Giáo trình bài tập 2 động lực học chất điểm

Nội dung

Nhiệt động lực học
Lê Quang Nguyên
www4.hcmut.edu.vn/~leqnguyen


1. Nguyên lý thứ nhất
dU = dW + dQ

−

∆U = W + Q

−

Công, nhiệt cho đi là âm
Công, nhiệt nhận là dương

• Ý nghĩa: bảo toàn năng lượng.
• Nội năng của một bình khí đứng yên gồm:
− Động năng của các phân tử.
− Thế năng tương tác giữa các phân tử.
• Công, nhiệt phụ thuộc quá trình.
• ΔU không phụ thuộc quá trình.

1. Nguyên lý thứ nhất
2. Nguyên lý thứ hai – Cách phát biểu của
Kelvin
3. Nguyên lý thứ hai – Cách phát biểu của
Clausius

4. Nguyên lý thứ hai – Entropy

Bài tập 1
Một lượng khí nitơ (N2) được nung nóng đẳng
áp, thực hiện một công bằng 2,0 J.
Tìm nhiệt lượng mà chất khí nhận được.


Trả lời BT 1
?
Q = ∆U − W

?

∆U = nCV ∆T

W = −2 J

Lưỡng nguyên tử,
không dao động

CV = 5R 2

W = −P ∆V = −nR∆T

Bài tập 2

Phương trình trạng
thái: PV = nRT
Đẳng áp: PΔV = nRΔT

⇒ ∆T = −W nR

Hai mol khí lý tưởng ở nhiệt độ 300K được
làm lạnh đẳng tích cho đến khi áp suất giảm đi
2 lần.
Sau đó khí dãn nở đẳng áp để trở lại nhiệt độ
ban đầu.
Tìm nhiệt toàn phần do chất khí hấp thụ trong
suốt quá trình trên.

∆U = nCV ( −W nR ) = − CV W R = 5 J
Q =7J

Trả lời BT 2 (tt)

Trả lời BT 2
Đường
đẳng nhiệt

• Đẳng tích a→b:
Q1 = ∆U1 = nCV ∆T1
Q1 = −nCV T 2

P

a

Q = Q1 + Q2 = nRT 2
c

½P

T
½T

b

• Đẳng áp b→c:
Q2 = ∆U2 − W2
∆U2 = nCV ∆T2 = nCV T 2
W2 = −

nRT
P
PV
(2V − V ) = − = −
2
2
2

V

• Tổng nhiệt trao đổi:

2V

a: T = PV/nR
b: Tb = ½PV/nR
→Tb = ½T

Q = 2 × 8,314 × 300/2 = 2500 J
• Q > 0: hệ nhận nhiệt


Bài tập 3

BT 2 – Mở rộng
Đường
đẳng nhiệt

• Nhiệt trao đổi trong quá
trình nở đẳng nhiệt từ a P
đến c?
½P
Q3 = −W3
2V
Q3 = nRT ln
V
= nRT ln2 = 3500 J

a
c
T
½T

b
V

2V

Ba mol khí lý tưởng ở 273K được dãn nở đẳng
nhiệt cho đến khi thể tích tăng lên 5 lần.
Sau đó khí được nung nóng đẳng tích để trở về
áp suất ban đầu.
Nhiệt toàn phần trao đổi trong suốt quá trình
là 80 kJ.
Tìm chỉ số đoạn nhiệt γ = CP/CV của khí này.

• Q3 ≠ Q: Nhiệt trao đổi
phụ thuộc vào quá trình.

Trả lời BT 3 (tt)

Trả lời BT 3
• Nhiệt trao đổi trong
quá trình đẳng nhiệt:
Q1 = −W1 = nRT ln (Vb Va )
Q1 = nRT ln5

• Nhiệt trao đổi trong
quá trình đẳng tích:
Q2 = ∆U2 = nCV ∆T2
Q2 = 4nCV T

P a

c

5T

b
T
V

5V

a: T = PV/nR
c: Tc = P(5V)/nR
→Tc = 5T

• Tổng nhiệt trao đổi trong suốt quá trình:
Q = Q1 + Q2 = nT ( R ln5 + 4CV )
• Suy ra nhiệt dung mol đẳng tích:
1 Q

CV = 21,1 J mol.K
CV = 
− R ln5 
4  nT

• Chỉ số đoạn nhiệt của chất khí:
C +R
C
R
γ= P = V
=1+
CV
CV
CV

γ = 1,4


Bài tập 4
Một mol khí oxy (O2) ở nhiệt độ 290K được
nén đoạn nhiệt cho đến khi áp suất tăng lên 10
lần.
Tìm:
(a) nhiệt độ khí sau khi nén;
(b) công mà khí nhận được.

Trả lời BT 4 – 1
• Quá trình đoạn nhiệt:
γ

 nRT 
PV γ = P 
 = const
P



Các đường
đẳng nhiệt
Quá trình
đoạn nhiệt

⇒ P 1−γ T γ = const
⇒P

1−γ
γ

T = const

• Vậy nhiệt độ sau quá
 P1 
T
=
T
 
2
1
trình nén là:
 P2 

Trả lời BT 4 – 2
• Nếu phân tử O2 không dao động ta có:
5
CV = R
2
7
⇒γ =
5
• Suy ra:
 1 
T2 = 290 ×  
 10 

7

C P = CV + R = R
2
1−γ
2
=−
γ
7

−

2
7

Trả lời BT 4 – 3
• Công trong quá trình đoạn nhiệt:
W = ∆U = nCV ∆T
5
W = n R∆T
2
5
W = × 8,314 × (560 − 290) = 5600 J
2

= 560 K

1−γ
γ


2a. Nguyên lý 2: cách phát biểu của Kelvin

2b. Động cơ nhiệt – 1

• Nhiệt không thể tự nhiên chuyển hoàn toàn
thành công.
• Động cơ nhiệt: chỉ có một phần nhỏ nhiệt
cung cấp được chuyển thành công của động
cơ,
• Phần còn lại được thải ra môi trường chung
quanh.

• Động cơ nhiệt:
– nhận nhiệt từ nguồn
nóng,
– biến một phần nhiệt
thành công,
– thải phần còn lại ra
nguồn lạnh,
– hoạt động theo chu
trình.

2b. Động cơ nhiệt – 2
• Trên giản đồ PV chu
trình của động cơ nhiệt
là một đường:
– khép kín,
– hướng theo chiều kim
đồng hồ (W < 0),
– có diện tích = |W|.

Nguồn nóng
Qh
Động
cơ

Qc
Nguồn lạnh

2b. Động cơ nhiệt – 3
• Hiệu suất của động cơ nhiệt:

P

e=

W
Qh

e =1−

Qc
Qh

• Trong một chu trình ΔU = 0:
V

Qh + Qc + W = 0

W
⇒

Qh

=1−

Qc
Qh

⇔ Qh − Qc − W = 0

W


2c. Động cơ nhiệt – 4
• Nguyên lý 2, theo
Kelvin, còn có thể phát
biểu như sau:
• Không tồn tại động cơ
lý tưởng, là động cơ có
hiệu suất bằng 1.
Qc = 0 ⇒ e = 1 −

Qc

Nguồn nóng
Qh
Động
cơ

W

=1

Qh

Nguồn lạnh

2d. Động cơ Carnot
• Hoạt động với khí lý
tưởng, theo chu trình
Carnot gồm:
• Hai quá trình đẳng
nhiệt và hai quá trình
đoạn nhiệt.
• Trong các máy hoạt
động giữa hai nguồn
giống
nhau,
máy
Carnot là máy có hiệu
suất lớn nhất.

Bài tập 6
Một động cơ Carnot dùng tác nhân là hydrô
(H2). Tìm hiệu suất của động cơ nếu trong quá
trình nở đoạn nhiệt:
(a) thể tích tăng lên 2 lần.
(b) áp suất giảm đi 2 lần.

P

Quá trình
đoạn nhiệt
Qh
Th
Tc

Qc

V

eCarnot = 1 −

Tc
Th

Trả lời BT 6 (a)
• Quá trình nở đoạn nhiệt:
ThVBγ −1 = TcVCγ −1
• Suy ra:
Tc  VB 
= 
Th  VC 

γ −1

1
= 
2

γ −1

• Khí lý tưởng lưỡng nguyên
tử có: γ = 7 5
• Vậy: e = 1 − 0,52 5 = 0,24

Nở đoạn
nhiệt


3a. Nguyên lý 2: cách phát biểu của Clausius

Trả lời BT 6 (b)
• Quá trình nở đoạn nhiệt:
1−γ
γ
h B

TP

Nở đoạn
nhiệt

1−γ
γ
c C

=T P

• Suy ra:
Tc  PB 

= 
Th  PC 

1−γ
γ

• Nhiệt không thể tự nhiên chuyển từ nơi lạnh
sang nơi nóng.
• Máy lạnh: phải cung cấp công để “bơm
nhiệt” từ nơi lạnh sang nơi nóng.

1−γ
γ

=2

• Vậy:
e = 1 − 2−2 7 = 0,18

3b. Máy lạnh (bơm nhiệt) – 1

3b. Máy lạnh (bơm nhiệt) – 1

• Máy lạnh là thiết bị
– nhận công từ bên
ngoài,
– bơm nhiệt từ nguồn
lạnh,
– và thải nhiệt ra nguồn
nóng,

– hoạt động theo chu
trình.

• Trên giản đồ PV chu
trình của máy lạnh là
một đường
– khép kín,
– quay ngược chiều kim
đồng hồ (W > 0),
– có diện tích = |W|.

Nguồn nóng
Qh
Máy
lạnh

Qc
Nguồn lạnh

W

P

V


3b. Máy lạnh (bơm nhiệt) – 2

3b. Máy lạnh (bơm nhiệt) – 3
• Nguyên lý 2, theo

Clausius, còn có thể
phát biểu như sau:
• Máy lạnh lý tưởng có
hiệu suất lớn vô cùng
không tồn tại.

• Máy lạnh có hiệu suất:
K=

Qc

K=

W

Qc
Qh − Qc

• Trong một chu trình ta có ΔU = 0:
W + Qh + Qc = 0

⇔ W − Qh + Qc = 0

W =0⇒ K =
⇒

Qc
W

=

Qc

Qc

Nguồn nóng
Qh
Máy
lạnh

Qc

→∞

W

Nguồn lạnh

Qh − Qc

Bài tập 8

3d. Máy lạnh Carnot
• Máy lạnh Carnot hoạt
động với khí lý tưởng,
theo chu trình Carnot
ngược.
• Trong các máy lạnh
hoạt động giữa hai
nguồn giống nhau,

máy lạnh Carnot có
hiệu suất lớn nhất.

P

Một tủ lạnh có hiệu suất bằng 5. Tủ lạnh bơm
được 120 J nhiệt trong mỗi chu trình. Tìm:
(a) Công cung cấp trong mỗi chu trình.
(b) Nhiệt thải ra chung quanh trong mỗi chu
trình.

Qh
Th
Qc

Tc
V

K Carnot =

Tc
Th − Tc


Trả lời BT 8
K=

Qc
W

W =

Qc
K

=

120
= 24 J
5

• Trong mỗi chu trình ta có ΔU = 0:

4a. Nguyên lý 2: cách phát biểu thứ ba
• Trong một hệ cô lập entropy luôn luôn tăng
hay giữ nguyên không đổi.
− Entropy tăng trong các quá trình bất
thuận nghịch,
− và không đổi trong các quá trình thuận
nghịch.

W + Qh + Qc = W − Qh + Qc = 0
Qh = W + Qc = 120 + 24 = 144 J

4b. Quá trình bất thuận nghịch
• Ví dụ:
– sự truyền nhiệt: nhiệt chỉ truyền từ nguồn
nóng đến nguồn lạnh.
– sự khuếch tán: các phân tử chỉ lan tỏa từ
nơi mật độ cao đến nơi mật độ thấp.

• Đặc điểm:
– không trải qua các trạng thái cân bằng,
– không thể biểu diễn bằng một đường cong
trên giản đồ PV.

4c. Entropy – số đo sự hỗn loạn
• Entropy của hệ tăng theo
số cấu hình vi mô W:
S = k lnW

J/K

• Mỗi cấu hình vi mô ứng
với một cách hoán vị các
phân tử.
• W càng lớn hệ càng hỗn
loạn: entropy là số đo mức
độ hỗn loạn của hệ.


•
•
•
•
•
•

4c. Entropy – số đo sự hỗn loạn (tt)
Chia bình làm hai nửa bằng nhau,
Coi mỗi cấu hình là một cách sắp ba hạt vào một

trong hai nửa: có tất cả 8 cấu hình.
Số cấu hình ứng với ba hạt phân tán: W1 = 6,
và ứng với ba hạt dồn một bên: W2 = 2.
W1 > W2 : Trạng thái phân tán có entropy lớn
hơn trạng thái co cụm.
Do đó nếu để tự nhiên các hạt sẽ phân tán.

4d. Độ biến thiên entropy
• Entropy là một hàm trạng thái,
• độ biến thiên entropy được xác định bởi:
2

dQ
T
1

∆S = ∫

dS =

dQ
T

• Tích phân được tính theo một quá trình
thuận nghịch bất kỳ nối liền hai trạng thái.

Bài tập 10

Trả lời BT 10

Một mole khí lý tưởng ở nhiệt độ 300K dãn nở
đoạn nhiệt trong chân không, có thể tích tăng
gấp đôi.
Hãy tìm độ biến thiên entropy của khí.

• Khí nở đoạn nhiệt trong chân không nên
không trao đổi công và nhiệt: Q = 0, W = 0
∆U = Q + W = 0 = nCV ∆T

Vỏ cách nhiệt

⇒ T = const = 300K
• Độ biến thiên entropy:
2

300K
300K

2

Q
dQ 1
= ∫ dQ = = 0
∆S = ∫
T1
T
T
1

Sai!

Nở đoạn nhiệt
trong chân
không là bất
thuận nghịch.

• Tích phân trên phải tính theo một quá trình
thuận nghịch nối liền 1 và 2.


Trả lời BT 10 (tt)

ΔU = W + Q
W, Q > 0 khi hệ nhận

• Nối hai trạng thái bằng P
một quá trình nở đẳng
nhiệt ở T = 300K:
2

Bất thuận nghịch,
hệ cô lập: S tăng

e=

W
Qh

=1−

eCarnot = 1 −

2

dQ 1
Q
∆S = ∫
= ∫ dQ =
T T1
T
1

V
Q = −W = nRT ln 2
V1
V
∆S = nR ln 2 = 1729 J K
V1

Qc
Qh

Tc
Th

S = k lnW
300 K
V1

V2 = 2V1

2

dQ
T
1

∆S = ∫

K=

Qc
W

V

quá trình thuận
nghịch bất kỳ

K Carnot =

Qc
=

Qh − Qc

Tc
Th − Tc