Hướng dẫn chi tiết giải bài tập động học chất điểm

I. CÂU HỎI ÔN TẬP
1. Hệ qui chiếu là gì? Tại sao có thể nói chuyển động hay đứng yên có tính chất tương
đối? Cho ví dụ.
2. Phương trình chuyển động là gì? Quỹ đạo chuyển động là gì? Nêu cách tìm phương
trình quỹ đạo. Phương trình chuyển động và phương trình quỹ đạo khác nhau như thế
nào?
3. Phân biệt vận tốc trung bình và vận tốc tức thời? Nêu ý nghĩa vật lý của chúng.
4. Định nghĩa và nêu ý nghĩa vật lý của gia tốc? Tại sao phải đưa thêm khái niệm gia tốc
tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến?
5. Từ định nghĩa gia tốc hãy suy ra các dạng chuyển động có thể có.
6. Tìm các biểu thức vận tốc góc, gia tốc góc trong chuyển động tròn, phương trình
chuyển động trong chuyển động tròn đều và tròn biến đổi đều.
7. Tìm mối liên hệ giữa các đại lượng a, v, R, ω , β , at, an trong chuyển động tròn.
8. Nói gia tốc trong chuyển động tròn đều bằng không có đúng không? Viết biểu thức
của gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến trong chuyển động này.
9. Chuyển động thẳng biến đổi đều là gì? Phân biệt các trường hợp: a = 0, a >0, a< 0.
10. Thiết lập các công thức tính toạ độ, vận tốc của chất điểm trong chuyển động thẳng
đều, chuyển động thẳng biến đổi đều.
11. Khi vận tốc không đổi thì vận tốc trung bình trong một khoảng thời gian nào đó có
khác vận tốc tức thời tại một thời điểm nào đó không? Giải thích.

II. BÀI TẬP MẪU
Bài 1: Một ô tô chuyển động thẳng nhanh dần đều, đi qua hai điểm A và B cách nhau
20m trong thời gian t = 2s. Vận tốc của ô tô khi qua điểm B là 12 m/s. Tìm:
a) Gia tốc của chuyển động và vận tốc của ô tô khi đi qua điểm A.
b) Quãng đường mà ô tô đi được từ điểm khởi hành đến điểm A.
Giải:
⎧ AB = 20m
⎪
Cho ⎨t = 2s
⎪v = 12m / s

⎩ B

⎧a ?
⎪
Tìm ⎨v A ?
⎪s ?
⎩ A

a) Từ phương trình chuyển động thẳng biến đổi đều ta có:
a=

vB − v A
hay vA = vB − at
t

(1)

Chọn gốc thời gian là lúc ô tô qua điểm A, phương trình chuyển động của ô tô:
AB =

1 2
at + v At
2

(2)


Từ (1) và (2) ta có:
a=

2(vB .t − AB ) 2(12.2 − 20)
=
= 2 (m / s 2 )
t2
22

v A = vB − at = 12 − 2.2 = 8 (m / s )

b) Vì vận tốc ô tô lúc khởi hành v0 = 0 nên ta có:
v A = a.t A
2

1
1 ⎛v ⎞
1 v A2 1 82
s A = a.t A2 = a. ⎜ A ⎟ =
= . = 16 (m)
2
2 ⎝ a ⎠
2 a 2 2

Bài 2: Trong mặt phẳng thẳng đứng Oxy, một chất điểm có phương trình chuyển động:
⎧ x = v0 cosα .t
⎪
⎨
gt 2
=
−
sin
α

.
y
v
t
⎪
0
⎩
2

(1)
(2)

α là góc không đổi đã cho, v0 > 0, g > 0.
a) Tìm quỹ đạo, vận tốc và gia tốc của chất điểm?
b) Tìm bán kính cong của quỹ đạo ứng với lúc t = 0 và lúc chất điểm lên cao nhất.
Giải:

y

a) - Quỹ đạo:

JJG
v0

Rút t từ phương trình (1) ta có:
t=

x
v0 cosα

Thay t vào phương trình (2) ta được:

A

J JG
vA

α

O

x
Hình 1

2

y = v0 sin α

x
g⎛ x ⎞
gx
− ⎜
⎟ = xtgα − 2 2
v0 cosα 2 ⎝ v0 cosα ⎠
2v0 cos α

Quỹ đạo là một đường parabol (hình 1).
- Gia tốc:
Ta có: ax = 0, ay = -g

2

G

=> Gia tốc toàn phần: a = g, vectơ gia tốc a hướng thẳng đứng xuống dưới.
- Vận tốc:
Lấy đạo hàm bậc nhất theo thời gian các biểu thức (1) và (2) ta được:
dx
= v0 cosα
dt
dy
= v0 sin α − gt
vy =
dt
vx =


=>

v = vx2 + v y2 =

b) Từ công thức: an =

( v cos α ) + ( v
2
0

2

0

sin α − gt )

v2
v2
=> R =
an
R

2

G

Để xác định R cần phải xác định an. Phân tích a thành hai thành phần theo các
đường tiếp tuyến và pháp tuyến của quỹ đạo. Chú ý rằng vận tốc hướng theo đường tiếp
tuyến, lúc đầu t = o thì:
vx = v0 cosα
v y = v0 sin α
G
=> v = vx2 + v y2 = v0 và v làm với trục Ox một góc α , đường pháp tuyến là trục
G
tương ứng vuông góc, chiếu a lên phương pháp tuyến ta có:
an = acosα = gcosα

Vật lúc đầu quỹ đạo có bán kính cong là:
R=

v02
gcosα

Lúc chất điểm lên cao nhất, tương ứng với điểm A trên hình vẽ (tức là khi vy = 0,
vận tốc toàn phần lúc này bằng vận tốc nằm ngang và có trị số v = vx = v0 cosα ), đường
JG

pháp tuyến của quỹ đạo trùng với phương của gia tốc g và ta có:
an = a = g
Vậy tương ứng quỹ đạo có bán kính cong là: R =

(v0 cosα )2 v02 cos 2α
=
g
g

Bài 3: Một viên đạn được bắn lên với vận tốc 800 m/s hợp với phương ngang một góc
300.
a) Viết phương trình chuyển động của y
viên đạn.
JJG
v0
b) Cho biết dạng quỹ đạo của viên đạn.
c) Tính thời gian mà viên đạn bay từ
α = 300
thời điểm ban đầu đến thời điểm chạm đất.

O

d) Xác định tầm xa của viên đạn.
Hình 2
e) Tính độ cao lớn nhất mà viên đạn đạt được.
f) Xác định bán kính cong của quỹ đạo ở thời điểm viên đạn đạt độ cao lớn nhất.

Coi sức cản của không khí là không đáng kể, gia tốc trọng lượng g = 9,81m/s2

x


Giải:
⎧ - Phương trình chuyển động
⎪ - Dạng quỹ đạo
⎪
Tìm ⎨
⎪- t = ?
⎪⎩ - x = ?, y = ?, R = ?
max
max

⎧ v 0 = 800 m / s 2
⎪
0
⎪
Cho ⎨ α = 30
⎪ g = 9,81 m / s 2
⎪⎩ sức cản không đáng kể

Khi viên đạn bay ra khỏi nòng súng, một mặt nó tiếp tục chuyển động theo quán
G

JG

tính, mặt khác nó chuyển động dưới sức hút của quả đất với gia tốc a = g (gia tốc rơi tự
do) hướng thẳng đứng từ trên xuống. Do đó, chuyển động của viên đạn sẽ là chuyển động

cong.
Để khảo sát chuyển động của viên đạn, ta chọn hệ toạ độ vuông góc Oxy. Gốc 0 là
điểm mà viên đạn bắt đầu chuyển động, trục Ox nằm ngang, trục Oy thẳng đứng.
a) Viết phương trình chuyển động.
Chuyển động của viên đạn có thể coi là tổng hợp hai chuyển:
+ Chuyển động theo phương Ox là chuyển động đều vì ax = 0.
Vận tốc theo phương Ox là: vx = v0x = v0cosα .
Phương trình chuyển động theo phương Ox là: x = vx t = (v0 cosα ).t
+ Chuyển động theo phương Oy là chuyển động biến đổi đều với gia tốc ay = - g.
Vận tốc ban đầu theo phương Oy là: v0y = v0 sin α .
=> Phương trình vận tốc theo phương Oy: vy = v0y + ayt= v0sin α - gt
1
2

Phương trình chuyển động theo phương Oy là: y = (v0 sin α ).t − gt 2
Do đó phương trình chuyển động của viên đạn là:
⎧ x = (v0 cosα ).t
⎪
⎨
1 2
⎪⎩ y = (v0 sin α ).t − 2 gt

(1)
(2)

b) Dạng quỹ đạo: Khử t ở hai phương trình (1) và (2) ta được phương trình quỹ đạo.
y=−

g .x 2
+ (tgα ).x

2v02 cos 2α

=> Quỹ đạo của viên đạn là một đường parabol, có bề lõm quay xuống.
c) Khi viên đạn đạt đến điểm cao nhất thì vy = 0 tức là:
vy = v0sin α - gt = 0
=> Thời gian để viên đạn đạt đến điểm cao nhất:
t=

v 0 sin α
800 .sin 300
=
= 40,7(s)
9,81
g


Từ điểm cao nhất đến khi chạm đất, viên đạn phải bay một thời gian bằng thời gian
từ lúc viên đạn bắt đầu bay đến khi đạt điểm cao nhất. Do đó thời gian chuyển động của
viên đạn là:
t’ = 2t = 2.40,7 = 81,4(s)
d) Gọi tầm bay xa của viên đạn là Sx. Theo phương ngang viên đạn bay với vận tốc
không đổi:
vx = v0cos α = 800.cos300 = 694(m/s)
=> Tầm bay xa (tức quãng đường mà viên đạn bay theo phương ngang) sẽ là:
Sx = vxt’ = 694.81,4 = 5,65.104 (m)

e) Biết thời gian mà viên đạn cần để đạt tới điểm cao nhất là t = 40,7s, nên độ cao lớn
nhất mà viên đạn đạt được sẽ bằng:
1
2

ymax = (v0 sin α ).t - gt2
= (800.0,5). 40,7 G

1
9,81(40,7)2 = 8100 (m)
2

f) Ở điểm cao nhất gia tốc toàn phần a trùng với gia tốc pháp tuyến nên:
an = g =
=> Bán kính cong: R =

v 2 vx2
=
(vì ở điểm này vy = 0, v = vx)
R R
v x2
(694) 2
=
= 4,91.104 (m)
g
9,81

III. BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 1. Tìm phương trình quỹ đạo của chất điểm biết phương trình chuyển động của nó
có dạng sau:
a) x = Rcosωt ;
b) x = 2sin

πt

3

;

y = R sin ω t

y = 3cos

πt
3

c) x = a (sin ωt + cosωt ) ; y = b(sin ωt − cosωt )
d) x = 3t ; y = - 4t2 + 4
Trong đó a, b, R, ω là những hằng số, t là biến số thời gian.
.
Đáp số: a) Đường tròn x2 + y2 = R2
x2 y2
b) Đường elip:
+ =1
4 9

c) Đường elip:

x2 y 2
+ =1
a 2 b2

d) Một nhánh của parabol (x > 0): y = - x2 + 4

Bài 2. Một xe chạy theo đường thẳng từ A đến B với vận tốc v1 = 40 km/h, rồi lại chạy
từ B trở về A với vận tốc v2 = 30 km/h. Tính vận tốc trung bình của xe trên quãng đường
khứ hồi đó.
Hướng dẫn: Dùng định nghĩa về vận tốc trung bình vtb =

S1 + S 2
t1 + t2

Đáp số : v =

2v1 . v 2
=34,3 (km/h)
v1 + v 2

Bài 3. Một hành khách đứng ở sân ga xe lửa (đứng ngang đầu trước của toa xe thứ nhất)
nhận thấy rằng khoảng thời gian để toa thứ nhất chạy qua hết 4 giây. Coi xe lửa chuyển
động nhanh dần đều với vận tốc ban đầu bằng không.
a) Xác định khoảng thời gian để xe lửa đi qua được n toa xe (các toa xe có chiều dài
bằng nhau)?
b) Khoảng thời gian để toa thứ n đi qua là bao nhiêu?
Đáp số: a) tn = 4 n (s)
b) ∆t = 4( n − n − 1) (s)
Bài 4. Một động tử chuyển động với gia tốc không thay đổi và đi được quãng đường
giữa A và B trong 6 giây. Vận tốc khi đi qua A là 5 m/s, khi đi qua B là 15 m/s. Tính
chiều dài quãng đường AB.
Đáp số: AB = 60m.
Bài 5. Một vật rơi tự do từ độ cao h = 19,6 m.
a) Tính thời gian để vật rơi hết độ cao đó.
b) Tìm những quãng đường mà vật đi được trong 0,1 giây đầu và trong 0,1 giây cuối.
c) Tính thời gian để vật rơi được 1m đầu tiên và 1m cuối cùng của độ cao. Không kể

ma sát của không khí. Cho g = 9,8m/s2
Hướng dẫn và đáp số: a) t = 2s
b) h1 = 4,9cm (tìm quãng đường đi được trong 1,9 giây đầu, từ
đó suy ra quãng đường đi được trong 0,1 giây cuối).
h2 = 191cm
c) t1 = 0,45s
d) t2 = 0,05 s
Bài 6. Một chuyển động thẳng lần lượt qua 2 quãng đường bằng nhau, mỗi quãng đường
dài s = 10m, với gia tốc không đổi a. Vật đi được quãng đường thứ nhất trong thời gian


t1= 1,06s và quãng đường thứ hai trong thời gian t2 = 2,2s. Tính gia tốc a và vận tốc v0 của
vật ở đầu quãng đường thứ nhất. Từ đó suy ra đặc điểm chuyển động của vật.
Hướng dẫn và đáp số: Viết phương trình chuyển động thẳng biến đổi đều (có gia tốc,
vận tốc ban đầu) cho hai quãng đường, được hai phương trình hai ẩn.
a =

2s (t 2 − t1 )
= - 3,1m/s2
t 1 t 2 (t 1 + t 2 )

v0 = 11,1m/s
(Chuyển động chậm dần đều)
Bài 7. Từ đỉnh một tháp cao h = 25 m ta ném một hòn đá theo phương nằm ngang với
vận tốc ban đầu v0 = 15 m/s.
a) Thiết lập phương trình chuyển động của hòn đá.
b) Suy ra dạng quỹ đạo của hòn đá.
c) Tính thời gian hòn đá rơi từ đỉnh tháp xuống mặt đất.
d) Tầm xa (theo phương ngang) của nó.
e) Tính vận tốc và gia tốc tiếp tuyến, gia tốc pháp tuyến của nó lúc chạm đất.

Coi ma sát của không khí là không đáng kể; g = 9,8 m/s2.
Hướng dẫn và đáp số: Chọn hệ toạ độ có gốc là chân của đỉnh tháp, trục tung là
đường thẳng đứng hướng xuống, trục hoành nằm ngang.
a) x = v0 t, y =
b) y =

1 2
gt
2

g
. x2, dạng parabol.
2v 02

c) Cho y = h, suy ra t = 2, 26 s
d) 33,9m
e) v = 26,7m/s, at =

dv
= 8,1m/s2, an = 5,6m/s2
dt

Bài 8. Một máy bay bay ngang ở độ cao 2000m so với mặt đất với vận tốc 360 km/s để
ném một quả bom vào mục tiêu M trên mặt đất.
a) Lập phương trình quỹ đạo của bom.
b) Sau bao lâu bom chạm đất. Để bom trúng mục tiêu thì phi công cần phải thả bom
khi còn cách mục tiêu một đoạn bằng bao nhiêu theo phương nằm ngang?
c) Tìm vận tốc của bom khi chạm đất.
Đáp số: a) Một nhánh parabol y =
b) tM = 20 (s)

1
x2
2592.107


Thả bom cách mục tiêu một đoạn 72.105 (m)
c) vM = 360 (km/s)
Bài 9. Từ một độ cao h = 2,1m, ta ném một hòn đá lên cao với vận tốc ban đầu v0,
nghiêng một góc α = 450 so với phương ngang. Hòn đá đạt được tầm xa l = 42m. Tính:
a) Vận tốc ban đầu của hòn đá.
b) Thời gian hòn đá chuyển động.
c) Độ cao lớn nhất mà hòn đá đạt được.
Đáp số: a) 19,8m/s
b) 3s
c) ymax = 12m
Bài 10. Trong nguyên tử Hyđrô, ta có thể coi êlectrôn chuyển động tròn đều xung quanh
hạt nhân với bán kính quỹ đạo là R = 0,5.10- 8cm và vận tốc của êlectrôn trên quỹ đạo là v
= 2,2.108cm/s. Tìm:
a) Vận tốc góc của êlectrôn.
b) Thời gian êlectrôn quay được một vòng quanh hạt nhân.
c) Gia tốc pháp tuyến của êlectrôn.
Đáp số: a) 4,4.1016 rad/s
b) 1,4.10-16 s
c) 9,7.1022 m/s2
Bài 11: Vệ tinh nhân tạo đầu tiên (do Liên Xô cũ phóng ngày 4/10/1957) chuyển động
tròn đều quanh Trái Đất với vận tốc v = 8 km/s và có chu kì quay T = 1 giờ 36 phút hay
5750 giây. Tâm của đường tròn quỹ đạo vệ tinh trùng với tâm Trái Đất. Cho biết bán kính
Trái Đất R = 6370 km. Xác định độ cao của vệ tinh nhân tạo (khoảng cách từ mặt đất đến
vệ tinh).

Đáp số: h ≈ 967,58 (km)
Bài 12. Một bánh xe bán kính 10 cm lúc đầu đứng yên, sau đó quay tròn quanh trục của
nó với gia tốc 3,14

rad
. Hỏi sau giây đầu tiên:
s2

a) Vận tốc góc của bánh xe là bao nhiêu?
b) Vận tốc dài, gia tốc tiếp tuyến, gia tốc pháp tuyến và gia tốc toàn phần của một
điểm trên vành bánh xe là bao nhiêu?
Đáp số: a) α = β .t = 3,14rad/s
b) v = 0,314 m/s
at = 0,314m/s2
an = 0,986m/s2


Bài 13. Hai vật được ném cùng một lúc dưới những góc khác nhau đối với phương nằm
ngang và với những vận tốc ban đầu khác nhau. Hãy chứng minh rằng trong lúc chuyển
động thì vận tốc tương đối của chúng là không đổi về cả độ lớn và phương.
Hướng dẫn và đáp số: Tìm các thành phần của các vectơ vận tốc trên hai trục toạ độ
vuông góc rồi tính các thành phần của vận tốc tương đối giữa chúng trên hai trục ấy.
Bài 14. Một đĩa tròn bán kính R lăn không trượt ở vành ngoài của một đĩa cố định khác
có bán kính 2R. Muốn lăn hết một vòng quanh đĩa lớn thì đĩa nhỏ phải quay mấy vòng
quanh trục của nó?
Đáp số: 3 vòng
Bài 15. Một vật nặng được treo vào một quả khí cầu đang lên cao với vận tốc không đổi
nào đó. Đột nhiên ta cắt đứt dây treo. Xét xem vật nặng sẽ chuyển động như thế nào? Bỏ
qua sức cản không khí (xem quả khí cầu bay thẳng đứng).
Hướng dẫn và đáp số: Vật nặng sẽ chuyển động như khi ta ném nó ở độ cao của khí

cầu có vận tốc của khí cầu và theo phương của khí cầu.