Phương pháp hiệu chỉnh giải phương trình tích phân tự chập

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN VĂN ĐẮC

PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TỰ CHẬP

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - Năm 2016


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN VĂN ĐẮC

PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TỰ CHẬP

Chuyên ngành:

TOÁN HỌC TÍNH TOÁN

Mã số : 60 46 30

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
GS.TSKH. PHẠM KỲ ANH

Hà Nội - Năm 2016

Lời cảm ơn
Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình,
chu đáo và nghiêm khắc của GS.TSKH. Phạm Kỳ Anh. Thầy đã dành nhiều
thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá
trình làm luận văn. Tôi muốn bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc nhất
đến người thầy của mình. Ngoài những chỉ dẫn về mặt khoa học, sự động viên
và lòng tin tưởng của thầy luôn là động lực để tôi luôn cố gắng trong quá trình
hoàn thiện luận văn.
Qua đây, tôi xin gửi lời cảm ơn tới Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Cơ-Tin học,
các cán bộ Phòng Sau đại học, các thầy cô đã tham gia giảng dạy khóa Cao
học 2010 - 2012 của Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà
Nội đã luôn giúp đỡ, tạo điều kiện về mọi mặt trong quá trình tôi học tập tại
trường.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, những người
đã luôn cổ vũ, động viên tôi trong suốt quá trình học tập cũng như làm luận văn.

Hà Nội, ngày 15 tháng 2 năm 2016
Học viên

Nguyễn Văn Đắc

i


Bảng kí hiệu
hội tụ yếu
→
hội tụ mạnh

F
đạo hàm Fréchet của toán tử F
JF (x1 , x2 , ..., xn ) ma trận Jacobian của F
Range(G)
miền giá trị của toán tử G
C[0, T ]
không gian các hàm liên tục trên [0, T ]
1
C [0, T ]
không gian các hàm khả vi liên tục trên [0, T ]
L2 [0, T ]
không gian các hàm bình phương khả tích Lebesgue trên [0, T ]
1
H0 [0, T ]
Không gian các hàm thuộc W 1,2 [0, T ] có giá compact trên [0, T ].
Lσ,R
cặp không gian L2 [0, T ] với tích vô hướng phụ thuộc R
2 [0, T ]
·, · σ , · σ
tích vô hướng và chuẩn có trọng số σ
·, · σ,R , · σ,R
tích vô hướng và chuẩn có trọng số σ phụ thuộc R
·, · ∞
chuẩn trong không gian L∞
W k,p [0, T ]
không gian Sobolev
·, · , ·
tích vô hướng và chuẩn trong không gian tương ứng
B[yđ , δ]
Hình cầu tâm yđ , bán kính δ

ii


Mục lục

Bảng kí hiệu

i

Lời nói đầu

v

1 Một số kiến thức chuẩn bị

1

1.1

Phép tính vi phân trong không gian tuyến tính định chuẩn . . . .

1

1.1.1

Một số không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.2

Một số khái niệm liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.3

Đạo hàm Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.4

Một số kết quả về phương trình Volterra . . . . . . . . . .

6

1.2

Khái niệm bài toán đặt chỉnh và bài toán đặt không chỉnh . . . .

7

1.3

Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và Lavrent’ev . . . . . . . . . .

9

1.3.1

Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3.2

Phương pháp hiệu chỉnh Lavrent’ev . . . . . . . . . . . . . 12

2 Phương pháp hiệu chỉnh Lavrent’ev giải phương trình với toán
tử gần đơn điệu

15

2.1

Phương pháp hiệu chỉnh và ước lượng sai số . . . . . . . . . . . . . 16

2.2

Phương trình tự chập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3

Thử nghiệm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3 Hiệu chỉnh địa phương cho bài toán tự chập ngược
3.1

26

Phương trình tự chập được hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . 26
iii


MỤC LỤC

3.2

Sự hội tụ và tính đặt chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3

Phép rời rạc hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Kết luận

45

Tài liệu tham khảo

46

iv


Lời nói đầu

Thời gian gần đây, phương trình tích phân

t

x(t − s)x(s)ds = y(t)
0

được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu vì nó xuất hiện trong một số
lĩnh vực khoa học, công nghệ, như trong quang phổ học, hay trong lý thuyết
xác suất thống kê, khi cần khôi phục hàm mật độ của biến ngẫu nhiên nếu biết
kì vọng của hàm mật độ của bình phương biến này. Phương trình trên được gọi
là phương trình tích phân loại 1 dạng tự chập hoặc bài toán ngược tự chập.
Như hầu hết các phương trình tích phân Volterra loại 1, bài toán ngược tự chập
đặt không chỉnh, theo nghĩa một thay đổi nhỏ của dữ liệu có thể dẫn đến sự sai
khác rất lớn của nghiệm, thậm chí làm cho bài toán trở nên vô nghiệm hoặc vô
định. Mặt khác, do các số liệu thường được thu nhập bằng thực nghiệm, qua
đo đạc, quan trắc, vv....và sau đó lại được xử lí trên máy tính nên chúng không
tránh khỏi sai số. Chính vì thế, người ta cần phải có những phương pháp giải
ổn định các bài toán đặt không chỉnh, sao cho khi sai số của dữ liệu càng nhỏ
thì nghiệm xấp xỉ tìm được càng gần với nghiệm đúng của bài toán xuất phát.
Viện sĩ Tikhonov là người khởi xướng các phương pháp giải ổn định bài toán
ngược. Cách tiếp cận của ông là đưa bài toán giải phương trình F (u) = y về bài
toán tìm cực tiểu của các phiếm hàm làm trơn
F (u) − y

2

+ α u − u0

2

và thiết lập sự hội tụ của dãy các điểm cực tiểu tới nghiệm của bài toán ngược

v


Lời nói đầu

ban đầu. Vào những năm 80 của thế kỷ XX, lý thuyết hiệu chỉnh cho bài toán
không chỉnh tuyến tính đã được hoàn thiện. Đến năm 1989, lý thuyết hiệu chỉnh
cho bài toán đặt không chỉnh phi tuyến được phát triển mạnh. Cũng vào thời
gian này, phương pháp biến phân toàn phần hiệu chỉnh được áp dụng trong khử
nhiễu và làm rõ ảnh. Khác với phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov kinh điển,
phiếm hàm cần cực tiểu trong phương pháp biến phân toàn phần hiệu chỉnh nói
chung không khả vi. Bước phát triển tiếp theo của lý thuyết hiệu chỉnh là hiệu
chỉnh không lồi, khi phiếm hàm cần cực tiểu hóa không lồi. Mô hình hiệu chỉnh
không lồi khởi nguồn từ thống kê và lý thuyết lấy mẫu.
Trong trường hợp toán tử F là tuyến tính, tự liên hợp và không âm, bài toán
tìm cực tiểu phiếm hàm làm trơn tương đương với việc giải phương trình
F ∗ F u + αu = F ∗ yδ .

Tuy nhiên, trong trường hợp này, người ta có thể xét phương trình đơn giản hơn
F u + αu = yδ .

Phương pháp tìm nghiệm hiệu chỉnh từ phương trình đơn giản trên gọi là phương
pháp Lavrent’ev (hoặc Lavrentiev). Một số tác giả còn gọi là phương pháp
Browder-Tikhonov, hay phương pháp nhiễu kì dị. Phương pháp Lavrent’ev áp
dụng cho phương trình với toán tử đơn điệu hoặc gần đơn điệu. Đây là phương
pháp khá thích hợp để nghiên cứu bài toán ngược tự chập.
Trong luận văn này chúng tôi tìm hiểu và trình bày hai phương pháp hiệu
chỉnh giải phương trình tích phân tự chập là phương pháp hiệu chỉnh Lavrent’ev
và phương pháp hiệu chỉnh địa phương. Ngoài phần lời nói đầu, kết luận và tài
liệu tham khảo, luận văn được chia thành ba chương:

Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kết quả về phép tính vi phân
trong không gian tuyến tính định chuẩn, khái niệm bài toán đặt chỉnh và bài
toán đặt không chỉnh, phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và Lavrent’ev.
vi


Lời nói đầu

Chương 2: Phương pháp hiệu chỉnh Lavrent’ev giải phương trình với
toán tử gần đơn điệu
Trong chương này, dựa vào bài báo [9] trong mục Tài liệu tham khảo, chúng
tôi trình bày việc thiết lập ước lượng sai số của phương pháp Lavrent’ev để giải
bài toán đặt không chỉnh trong không gian Hilbert với các toán tử phi tuyến
gần đơn điệu theo nghĩa đạo hàm Fréchet tại nghiệm chính xác là accretive. Một
quy tắc tiên nghiệm về việc chọn tham số của phép hiệu chỉnh được trình bày
và tương ứng là ước lượng sai số được thiết lập. Luận văn cũng đề cập tới phép
rời rạc hóa bài toán.
Chương 3: Hiệu chỉnh địa phương
Trong chương này, dựa vào bài báo [4] trong mục Tài liệu tham khảo, chúng
tôi trình bày lí thuyết hiệu chỉnh địa phương cho bài toán ngược tự chập. Đã
chứng minh được sự hội tụ và tính đặt chỉnh của bài toán hiệu chỉnh, cũng như
trình bày đánh giá sai số của phương pháp.
Do thời gian và kiến thức của học viên có hạn, luận văn này không tránh khỏi
sai sót. Rất mong được các thày cô và các bạn học viên góp ý để luận văn được
hoàn thiện.

vii

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị
1.1

Phép tính vi phân trong không gian tuyến tính định chuẩn

1.1.1

Một số không gian định chuẩn

1. Không gian Rnp với x = (x1 , x2 , ..., xn ) và chuẩn
1/p

n

x

p

|xi |p

=
i=1

trong đó p là một số thực bất kì: 1 ≤ p < +∞.
2. Không gian các dãy số lp với phần tử x = (x1 , x2 , ..., xn , ...) và chuẩn
1/p

∞

x

p

|xi |p

=

< ∞.

i=1

3. Không gian các hàm Lp [a, b] trong đó mỗi phần tử là các hàm đo được x(s)
có xp (s) khả tích với chuẩn được xác định như sau
 b
1/p


x

Lp

|x(s)|p

=



< ∞.



a

4. Không gian các hàm x(s) liên tục trên [a, b] và
x

C[a,b]

= max |x(s)|.
s∈[a,b]

5. Không gian Sobolev
Cho Ω là miền giới nội trong Rn và x ∈ C l (Ω) là hàm khả vi liên tục đến
1


Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị

cấp l. Vì Ω là compact, cho nên với mỗi l = 0, 1, 2, ... ta có C l (Ω) ⊂ Lp (Ω).
Do đó ta xác định được chuẩn
x

Wpl (Ω)

=






Dα x
|α|≤l

1/p


p
Lp (Ω) 

,

với mỗi x ∈ C l (Ω), p ≥ 1.
Không gian Sobolev W l,p (Ω) là không gian C l (Ω) được làm đầy đủ trong
chuẩn trên. Ta có
∀x ∈ C l (Ω) : x
1.1.2

Lp (Ω)

≤ x

W l,p (Ω) .

Một số khái niệm liên quan

Định nghĩa 1.1.1. Cho X là không gian Banach thực. Không gian L(X, R) gồm
tất cả các phiếm hàm tuyến tính trên X kí hiệu là X ∗ và gọi là không gian đối
ngẫu của X với chuẩn tương ứng f

X∗

= f

L(X,R)

Định nghĩa 1.1.2. Cho X là không gian Banach thực. Khi đó X gọi là phản
xạ nếu tồn tại một đẳng cấu giữa X và X ∗∗ .
Định lí 1.1.1 (Định lí biểu diễn Riez). Với mọi không gian Hilbert H ta có
H∗

H. Do đó mọi không gian Hilbert đều là không gian phản xạ.
∗

Định nghĩa 1.1.3. Toán tử đa trị F : X → 2X được gọi là toán tử đơn điệu
nếu
x∗ − y ∗ , x − y ≥ 0

∀x, y ∈ X và x∗ ∈ F (x), y ∗ ∈ F (y).

Tập xác định của F là D(F ) = {x ∈ F : F (x) = ∅}.
Ví dụ 1.1.1.
(i) Cho H là không gian Hilbert thực và F : H → H ∗ ≡ H là ánh xạ tuyến tính,
khi đó F đơn điệu nếu và chỉ nếu nó là toán tử dương: F (x), x ≥ 0, ∀x.

2


Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị

(ii) Cho D là tập con khác rỗng của R. Hàm số ϕ : D → R∗ ≡ R là một toán tử
đơn điệu nếu và chỉ nếu ϕ là đơn điệu không giảm, tức là,
[ϕ(t2 ) − ϕ(t1 )](t2 − t1 ) ≥ 0 ∀t1 , t2 ∈ D nếu và chỉ nếu ϕ(t1 ) ≤ ϕ(t2 ) ∀t1 < t2 .

Định nghĩa 1.1.4. Toán tử F : D(F ) ⊂ X → X được gọi là toán tử accretive
nếu
x − y ≤ (x − y) + λ(F x − F y)
1.1.3

∀x, y ∈ D(F ), λ ≥ 0.

Đạo hàm Fréchet

Cho X, Y là hai không gian định chuẩn. F : X → Y, x0 ∈ X, h ∈ X .
Định nghĩa 1.1.5. Toán tử F khả vi (theo nghĩa Fréchet) tại x0 nếu tồn tại
một ánh xạ tuyến tính liên tục A(x0 ) : X → Y sao cho
F (x0 + h) − f (x0 ) = A (x0 ) [h] + φ (x0 , h)

trong đó lim

h →0

φ(x0 ,h)
h

= 0.

Khi đó
(i) A(x0 )[h] gọi là vi phân Fréchet của toán tử F tại x0 . Kí kiệu là dF (x0 , h) =

A(x0 )[h].

(ii) Toán tử A(x0 ) : X → Y xác định bởi h → A(x0 )[h] gọi là đạo hàm Fréchet
của toán tử F tại x0 . Kí kiệu là F (x0 ) = A. Vậy dF (x0 , h) = F (x0 )[h].
Định lí 1.1.2. Một toán tử xác định trên một tập con mở của không gian Banach
là khả vi Fréchet tại một điểm thì nó liên tục tại điểm đó.
Chứng minh. Cho A là một tập mở trong không gian Banach X . Toán tử F :
A → Y . Lấy x ∈ A và ε > 0 thỏa mãn x + h ∈ A, h < ε thì
F (x + h) − F (x0 ) = Ah + φ(x, h) → 0 khi h → 0.

Suy ra F liên tục tại x.
3


Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị

Định lí 1.1.3. (Tính duy nhất của đạo hàm Fréchet ) Đạo hàm của một toán
tử nếu có là duy nhất.
Chứng minh. Giả sử A, B là 2 toán tử tuyến tính liên tục, cùng là đạo hàm của
toán tử F : X → Y tại X , nghĩa là:
F (x + h) − F (x) = A (x) [h] + φA (x0 , h) ,

∀h ∈ X,

f (x + h) − F (x) = B (x) [h] + φB (x0 , h) ,

∀h ∈ X.

Từ đó,
A (h) − B (h)

φA (x0 , h) − φB (x0 , h)
=
→ 0 khi h → 0.
h
h

Ta có ∀k ∈ X và ∀ε > 0 thì

A(k)−B(k)
k

=

A(εk)−B(εk)
εk

→ 0 (khi ε → 0 thì εk → 0)

nên vế phải → 0. Suy ra A (k) = B (k) , ∀k ∈ X ⇒ A ≡ B.
Định lí 1.1.4. Cho X, Y là hai không gian Banach thực. Nếu G : X → Y là khả
vi Fréchet tại x ∈ X và F : Y → Z khả vi Fréchet tại y = G (x) thì φ = F ◦ G khả
vi Fréchet tại x và φ (x) = F (G (x)) .G (x).
Chứng minh. ∀x, h ∈ X , ta có
φ (x + h) − φ (x) = F [G (x + h)] − F [G (x)]
= F [g (x + h) − G (x) + G (x)] − F [G (x)]
= F (d + y) − F (y) ,

trong đó d = G (x + h) − G (x).
Do φ (x + h) − φ (x) − F (y) d = O ( d ), trong biểu diễn của d − G (x) h =
O ( h ). Ta có

φ (x + h) − φ (x) − f (y) .G (x) .h = O ( h ) + O ( d ) .

Khi đó g liên tục tại x, theo Định lí 1.3.1 ta có
d = O ( h ) ⇒ φ (x) h = F [G (x)] .G (x) .h.

4


Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị

Ví dụ 1.1.2.
Nếu F : R → R thì đạo hàm, vi phân Fréchet trùng với khái niệm đạo hàm
và vi phân theo nghĩa thông thường.
Ví dụ 1.1.3.
Nếu F : Rn → R, x0 = x01 , x02 , ..., x0n , h = (h1 , h2 , ..., hn ) ∈ Rn .
Vi phân Fréchet của f tại x0 là:

n
0

df x , h =
i=1

∂F x0
hi =
∂xi

∂F
∂F
∂F

x0 ,
x0 , ...,
x0
∂x1
∂x2
∂xn






h1
h2
.
hn







= A x0 [h] .

Ví dụ 1.1.4.
Nếu F : Rn → Rm , x0 = x01 , x02 , ..., x0n , h = (h1 , h2 , ..., hn ) ∈ Rn , f (x) =
(F1 (x) , F2 (x) , ..., Fn (x) ).

Vi phân Fréchet của F tại x0 là:



∂F1 0 ∂F1 0
∂F1 0
x
x
...
x
 ∂x1
∂x2
∂xn
 ∂F2
∂F2 0
∂F2 0
0
dF x0 , h = 
x
...
x
 ∂x1 x
∂x2
∂xn
 ∂F
∂Fm 0
∂Fm 0
m
x0
x
...
x

∂x1
∂x2
∂xn
= JF (x1 , x2 , ..., xn )(x0 )[h] = A x0 [h] .








h1
h2
.
hn







Định nghĩa 1.1.6. Nếu F : X → Y khả vi Fréchet trên tập mở A ⊂ X và F
khả vi Fréchet tại x ∈ A thì F được gọi là khả vi Fréchet cấp hai tại x. Đạo hàm
Fréchet của F tại x gọi là đạo hàm Fréchet cấp hai của F . Kí hiệu là F (x).
Ví dụ 1.1.5.
Cho F : Rn → R, x0 = x01 , x02 , ..., x0n , h = (h1 , h2 , ..., hn ) ∈ Rn . Đạo hàm
Fréchet cấp 2 của f tại x0 là:
F

x0 , h =

∂ 2f
x0 hi hj .
∂x
∂x
i
j
i,j=1
n

5


Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị

1.1.4

Một số kết quả về phương trình Volterra

Trong phần này, dựa vào bài báo [14] ta trình bày một số khái niệm và kết
quả liên quan tới phương trình Volterra như sau.
Xét phương trình Volterra vô hướng
t

x (t) = −

g(x(τ ))a(t − τ )dτ + f (t)

(x(0) = x0 ; 0 ≤ t < ∞),

(1.1)

0

Trong (1.1) ta giả sử
a(t)e−σt ∈ L1 (0, ∞)
f (t) ∈ L1 (0, ∞),

∀ σ > 0,

g(x) ∈ C(−∞, ∞).

Đặt Π = {s ∈ C : Re s > 0} và xác định
∞

x

G(x) =

g(u)du,

e−st a(t)dt

a
ˆ(s) =

0

(s ∈ Π),

0

U (iτ ) = lim inf Re a
ˆ(s)
s→iτ s∈Π

Bởi U (iτ ), τ = +∞, ta xác định

(−∞ ≤ τ ≤ ∞);

lim inf

σ→0+,η→+∞

Re aˆ(σ + iη), tương tự tại τ = −∞,

ta xác định U0 (iτ ) = lim inf Re aˆ(σ + iη).
σ→0+

Định nghĩa 1.1.7. Một hàm thực a(t) ∈ L1loc (0, ∞) là dương nếu
T

t

v(τ )a(t − τ )dτ dt ≥ 0

v(t)
0

(1.2)

0

với mọi v ∈ C[0, ∞) và với mọi T > 0.
Định nghĩa 1.1.8. Một hàm thực a(t) ∈ L1loc (0, ∞) là dương mạnh nếu tồn tại
một hằng số η > 0 sao cho b(t) = a(t) − ηe−t là dương.
Định lí 1.1.5. Các mệnh đề sau là tương đương
(i) a(t) là dương;
(ii) Re aˆ(s) ≥ 0 (s ∈ Π);
(iii) U (iτ ) ≥ 0 (−∞ ≤ τ ≤ ∞).
6


Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị

Hệ quả 1.1.1. Nhân a(t) là dương mạnh nếu và chỉ nếu a(t) là dương và tồn
tại η > 0 sao cho
U0 (iτ ) ≥

η
1 + τ2

h.k. (−∞ ≤ τ ≤ ∞).

(1.3)

Hệ quả 1.1.2. Cho a(t) ∈ L1loc (0, ∞) khác hằng số, không âm, không tăng, lồi
và da (t) không phải là độ đo kỳ dị. Khi đó a(t) là dương mạnh.

1.2

Khái niệm bài toán đặt chỉnh và bài toán đặt không chỉnh

Xét phương trình toán tử
F (u) = f,

(1.4)

trong đó F : X → Y là một toán tử từ không gian Banach X vào không gian
Banach Y . Bài toán (1.4) gọi là đặt chỉnh nếu thỏa mãn các điều kiện:
(i) Với ∀f ∈ Y phương trình (1.4) có nghiệm.
(ii) Nghiệm u ở trên là duy nhất.
(iii) Nghiệm u phụ thuộc liên tục vào f .
Bài toán (1.4) gọi là đặt không chỉnh nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên
không thỏa mãn.
Ví dụ 1.2.1 (Hệ đại số tuyến tính với ma trận điều kiện xấu).
Giả sử
Au = f,

(1.5)

là một hệ đại số tuyến tính trong Rn , u, f ∈ Rn , A = (aij )n×n là ma trận điều
kiện xấu, tức là số điều kiện K(A) = A . A−1 lớn. Nếu A suy biến, N (A) = {0}.
Khi đó K(A) = ∞ vì A−1 = ∞. Thật vậy,
A

−1

1
1
A−1 f
=
= ∞,
= sup
= sup
Au
f
f =0
u=A−1 f =0 Au
inf
u
u=0 u
7


Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị

vì nếu N (A) = {0} thì sẽ tồn tại u = 0 để Au = 0.
Bài toán (1.5) là "thực tế đặt không chỉnh" nếu N (A) = {0} nhưng K(A)

1.

Ta có
A−1 ∆f
∆f A−1
∆f
∆u
=

≤
.
= K(A)
−1
−1
u
A f
f A
f

Nếu số điều kiện của ma trận K(A)

1 thì một sai số nhỏ của vế phải có thể

gây ra sai số rất lớn ở nghiệm. Ma trận Hilbert với các phần tử aij =

1
i+j+1 , i, j

=

0, . . . , n có số điều kiện K(A) = O(en ) rất lớn khi n lớn.

Ví dụ 1.2.2 (Bài toán cực tiểu hóa).
Giả sử f (u) ≥ m > −∞ là một phiếm hàm liên tục trong không gian Banach
X. Xét bài toán tìm điểm cực tiểu toàn cục
m = inf f (u).
u

Giả sử điểm cực tiểu toàn cục y tồn tại duy nhất f (y) = m. Khi đó bài toán tìm

cực tiểu toàn cục y là đặt không chỉnh. Thật vậy, xét fδ (u) = f (u) + gδ (u), trong
đó
sup |gδ (u)| ≤ δ.
u∈X

Ta có
inf [f (u) + gδ (u)] ≤ inf f (u) + sup gδ (u) ≤ m + δ,
u

u

và
m − δ ≤ inf f (u) − sup |gδ | ≤ inf [f (u) + gδ (u)].
u

u

Do đó,
m − δ ≤ inf [f (u) + gδ (u)] ≤ m + δ.
u

Như vậy, nhiễu nhỏ của hàm mục tiêu f chỉ dẫn đến nhiễu nhỏ của giá trị
cực tiểu, nhưng nó có thể gây ra nhiễu lớn của điểm cực tiểu. Ví dụ, xét hàm
2

f (x) = − cos x + εx2 e−x , x ∈ R. Hàm f có điểm cực tiểu toàn cục x∗ = 0 và

giá trị cực tiểu toàn cục m = −1. Có thể chọn gδ (x) là hàm liên tục, thỏa mãn
8

Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị

điều kiện sup{|gδ (x)| : x ∈ R ≤ δ}, gδ (0) > 0, sao cho điểm cực tiểu toàn cục của
f (x) + gδ (x) cách x∗ = 0 xa tùy ý.

1.3

Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và Lavrent’ev

1.3.1

Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov

Xét phương trình toán tử
(1.6)

A(x) = y,

Định nghĩa 1.3.1. Toán tử đa trị R(y, α) : Y × R+ → 2X được gọi là toán tử
hiệu chỉnh cho phương trình (1.6) trong lân cận yđ nếu:
(i) Tồn tại δ > 0 sao cho ∀α > 0, ∀y ∈ B[yđ , δ], δ ≤ δ1 thì R(y, α) = ∅.
(ii) Tồn tại α = α(δ) : ∀ε > 0, ∃δ(ε) ≤ δ1 sao cho yδ ∈ B[yđ , δ]. Khi đó ∀xα ∈
R(yδ , α(δ)), ta có d(xα , xđ ) ≤ ε, trong đó xđ là nghiệm đúng của phương

trình (1.6) khi vế phải y = yđ .
Định nghĩa 1.3.2. Phiếm hàm Ω(x) ≥ 0 xác định trên X0 ⊂ X trong đó X 0 = X
được gọi là phiếm hàm ổn định nếu
(i) xđ ∈ X0 , Ω liên tục trên X0 .
(ii) ∀r > 0, X0,r = {x ∈ X0 : Ω(x) ≤ r} là tập compact.

Định nghĩa 1.3.3. Phiếm hàm M α [x, y] = d2 (A(x), y) + αΩ(x) gồm hai thành
phần
(i) Phương sai d2 (A(x), y),
(ii) Ω(x): thành phần ổn định hóa,
được gọi là phiếm hàm làm trơn.
Ta xây dựng toán tử hiệu chỉnh
R(y, α) = {z ∈ X0 : M α [z, y] = min M α [x, y]}.
x∈X0

9


Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị

Định lí 1.3.1. Giả sử A : X → Y là toán tử liên tục. Khi đó
∀y ∈ Y, ∀α > 0 thì R(y, α) = ∅.

Chứng minh. Gọi M0α := inf M α [x, y] và {xαn } ⊂ X0 là dãy cực tiểu, tức là
x∈X0

Mnα

=

M α [xαn , y]

→

M0α

khi n → +∞.

Ta có
Ω(xαn ) ≤

Mnα
.
α

Do dãy số Mnα hội tụ nên bị chặn. Do đó Ω(xαn ) ≤ r. Suy ra dãy {xαn } compact.
Từ đó ta trích được dãy con hội tụ. Không giảm tổng quát coi xαn → xα ∈ X0,r .
Ta có
M0α = lim M α [xαn , y] = d2 (A(xα ), y) + αΩ(xα ) = M α [xα , y]
n→∞

nên xα ∈ R(y, α).
Định nghĩa 1.3.4. Lớp hàm Dini Dδ1 là lớp các hàm liên tục, không âm, không
giảm trên [0, δ1 ].
Định lí 1.3.2. Cho A : X → Y là toán tử 1 − 1 liên tục với xđ là nghiệm duy
nhất của phương trình (1.6) ứng với vế phải y = yđ . Khi đó,
∀ε > 0 và ∀β1 , β2 ∈ Dδ1 sao cho β2 (0) = 0,

δ2
β1 (δ)

≤ β2 (δ) thì ∃δ0 = δ0 (ε, β1 , β2 ) ≤ δ1

2

để ∀˜

y ∈ Y sao cho d(˜
y , yđ ) ≤ δ ≤ δ0 và α ∈ [ β1δ(δ) , β2 (δ)] ta có d(˜
xα , xđ ) ≤ ε, ở đây
x˜α ∈ R(˜
y , α).

Chứng minh. Ta có M α [˜
xα , y˜] = min M α [x, y˜] ≤ M α [xđ , y˜].
x∈X0

Do đó
αΩ(˜
xα ) ≤ M α [˜
xα , y˜] ≤ d2 (A(xđ ), y˜) + αΩ(xđ ) ≤ δ 2 + αΩ(xđ ) = α{

Từ đây suy ra
δ2
+ Ω(xđ ) ≤ β1 (δ) + Ω(Ω(˜
xα )
α
δ2
≤
+ Ω(xđ ) + Ω(xđ ) ≤ β1 (δ1 ) + Ω(xđ ).
α

Ω(˜
xα ) ≤

10

δ2
+ Ω(xđ )}.
α


Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị

Như vậy xα , xđ ∈ X0,r .
Theo Bổ đề Tikhonov A : X0,r → A(X0,r ) là ánh xạ 1-1, liên tục còn X0,r là
compact thì A−1 : A(X0,r ) → X0,r là liên tục.
Đặt y˜α = A(˜
xα ). Ta có
d2 (˜
yα , y˜) = d2 (A(˜
xα , y˜) ≤ M α [˜
xα , y˜] ≤ M [ xđ , y˜] = d2 (A(xđ ), y˜) + αΩ(xđ )
≤ δ 2 + αΩ(xđ ) ≤ δ 2 + β2 (δ)Ω(xđ ) = ϕ2 (δ).

Dễ thấy ϕ ∈ Dδ1 và ϕ(0) = 0 thì
d(˜
yα , yđ ) ≤ d(˜
yα , y˜) + d(˜
y , yđ ) ≤ ϕ(δ) + δ =: ψ(δ).

Ta có ψ ∈ Dδ1 và ψ(0) = 0. Cuối cùng ta thấy
d(˜
xα , xđ ) = d(A−1 (˜
yα ), A−1 (yđ )) → 0

Chú ý 1.3.1.

khi δ → 0.

2

• α ∈ [ β1δ(δ) ; β2 (δ)] là tham số hiệu chỉnh được chọn tiên nghiệm.

Có thể chọn tham số hiệu chỉnh một cách hiệu nghiệm theo nguyên lí độ
lệch Morozov. Vấn đề này sẽ được trình bày trong các chương sau của luận
văn.
• Khi A là toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert H thì phiếm hàm làm

trơn M α [x, y] = Ax−y 2 +α x 2 . Ở đây hàm Ω(x) = x

2

không phải là một

phiếm hàm ổn định. Tuy nhiên có thể chứng minh được rằng xα là điểm cực
tiểu của phiếm hàm làm trơn M α [x, y] khi và chỉ khi nó thỏa mãn phương
trình Euler:
A∗ Axα + αxα = A∗ y.

Nếu A là toán tử đối xứng không âm thì nghiệm hiệu chỉnh theo phương
pháp Lavrent’ev tìm được từ phương trình đơn giản hơn:
Axα + αxα = y.
11


Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị

1.3.2

Phương pháp hiệu chỉnh Lavrent’ev

Cho F : D(F ) ⊆ X → X là toán tử đơn điệu phi tuyến xác định trong không
gian Hilbert thực X với tích vô hướng ·, · và chuẩn · . Chú ý rằng F là toán
tử (đơn trị) đơn điệu nếu nó thỏa mãn hệ thức
F (x) − F (y), x − y ≥ 0,

∀x, y ∈ D(F ).

Ta cần tìm nghiệm xấp xỉ ổn định cho phương trình toán tử đặt không chỉnh
phi tuyến
F (x) = y,

(1.7)

khi dữ liệu y không biết chính xác. Hơn nữa ta giả thiết rằng:
(i) Thay vì có vế phải chính xác y , ta chỉ biết được dữ liệu có nhiễu y δ ∈ X ,
sao cho
y − y δ ≤ δ,

(1.8)

trong đó δ là cấp độ nhiễu đã biết.
(ii) Phương trình (1.7) có một nghiệm xˆ (không nhất thiết là duy nhất).
x) ⊆
(iii) Toán tử F có đạo hàm Fréchet bị chặn đều địa phương F (·) trong Br0 (ˆ
D(F ), r0 ≥ x0 − xˆ và x0 là nghiệm thô tức là xấp xỉ nghiệm.

Vì F là đơn điệu, ta sử dụng phương pháp hiệu chỉnh Lavrent’ev để giải (1.7).
Trong phương pháp này nghiệm hiệu chỉnh xδα thu được từ phương trình toán
tử
F (x) + α(x − x0 ) = y δ .

(1.9)

Phương trình (1.9) có duy nhất nghiệm xδα ∈ Br0 (ˆ
x) ⊆ D(F ), r0 = x0 − xˆ + αδ
với mọi tham số hiệu chỉnh α > 0, và x0 là ước lượng ban đầu của nghiệm xδα .
Phương pháp hiệu chỉnh lặp Bakushinski:
xδk+1 = xδk − (Aδk + αk I)−1 (F (xδk ) − y δ + αk (xδk − x0 )),

12

(1.10)


Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị

với k = 0, 1, 2, ..., trong đó Aδk := F (xδk ) và (αk ) là dãy số thực dương sao cho
lim αk = 0, là xấp xỉ nghiệm cho (1.7). Trong [2] Bakushinsky và Smirnova xét

k→∞

nguyên lý độ lệch suy rộng, tức là
F (xδkδ ) − y δ

2

≤ ρδ < F (xδk ) − y δ 2 ,

0 ≤ k < kδ ,

(1.11)

ρ > 1 để chọn chỉ số dừng kδ và chỉ ra xδkδ → xˆ khi δ → 0 dưới các giả thiết sau:

(i) Tồn tại L > 0 sao cho F (x) − F (y) ≤ L x − y với mọi x, y ∈ D(F ).
(ii) Tồn tại p > 0 sao cho
αk − αk+1
≤ p,
αk αk+1

(iii)

∀k ∈ N.

(1.12)

√
(2 + Lσ) x0 − xˆ td ≤ σ − 2 x0 − xˆ t ≤ dα0 , trong đó σ := ( ρ − 1)2 , t :=
pα0 + 1 và d = 2(t x0 − xˆ + P σ).

Giả thiết 1.3.1. Tồn tại r > 0 sao cho Br (ˆ
x) ⊆ D(F ) và F khả vi Fréchet với
mọi x ∈ Br (ˆ
x) .
Giả thiết 1.3.2. Tồn tại hằng số k0 > 0 sao cho với mọi x, u ∈ Br (ˆ

x) và v ∈ X ,
tồn tại phần tử Φ(x, u, v) ∈ X thỏa mãn
[F (x) − F (u)]v = F (u)Φ(x, u, v),

Φ(x, u, v) ≤ k0 v

x−u ,

(1.13)

với mọi x, u ∈ Br (ˆ
x) và v ∈ X .
Giả thiết 1.3.3. Tồn tại hàm liên tục, đơn điệu tăng thực sự ϕ : (0, a] → (0, ∞)
trong đó a ≥ F (x) thỏa mãn lim ϕ(λ) = 0 và v ∈ X trong đó v ≤ 1 sao cho
λ→0

x0 − xˆ = ϕ(F (ˆ
x))v

(1.14)

và
αϕ(λ)
≤ cϕ ϕ(α),
λ≥0 λ + α

sup

∀λ ∈ (0, a].

(1.15)

Giả thiết 1.3.4. Tồn tại dãy các số thực dương (αk ) sao cho lim αk = 0 và tồn
k→∞

tại µ > 1 sao cho
1≤

αk
≤ µ,
αk+1
13

∀k ∈ N.

(1.16)


Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị

Với các giả thiết trên, trong [13] Mahale và Nair chứng minh rằng xδkδ → xˆ
khi δ → 0 và đạt được ước lượng sai số tối ưu cho xδkδ − xˆ .

14


Chương 2

Phương pháp hiệu chỉnh Lavrent’ev
giải phương trình với toán tử gần

đơn điệu
Phương pháp Lavrent’ev (còn được gọi là phương pháp nhiễu kì dị) là một kĩ
thuật hiệu chỉnh hữu hiệu cho các phương trình Volterra loại một. Ưu điểm của
phương pháp này là bảo toàn cấu trúc tiến hóa tự nhiên của các phương trình
Volterra và do đó dẫn tới các thủ tục số đơn giản và hội tụ nhanh.
Nhiều nhà toán học như Denisov, Asanov, Srazhidinov, Lamm, Gorenflo,
Yammato, Gerlach, Wolfersdorf và Plato... đã nghiên cứu phương pháp Lavrent’ev
và các kĩ thuật bảo toàn cấu trúc cho các phương trình Volterra tuyến tính loại
một.
Srazhidinov đã nghiên cứu phương pháp Lavrent’ev cho các phương trình
Volterra chứa phiếm hàm phi tuyến, Kabanikhin, Janno và Wolfersdorf nghiên
cứu các phương trình đặc biệt với toán tử phi tuyến và Asanov nghiên cứu hệ các
phương trình Volterra phi tuyến. Việc chứng minh sự hội tụ trong các trường
hợp này đều dựa trên ý tưởng phân chia đường chéo của nhân qua việc tích
phân từng phần phương trình kiểu Volterra.
Một kĩ thuật khác có thể sử dụng để nghiên cứu dáng điệu của phương pháp
Lavrent’ev là sử dụng tính đơn điệu. Định lí hội tụ tổng quát của phương pháp

15


Chương 2. Phương pháp hiệu chỉnh Lavrent’ev giải phương trình với toán tử gần đơn điệu

Lavrent’ev giải bài toán với toán tử đơn điệu phi tuyến trong không gian Hilbert
được thiết lập trong [12].
Dựa vào bài báo [9] trong phần này ta trình bày cách thiết lập ước lượng
sai số của phương pháp Lavrent’ev để giải các bài toán đặt không chỉnh trong
không gian Hilbert với các toán tử phi tuyến gần đơn điệu theo nghĩa đạo hàm
Fréchet tại nghiệm chính xác là accretive. Sau đó ta áp dụng kết quả này cho
phương trình Volterra tự chập phi tuyến.

2.1

Phương pháp hiệu chỉnh và ước lượng sai số

Cho X là không gian Hilbert trên trường vô hướng R hoặc C được trang bị
1

một tích vô hướng ·, · và chuẩn tương ứng x = ·, · 2 .
Ta xét bài toán đặt không chỉnh
F (x) = y0

(2.1)

với toán tử F : X → X và một phần tử cho trước y0 ∈ X. Giả sử rằng vế phải y0
được cho gần đúng, nghĩa là ta chỉ biết xấp xỉ yδ ∈ X sao cho
yδ − y0 ≤ δ.

(2.2)

Ta hiệu chỉnh (2.1) bởi phương trình nhiễu kì dị
αx + F (x) = yδ + αx∗ ,

(2.3)

trong đó α > 0 là tham số hiệu chỉnh và x∗ là phần tử trong X . Trong thực tế
x∗ thường được chọn như là xấp xỉ đầu tiên tới nghiệm của (2.1).

Trước hết, ta giới thiệu một số kí hiệu và chứng minh một kết quả bổ trợ. Ta
kí hiệu hình cầu đóng trong X bởi

B[x, r] = {z ∈ X : z − x ≤ r}.

Bổ đề 2.1.1. Cho x0 ∈ X, r > 0, toán tử F khả vi Fréchet trong hình cầu B[x0 , r]
và tồn tại K ≥ 0 sao cho
F (x1 ) − F (x2 ) ≤ K x1 − x2 ,
16

với mọi x1 , x2 ∈ B[x0 , r].

(2.4)