của phân số đó
không đổi.


8. NÕu ta trõ c¶ tö vµ mÉu cña mét ph©n sè víi cïng mét sè tù
nhiªn th× hiÖu gi÷a tö sè vµ mÉu cña ph©n sè ®ã kh«ng thay
®æi.
9. NÕu ta céng thªm ë tö ®ång thêi bít ®i ë mÉu sè cña mét
ph©n sè víi cïng mét sè tù nhiªn th× tæng cña tö sè vµ mÉu
sè cña ph©n sè ®ã kh«ng thay ®æi.
10. NÕu ta bít ®i ë tö sè ®ång thêi thªm vµo mÉu sè cña mét
ph©n sè víi cïng mét sè tù nhiªn th× tæng cña tö sè vµ mÉu
sè cña ph©n sè ®ã kh«ng thay ®æi.
VÝ dô 1: Khi bít ®i ë c¶ tö vµ mÉu cña ph©n sè 211 víi cïng
313

mét sè tù nhiªn ta ®­îc mét ph©n sè b»ng 3 .T×m sè tù
5
nhiªn ®ã?

Bµi gi¶i:
HiÖu gi÷a mÉu sè vµ tö sè lµ:
313 – 211 = 102
Khi bít ®i c¶ tö vµ mÉu cña ph©n sè víi cïng mét sè tù nhiªn
th× hiÖu gi÷a tö vµ mÉu sè cña ph©n sè ®ã kh«ng thay ®æi.
Ta cã s¬ ®å biÓu diÔn tö sè vµ mÉu sè cña ph©n sè míi.
?

Tö sè:
MÉu sè:
102


Tö sè cña ph©n sè míi lµ:
102:(5-3)x3=153
Sè tù nhiªn cÇn t×m lµ:
211-153=58
VÝ dô 2: Rót gän c¸c ph©n sè sau:
363636
b)
494949

123123
a)
363363
Gi¶i:

a) Ta cã: 123123 = 123 ×1001 vµ 363363 = 363 × 1001
123123 123 41
Nªn:

=
=
363363

363

121

b) Ta cã: 363636 = 36 ×10101 vµ 494949 = 49 × 10101
363636 36
Nªn:
=
494949 49


Dạng 2: So sánh phân số
Những kiến thức cần lưu ý
1. Muốn quy đồng mẫu số của hai phân số, ta nhân cả tử số số
và mẫu số của phân số thứ nhất với mẫu số của phân số thứ
hai, nhân cả tử số và mẫu số của phân số thứ hai với mẫu số
của phân số thứ nhất.
2. Khi so sánh hai phân số:
- Có cùng mẫu số: ta so sánh hai tử số, phân số nào có tử số
lớn hơn sẽ lớn hơn.
- Không cùng mẫu số: trước hết ta quy đồng mẫu số rồi so
sánh như trường hợp trên.


3. Các phương pháp thường dùng để so sánh hai phân số:
- Vận dụng quy tắc phát biểu ở mục 2.

- Nếu hai phân số có cùng tử số thì phân số nào có mẫu số
lớn hơn sẽ nhỏ hơn.
- So sánh bắc cầu: Nếu

a
c
c
m
a
m
< và <
thi <
b d
d
n
b
n
- So sánh hai phần bù với 1 của mỗi phân số đó:

a
c
a
c
1<1 thi
>
b
d
b
d

- So sánh hai phần hơn so với 1 của mỗi phân số đó:

a
c
a
c
- 1 < 1 thi
< ;
b
d
b
d

- So sánh các phần nguyên: trong hai phân số, phân số nào
có phần nguyên lớn hơn sẽ lớn hơn.


VÝ dô: Kh«ng quy ®ång mÉu sè h·y so s¸nh c¸c ph©n sè sau.

12
14
a)
vµ
29
27

199
200
c)

vµ
198
199

2009
2010
b)
vµ
2010
2011

23
21
d)
vµ
7
8


Gi¶i
a) Ta cã :

12 12
12 14
<
vµ
<
29 27
27 27

vËy

12 14
<
29 27

2009
1
1
2010
2009 2010
b) Ta cã : 1 −
=
>
= 1−
vËy
<
2010 2010 2011
2011
2010 2011
199
1
200
1
1
1
199 200
c) Ta cã :
= 1+
vµ

= 1+
mµ
>
nª n
>
198
198
199
199
198 199
198 199

d) Ta cã :

23
2
21
5
23 21
= 3 vµ
= 2 vi 3 > 2 nª n
>
7
7
7
8
7 8


Dạng 3. Các bài toán về thực hành bốn phép tính trên

phân số
Một số kiến thức cần lưu ý:
1.Phép cộng:
- Muốn cộng hai phân số có cùng mẫu, ta cộng tử số với nhau
và giữ nguyên mẫu số:
a
c
a +c
+ =
b
b
b
-

Muốn cộng hai hai phân số khác mẫu số,trước hết ta quy
đồng mẫu số của chúng,sau đó cộng tử số với nhau và giữ
nguyên mẫu số chung:

a c a ì d + c ìb
+ =
b d
bd


2. PhÐp trõ: t­¬ng tù nh­ phÐp céng.
3. PhÐp nh©n:
- Muèn nh©n hai ph©n sè, ta lÊy tö sè nh©n víi tö sè, mÉu sè
nh©n víi mÉu sè:

a c a ×c

× =
b d b×d
4. PhÐp chia:
- Muèn chia hai ph©n sè, ta lÊy ph©n sè thø nhÊt nh©n víi ph©n
sè ®¶o ng­îc cña ph©n sè thø hai:

a c
a d
:
= ×
b d
b c


5.TÝnh chÊt cña c¸c phÐp tÝnh trªn ph©n sè
a) TÝnh chÊt giao ho¸n:

a c c a
+ = +
b d d b

vµ

a c
c a
× = ×
b d
d b

b) TÝnh chÊt kÕt hîp:

a c
m a
c m
a c
m a
c m
( + ) + = + ( + ) vµ ( × ) × = ×( × )
b d
n
b
d n
b d
n b
d n
Ta th­êng viÕt:
a
c
m
a c
m
thay
cho
+ +
( + )+
b d
n
a c m
× ×
b d
n

thay cho

b d
n
a c
m
( × )×
b d
n


c) TÝnh chÊt ph©n phèi:
a
c m
a c a m
×( + ) = × + ×
b
d n
b d b n
VÝ dô. TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc sau b»ng c¸ch nhanh nhÊt:
a)

1313 165165 424242
×
×
2121 143143 151515

121 123 127
1995 17 21 16

42 75 19 210
(
×
+
)
×
(
×
−
:
)
×
(
× − ×
)
b) 122 125 129
1996 16 25 17
30 23 23 38

Gi¶i:
a) Ta cã:

1313 165165 424242
×
×
2121 143143 151515
13 ×101 165 ×1001 42 ×10101
=
×
×

21×101 143 ×1001 15 ×10101
13 165 42 13 15 ×11 21× 2
=
×
×
=
×
×
=2
21 143 15 21 13 ×11
15


b) Ta cã:

Nªn:

42 75 19 210
× − ×
30 23 23 38
6 × 7 15 × 5 19 210
=
×
− ×
6 × 5 23
23 19 × 2
15 210 105 210 210 − 210
= 7× −
=
−

=
=0
23 46
23 46
46

121 123 127 1995 17 21 16 42 75 19 210
( ×
+
)× (
× − : )× ( × − ×
)
122 125 129 1996 16 25 17 30 23 23 38
121 123 127 1995 17 21 16
=( ×
+
)× (
× − : )× 0
122 125 129 1996 16 25 17
=0


Ví dụ 2: Biểu diễn mỗi phân số dưới đây thành tổng của các
phân số có mẫu số khác nhau và tử số đều bằng 1:
15
b)
16

13
a)

27

Giải:
a) Ta có:

và

13
1 1 1
=
+ +
27 27 3 9

Vậy:
b) Ta có:
Vậy:

27 = 1ì 3 ì 9

15 =1 +2 +4 +8

15
1
1
1
1
=
+ + +
16
16

2
4 8

13 =1 +3 +9


D¹ng 4. To¸n tr¾c nghiÖm kh¸ch quan vÒ ph©n sè:
§óng ghi §, sai ghi S vµo « trèng:
Bµi 1:
a.

23 2323 232323
<
<
31 3131 313131

b.

23 2323 232323
=
=
31 3131 313131


Bµi 2: §iÒn ph©n sè thÝch hîp vµo chç chÊm:
a.

5 1
5
+ =..... +

7 3
7

b.

3
2 3
×... = ×
5
3 5

c.

3 1 3 1 3
1
× + × = × (... + )
4 5 4 8 4
8

d.

1 2 3
1 2 1
× ( + ) = × + × ...
7 9 8
7 9 7


ii. Số thập phân
Dạng 1. Các bài toán về cấu tạo số thập phân

Một số kiến thức cần lưu ý:
1. Mỗi số thập phân có hai phần: phần nguyên và phần thập
phân, hai phần được ngăn cách nhau bởi dấu phẩy.
Bên trái dấu phẩy là phần nguyên, bên phải dấu phẩy là
phần thập phân.
2. Mỗi số tự nhiên a có thể biểu diễn thành một số thập phân
mà phần thập phân là những chữ số 0.
3. Nếu viết thêm chữ số 0 vào bên phải phần thập phân của
một số thập phân thì ta được một số thập phân bằng nó.
Nếu số thập phân có chữ số 0 tận cùng bên phải phần thập
phân thì khi xoá chữ số 0 đó đi ta được một số thập phân
bằng nó.


VÝ dô1: ViÕt c¸c ph©n sè thËp ph©n sau d­íi d¹ng sè thËp
ph©n:
675
100

a.

b.

8972
100

67
c.
1000

d.

8
1000

Gi¶i:
a.

675
= 6,75
100

b.

8972
= 89,72
100

c.
d.

67
= 0,067
1000

8
= 0,008
1000

Ví dụ 2. Cho 3 chữ số 1, 2, 3. Hãy viết tất cả các số thập phân
từ 3 chữ số đã cho sao cho mỗi chữ số đã cho xuất hiện
trong cách viết đúng một lần.
Giải:
Những số có một chữ số ở phần nguyên là:
1,23; 1,32; 2,13; 2,31; 3,12: 3,21
Những số có hai chữ số ở phần nguyên là:
12,3; 13,2; 21,3; 23,1; 31,2; 32,1
Dạng 2. So sánh các số thập phân
Các quy tắc so sánh số thập phân:
Quy tắc 1. Trong hai số thập phân:
- Số nào có phần nguyên lớn hơn sẽ lớn hơn;


Nếu phần nguyên của chúng bằng nhau thì ta so sánh các
hàng phần mười: số nào có chữ số lớn hơn sẽ lớn hơn;
- Nếu phần nguyên và các hàng phần mười của chúng bằng
nhau thì ta so sánh hàng phần trăm: số nào có chữ số hàng
phần trăm lớn hơn sẽ lớn hơn;
- Cứ tiếp tục như thế đối với các hàng sau cho đến khi được
số lớn hơn( nếu số chữ số ở phần thập phân của hai số
không bằng nhau thì khi cần ta sẽ viết thêm chữ số 0 vào
hàng còn thiếu).
Quy tắc 2: Muốn so sánh hai số thập phân ta làm như sau
- Làm cho số chữ số ở phần thập phân của chúng bằng
nhau(bằng cách viết thêm chữ số 0 vào hàng còn thiếu ở
bên phải).
- Bỏ dấu phẩy, ta nhận được hai số tự nhiên;
-

-

So sánh hai số tự nhiên vừa nhận được, số nào lớn hơn thì
số thập phân ứng với nó sẽ lớn hơn.

Ví dụ: So sánh các cặp số sau với nhau rồi điền dấu >; =: < vào
giữa cho hợp lý:
a) 316,007 và 248,999
b) 217,96 và 217,903
Giải:
a) Vì 316 > 248 nên 316,007 > 248,99
b) Vì 217 = 217 nhưng 0,96 > 0,903
nên 217,96 > 217,903