Tiểu luận Cơ kết cấu nâng cao_Cao học xây dựng_ Đại học Bách khoa TP.HCM_PGS.TS Bùi Công Thành

TIỂU LUẬN CƠ KẾT CẤU NÂNG CAO

GVHD: PGS.TS BÙI CÔNG THÀNH

ĐỀ BÀI:
A. PHẦN LÝ THUYẾT:
Câu 8: Limit Analysis là gì? Áp dụng cho bài toán tấm tròn chịu uốn. Thí dụ.
Câu 14: Trình bày quy luật chảy dẻo kết hợp với tiêu chuẩn chảy dẻo Mohr Coulomb.
B. BÀI TOÁN DẦM:
1/ Tính vị trí trục trung hòa đàn hồi và trục trung hòa dẻo của tiết diện đã cho. Suy ra
mômen giới hạn đàn hồi M e và mômen chảy dẻo M p ứng với lúc tiệt diện bị chảy
dẻo hoàn toàn.
2/ Phân tích đàn dẻo bằng phương pháp ma trận độ cứng (hoặc PTHH) theo sơ đồ và
dữ kiện được phân công. Từ đó suy ra hệ số tải trọng giới hạn, gh .
3/ Vẽ biểu đồ quan hệ giữa hệ số tải trọng  - chuyển vị của K khi  tăng từ 0  gh .
4/ Tìm tải trọng giới hạn bằng phương pháp tổ hợp cơ cấu.
5/ Nhận xét – Kết luận.
SƠ ĐỒ TÍNH VÀ TIẾT DIỆN
2P0

P0

q

h

0

K
L2 /2

L1

L2 /2

L1

b

DỮ KIỆN
Kích thước dầm và tải trọng ban đầu
STT

L1(m)

9

1.9

L2(m) q0(kN/m) P0(kN)
2.6

2.1

7

Tiết diện
STT

Loại

4

4

b(mm) t(mm) h(mm)
350

---

600

p = 350 MPa, E = 200 GPa
C. BÀI TOÁN TẤM CHỊU UỐN:
Yêu cầu: Xác định tải trọng giới hạn cho các tấm tròn hoặc vành khăn chịu uốn theo
số liệu được phân công.
DỮ KIỆN
Dữ kiện hình học

Dữ kiện về tiêu chuẩn chảy dẻo

STT

a(m)

b(m)

STT

9

3.2

1.6

4

Tresca

Von Mises
+

1


TIỂU LUẬN CƠ KẾT CẤU NÂNG CAO

GVHD: PGS.TS BÙI CÔNG THÀNH

SƠ ĐỒ TÍNH

b
a

q

q
b
a

b

a

2


TIỂU LUẬN CƠ KẾT CẤU NÂNG CAO

GVHD: PGS.TS BÙI CÔNG THÀNH

BÀI LÀM
A. PHẦN LÝ THUYẾT:
Câu 8: Limit Analysis là gì? Áp dụng cho bài toán tấm tròn chịu uốn. Thí dụ.
Khái niệm Limit Analysis:
L thuyết phân tích tr c tiếp tải trọng giới hạn -Limit Analysis là một lý thuyết gi p ta
t m được tải trọng giới hạn khi kết cấu đạt đến trạng thái phá hủy mà kh ng c n phải trải
qua các ước trung gian.
hư ch ng ta đã iết việc phân tích kết cấu đàn dẻo cho đến khi phá hủy à một quá
tr nh phức tạp do phải tiến hành từng ước với những gia tải nh của tải trọng. iệc phân
tích kể tr n cho ph p ta hiểu iết được toàn ộ quá tr nh phát triển iến dạng dẻo nhưng
kh ng có ợi v mặt tính toán.
Chính vì thế, Limit Analysis là một hướng rất th c dụng. Nó đã cung cấp cho ngư i k
sư một phương pháp đơn giản để t m trị số của tải trọng giới hạn kh ng ch ằng phương
pháp đơn giản mà còn à cơ s cho việc thiết kế k thuật. hiệm vụ của thuyết này à t m
tr c tiếp tải trọng giới hạn khi kết cấu chịu tác dụng của tải trọng gia tăng một cách t ệ
th ng qua một hệ số gọi à hệ số tải trọng load factor).
X t một vật thể

ằng vật iệu cứng dẻo

tư ng có các i n động học thu n nhất

ằng tr n Su). iả s đ u ti n vật iệu cân ằng dưới tác dụng của các
S gia tải được gọi à t ệ nếu tăng từ từ như t nh sao cho :

c f 10 và t10

fi =  fi 0

(8.1)

ti =  t i

(8.2)

0

ui

trong đó  à hệ số tải trọng f 10 và t10 n ượt à c thể tích và tải trọng mặt an đ u.
Khi  đủ ớn một số v ng nào đó trong vật thể chảy dẻo và sau đó phát triển d n d n
cho đến khi h nh thành cơ cấu. Tải trọng khi đó gọi à tải trọng giới hạn tương ứng với hệ
số tải trọng giới hạn  i.
n ch
rằng tải trọng giới hạn t m được ằng thuyết phân tích tr c tiếp tải trọng
giới hạn sẽ khác với tải trọng phá hủy dẻo thật s ảy ra trong kết cấu. đây ta ch tính tải
trọng giới hạn tr n một kết cấu tư ng mà tr n đó iến dạng có thể tăng n mãi trong khi
tải trọng giữ nguy n kh ng đổi. i u này khó ảy ra với kết cấu th c. o vậy việc tính
toán ằng thuyết phân tích tr c tiếp tải trọng giới hạn d a tr n giả thiết sau :
ật iệu được em như dẻo tư ng ngh a à
qua s tái n và m m hoá.

iến dạng của kết cấu được em à
: các thay đổi v h nh học của kết cấu tải
trọng giới hạn à kh ng đáng kể v thế dạng h nh học của kết cấu em như kh ng
đổi trong quá tr nh iến dạng
iả thiết iến dạng
cho ph p s dụng nguy n c ng khả d được em à ch a khoá
để chứng minh các định v giới hạn. Phương tr nh c ng khả d có dạng :

t
s

s
i

u ik dS   f i s u ik dV    ijs  ijk dV
v

(8.3)

v

3


TIỂU LUẬN CƠ KẾT CẤU NÂNG CAO

GVHD: PGS.TS BÙI CÔNG THÀNH

trong đó t is , f i s ,  ijs ) à tập hợp các trư ng

c và ứng suất th a đi u kiện cân ằng còn các

trư ng u ik ,  ijk ) th a đi u kiện tương thích.
Ta có thể thay thế các trư ng tương thích kể tr n ằng các trư ng vận tốc tương ứng
u ,  ik ) trong đó dấu chấm tượng trưng cho đạo hàm theo th i gian. hi đó phương tr nh
k
i

công khả d thành phương tr nh c ng suất khả d và có dạng :

t
s

s
i

u ik dS   f i s u ik dV    ijs ijk dV
v

(8.4)

v

ác phương pháp d ng cận tr n cận dưới d a tr n cơ s hai định giới hạn cơ ản sẽ
cho các cận tương ứng của tải trọng giới hạn mà trư ng hợp tổng quát ch cho giá trị g n
đ ng của tải trọng giới hạn. iệc áp dụng các định
này đưa đến việc nghi n cứu các
trư ng ứng suất tốc độ iến dạng và chuyển vị.
Áp dụng cho bài toán tấm tròn chịu uốn:
Áp dụng cho bài toán tấm hình tròn chịu tác dụng của tải trọng đối xứng.

a) Ứng suất suy rộng và phương trình vi phân cân bằng
Xét một ph n t tấm tròn vi phân như h nh 8.1.

rz
r


z


r 
r

e



dR
R

(a)Ứng suất
M

Q+dQ
q
Mr+dMr

Q
d

Mr
M
dR

(b)Ứng suất suy rộng
Hình 8.1. Ứng suất và ứng suất suy rộng trong ph n t tấm tròn
Do tính chất đối xứng của tấm và tải trọng nên các ứng suất cắt  r    r  0 .
4


TIỂU LUẬN CƠ KẾT CẤU NÂNG CAO

GVHD: PGS.TS BÙI CÔNG THÀNH

Mặt khác tấm m ng, t số giữa b dày tấm và án kính R em như rất nh nên các ứng
suất  z và  rz kh ng đáng kể so với  r và   .
hư vậy trạng thái ứng suất của tấm tròn là trạng thái ứng suất phẳng với  r và   là
các ứng suất chính.
Các ứng suất suy rộng của bài toán tấm tròn chịu uốn là M r và M 
e /2

Mr 

  zdz

(8.5)

r

 e /2

e /2

M 

  zdz

(8.6)

 e /2

Do tính chất đối xứng, ch có một thành ph n l c cắt Q xuất hiện
e /2

Q  Qr 



rz

(8.7)

dz

 e /2

và thành ph n l c cắt này kh ng được xem là ứng suất suy rộng mà ch là phản l c c n thiết
cho phương tr nh vi phân cân ằng:
d
( RQ )   PR
dR

d
( RM r )  M   RQ
dR

(8.8)
(8.9)

Chú ý: các phương tr nh vi phân căn ằng kể trên ch có giá trị đối với tấm m ng trong
phạm vi lý thuyết biến dạng nh sao cho thành ph n ứng suất theo phương z có thể b qua
so với các ứng suất uốn. Tuy nhiên, tấm kh ng được quá m ng sao cho chuyển vị w xem
như nh so với b dày tấm. hi đó tính chất tuyến tính của lý thuyết uốn vẫn còn đảm bảo.
b) Quan hệ động học
.

.

2 w .
1 w .
 r   2 ,  
,  R  0
R
R R
.

.

(8.10)

.

trong đó  r và   là những độ cong chính do tính đối xứng.
c) Tiêu chuẩn chảy dẻo
Do tính chất đối xứng, các mômen M r và M  là các mômen chính.
Theo tiêu chuẩn Tresca:
max( M r , M , M r  M )  M p

(8.11)

Theo tiêu chuẩn von Mises:
M r2  M2  M r M  M p2

(8.12)

d) Năng lượng tiêu tán chảy dẻo trên một đơn vị diện tích
.

.

.

D  M r  r  M 

(8.13)

Theo tiêu chuẩn Tresca và định luật phối hợp phương tr nh 8.13) tr thành
5


TIỂU LUẬN CƠ KẾT CẤU NÂNG CAO
.

D

GVHD: PGS.TS BÙI CÔNG THÀNH

.
.
1
M p ( r    r   )
2

(8.14)

Theo tiêu chuẩn von Mises và định luật phối hợp phương tr nh 8.13) tr thành
D

2M P
r2  2  r
3

(8.15)

Ví dụ:
Xác định tải trọng giới hạn cho tấm tròn chịu uốn như h nh 8.2

H nh 8.2. Sơ đồ tấm tròn
a) Xác định cận dưới:
Xem tải trọng tập trung q tr n v ng án kính

tương đương với tải trong tập trung P, ta

có:

q
-

P
 b2

Khi r ≤ b:
d
(rV )  qr
dr
1
=> rV   qr 2  C1
2
Do V = 0 tại r = 0 nên C1  0

1
1 P 
=> rV   qr 2    2  r 2
2
2  b 
d
1
(rM r )  M  rV   qr 2  M 
dr
2
Áp dụng đi u kiện biên tại r = 0, ta có:
6

TIỂU LUẬN CƠ KẾT CẤU NÂNG CAO

Mr  M p 
-

GVHD: PGS.TS BÙI CÔNG THÀNH

qr 2
P r2
 Mp  2
6
b 6

Khi r > b:

Phương trính cân ằng: rV  

P
2

d
P
(rM r )  M   rV  M  
dr
2
P
=> rM r  M  r 
r c

2
Trong đó c à hằng số kết hợp được ác định b i đi u kiện liên tục của M r , tại r = b:

M
M

r b

r b

2
P
 P b
 Mp  2   Mp 
6
 b  6
P c
 Mp 

6 b

Pb
3
Mặt khác đi u kiện biên tại r = a là M r  0 .

=> c 

M pa 

2 M p

P
Pb
a
 0 => P  
2 b 
2
3
1  
3 a 

b) Xác định cận trên :
Khi tải trọng tập trung tại tâm của tấm, ta có công suất ngoại:
.

.

W E  P w0

Khi tải trọng là phân bố trên toàn tấm:
.
.
1
1 .
W E  q( a 2 ) w 0  P w 0
3
3
Với tải trọng phân bố tr n đư ng tròn án kính như ài toán ta có:
.
 a b .  1
b . 

 2b .
W E  q b2 
w 0   q b2  w 0   P 1 
w0
 a
 3
a

 3 a
ăng ượng chảy dẻo trên một đơn vị diện tích :
.

.

D = Mr .  r + M  .  
Theo tiêu chuẩn Tresca và định luật phối hợp phương tr nh tr n được viết thành :
.

D

.
.
1
M p ( r    r   )
2

Với giả định r  0 , ta có :
.

D  M p 

7


TIỂU LUẬN CƠ KẾT CẤU NÂNG CAO

r  

GVHD: PGS.TS BÙI CÔNG THÀNH

2w
0
R 2

.

 w  C1 R  C2
.

ác đi u kiện i n đối với w là
.

R = a w0
.

.

R = 0  w  w0
Suy ra
.
.

aR
w  w0 

 a 

.

.

.

1 dw
1 wo wo
  
  .

R dR
R
a
Ra
.

ăng ượng tiêu tán dẻo trên toàn bộ diện tích
 . 
.
wo 
WI   D.dA   M p .  .dA  M p  
2 R.dR  2 M p wo
0  Ra 



.

a

Cho WI  WE ta có:
.
 2b .
2. M p wo  P 1 
 w0
 3 a

=> P  

2 M p
 2b
1 

 3 a

Ta thấy cận dưới và cận trên trùng nhau, vậy giá tải trọng tới hạn là:
2 M p


exact
P P P



 2b

1 

 3 a

8


TIỂU LUẬN CƠ KẾT CẤU NÂNG CAO

GVHD: PGS.TS BÙI CÔNG THÀNH

Câu 14: Trình bày quy luật chảy dẻo kết hợp với tiêu chuẩn chảy dẻo Mohr Coulomb.
Trong các ứng dụng của phương pháp phân tích tải trọng giới hạn, một số loại vật liệu
có tính ma sát
t ng đất đá …) được tư ng hóa như vật liệu đàn – dẻo tư ng và
tuân theo tiêu chuẩn chảy dẻo Mohr Coulomb.
B mặt chảy dẻo của tiêu chuẩn chảy dẻo Mohr Coulomb là một hình chóp sáu mặt
kh ng đ u nhau, trong mặt phẳng độ lệch là hình lục giác kh ng đ u nhau như h nh:

1
d
1 (m,0,-1)

d2 (m,-1,0)
A

B
d6 (0,m,-1)

d3 (0,-1,m)

3

2
d5 (-1,m,0)

d4 (-1,0,m)

Hình 14.1 .Luật chảy dẻo kết hợp với mặt chảy dẻo Mohr Coulomb
Hàm chảy dẻo là:
1

1  sin 
1  sin 
3
1
2c cos 
2c cos 

Trong đó:  là góc ma sát trong và c là l c dính
ặt
2c cos 
f c' 
1  sin 
2c cos 
ft ' 
Và
1  sin 
Công thức (14.1) tr thành:
1  3

f c'



ft '

(14.1)

(14.2)
(14.3)

1

(14.4)

Rõ ràng, f c' à cư ng độ chịu nén dọc trục và ft ' à cư ng độ chịu kéo dọc trục
Gọi m là hệ số t lệ cư ng độ giữa f c' và ft '
m

f c' 1  sin 

ft ' 1  sin 

hi đó c ng thức 14.4) được thu gọn thành:
m 1   3  f c'

(14.5)
với  1   2   3

(14.6)

ể ác định biểu thức của các gia số biến dạng dẻo (d 1p , d  2p , d  3p ) , ta c n xem xét riêng
cho a trư ng hợp sau:
9


TIỂU LUẬN CƠ KẾT CẤU NÂNG CAO

GVHD: PGS.TS BÙI CÔNG THÀNH

Trường hợp 1:
iểm ứng suất chảy dẻo nằm trên mặt phẳng b mặt của hình tháp. Cụ thể ta xét mặt
phẳng cạnh AB ( xem hình 14.1) với  1   2   3 và biểu thức (14.6) th a mãn.
Theo luật chảy dẻo kết hợp, từ 14.6) ta ác định được các gia số biến dạng dẻo:
 p
df
 md 
d 1  d 
d

1

 p
df
0
d  2  d 
d 2

 p
df

 d 
d  3  d 
d 3


với d   0

(14.7)

Hay viết dạng thu gọn,
(d 1p , d  2p , d  3p )  d  (m, 0, 1)

với d   0

(14.8)

ối với năm mặt còn lại của hình tháp, ta có thể ác định tương t bằng cách thay đổi
thứ t các ứng suất chính  1 ,  2 và  3 . Kết quả được thể hiện trên hình 14.1
Chú ý, gia số biến dạng thể tích chảy dẻo là
d  vp  d 1p  d  2p  d  3p  d  (m  1)
Khi m 

(14.9)

f c'
 1 , biểu thức (14.9) ch ra rằng mô hình vật liệu tính toán theo tiêu chuẩn
ft '

Mohr Coulomb kết hợp luật chảy dẻo luôn d áo ượng giản nỡ thể tích chảy dẻo, ngoại
trừ trư ng hợp đặt biệt khi m = 1, biểu thức (14.9) sẽ tr v mô hình tính theo tiêu chuẩn

chảy dẻo Tresca.
Từ biểu thức (14.9), ta có thể phân chia tổng gia số biến dạng dẻo chính thành hai ph n:
ph n biến dạng nén
(14.10)
 d cp  d 
và ph n bi n dạng kéo

 d

p
t

 m.d 

Kết quả này vẫn đ ng cho các mặt còn lại của h nh tháp. hi đó ta có
 d  tp  m
 d cp

(14.11)

(14.12)

và
d  vp   d  tp   d  cp

Tiếp theo ta

t đến gia số công chay dẻo theo định ngh a ta có
dWp  1d1p   2d 2p   3d 3p  (1m   2 )d 

Thay biểu thức (14.6) và (14.10) vào (14.14)
dWp  fc'  d  cp

(14.13)
(14.14)
(14.15)

hoặc
dWp 

f c'
 d  tp
m

(14.16)
10


TIỂU LUẬN CƠ KẾT CẤU NÂNG CAO

GVHD: PGS.TS BÙI CÔNG THÀNH

Trường hợp 2:
iểm ứng suất chảy dẻo nằm trên các cạnh của hình tháp, cụ thể xét cạnh tại điểm A
( em h nh 14.1). hi đó  1   2   3 và hai mặt phẳng
m 1   3  f c'

và
m 1   2  f c'

giao nhau. Trong trư ng hợp này vector gia số biến dạng dẻo là tổ hợp tuyến tính cùa hai
gia số biến dạng dẻo trên hai mặt phẳng đang t
(d 1p , d  2p , d  3p )  d 1 (m, 0, 1)  d 2 (m, 1, 0)
 (d 1  d 2 )m, d 2 , d 1 

(14.17)

Vector biến dạng này nằm giữa hai vector pháp tuyến của hai mặt phằng k nhau.
Quan hệ tương t có thể t m được cho năm cạnh còn lại của hình tháp.
Từ biểu thức (14.17), suy ra gia số biến dạng thể tích chảy dẻo là
d  vp  m(d 1  d 2 )  (d 1  d 2 )
(14.18)
Biểu thức (14.18) là tổng của hai thành ph n: thành ph n biến dạng nén
 d cp  d 1  d 2
và thành ph n biến dạng kéo

 d

p
t

 m.(d 1  d 2 )

Và ta suy ra được kết quả như 14.13)
d  vp   d  tp   d  cp
Có thể thấy rằng d  vp  0 khi m  1 và biểu thức (14.12) và (14.13) vẫn đ ng.
Bằng cách dẫn giải tương t như iểu thức (14.14), ta có thể có được gia số công chảy
dẻo trong trư ng hợp 2 như sau
dWp  ( 1m   3 )d 1  ( 1m   2 )d 2

 fc' (d 1  d 2 )  fc'  d cp

(14.19)

Trường hợp 3:
iểm ứng suất chảy dẻo trùng với đ nh của h nh tháp nơi giao nhau của sáu b mặt hình
tháp. Bằng cách dẫn giải tương t như iểu thức (14.17), ta có thể suy ra giá trị của các gia
số biến dạng dẻo d  ip .
Trong trư ng hợp này, biểu thức (14.13) vá (14.15) vẫn đ ng.

11


TIỂU LUẬN CƠ KẾT CẤU NÂNG CAO

GVHD: PGS.TS BÙI CÔNG THÀNH

2P0

P0

q

h=600

B. BÀI TOÁN DẦM:

0

K

1,9m

1,3m

1,3m

1,9m

b=350

H nh .1 Sơ đồ tính và tiết diện tính toán
1/ Tính vị trí trục trung hòa đàn hồi và trục trung hòa dẻo của tiết diện đã cho. Suy ra
mômen giới hạn đàn hồi M e và mômen chảy dẻo M p ứng với lúc tiệt diện bị chảy
dẻo hoàn toàn.
Xác định trục trung hòa dẻo và mômen chảy dẻo Mp:
-

Diện tích tiết diện tam giác trên hình b.1
F

1
1
bh  35  60  1050 cm2
2
2

bp

h=600

p
yp

Trục trung hòa
dẻo

yG1
yG2

p
b=350

Hình b.2 Vị trí trục trung hòa dẻo
-

Trục trung hòa chảy dẻo phải chia tiết diện thành hai ph n có diện tích bằng nhau
y
35 2
1
F

y p  1050
y pb p 
60
2
h
2
 yp 

 bp 

-

1050  60
 30 2  42.43 cm
35

y pb
h



42.43  35
 24.75 cm
60

M đun uốn dẻo
Ta có:

12


TIỂU LUẬN CƠ KẾT CẤU NÂNG CAO

yp

GVHD: PGS.TS BÙI CÔNG THÀNH

42.43
 14.14 cm

3
3
2
2 1
1
2
h  y p  .bp   h  y p   b  bp 

2b  bp
3
2
yG 2  2
 h  yp 
3(b  bp )
 h  y p  .bp   h  y p  12 b  bp 
2  35  24.75
 yG 2  (60  42.43)
 9.29 cm
3(35  24.75)
yG1 



Suy ra:
Z

-

F
1050

( yG1  yG 2 ) 
(14.14  9.29)  12300.75 cm3
2
2

Mômen chảy dẻo Mp
M p   p .Z  350 103 12300.75 106  4305.26 kN.m
Xác định trục trung đàn hồi và mômen giới hạn đàn hồi Me:
Trục trung hòa đàn hồi nằm
2
2
h  60  40 cm
3
3

h=600

ye 

vị trí

y=400
e

-

Trục trung hòa
đàn hồi
b=350

Hình b.3 Vị trí trục trung hòa đàn hồi
-

Mômen chống uốn đàn hồi

bh3 35  603

 210000 cm4
36
36
I 210000
W  
 5250 cm3
2
C
60
3
I

-

Mômen giới hạn đàn hồi Me
Me   p .W  350 103  5250 106  1837.5 kN.m

13


TIỂU LUẬN CƠ KẾT CẤU NÂNG CAO

GVHD: PGS.TS BÙI CÔNG THÀNH

2/ Phân tích đàn dẻo bằng phương pháp ma trận độ cứng (hoặc PTHH) theo sơ đồ và dữ
kiện được phân công. Từ đó suy ra hệ số tải trọng giới hạn, gh .
Bước 1: Phân tích đàn hồi trên dầm đã cho
R i rạc hóa kết cấu
- Kết cấu d m được r i rạc thành 5 ph n t thanh và 6 điểm nút, các chuyển vị tại
các n t được đánh số như h nh vẽ b.4
7kN
14kN
2.1kN.m

K
1,9m

1,3m

1

5

3
1

1,3m

7

2
4

2
1,9m

3

9
4

6
1,3m

1,9m

8
1,3m

11
5

10

0,95m

12

0,95m

Hình b.4 R i rạc hóa kết c u d m
Ma trận độ cứng ph n t

 K e

-

12
 L3



 EI 



 dx


6
L2
4
L

12
L3
6
 2
L
12
L3


6 
L2 

2 
L 
6 
 2
L 
4 

L 

Ph n t 1: L =1.9 m
1.75 1.662 1.75 1.662 

2.105 1.662 1.053 

K

EI
 1

1.75
1.662 


2.105 
 dx

-

Ph n t 2 và 3: L =1.3 m

 K 2   K 3
-

5.462 3.55 5.462 3.55 

3.077 3.55 1.538 
 EI 

5.462 3.55


3.077 
 dx

Ph n t 4 và 5: L =0.95 m

14


TIỂU LUẬN CƠ KẾT CẤU NÂNG CAO

 K 4   K 5

GVHD: PGS.TS BÙI CÔNG THÀNH

13.996 6.648 13.996 6.648 


4.211 6.648 2.105 

 EI

13.996 6.648


4.211 
 dx

Ma trận độ cứng tổng thể
Ghép nối các ma trận độ cứng ph n t và áp đặt đi u kiện biên
v1  v2  v7  v11  0

Ta có được ma trận độ cứng tổng thể như sau:
0
0
0
0 
7.212 1.888 5.462 3.55

5.182 3.55 1.538
0
0
0
0 


10.924
0

3.55
0
0
0 


6.154 1.538
0
0
0 

 K   EI 
7.287 6.648 2.105
0 


27.992
0
6.648 


dx
8.241 2.105


4.211


ectơ tải ph n t

P1  0

P2  P3

P4  P5

Pn  14
T

 qL 
 2 


2
 qL   1.365 
 12  0.296 



  qL   1.365
 2   0.296 
 2 
 qL 
 12 
 qL 
 2 


2
 qL  0.998




 0.158
  12   

  qL  0.998
 2   0.158 
 2 
 qL 
 12 
0 7 0 0 0 0 0

T

ectơ tải tổng thể

P

T

 15.365 0.296 9.73 0 0.138 1.996 0 0.158

T

Phương tr nh cân ằng l c nút
15


TIỂU LUẬN CƠ KẾT CẤU NÂNG CAO

GVHD: PGS.TS BÙI CÔNG THÀNH

 K v  P
0
0
0
0   v3  15.365
7.212 1.888 5.462 3.55

5.182 3.55 1.538
0
0
0
0   v4   0.296 


10.924
0
3.55
0
0
0   v5   9.73 

  

6.154 1.538
0
0
0   v6   0 


EI
 


7.287 6.648 2.105
0   v8   0.138 


27.992
0
6.648  v9   1.996 

  


dx
8.241 2.105 v10   0 


4.211 v12   0.158 


Chuyển vị tại các nút
 v3 
11.679
v 
 4.54 
 4



 v5 
 9.912 
 


 v6  1  6.56 
 


 v8  EI  5.251 
 v9 
 1.728 
 


v10 
 0.731 
v 
 2.325 


 12 

Bước 2: Xác định nội lực nút phần tử theo công thức
-

Ph n t 1
 g1 
1.75 1.662 1.75 1.662 

g 

2.105 1.662 1.053  1
 2

.
   EI

1.75 1.662  EI
 g3 


 g 4 
2.105 
 dx

-

gi   K i vi

 0   12.887 
 0   14.632 

 




11.679  12.887 
 4.54   9.853 

Ph n t 2
 g3 
5.462 3.55 5.462 3.55 
11.679   1.365  1.113
g 


3.077 3.55 1.538  1  5.54   0.296  9.853
 4

. 
   EI




5.462 3.55 EI  9.912   1.365   3.843 
 g5 


 g6 
3.077 
 dx
 6.56  0.296   6.632 

-

Ph n t 3
 g5 

5.462 3.55 5.462 3.55 
9.912   1.365  10.843
g 


3.077 3.55 1.538  1  6.56   0.296   6.632 
 6


EI
. 
 





g
5.462

3.55
0
1.365
EI
7
 

 
  13.573 



 g8 
3.077 
 dx
 5.251  0.296   9.238 

-

Ph n t 4

16


TIỂU LUẬN CƠ KẾT CẤU NÂNG CAO

 g7 
13.996 6.648 13.996 6.648 
g 

4.211 6.648 2.105  1
 8

   EI .

13.996 6.648 EI
 g9 


 g10 
4.211 

 dx

-

 0   0.998   6.857 
 5.251   0.158   9.238 

 
 





 1.728   0.998  4.862 
0.731 0.158  3.671

Ph n t 5
 g9 
13.996 6.648 13.996 6.648 
g 

4.211 6.648 2.105  1
 10 


EI
.
 


13.996 6.648 EI
 g11 


 g12 
4.211 
 dx

-

GVHD: PGS.TS BÙI CÔNG THÀNH

 1.728   0.998  4.862 
 0.731  0.158   3.671

 
 





 0   0.998  2.867 
2.325 0.158  0 

Suy ra hệ số tải trọng tương ứng với các mômen tại các điểm nút 1, 2, 3, 4, 5
4305.26
 294.236
14.632
4305.26


 436.949
9.853
4305.26

 649.165
6.632
4305.26

 466.038
9.238
4305.26

 1172.776
3.671

1 

2

3
4

5

-

Trị số nh nhất của  xảy ra tại nút 1 với 1  294.2 . Do vậy khớp dẻo thứ nhất sẽ
xảy ra tại nút 1

Bước 3: Chuyển vị và nội lực nút phần tử ở giai đoạn này
Chuyển vị và nội l c nút ph n t
giai đoạn này ác định bằng cách nhân kết quả
trong ước 1 và 2 với hệ số 1  294.2 . hi đó ta có
-

Chuyển vị
 v3 
11.679 
 3436.3
v 
 4.54 
1335.8
 4




 v5 
 9.912 
2916.5
 




1  1930.2 
 v6  1  6.56 
 


  294.236 


EI  1544.9 
 v8  EI  5.251 
 v9 
 1.728 
 508.4 
 




v10 
 0.731 
 215.2 
v 
 2.325 
 684.2 




 12 

-

Nội l c ph n t 1

17

TIỂU LUẬN CƠ KẾT CẤU NÂNG CAO

GVHD: PGS.TS BÙI CÔNG THÀNH

 g1   12.887 
 3791.8 
 g   14.632 


 2 

 4305.26 
 
  294.236  

 g3  12.887 
3791.8
 g 4   9.853 
 2899.2 

-

Nội l c ph n t 2
 g3  1.113
 327.4 
 g  9.853



 4 

2899.2 


294.236

  



 g5   3.843 
 1130.7 
 g 6   6.632 
 1951.4 

-

Nội l c ph n t 3
 g5  10.843
 3190.3
 g   6.632 


 6 

1951.4 
 
  294.236  


 g 7   13.573 
 3993.6 
 g8   9.238 
2718.2 

-

Nội l c ph n t 4
 g7   6.857 
 2017.6 
 g   9.238 


 8 

 2718.2 


294.236

  



 g9  4.862 
1430.6 
 g10   3.671
 1080.3

-

Nội l c ph n t 5
 g9   4.862 
1430.6 
 g   3.671


 10  

1080.3 
 
  294.236  

 g11  2.867 
843.6
 g12   0 
 0 

-

ectơ tải trong giai đoạn này

P

T

 15.365 0.296 9.73 0 0.138 1.996 0 0.158  294.236
T

 4520.38 87 2862.57 0 40.54 586.93 0 46.47

T

Bước 4: Khớp dẻo hình thành tại nút số 1, kết cấu thay đổi như hình vẽ
7kN

14kN

2.1kN.m

K
1,9m

1

1,3m

5

3
1

2
4

2
1,9m

1,3m

7
3

6
1,3m

1,9m

9
4

8
1,3m

0,95m

11
5

10

12

0,95m

18


TIỂU LUẬN CƠ KẾT CẤU NÂNG CAO

GVHD: PGS.TS BÙI CÔNG THÀNH

Hình b.5 Kết cấu sau khi khớp dẻo tại nút 1 hình thành
Bước 5: Phân tích đàn hồi với kết cấu thay đổi chịu tải trọng quy chuẩn (hình b.5)
-

Ma trận độ cứng ph n t
Ph n t 1: L =1.9 m
Ph n t 1 có khớp dẻo hình thành

đ u trái do đó ma trận độ cứng có dạng

3
3 
 3
0

3
3
 L
L1
L12 
 1

0
0
0 
 0
 K 1  EI   3 0 3  3 
 L13

L13
L12 


3
3 
 3
0

 L12
L12
L1 
 0.437 0 0.437 0.831 
 0
0
0
0 

 K 1  EI 0.437 0 0.437 0.831


 0.831 0 0.831 1.579 

-

Ph n t 2, 3, 4, 5 giữ nguyên
Ma trận độ cứng tổng thể
Ghép nối các ma trận độ cứng ph n t và áp đặt đi u kiện biên
v1  v7  v11  0

Ta có được ma trận độ cứng tổng thể như sau:
0
0
0
0 
5.899 2.719 5.462 3.55

4.656 3.55 1.538
0
0
0
0 


10.924
0
3.55
0
0
0 


6.154 1.538
0
0
0 

 K   EI 
7.287 6.648 2.105
0 



27.992
0
6.648 


dx
8.241 2.105


4.211


ectơ tải ph n t vẫn giữ nguy n kh ng đổi
ectơ tải tổng thể vẫn giữ nguy n kh ng đổi
Phương tr nh cân ằng l c nút

 K v  P

19


TIỂU LUẬN CƠ KẾT CẤU NÂNG CAO

GVHD: PGS.TS BÙI CÔNG THÀNH

0
0
0

0   v3  15.365
5.889 2.719 5.462 3.55

4.656 3.55 1.538
0
0
0
0   v4   0.296 


10.924
0
3.55
0
0
0   v5   9.73 
 



6.154 1.538
0
0
0   v6   0 

EI





7.287 6.648 2.105
0   v8   0.138 


27.992
0
6.648  v9   1.996 


 


dx
8.241 2.105 v10   0 


4.211 v12   0.158 


ộ gia tăng chuyển vị tại các nút
 v3 
 24.663
 v 
 2.761 
 4


 v5 
16.885





 v6  1  12.792 





v
 8  EI  8.509 
 v9 
 2.889 




v10 
 1.139 
v 
 3.954 


 12 

Bước 6: Độ gia tăng nội lực trong các phần tử
-

Ph n t 1
 g1 

 0.437
g 
 0
 2


EI


 0.437

g
3



g 4 
 0.831

-

0 0.437 0.831 
0
0
0  1
.
0 0.437 0.831 EI

0 0.831 1.579 

 0   8.492 
    0 

 




24.663 8.892 
 2.761  16.136 

Ph n t 2
 g3 
5.462 3.55 5.462 3.55 
 24663   1.365   5.508 
g 


3.077 3.55 1.538  1  2.761   0.296  16.136
 4

. 

  EI




5.462 3.55 EI 16.885  1.365   8.238 
 g5 



g 6 
3.077 
 dx
 12.792  0.296  7.201 

-

Ph n t 3
 g5 
5.462 3.55 5.462 3.55 
16.885  1.365   15.238
g 

3.077 3.55 1.538  1  12.792   0.296   7.201 
 6


EI
. 








g

5.462

3.55
0
1.365
EI
7



 
  17.968 


 g8 
3.077 
 dx
 8.509  0.296 14.382 

-

Ph n t 4
 g7 
13.996 6.648 13.996 6.648 
 g 

4.211 6.648 2.105  1
 8



  EI .

13.996 6.648 EI
 g9 


g10 
4.211 
 dx

 0   0.998   9.565 
 8.509   0.158  14.382 

 
 





 2.889   0.998   7.57 
1.139 0.158 6.244
20


TIỂU LUẬN CƠ KẾT CẤU NÂNG CAO

-

Ph n t 5

 g9 
13.996 6.648 13.996 6.648 
g 

4.211 6.648 2.105  1
 10 


EI
.



13.996 6.648 EI
 g11 


g12 
4.211 
 dx

-

-

GVHD: PGS.TS BÙI CÔNG THÀNH

 2.889   0.998   7.57 
1.139  0.158   6.244 


 
 





 0   0.998  5.575
3.954 0.158  0 

Suy ra hệ số tải trọng tương ứng với các mômen tại các điểm nút 2, 3, 4, 5
2 

4305.26  2899.2
 87.138
16.136

3 

4305.26  1951.4
 326.9
7.201

4 

4305.26  2718.2
 110.3
14.382

5 

4305.26  1080.3
 516.5
6.244

Trị số nh nhất của  xảy ra tại nút 2 với 2  87.138 . Do vậy khớp dẻo thứ hai sẽ
xảy ra tại nút 2

Bước 7: Phóng đại các độ gia tăng chuyển vị và nội lực trong các phần tử
ộ gia tăng chuyển vị và nội l c nút ph n t
giai đoạn này ác định bằng cách nhân
kết quả trong ước 5 và 6với hệ số 2  81.16 . hi đó ta có
-

Chuyển vị
 v3 
 24.663
 2149.1
 v 
 2.761 
 240.6 
 4




 v5 
16.885
1471.3







1  1114.7 
 v6  1  12.792 



  87.138 



v
8.509
EI
EI  741.4 
8




 v9 
 2.889 
 251.7 







v10 
 1.139 
 99.2 
v 
 3.954 




 344.6 
 12 

-

ia tăng nội l c ph n t 1
 g1   8.492 
 740.01 
g   0 


 2 

 0 


87.138



 



 g3  8.892 
740.01
g 4  16.136 
1406.02 

-

ia tăng nội l c ph n t 2

21


TIỂU LUẬN CƠ KẾT CẤU NÂNG CAO

GVHD: PGS.TS BÙI CÔNG THÀNH

 g3   5.508 
 479.92 
g  16.136 


 4 

1406.02



  87.138  

 g5   8.238 
 717.81 
g6   7.201 
 627.49 

-

ia tăng nội l c ph n t 3
 g5   15.238
 1327.78
g   7.201 


 6 

 627.49 


87.138


 



g 7   17.968 
 1565.66 
 g8  14.382

1253.24

-

ia tăng nội l c ph n t 4
 g7   9.565 
 833.44 
 g  14.382 


 8 

1253.24 


  87.138  

 g9   7.57 
 659.6 
g10  6.244 
544.05

-

ia tăng nội l c ph n t 5
 g9   7.57 
 659.60 
g   6.244 



 10  

 544.05 


87.138


 



 g11  5.575
485.76 
g12   0 
 0 

Bước 8: Độ tích lũy chuyển vị và nội lực trong các phần tử
-

Chuyển vị
 v3 
 3436.3
v 
1335.8
 4


 v5 
2916.5

 


 v6  1  1930.2  1
 


v
1544.9
EI
8
 

 EI
 v9 
 508.4 
 


v10 
 215.2 
v 
 684.2 


 12 

-

 2149.1

5585.4 
 240.6 
1576.4 




1471.3
 4387.8 




 1114.7  1  3044.9 




741.4

 EI  2286.3 
 251.7 
 760.1 




 99.2 
 314.4 
 344.6 

1028.7 





Nội l c ph n t 1
 g1   3791.8   740.01   4531.8 
 g   4305.26   0   4305.26 
 2 
 
 

 



 g3  3791.8 740.01 4531.8
 g 4   2899.2  1406.02   4305.26 

-

Nội l c ph n t 2

22


TIỂU LUẬN CƠ KẾT CẤU NÂNG CAO

GVHD: PGS.TS BÙI CÔNG THÀNH

 g3   327.4   479.92   807.4 
 g  2899.2 1406.02  4305.26
 4 
 
 

 



 g5   1130.7   717.81   1848.5 
 g 6   1951.4   627.49   2578.9 

-

Nội l c ph n t 3
 g5   3190.3  1327.78  4518.1
 g  1951.4   627.49  2578.9
 6 
 
 

 



 g7   3993.6   1565.66   5559.3 
 g8  2718.2 1253.24 3971.4

-

Nội l c ph n t 4
 g 7   2017.6   833.44   2851.1 
 g   2718.2  1253.24   3971.4 
 8 
 
 

 



 g9  1430.6  659.6  2090.2
 g10   1080.3 544.05  1624.3

-

Nội l c ph n t 5
 g9  1430.6   659.60   2090.2 
 g  1080.3   544.05   1624.3 
 10  
 
 

 



 g11  843.6 485.76  1329.4

 g12   0   0   0 

Bước 9: Khớp dẻo hình thành tại nút số 2, kết cấu thay đổi như hình vẽ
7kN

14kN

2.1kN.m

K
1,9m

1

1,3m

5

3
1

2
4

2
1,9m

1,3m

7

3

6
1,3m

1,9m

9
4

8
1,3m

0,95m

11
5

10

12

0,95m

Hình b.6 Kết cấu sau khi khớp dẻo tại nút 2 hình thành
Bước 10: Phân tích đàn hồi với kết cấu thay đổi chịu tải trọng quy chuẩn (hình
b.6)
-

Ma trận độ cứng ph n t

Ph n t 1: L =1.9 m
Ph n t 1 có hai khớp dẻo hình thành

hai đ u do đó ma trận độ cứng có dạng

23


TIỂU LUẬN CƠ KẾT CẤU NÂNG CAO

GVHD: PGS.TS BÙI CÔNG THÀNH

0
0
 K 1  EI 0

0

-

Ph n t 2 có một khớp dẻo hình thành

 K 2

 K 2
-

 3
 L3
 2

 0
 EI  3

 L23

 3
 L2 2

 1.365
 0
 EI 
 1.365

 1.775

0
0
0
0

0
0 
0

0

0
0
0
0

đ u trái do đó ma trận độ cứng có dạng
0 
0
0

3
L23

0
3
L23

0 

3
L2 2

3 
L2 2 

0 

3 
 2
L2 

3 
L2 

0 1.365 1.775 
0
0
0 
0 1.365 1.775

0 1.775 2.308 

Ph n t 3, 4, 5 giữ nguyên
Ma trận độ cứng tổng thể
Ghép nối các ma trận độ cứng ph n t và áp đặt đi u kiện biên, ta có được ma trận
độ cứng tổng thể như sau:
 1.365 1.365
 1.365 6.827

 1.775 1.775
3.55
 K   EI  0
 0
0

0
 0
 0
0


1.775
0
0

0
0 
1.775 3.55
0
0
0 
5.385 1.538
0
0
0 

1.538 7.287 6.648 2.105
0 
0
6.648 27.992
0
6.648 

0
2.105
0
8.421 2.105
0
0
6.648 2.105 4.211

ectơ tải tổng thể

P

T

 15.365 9.73 0 0.138 1.995 0 0.158

T

Phương tr nh cân ằng l c nút

 K v  P

24


TIỂU LUẬN CƠ KẾT CẤU NÂNG CAO

 1.365 1.365
 1.365 6.827

 1.775 1.775

EI  0
3.55
 0
0

0
 0
 0
0


GVHD: PGS.TS BÙI CÔNG THÀNH

1.775
0
0
0
0   v3  15.365
1.775 3.55
0
0
0   v5   9.73 
5.385 1.538
0
0
0   v6   0 
 


1.538 7.287 6.648 2.105
0   v8    0.138 
0
6.648 27.992
0
6.648  v9   1.995 
 


0
2.105

0
8.421 2.105 v10   0 

 

0
0
6.648 2.105 4.211 v12   0.158 

ộ gia tăng chuyển vị tại các nút
 v3 
193.37 
 v 
 78.025 
 5


 v6 
 80.071 

 1 

 v8  
 32.899 
 v  EI  11.578 
 9


v10 
 4.187 

v 


 16.15 
 12 

Bước 11: Độ gia tăng nội lực trong các phần tử
-

Ph n t 1
 g1 
g 
 2

0
 g3 
g 4 

-

Ph n t 2
 g3 
 1.365
g 
 0
 4

  EI 
 1.365


g
 5

g6 
 1.775

-

0 1.365 1.775 
0
0
0  1
.
0 1.365 1.775 EI

0 1.775 2.308 

193.37   1.365   14.0 
       0 

 
 





 78.025   1.365   16.73 
 80.071  0.296  20.27 

Ph n t 3
 g5 
5.462 3.55 5.462 3.55 
78.025  1.365   23.73
g 


3.077 3.55 1.538  1  80.071   0.296   20.27 
 6

. 

  EI




5.462 3.55 EI  0   1.365   26.46 
g 7 


 g8 
3.077 
 dx
 32.899  0.296  52.89 

-

Ph n t 4
 g7 

13.996 6.648 13.996 6.648 
 g 

4.211 6.648 2.105  1
 8


  EI .

13.996 6.648 EI
 g9 


g10 
4.211 
 dx

-

 0   0.998   29.83 
 32.899   0.158   52.89 

 
 





11.578   0.998  27.84

4.187  0.158 25.50

Ph n t 5
25