Giáo trình bài tập 6 ontap kngt chg1 5 hdxbao

Nội dung

Lê Quang Nguyên
www4.hcmut.edu.vn/~leqnguyen


1. Vật rắn quay quanh trục cố định
a. Định luật 2 cho chuyển động quay
b. Momen quán tính đối với trục quay
c. Momen lực đối với trục quay
d. Động năng và công trong chuyển động
quay
2. Chuyển động lăn không trượt
3. Bài tập

1a. Định luật 2 cho chuyển động quay

1b. Momen quán tính của vật đối với trục quay

Vật rắn

Định lý momen động:

Lz = I zω

Iz: momen quán tính
của vật đối với z
ω: vận tốc góc

dL
=τ

dt

dLz
=τ z
dt
dω
Iz
=τ z
dt

Định luật 2 cho chuyển
động quay quanh z

z: trục quay

I zα = τ z

α: gia tốc góc
(rad/s2)

‫ܫ‬௭ = ෍ ݉௜ ‫ݎ‬௜ ଶ

(kg.m2)

௜

tổng theo các chất
điểm mi thuộc vật

Khoảng cách từ mi

tới trục quay z


1c. Momen lực đối với trục quay
߬௭ = ෍ ߬௜௭

Bài tập 1.1

Dấu + khi lực Fi quay
vật theo chiều dương

௜

tổng theo các
momen lực τiz

߬௜௭ = ±݈௜ ‫ܨ‬௜

(N.m)

Tìm momen quán tính của một vành tròn
đồng nhất khối lượng M, bán kính R đối với:
(a) trục đối xứng của vành,
(b) trục song song với trục đối xứng, đi qua
một điểm trên vành tròn.

Khoảng cách từ lực
Fi tới trục quay z

Trả lời bài tập 1.1

• Chia vành làm nhiều (b)
phần nhỏ khối lượng dm:

Bài tập 1.2
(a)
dm

Ia = ∫ r 2dm = R 2 ∫ dm = MR2

R

• Định lý Steiner:
d

Ib = ICM + Md

2

(b) // (CM)

• Suy ra:
Ib = Ia + MR 2 = 2MR 2

Momen quán tính
của một số vật
thường gặp.

Xét hệ như hình vẽ.
(a) Tìm momen lực
toàn phần tác động lên

ròng rọc đối với trục
quay, cho T1 = 5 N, R1
= 1 m, T2 = 15 N và R2 =
0,5 m.
(b) Ròng rọc sẽ quay
theo chiều nào?


Bài tập 1.3

Trả lời bài tập 1.2

Xét hệ như hình vẽ.
Mỗi ròng rọc có
momen quán tính I
và bán kính R.
Tìm gia tốc của mỗi
vật và các sức căng
dây.

+

τ z = −R1T1 +R2T2

m1

m2

= −1 × 5 + 0,5 × 15 = 2,5 N .m

τz > 0 ⇒ α > 0

Vật quay theo chiều dương

Trả lời bài tập 1.3 - 1
• Định luật 2 Newton
cho m1 trên y và m2
trên y’:

y’
y

m1a1 = m1 g − T1
m2a2 = T2 − m2 g

T2

T1

m1g

+

• cho hai ròng rọc:

T’
R

m2g
T’

R

Iα = R (T1 − T ′ )
Iα = R (T ′ − T2 )

T1

T2

Trả lời bài tập 1.3 - 2
• Hai vật có gia tốc bằng nhau:
a1 = a2 ≡ a
• Dây không trượt nên vận tốc của một điểm
trên vành ròng rọc = vận tốc vật:
⇒ αR = a
ωR = v
• Ta có hệ phương trình sau:
(1)
m1a = m1 g − T1
m2a = T2 − m2 g
(2)
Ia R 2 = T1 − T ′
(3)
(4)
Ia R 2 = T ′ − T2


Trả lời bài tập 1.3 - 3

1d. Động năng và công

• Lấy tổng các pt (1) – (4) ta được:

• Động năng:

I 

m
+
m
+
2
a = ( m1 − m2 ) g
1
2

2 
R


a=

• Công và công suất:

( m1 − m2 ) g

θ2

W = ∫ τ z dθ

I
m1 + m2 + 2 2
R

θ1

• Thế gia tốc a vào (1), (2) và (3) ta có các sức
căng.

Một thanh dài L, khối
lượng m có thể quay
không ma sát quanh một
trục ngang đi qua O.
Thanh được thả không
vận tốc đầu khi đang nằm
ngang. Tìm:
(a) vận tốc góc khi thanh
ở vị trí thẳng đứng,
(b) vận tốc khối tâm ở vị
trí đó.

1
K = Iω 2
2

r

P = τ zω

Bài tập 1.4

θ

Trả lời bài tập 1.4 - 1
• Vì không có ma sát nên
cơ năng thanh bảo
toàn:

1

∆E = ∆ ( K + U g ) = 0
∆K = K 2 = 12 Iω 2

• Thế năng trọng trường
của thanh:
U g = mgyCM

2
Thế năng trọng
trường của một
vật rắn:
Ug = mgyCM


4b. Trả lời bài tập 4.1 - 2
• Với trục y hướng lên:
∆U g = mg∆yCM = − mgL 2

• Do đó:
∆E = 12 Iω 2 − 12 mgL = 0

⇒ ω=
mL2
I=
3

mgL
I

ω=

3g
L

y

4b. Trả lời bài tập 4.1 - 3
• Giữa vận tốc dài của
một chất điểm của vật
rắn quay và vận tốc góc
có hệ thức:
v = ωr
• r là khoảng cách từ chất
điểm đến trục quay.
• Với khối tâm thì r = L/2:
vCM = ω

Bài tập 1.5
Ròng rọc có bán kính R và
momen quán tính I đối với
trục quay. Lúc đầu hệ được

thả không vận tốc.
Tìm vận tốc dài của hai vật
vào lúc vật 2 xuống được một
khoảng h.

vCM

L 1
=
3 gL
2 2

Trả lời bài tập 1.5
• Cơ năng bảo toàn:
ω

∆E = ∆ ( K + U g ) = 0

• Độ biến thiên động năng:

v

∆K = 12 m1v 2 + 12 m2v 2 + 12 Iω 2
ω=

v
R

1
I 

∆K =  m1 + m2 + 2  v 2
2
R 

v


Trả lời bài tập 1.5 (tt)

2a. Chuyển động lăn của vật rắn

• Độ biến thiên thế năng của hệ là:

• Khối tâm của bánh xe lăn có chuyển động
tịnh tiến.
• Nhưng mỗi điểm trên vành bánh xe lại có
quỹ đạo cycloid.

∆U g = m1 gh − m2 gh

• Suy ra:

(

)

∆E = 12 m1 + m2 + I R2 v 2 + ( m1 − m2 ) gh = 0
v=

2( m2 − m1 ) gh

m1 + m2 + I R 2

Lưu ý về hệ thức v = ωr

2b. Vận tốc của khối tâm
• Xét bánh xe lăn không
trượt,
• Khi một điểm trên vành
đi được một cung tròn
có chiều dài s = rθ,
• thì khối tâm cũng tịnh
tiến được cùng một
khoảng đó.
ds
dθ
• Do đó ta có:
=r
dt
dt

Vật rắn quay
ω
v

r

r

Vật treo qua
ròng rọc

Vật lăn không
trượt

ω

ω
r

r

v

ω

s = rθ

v: vận tốc CM
r

vCM = r ω

v

v: vận tốc dài

v: vận tốc vật treo


2c. Kết hợp tịnh tiến và quay (tt)

2c. Kết hợp tịnh tiến và quay
• Lăn không trượt là sự kết
hợp của chuyển động tịnh
tiến của khối tâm,
• và chuyển động quay
quanh một trục đi qua
khối tâm.
• Do đó một chất điểm
thuộc vật có vận tốc cho
bởi:
v = vCM + vrot

vrot

r

vCM

2d. Động năng của chuyển động lăn
• Động năng của chuyển động lăn là tổng
• động năng tịnh tiến của khối tâm,
• và động năng quay quanh trục đi qua khối
tâm.
2
K = 12 MvCM
+ 12 Iω 2

• trong đó M, I là khối lượng và momen quán
tính đối với trục qua CM của vật.

v

• Mỗi điểm trên vành có
vận tốc quay vrot = ωr.
• Ở vị trí thấp nhất:
v = vCM − vrot = 0
• Ở vị trí giữa:
2
CM

v= v

+v

2
rot

= ωr 2

• Ở vị trí cao nhất:

‫ݒ‬Ԧ rot

v = vCM + vrot = 2ωr

Bài tập 2.1
Một quả cầu khối
lượng M và bán kính
R lăn xuống một mặt

phẳng nghiêng với
vận tốc đầu bằng
không.
Tìm vận tốc khối
tâm quả cầu ở cuối
mặt phẳng nghiêng.

‫ݒ‬Ԧ rot = ‫ݒ‬Ԧ CM

‫ݒ‬Ԧ CM
‫ݒ‬Ԧ rot = – ‫ݒ‬Ԧ CM
‫ݒ‬Ԧ
‫ݒ‬Ԧ CM

‫ݒ‬Ԧ = 2‫ݒ‬Ԧ CM


Trả lời bài tập 2.1 - 2

Trả lời bài tập 2.1 - 1
• Lăn không trượt: vận
tốc tiếp điểm bằng
không,
• vậy ma sát là tĩnh,
không thực hiện công.
• Cơ năng bảo toàn:
∆E = ∆ ( K + U ) = 0
• Độ biến thiên động
năng:
1 2 1 2

∆K = MvCM
+ Iω
2
2

vCM
1 
I  2
⇒ ∆K = M  1 +
vCM
R
2 
MR 2 
• Độ biến thiên thế năng:
ω=

∆U = Mg∆yCM = − Mgh
1 
I  2
⇒ ∆E = M  1 +
vCM − Mgh = 0
2 
MR2 
vCM =

Trả lời bài tập 2.1 - 3
• Với mọi vật lăn ta có:
vCM =

2 gh

1+c

c=

I
MR 2

• Vận tốc không phụ thuộc M, R, chỉ phụ thuộc
hằng số c = I/MR2.
• Vật có c nhỏ sẽ lăn xuống nhanh hơn.

2 gh
10 gh
=
1+c
7

Bài tập 2.2
Trong bài tập 2.1,
hãy tìm biểu thức
của gia tốc khối
tâm.

c=

2
: quả cầu
5

Trả lời bài tập 2.2 - 1
• Dùng định luật
Newton cho
• khối tâm trên trục x:
MaCM = Mg sinθ − f s

2

Trả lời bài tập 2.2 - 2
• Suy ra hệ phương trình:

N
+

fs

• và cho quả cầu quay:
Iα = f s R

mg

x

aCM =

• Do lăn không trượt:
α=

MaCM = Mg sinθ − f s



I
aCM = f s

R2

g sinθ g sinθ 5
=
= g sinθ
1+c 1+2 5 7

aCM
R

BT 3.1

Trả lời BT 3.1

Một khối vuông và một quả cầu có cùng khối
lượng, chuyển động trên mặt ngang với cùng
vận tốc đầu. Sau đó chuyển động lên hai mặt
nghiêng có cùng độ nghiêng. Khối vuông trượt
không ma sát, còn quả cầu lăn không trượt.
Vật nào lên cao hơn?

v
ω

v

Bảo toàn cơ năng: mgh = K

⇒h=

1
Khối vuông: K 1 = mv 2
2
1
1
Quả cầu: K 2 = mv 2 + Iω 2 > K 1
2
2

K 2 > K 1 ⇒ h2 > h1

Quả cầu lên cao hơn

K
mg


Trả lời BT 3.2

BT 3.2
Một hình trụ đặc và một vành tròn có cùng
khối lượng và bán kính, được thả cùng một lúc
và lăn không trượt xuống một mặt nghiêng.
Vật nào lăn hết mặt
nghiêng trước?

v=

2 gh
1+c

ctrụ = ½
cvành = 1
⇒vtrụ > vvành
Hình trụ lăn xuống trước

Trả lời BT 3.3

BT 3.3
Hai hình trụ đặc, một cái nhỏ hơn và nhẹ hơn
cái kia, được thả cùng một lúc và lăn không
trượt xuống một mặt nghiêng.
Hình trụ nào lăn hết
mặt nghiêng trước?

v=

2 gh
1+c

Mọi hình trụ đặc đều có c = ½, không phụ
thuộc khối lượng và bán kính vật lăn.
⇒ cả hai xuống hết mặt nghiêng cùng lúc.


BT 3.4

Trả lời BT 3.4

Xét hai đĩa giống nhau. Hai vật nặng giống nhau
được thả từ cùng một độ cao. Ngay trước khi
hai vật nặng chạm đất, đĩa nào có động năng
quay lớn hơn?
b)

a)

h
Mặt đất

• Bảo toàn cơ năng cho hệ vật + đĩa:
1
1
mgh = mv 2 + Iω 2
2
2

v=

ω
R

= Kquay

1 2  mR 2
mgh

⇒ mgh = Iω 
+ 1  ⇒ K quay =
2
mR 2 I + 1
 I

• m, h, I giống nhau trong hai trường hợp,
nhưng Ra < Rb: động năng quay trường hợp
a) lớn hơn.