Chuyên đề các bài toán về tam giác
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (287.98 KB, 20 trang )
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
1
Các bài toán về tam giác
A. Giới thiệu
Trong bài giảng này, chúng tôi đề cập đến các bài toán liên quan đến việc xác định tọa độ các
đỉnh và viết phương trình các cạnh của tam giác (giải tam giác). Để làm tốt các bài toán này, ta
cần biết khai thác các tính chất của đường cao, đường trung tuyến, đường phân giác và đường
trung trực của tam giác. Bài giảng này đề cập đến năm dạng toán sau:
Dạng 1. Đường cao
Dạng 2. Trung tuyến
Dạng 3. Phân giác
Dạng 4. Trung trực
Dạng 5. Các bài toán tổng hợp
B. Các dạng toán hay gặp
Dạng 1. Đường cao
Nội dung phương pháp
Cho tam giác
ABC
. Giả sử
d
là đường cao qua
A
và
H
là trực tâm tam giác. Ta có vài nhận
xét sau đây:
d
đi qua
A
và vuông góc với
BC
.
AH
,
BH
,
CH
là các véc-tơ pháp tuyến của các đường thẳng
BC
,
CA
,
AB
.
Một số ví dụ
Ví dụ 1. Cho tam giác
ABC
có đường cao qua
A
là đường thẳng
: 2 7 0
d x y
, cạnh
BC
đi
qua điểm
2;1
M . Hãy lập phương trình cạnh
BC
của tam giác.
Giải
Ta thấy đường thẳng
BC
vuông góc với
d
nên nhận véc-tơ pháp
tuyến
1; 2
n
làm véc-tơ chỉ phương.
BC
còn đi qua
M
nên
2 1
:
1 2
x y
BC
:2 3 0
BC x y
.
d
A
B
C
M
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
2
Ví dụ 2. Cho tam giác
ABC
có
1; 2
A
. Đường cao kẻ
B
,
C
có phương trình lần lượt là
1
:3 5 11 0
d x y
,
2
: 3 7 0
d x y
. Lập phương trình các cạnh của tam giác.
Giải
Đường thẳng
AB
vuông góc với đường cao
2
: 3 7 0
d x y
nên đường thẳng này nhận véc-tơ pháp tuyến
2
1;3
n
của
2
d
làm véc-tơ chỉ phương. Đường thẳng
AB
còn đi qua điểm
A
nên
1 2
:
1 3
x y
AB
:3 5 0
AB x y
.
d
2
d
1
A
B
C
Tương tự,
AC
là đường thẳng qua
A
và nhận
1
3; 5
n
làm véc-tơ chỉ phương nên
1 2
:
3 5
x y
AC
:5 3 1 0
AC x y
.
B
là giao điểm của
AB
và
1
d
nên tọa độ cuả
B
là nghiệm của hệ
3 5 0
3 5 11 0
x y
x y
3;4
B .
C
là giao điểm của
C
và
2
d
nên tọa độ
C
là nghiệm của hệ
5 3 1 0
3 7 0
x y
x y
2;3
C .
Suy ra
3 4
:
5 1
x y
BC
: 5 17 0
BC x y
.
Vậy
:3 5 0
AB x y
,
:5 3 1 0
AC x y
,
: 5 17 0
BC x y
.
Ví dụ 3. Cho tam giác
ABC
có đường cao qua
A
,
B
lần lượt là các đường thẳng
1
:4 5 0
d x y
,
2
: 2 9 0
d x y
và trọng tâm
2;2
G . Hãy xác định tọa độ các đỉnh của
tam giác.
Giải
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
3
Các điểm
A
,
B
lần lượt thuộc các đường thẳng
1
d
,
2
d
nên tọa
độ của chúng có dạng
; 4 5
A a a
,
;2 9
B b b
.
G
là trọng
tâm tam giác
ABC
nên
3
3
C G A B
C G A B
x x x x
y y y y
6;4 2 2
C a b a b
2 6;4 4 7
BC a b a b
,
2 6;8 2 7
AC a b a b
.
d
2
d
1
G
C
A
B
Đường thẳng
BC
vuông góc với
1
d
nên
BC
là một véc-tơ pháp tuyến của
1
d
. Tương tự,
AC
là
một véc-tơ pháp tuyến của
2
d
. Do đó
2 6 4 4 7
4 1
2 6 8 2 7
2 1
a b a b
a b a b
17 14 22
14 5 8
a b
a b
2
4
a
b
.
Suy ra
2;3
A ,
4;1
B .
Ví dụ 4. Cho tam giác
ABC
có
:5 3 2 0
AB x y
và các đường cao đi qua
A
,
B
có phương
trình lần lượt là
1
:4 3 1 0
d x y
và
2
:7 2 22 0
d x y
. Lập phương trình của hai cạnh còn
lại và đường cao còn lại của tam giác.
Giải
A
là giao điểm của
AB
và
1
d
nên tọa độ
A
là nghiệm của hệ
5 3 2 0
4 3 1 0
x y
x y
1; 1
A
.
d
2
d
1
C
A
B
B
là giao điểm của
AB
và
2
d
nên tọa độ
B
là nghiệm của hệ
5 3 2 0
7 2 22 0
x y
x y
2;4
B .
Đường thẳng
AC
qua
A
và nhận véc-tơ pháp tuyến
2
7;2
n
của đường thẳng
2
d
làm véc-tơ
chỉ phương nên
1 1
:
7 2
x y
AC
:2 7 5 0
AC x y
.
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
4
Tương tự,
BC
qua
B
và nhận
1
4; 3
n
làm véc-tơ chỉ phương nên
2 4
:
4 3
x y
BC
:3 4 22 0
BC x y
.
C
là giao điểm của
AC
và
BC
nên tọa độ
C
là nghiệm của hệ
2 7 5 0
3 4 22 0
x y
x y
6;1
C .
Đường cao qua
C
nhận véc-tơ pháp tuyến
3
5; 3
n
làm véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình
là
6 1
5 3
x y
3 5 23 0
x y
.
Vậy
:2 7 5 0
AC x y
,
:3 4 22 0
BC x y
, đường cao còn lại có phương trình
3 5 23 0
x y
.
Ví dụ 5. Cho tam giác
ABC
có phương trình hai cạnh là
5 2 6 0
x y
và
4 7 21 0
x y
.
Viết phương trình cạnh còn lại của tam giác biết gốc tọa độ chính là trực tâm của tam giác.
Giải
Giả sử
5 2 6 0
x y
,
4 7 21 0
x y
lần lượt là phương trình
của các cạnh
AB
,
BC
.
B
là giao điểm của
AB
và
BC
nên tọa độ
B
là nghiệm của hệ
5 2 6 0
4 7 21 0
x y
x y
0;3
B .
O
A
B
C
Đường thẳng
CO
nhận véc-tơ pháp tuyến
5; 2
n
của
AB
làm véc-tơ chỉ phương nên
:
5 2
x y
CO
:2 5 0
CO x y
.
C
là giao điểm của của
BC
và
CO
nên tọa độ của
C
là nghiệm của hệ
4 7 21 0
2 5 0
x y
x y
35
; 7
2
C
.
Đường thẳng
CA
đi qua
35
; 7
2
C
và nhận
0;3
OB
làm véc-tơ pháp tuyến nên
:3 7 0
CA y
: 7 0
CA y
.
Bài tập
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
5
Bài 1. Cho tam giác
ABC
có chân đường vuông góc hạ từ
A
xuống
BC
là
1;1
H , các
đường cao qua
B
,
C
lần lượt là
1
:5 3 4 0
d x y
,
2
: 4 11 0
d x y
. Hãy tìm tọa độ các đỉnh
của tam giác.
Đáp số:
3; 7
A
,
5;2
B ,
7; 1
C
.
Bài 2. Viết phương trình các cạnh của tam giác
ABC
biết
4; 5
B
và phương trình hai đường
cao là
1
:5 3 4 0
d x y
và
2
:3 8 13 0
d x y
.
Hướng dẫn: Trước hết ta nhận xét rằng
B
không thuộc cả
1
d
và
2
d
. Giả sử
1
d
là đường cao đi
qua
A
và
2
d
là đường cao đi qua
C
. Phương trình các cạnh của tam giác là
:8 3 17 0
AB x y
,
:3 5 13 0
BC x y
,
:5 2 1 0
CA x y
.
Bài 3. Cho tam giác
ABC
có trung điểm cạnh
AB
là
1 1
;
2 2
M
và các đường cao qua
A
,
B
lần
lượt là
1
:6 21 0
d x y
,
2
: 4 9 0
d x y
. Hãy lập phương trình các cạnh của tam giác.
Đáp số:
: 0
AB x y
,
: 6 10 0
BC x y
,
:4 15 0
CA x y
.
Bài 4. Cho tam giác
ABC
có trung điểm các cạnh
AB
,
BC
lần lượt là
9 3
;
2 2
M
,
1 1
;
2 2
N
và đường cao hạ từ
A
là
3 7 0
x y
. Hãy xác định tọa độ các đỉnh của tam giác.
Đáp số:
4; 5
A
,
5;2
B ,
4; 1
C
.
Bài 5. Tìm tọa độ đỉnh
A
của tam giác
ABC
biết
5;2
B ,
1;1
C và trực tâm là
2;4
H .
Đáp số:
9 26
;
5 5
A
.
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
6
Dạng 2. Trung tuyến
Nội dung phương pháp
Cho tam giác
ABC
. Trung tuyến của tam giác là đường thẳng đi qua đỉnh và trung điểm cạnh
đối diện. Giả sử biết
: 0
d ax by c
là trung tuyến đi qua đỉnh
A
của tam giác, ta suy ra hai
sự kiện quan trọng sau đây:
Điểm
A
thuộc đường thẳng
d
, tức là
0
A A
ax by c
.
Trung điểm của đoạn thẳng
BC
thuộc đường thẳng
d
, tức là
0
2 2
B C B C
x x y y
a b c
.
Cho tam giác
ABC
.
Một số ví dụ
Ví dụ 1. Cho tam giác
ABC
có tọa độ ba đỉnh là
1; 2
A
,
4; 3
B
và
0;8
C . Hãy viết
phương trình các đường trung tuyến của tam giác.
Giải
Nếu gọi
G
là trọng tâm của tam giác thì
1;1
G . Gọi cac trung tuyến qua
A
,
B
,
C
lần lượt là
A
d
,
B
d
,
C
d
. Ta thấy
A
d
đi qua
A
và
G
nên
1 2
:
2 3
A
x y
d
, hay
:3 2 1 0
A
d x y
.
Tương tự ta có
4 3
:
3 4
B
x y
d
, hay
: 4 3 7 0
B
d x y
;
8
:
1 7
C
x y
d
, hay
:7 8 0
C
d x y
.
Ví dụ 2. Cho tam giác
ABC
có đỉnh
3;4
B , đỉnh
C
thuộc đường thẳng
1
:2 1 0
d x y
và
trung tuyến đi qua
A
là
2
:7 5 21 0
d x y
. Tìm tọa độ đỉnh
C
.
Giải
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
7
Đỉnh
C
của thuộc đường thẳng
1
:2 1 0
d x y
nên tọa độ có dạng
;2 1
C c c
. Trung điểm
của đoạn thẳng
BC
thuộc trung tuyến qua
A
nên
3 2 3
7 5 21 0
2 2
c c
. Giải phương trình
này ta được
2
c
. Vậy
2;3
C .
Ví dụ 3. Cho tam giác
ABC
có
:4 3 7 0
AB x y
, trung tuyến qua
A
là
: 4 5 0
d x y
.
Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác, biết
AC
cắt trục hoành tại điểm
I
có hoành độ bằng
3
2
và
I
là trung điểm của
AC
.
Giải
Ta thấy
A
là giao điểm của đường thẳng
AB
và trung tuyến
d
nên tọa độ
A
là nghiệm của hệ
4 3 7 0
4 5 0
x y
x y
1;1
A .
I
là điểm có hoành độ bằng
3
2
thuộc trục hoành nên
3
;0
2
I
. Từ
I
là trung điểm
AC
có
2 4
2 1
C I A
C I A
x x x
y y y
4; 1
C
.
Điểm
B
thuộc đường thẳng
AB
nên tọa độ
B
có dạng
4 7
;
3
b
B b
.
Gọi
J
là trung điểm
BC
, ta có
2
2
B C
J
B C
J
y y
x
x x
y
4 2 2
;
2 3
b b
J
.
Điểm
J
lại thuộc trung tuyến
d
nên
4 2 2
4. 5 0
2 3
b b
. Giải phương trình này ta được
2
b
, suy ra
2;5
B .
Vậy
1;1
A ,
2;5
B ,
4; 1
C
.
Ví dụ 4. Viết phương trình các cạnh của tam giác
ABC
biết
1;3
A và hai trung tuyến có
phương trình là
1
: 2 1 0
d x y
và
2
: 1 0
d y
.
Giải
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
8
Dễ thấy cả hai trung tuyến đã cho đều không đi qua
A
. Giả sử
1
d
là trung tuyến qua
B
,
2
d
là
trung tuyến qua
C
.
Điểm
B
thuộc trung tuyến
1
d
nên có tọa độ dạng
2 1;
B b b
. Tương tự, điểm
C
có tọa độ
dạng
;1
C c
. Trung điểm của cạnh
AB
thuộc trung tuyến
2
d
và trung điểm của
AC
thuộc
trung tuyến
1
d
nên
3
1 0
2
1
2 2 1 0
2
b
c
.
Giải hệ trên ta được
1
b
,
5
c
. Suy ra
3; 1
B
,
5;1
C . Phương trình các cạnh tam giác là
1 3
:
4 4
x y
AB
, hay
: 2 0
AB x y
;
3 1
:
8 2
x y
BC
, hay
: 4 1 0
BC x y
;
5 1
:
4 2
x y
CA
, hay
: 2 7 0
CA x y
.
Ví dụ 5. Hai cạnh của một tam giác có phương trình lần lượt là
2 0
x y
và
5 0
x y
. Một
trong các đường trung tuyến của tam giác có phương trình
3 0
x y
. Cạnh thứ ba của tam giác
đó đi qua điểm
3;9
M . Tìm tọa độ các đỉnh và viết phương trình cạnh thứ ba của tam giác.
Giải
Giả sử
ABC
là tam giác đang xét và
:2 0
AB x y
,
:5 0
AC x y
. Điểm
A
là giao điểm của
hai đường thẳng
AB
và
AC
nên tọa độ
A
là nghiệm của hệ
2 0
5 0
x y
x y
0;0
A .
Ta thấy
:3 0
d x y
là trung tuyến đi qua
A
. Hai điểm
B
và
C
lần lượt thuộc các cạnh
AB
và
AC
nên tọa độ của hai điểm này có dạng
;2
B b b
và
;5
C c c
. Trung điểm của
BC
thuộc
trung tuyến
d
nên
2 5
3 0
2 2
b c b c
2
b c
.
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
9
Thế
2
b c
vào tọa độ điểm
B
ta có
2 ;4
B c c
, suy ra
;
BC c c
. Véc-tơ
BC
lại cùng phương
với véc-tơ
1; 1
a
. Đường thẳng
BC
đi qua điểm
M
nên véc-tơ
MB
và véc-tơ
a
cùng
phương, tức là
2 3 4 9
1 1
c c
2
c
4;8
B ,
2;10
C .
Phương trình cạnh
BC
là
4 8
2 2
x y
hay
12 0
x y
.
Bài tập
Bài 1. Cho tam giác
ABC
, các đường thẳng
AB
và
AC
lần lượt có phương trình
3 2 1 0
x y
và
1 0
x y
. Đường trung tuyến ứng với cạnh
AB
có phương trình
2 1 0
x y
. Viết phương trình đường thẳng
BC
.
Đáp số: Phương trình đường thẳng
BC
là
5 3 1 0
x y
.
Bài 2. Cho tam giác
ABC
có
4; 1
A
, phương trình hai trung tuyến đi qua
B
và
C
lần lượt là
8 3 0
x y
và
14 13 9 0
x y
. Tìm tọa độ các đỉnh
B
,
C
.
Đáp số:
1;5
B ,
4; 5
C
.
Bài 3. Một cạnh của tam giác có phương trình là
2 7 0
x y
, hai đường trung tuyến ứng với
hai cạnh còn lại có phương trình lần lượt là
5 0
x y
và
2 11 0
x y
. Viết phương trình
hai cạnh còn lại.
Đáp số: Phương trình hai cạnh còn lại là
3 2 6 0
x y
và
3 8 12 0
x y
.
Bài 4. Cho tam giác
ABC
có các trung tuyến từ
A
,
B
lần lượt là
1
: 5 0
d x y
,
2
: 17 31 0
d x y
và trực tâm
4; 1
H
.
Đáp số:
6; 5
A
,
3; 2
B
,
5;2
C .
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
10
Dạng 3. Phân giác
Nội dung phương pháp
Cho tam giác
ABC
. Mỗi góc của tam giác hai đường phân giác là phân giác trong và phân giác
ngoài. Điểm đồng quy của ba đường phân giác trong là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Điểm
đồng quy của một đường phân giác trong và hai đường phân giác ngoài của góc còn lại là tâm
đường tròn bàng tiếp của góc ứng góc với phân giác trong, chẳng hạn: điểm đồng quy của đường
phân giác trong góc
A
và hai đường phân giác ngoài của hai đỉnh còn lại là tâm đường tròn bàng
tiếp góc
A
.
Xét phân giác (phân giác trong, phân giác ngoài) góc
A
. Ta cần nắm được hai tính chất sau đây
của phân giác góc
A
:
Phân giác góc
A
là đường thẳng đi qua
A
.
Hai đường thẳng
AB
và
AC
đối xứng nhau qua phân giác góc
A
. Cụ thể, nếu lấy
M
là
một điểm thuộc đường thẳng và
'
M
là điểm đối xứng với
M
qua phân giác góc
A
thì
'
M
thuộc đường thẳng
AC
.
Một số ví dụ
Ví dụ 1. Cho tam giác
ABC
biết rằng các đường thẳng thẳng
AB
,
AC
lần lượt đi qua các điểm
4; 6
M
,
7;1
N và phân giác góc
A
là đường thẳng
: 4 14 0
d x y
. Lập phương trình
các cạnh
AB
,
AC
của tam giác.
Giải
Gọi
'
M
là điểm đối xứng với điểm
M
qua phân giác
d
. Vì
M
thuộc đường thẳng
AB
nên
'
M
thuộc đường thẳng
AC
. Giả sử
' ;
M a b
, ta thấy trung điểm
4 6
;
2 2
a b
I
thuộc đường
thẳng
d
và véc-tơ
' 4; 6
MM a b
cùng phương với véc-tơ pháp tuyến
1;4
n
của đường
thẳng
d
, tức là
4 6
4 14 0
2 2
4 6
1 4
a b
a b
4 48
4 22
a b
a b
8
10
a
b
' 8;10
M .
Ta thấy đường thẳng
AC
đi qua các điểm
7;1
N và
' 8;10
M nên
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
11
7 1
:
15 9
x y
AC
:3 5 26 0
AC x y
.
A
là giao điểm của
AC
và phân giác
d
của góc
A
nên tọa độ
A
là nghiệm của hệ
3 5 26 0
4 14 0
x y
x y
2
4
x
y
2;4
A .
Đường thẳng
AB
đi qua các điểm
A
và
M
nên
2 4
:
6 10
x y
AB
:5 3 2 0
AB x y
.
Vậy phương trình các cạnh
AB
,
AC
của tam giác là
:5 3 2 0
AB x y
và
:3 5 26 0
AC x y
.
Ví dụ 2. [ĐHD11Chuẩn] Cho tam giác
ABC
có
4;1
B , trọng tâm
1;1
G và đường thẳng
d
chứa đường phân giác trong của góc
A
có phương trình
1 0
x y
. Tìm tọa độ các đỉnh
A
và
C
.
Giải
Gọi
;
M m n
là trung điểm của
AC
, từ đẳng thức
2
BG GM
, ta có
5 2 1
0 2 1
m
n
7
2
1
m
n
7
;1
2
M
.
Gọi
' ;
B a b
là điểm đối xứng với
B
qua
d
thì
'
B
thuộc
AC
. Ta thấy trung điểm
I
của
'
BB
thuộc đường thẳng
d
và véc-tơ
'
BB
cùng phương với véc-tơ pháp tuyến
1; 1
n
của đường
thẳng
d
. Do đó
4 1
1 0
2 2
4 1
1 1
a b
a b
7
3
a b
a b
2
5
a
b
' 2; 5
B
.
Đường thẳng
AC
đi qua hai điểm
'
B
và
M
nên
2 5
:
7
1 5
2
2
x y
AC
:4 13 0
AC x y
.
A
là giao điểm của
AC
và
d
nên tọa độ của nó là nghiệm của hệ
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
12
12 5 49 0
1 0
x y
x y
4 13 0
1 0
x y
x y
4
3
x
y
4;3
A .
C
đối xứng với
A
qua
M
nên
2 3
2 1
C M A
C M A
x x x
y y y
3; 1
C
.
Ký hiệu
;
F x y
là vế trái của phương trình tổng quát của phân giác trong góc
A
. Ta có
6 3 18 0
F B F C
. Suy ra
B
,
C
nằm về hai phía
d
. Do đó tọa độ các điểm tìm
được thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 3. Cho tam giác
ABC
với
2; 1
A
và hai phân giác trong của các góc
B
và
C
lần lượt
là
1
: 2 1 0
d x y
và
2
: 3 0
d x y
. Lập phương trình các cạnh của tam giác.
Giải
Gọi
1
A
,
2
A
là các điểm đối xứng với điểm
A
qua các phân giác
1
d
,
2
d
. Từ tính chất của đường
phân giác suy ra
1
A
,
2
A
là các điểm thuộc đường thẳng
BC
.
1
;
A a b
đối xứng với
A
qua
1
d
khi và chỉ khi trung điểm
1
2 1
;
2 2
a a
I
của
1
AA
thuộc
đường thẳng
1
d
và véc-tơ
1
2; 1
AA a b
cùng phương với véc-tơ pháp tuyến
1
1; 2
n
của
1
d
,
tức là
2 1
2 1 0
2 2
2 1
1 2
a b
a b
2 6
2 3
a b
a b
0
3
a
b
1
0;3
A .
Tương tự, giả sử
2
;
A m n
, ta có
2 1
3 0
2 2
2 1
1 1
m n
m n
7
3
m n
m n
2
5
m
n
2
2; 5
A
.
Do đó
0 3
:
2 8
x y
BC
:4 3 0
BC x y
.
Ta thấy
B
là giao điểm của
BC
và
1
d
nên phương trình
AB
có dạng
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
13
: 4
1 0
3 2AB m x y n x y
.
AB
còn đi qua
2; 1
A
nên thay tọa độ
A
vào phương trình
AB
ta có
12 5 0
m n
. Nếu chọn
5
m
thì
12
n
. Do đó
2 1:5 4 3 12
0
B yA x y x
:8 19 3
0
AB x y
.
Tương tự, phương trình
AC
có dạng
: 4 3
3 0
AC m x y n x y
với
m
,
n
thỏa mãn
3 0
m n
. Chọ
1
m
thì
3
n
. Do đó
3 3: 4 3
0
AC x y x y
: 4 6 0
AC x y
.
Vậy phương trình các cạnh của tam giác là
:4 3 0
BC x y
,
:8 19 3 0
AB x y
,
: 4 6 0
AC x y
.
Bài tập
Bài 1. Cho tam giác
ABC
có
4; 1
A
và các đường phân giác các góc
B
,
C
lần lượt là
1
: 1 0
d x
,
2
: 1 0
d x y
. Tìm tọa độ các đỉnh
B
,
C
.
Đáp số:
1;5
B ,
4; 5
C
.
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
14
Dạng 4. Trung trực
Nội dung phương pháp
Cho tam giác
ABC
. Giả sử
: 0
d ax by c
là trung trực của
BC
. Khi đó, trung điểm
I
của đoạn thẳng
BC
thuộc
d
và
BC
cũng là một véc-tơ pháp tuyến của
d
, tức là
0
2 2
B C B C
B C B C
x x y y
a b c
x x y y
a b
.
Chú ý. Hệ điều kiện nói trên áp dụng cho trường hợp cả
a
và
b
đều khác
0
. Trong trường hợp
0
a
điều kiện thứ hai của hệ điều kiện trở thành
0
B C
x x
. Tương tự, trong trường hợp
0
b
điều kiện thứ hai của hệ điều kiện trở thành
0
B C
y y
.
Ba đường trung trực của tam giác đồng quy tại tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác
đó.
Một số ví dụ
Ví dụ 1. Cho tam giác
ABC
có
2; 1
A
và các đường trung trực của các cạnh
AB
,
CA
lần
lượt là
1
:6 4 5 0
d x y
,
2
: 2 6 0
d x y
. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác.
Giải
Giả sử
;
B a b
. Ta có trung điểm của
AB
thuộc
1
d
và
AB
là một véc-tơ pháp tuyến của
1
d
, tức
là
2 1
6 4 5 0
2 2
2 1
6 4
a b
a b
3 2 9
2 3 7
a b
a b
1
3
a
b
1; 3
B
.
Tương tự, giả sử
;
C c d
, ta có hệ
1 3
2 6 0
2 2
1 3
2 1
c d
c d
2 11
2 7
c d
c d
3
5
c
d
3; 5
C
.
Ví dụ 2. Cho tam giác
ABC
có đường trung trực của cạnh
BC
là
: 2 7 0
d x y
và
1; 1
B
.
Tìm tọa độ đỉnh
C
của tam giác.
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
15
Giải
Giả sử
;
C a b
. Ta có trung điểm của
BC
thuộc
d
và
BC
là một véc-tơ pháp tuyến của
d
, tức
là
1 1
2 7 0
2 2
1 1
1 2
a b
a b
2 11
2 1
a b
a b
3
7
a
b
3;7
C .
Ví dụ 3. Cho tam giác
ABC
có phương trình các cạnh
AB
,
AC
lần lượt là
4 3 1 0
x y
và
5 2 7 0
x y
. Biết thêm rằng đường trung trực của cạnh
BC
có phương trình
:5 6 0
d x y
, hãy tìm tọa độ các đỉnh của tam giác
Giải
Điểm
A
là giao điểm của
AB
và
AC
nên tọa độ
A
là nghiệm của hệ
4 3 1 0
5 2 7 0
x y
x y
1;1
A .
Phương trình tham số của đường thẳng
AB
là
1 3
:
1 4
x t
AB
y t
. Điểm
B
thuộc đường thẳng
AB
nên tọa độ có dạng
1 3 ;1 4
B t t
. Tương tự, tọa độ điểm
C
có dạng
1 2 ;1 5
C s s
. Ta có
trung điểm của
BC
thuộc
d
và
BC
là một véc-tơ pháp tuyến của
d
, tức là
3 2 2 4 5 2
5 6 0
2 2
3 2 4 5
5 1
t s t s
t s t s
11 15 4
0
t s
t s
1
1
t
s
1; 3
3; 4
B
C
.
Bài tập
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
16
Dạng 5. Một số bài toán tổng hợp
Một số ví dụ
Ví dụ 1. Cho tam giác
ABC
có
3;4
A , đường cao qua
B
và trung tuyến qua
C
lần lượt là
1
:2 5 13 0
d x y
,
2
: 1
d x
. Tìm tọa độ các đỉnh
B
,
C
của tam giác.
Giải
Đường thẳng
AC
vuông góc với đường cao
1
:2 5 13 0
d x y
nên
AC
nhận véc-tơ pháp
tuyến
2;5
n
làm véc-tơ chỉ phương. Đường thẳng
AC
còn đi qua
A
nên
3 4
:
2 5
x y
AC
:5 2 7 0
AC x y
.
Điểm
C
là giao điểm của đường thẳng
AC
và trung tuyến
2
d
nên tọa độ
C
là nghiệm của hệ
5 2 7 0
1
x y
x
1; 1
C
.
Điểm
B
thuộc đường cao
1
:2 5 13 0
d x y
nên có tọa độ dạng
2 13
;
5 5
B c c
.
Trung điểm của
AB
thuộc trung tuyến
2
d
nên
3
1
2
c
1
c
1;3
B .
Vậy
1;3
B ,
1; 1
C
.
Ví dụ 2. [ĐHB08] Hãy xác định tọa độ đỉnh
C
của tam giác
ABC
biết rằng hình chiếu vuông
góc của
C
trên đường thằng
AB
là
1; 1
H
, đường phân giác trong của góc
A
có phương
trình
– 2 0
x y
và đường cao kẻ từ
B
có phương trình
4 3 –1 0
x y
.
Giải
Nếu
'
H
là điểm đối xứng với điểm
H
qua phân giác trong góc
A
thì
'
H
thuộc đường thẳng
AC
. Giả sử
' ;
H a b
, ta có trung điểm của
'
HH
thuộc phân giác trong góc
A
và véc-tơ
'
HH
là một véc-tơ pháp tuyến của phân giác trong góc
A
, tức là
1 1
2 0
2 2
1 1
1 1
a b
a b
4
2
a b
a b
3
1
a
b
' 3;1
H .
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
17
Cạnh
AC
đi qua
A
và vuông góc với đường cao qua
B
nên
:3 3 4 1 0
AC x y
:3 4 13 0
AC x y
.
Điểm
A
là giao điểm của phân giác trong góc
A
với đường thẳng
AC
nên tọa độ
A
là nghiệm
của hệ
2 0
3 4 13 0
x y
x y
5;7
A .
Đường thẳng
CH
đi qua
H
và nhận
AH
là véc-tơ pháp tuyến nên
: 6 1 8 1 0
CH x y
:3 4 7 0
CH x y
C
là giao điểm của
AC
và
CH
nên tọa độ
C
là nghiệm của hệ
3 4 13 0
3 4 7 0
x y
x y
10 3
;
3 4
C
.
Ví dụ 3. [ĐHA10NC] Cho tam giác
ABC
cân tại
A
có đỉnh
6;6
A , đường thẳng đi qua trung
điểm của các cạnh
AB
và
AC
có phương trình
0
4
x y
. Tìm tọa độ các đỉnh
B
và
C
,
1; 3
E
nằm trên đường cao đi qua đỉnh
C
của tam giác đã cho.
Giải
Giả sử
d
là đường thẳng đi qua trung điểm các cạnh
AB
và
AC
. Lấy
'
A
là điểm đối xứng với
A
qua
d
. Vì
d
là đường trung bình của tam giác nên
'
A
thuộc cạnh
BC
. Tam giác
ABC
cân
tại
A
nên
'
A
còn là trung điểm của
BC
.
Giả sử
' ;
A a b
. Ta thấy trung điểm của
'
AA
thuộc
d
và
'
AA
là một véc-tơ pháp tuyến của
d
,
do đó
6 6
4 0
2 2
6 6
1 1
a b
a b
4
a b
a b
2
2
a
b
' 2; 2
A
.
Đường thẳng
BC
đi qua
'
A
và nhận
' 8; 8
AA
làm véc-tơ pháp tuyến nên
: 8 2 2 0
BC x y
: 4 0
BC x y
.
Điểm
B
thuộc đường thẳng
BC
nên tọa độ có dạng
; 4
B b b
. Điểm
C
đối xứng với điểm
B
qua
'
A
nên
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
18
'
'
2 4
2
C A B
C A B
x x x b
y y y b
4;
C b b
.
Vì
E
nằm trên đường cao đi qua đỉnh
C
nên hai véc-tơ
CE
và
AB
vuông góc với nhau, tức là
0
CE AB
5 6 3 10 0
b b b b
2
2 12 0
b b
0
6
b
b
.
Suy ra
0; 4
B
,
4;0
C hoặc
6;2
B ,
2; 6
C
.
Ví dụ 4. [ĐHD10Chuẩn] Cho tam giác
ABC
có đỉnh
3; 7
A
, trực tâm là
3; 1
H
, tâm
đường tṛòn ngoại tiếp là
2;0
I . Xác định toạ độ đỉnh
C
, biết
C
có hoành độ dương.
Giải
Cạnh
BC
nhận
0;6
AH
là m véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình dạng :
BC y m
(
BC
không đi qua
A
nên
7
m
). Các điểm
B
,
C
thuộc đường thẳng
BC
nên tọa độ có dạng
;
B b m
,
;
C c m
. Vì
I
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
nên
IB IC IA
, do đó
hoành độ của cả
B
và
C
đều thỏa mãn phương trình
2
2
2 74
x m
2
2
2 74
x m
.
Phương trình nói trên có hai nghiệm
x
phân biệt khi và chỉ khi
2
74 0
m
74
m .
Khi đó phương trình có các nghiệm là
2
1,2
2 74
x m
. Chú ý rằng
C
có hoành độ dương
nên
2
2 74 ;
B m m
và
2
2 74 ;
C m m
.
H
là trực tâm tam giác
ABC
nên hai véc-tơ
CH
và
AB
vuông góc với nhau, do đó
0
CH AB
2 2
5 74 5 74 1 7 0
m m m m
2
4 21 0
m m
3
7
m
m
.
Vì
7
m
nên
3
m
suy ra
2 65;3
C
.
Ví dụ 5. [ĐHA02] Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
,
BC
:
3 3 0
x y
,
A
và
B
thuộc
trục hoành , bán kính đường tròn nội tiếp bằng
2
. Tìm tọa độ trọng tâm
G
của tam giác
ABC
.
Giải
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
19
x
C
B
O
A
B
là giao điểm của
BC
với
Ox
nên tọa độ
B
là
nghiệm của hệ
3 3 0
0
x y
y
1;0
B .
Điểm
C
thuộc đường thẳng
BC
nên có tọa độ dạng
; 3 1
C c c
.
A
là hình chiếu của
C
lên
Ox
nên
;0
A c
.
Ta có
1;0
AB c
1
AB c
;
0; 3 1
AC c
3 1
AC c
.
Tam giác
ABC
vuông tại
A
nên
2 2
2 1
BC AB AC c
.
Nếu ký hiệu
p
,
S
,
r
lần lượt là nửa chu vi, diện tích và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác
thì
3 3
1
2 2
AB CB CA
p c
,
2
. 3
1
2 2
AB AC
S c
1
3 1
c
S
r
p
.
Từ giả thiết
2
r
, ta có
1
2
3 1
c
2 3 3
2 3 1
c
c
2 3 3;0
2 3 3;6 2 3
2 3 1;0
2 3 1; 6 2 3
A
C
A
C
7 4 3 6 2 3
;
3 3
1 4 3 6 2 3
;
3 3
G
G
.
Vậy
7 4 3 6 2 3
;
3 3
G
hoặc
1 4 3 6 2 3
;
3 3
G
.
Bài tập
Bài 1. Viết phương trình các cạnh của tam giác
ABC
biết
4; 1
C
, đường cao và trung tuyến
kẻ từ cùng một đỉnh có phương trình lần lượt là
1
:2 3 12 0
d x y
và
2
: 2 3 0
d x y
.
Đáp số: Giả sử
1 2
d d A
.
:9 11 5 0
AB x y
,
:3 2 10 0
BC x y
,
:3 7 5 0
CA x y
.
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
20
Bài 2. [CĐ09Chuẩn] Cho tam giác
ABC
có
1;2
C , đường trung tuyến kẻ từ
A
và đường cao
kẻ từ
B
lần lượt có phương trình
5 9 0
x y
và
3 5 0
x y
. Tìm toạ độ các đỉnh
A
và
B
.
Đáp số:
1;4
A ,
5;0
B .
Bài 3. [ĐHD09] Cho tam giác
ABC
có
2;0
M là trung điểm cạnh
AB
. Đường trung tuyến
và đường cao đi qua
A
có phương trình lần lượt là
7 2 3 0
x y
và
6 4 0
x y
. Viết
phương trình đường thẳng
AC
.
Đáp số:
8
15
m
.
Bài 4. [ĐH11BNC] Cho tam giác
ABC
có đỉnh
1
;1
2
B
. Đường tròn nội tiếp tam giác
ABC
tiếp xúc với các cạnh
BC
,
CA
,
AB
lần lượt tại các điểm
D
,
E
,
F
. Cho
3;1
D và đường
thẳng
EF
có phương trình
3 0
y
. Tìm tọa độ đỉnh
A
, biết
A
có tung độ dương.
Đáp số:
13
3;
3
A
.
