Giáo trình bài tập 3 động lực học hệ chất điểm vật rắn

Nội dung
1.
2.
3.
4.

Công và năng lượng

Công và công suất
Động năng
Thế năng
Cơ năng

Lê Quang Nguyên
www4.hcmut.edu.vn/~leqnguyen


1a. Công của lực không đổi
• Công là năng lượng cơ học
do một lực tác động trao đổi
với vật.
• Công do lực không đổi thực
hiện trong dịch chuyển Δ‫ݎ‬Ԧ:
W = F ⋅ ∆r = F ∆r cosθ

1b. Công của một lực thay đổi
‫ܨ‬Ԧ
θ
Δ‫ݎ‬Ԧ
‫ܨ‬Ԧ

Joule ( J ) = N.m
• W = 0 khi lực vuông góc với
độ dịch chuyển.

Δ‫ݎ‬Ԧ

• Trong dịch chuyển nhỏ
lực ‫ܨ‬Ԧ coi như không đổi.
• Công do ‫ܨ‬Ԧ thực hiện
trong dịch chuyển nhỏ:
dW = F ⋅ dr
• Công thực hiện trong
dịch chuyển từ P1 tới P2:

P2

d‫ݎ‬Ԧ
‫ܨ‬Ԧ

P1
d‫ݎ‬Ԧ

P2

W = ∫ F ⋅ dr
P1

‫ܨ‬Ԧ không đổi

1c. Công suất
• Công suất là công thực hiện trong một giây.
• Công do một lực bất kỳ thực hiện trong một
dịch chuyển nhỏ:
dW = F ⋅ dr
• Dịch chuyển diễn ra trong thời gian dt, do
đó công suất của lực là:

P=

dW
dr
=F⋅
dt
dt

P = F ⋅v

Watt ( W ) = J/s

Bài tập 1
P2
Đưa vật m lên một mặt
nghiêng độ cao h và góc
h
P1
nghiêng θ. Hệ số ma sát
θ
trượt giữa vật và mặt
nghiêng là μ.

Nhìn trên xuống
Tìm công của trọng lực,
P2
phản lực vuông góc và
lực ma sát khi quỹ đạo là:
(b) (a)
(a) một đường thẳng.
(b) một nửa đường tròn.
P1

Trả lời bài tập 1 – 1
• Phản lực vuông góc với
mọi quỹ đạo trên mặt
nghiêng: WN = 0
• Công của trọng lực:
P2

P2

P1

P1

ܰ
h
m݃Ԧ

Wmg = ∫ mg ⋅ dr = mg ⋅ ∫ dr

∫

P2

P1

dr = ∆r ⇒ Wmg = mg ⋅ ∆r

Δ‫ݎ‬Ԧ
d‫ݎ‬Ԧ

Wmg = −mg∆y = −mgh < 0 : lực cản

• Ma sát ݂Ԧ ngược chiều
d‫ݎ‬Ԧ:
dW f = f ⋅ dr = − f dr

θ

• Trong mọi trường hợp:

Trả lời bài tập 1 – 2

y

da
݂Ԧ

h

θ

W f = − f ∫ dr = − fd < 0

• Chiều dài quỹ đạo:
h
da =
sinθ
db = π R

R =?

d‫ݎ‬Ԧ
R

݂Ԧ


Bài tập 1 – Ghi nhớ

Bài tập 2

WN = 0
y hướng lên

Wmg = −mg∆y

Không phụ thuộc
đường đi
d : chiều dài
quãng đường

Wms = − fmsd

Trả lời bài tập 2
• Công của lực lò xo
trong
một
dịch
chuyển nhỏ:

d‫ݔ‬Ԧ

dW = −kx ⋅ dx

k
dW = −kxdx = − d x 2
2
• Do đó:

( )

x

k 2
W = − ∫ d x2
2 x1

( )

k

W = − x22 − x12
2

(

x1

x2

Bài tập 3

‫ݔ‬Ԧ

–k‫ݔ‬Ԧ

0

Một vật được đặt trên
một mặt ngang không
ma sát, nối với lò xo
có độ đàn hồi k.
Kéo vật từ vị trí x1
đến vị trí x2 (so với
khi lò xo không co
dãn).
Tìm công do lực đàn
hồi thực hiện.

)

Không phụ thuộc đường đi!!

Một trạm thăm dò
khối lượng m được
phóng từ Trái Đất để
đi vào quỹ đạo Sao
Hỏa.
Tìm công thực hiện
bởi lực hấp dẫn từ
Mặt Trời.
Khối lượng Mặt Trời
M.

Quỹ đạo Sao Hỏa

Quỹ đạo Trái Đất

r1: khoảng cách MT - TĐ
r2: khoảng cách MT - SH


Trả lời câu 3
• Công sơ cấp:

1d. Lực bảo toàn

‫ݑ‬௥

‫ݑ‬ఏ

d‫ݎ‬Ԧ

dW = F ⋅ dr
dW = −Fdr = −G

Mm
dr
r2

r
θ

r2

dr
W = −GMm∫ 2
r
r1

x

Tọa độ cực r, θ

• Do đó:
1 1
W = GMm − 
 r2 r1 

‫ܨ‬Ԧ

F = −Fur
dr = drur + rdθ uθ

không phụ thuộc
đường đi!!

• Lực bảo toàn ⇔ công không phụ thuộc
đường đi.
− Trọng lực đều, lực hấp dẫn và lực đàn hồi
của lò xo là các lực bảo toàn.
− Lực ma sát không phải là lực bảo toàn.
• Lực bảo toàn ⇔ W = 0 khi đường đi khép
kín.
− đối với trọng lực chẳng hạn, khi quỹ đạo
khép kín thì y1 = y2, Δy = 0, W = 0.

2b. Định lý động năng

2a. Động năng
• Động năng là dạng năng lượng gắn liền với
chuyển động.
• Động năng của một chất điểm khối lượng m
chuyển động với vận tốc v là:
1
K = mv 2
2

Đơn vị Joule (J)

vdt ⋅ m

dv
= Ftot ⋅vdt = dr
dt

mv ⋅ dv = Ftot ⋅ dr = dW

tot

dv 2 = dv 2 = 2v ⋅ dv
1
⇒ v ⋅ dv = dv 2
2

 mv 2 
m 2
dv = d 
 = dWtot
2
2



Độ biến thiên động năng = công toàn phần
dK = dWtot
ΔK = Wtot


Trả lời bài tập 4

Bài tập 4

• Định luật Newton 2
trên phương pháp
tuyến tại A cho ta:

Một vật khối lượng m
trượt không ma sát, vận
tốc ban đầu bằng không,
từ đỉnh một máng trượt
như hình vẽ.
Tìm chiều cao tối thiểu
hmin để vật không bị rơi
khỏi máng trượt ở A.

v 2A
m = mg + N A
R
• Để vật không bị rơi
khỏi máng trượt tại A
ta phải có: N A ≥ 0
• Suy ra:
v 2A ≥ gR

Trả lời bài tập 4 (tt)

1
2

ܰ h −2R

mv 2A − 0 = mg ( h − 2R )

v 2A = 2 g ( h − 2R )
2
A

v ≥ gR

(2)
(1)

m݃Ԧ

2R

Từ (1) và (2):
2 g ( h − 2R ) ≥ gR
5
hmin = R
2

⇒ 2 gh ≥ 5 gR

m݃Ԧ
‫ݑ‬n

(1)

Bài tập 4 – mở rộng

S

KA −KS = Wmg

ܰA

5
h≥ R
2

• Khi h = hmin, tìm phản
lực vuông góc tại C.
• Trả lời: NC = 6mg
• N lớn như thế rất
nguy hiểm.
• Để giảm N, các máng
trượt tròn thường
được thiết kế lệch một
chút khỏi mặt phẳng
thẳng đứng.

C


3a. Thế năng - 2

3a. Thế năng - 1
y2

• Công của lực bảo toàn:
W = mgy1 − mgy2

W = −GMm

Công của lực bảo toàn = độ giảm thế năng

−k‫ݔ‬Ԧ
x1
r1

kx2/2,

• mgy,
–GMm/r đều
là các hàm của vị trí.

x x2

ܹଵ→ଶ = ܷଵ − ܷଶ = ܷ + ‫ܥ‬

r2

ଵ

− ܷ+‫ܥ‬

ଶ

Thế năng được xác định sai khác một hằng số

ܷ = ଵଶ݇‫ ݔ‬ଶ + ‫ܥ‬

đơn vị thế năng: J

U2 −U1= ΔU : độ biến thiên
U1 −U2=−ΔU : độ giảm

3b. Tìm hằng số C - 1

Nếu U là thế năng thì U + C cũng là thế năng

‫݉ܯ‬
+‫ܥ‬
‫ݎ‬

Wbảo toàn =−ΔU
dWbảo toàn =−dU

‫ܨ‬Ԧ௚

3a. Thế năng - 3

ܷ = −‫ܩ‬

Độ giảm thế năng

y1

1 

1
−  −GMm 
r1 
r2 

ܷ = ݉݃‫ ݕ‬+ ‫ܥ‬

Công của lực bảo toàn: ܹଵ→ଶ = ܷଵ − ܷଶ

m݃Ԧ

k
k
W = x12 − x22
2
2

U: thế năng

U = mgy + C

y hướng lên

Chọn gốc thế năng ở vị trí y0 ⇔Đặ tU(y0) = 0
U( y0 ) = mgy0 + C ≡ 0

trọng lực đều

⇒ C = −mgy0

lực hấp dẫn

U = mgy − mgy0

lực đàn hồi lò xo

Nếu gốc thế năng ở vị trí y0 = 0 ⇒ C = 0


3b. Tìm hằng số C - 2
U = −G

Mm
+C
r

3b. Tìm hằng số C - 3
Đặt U(r0) = 0

Chọn gốc thế năng ở khoảng cách r0
Mm
Mm
U(r0 ) = −G
+C ≡0 ⇒C = G
r0
r0
U = −G

Mm
Mm

+G
r
r0

Nếu gốc thế năng ở r0 =∞ ⇒ C = 0

4a. Cơ năng – 1
Lực bảo toàn:

Wtot = −∆U

Định lý động năng: Wtot = ∆K
∆K = −∆U ⇒ ∆ ( K + U ) = 0

cơ năng E
Khi lực là bảo toàn thì cơ năng cũng bảo toàn:
ΔE = Δ(K + U) = 0

U = 12 kx 2 + C

Chọn gốc thế năng ở vị trí x0 ⇔Đặ tU(x0) = 0
U( x0 ) = 12 kx02 + C ≡ 0
⇒ C = − 12 kx02
U = 12 kx 2 − 12 kx02

Nếu gốc thế năng ở vị trí x0 = 0 ⇒ C = 0

4a. Cơ năng – 2
Wtot = Wbảo toàn + Wkhông bảo toàn =−ΔU + Wkhông bảo toàn
Định lý động năng: Wtot = ΔK

ΔK = −ΔU + Wkhông bảo toàn ⇒ Δ(K + U) = Wkhông bảo toàn
ΔE = Δ(K + U) = Wkhông bảo toàn
Nếu mọi lực đều bảo toàn: Wkhông bảo toàn = 0
thì cơ năng cũng bảo toàn: ΔE = 0


Bài tập 7

Trả lời bài tập 7

Hai vận động viên trượt tuyết trượt không vận
tốc đầu trên hai đường không ma sát.
Hãy so sánh vận tốc của họ ở vị trí A, B, và C.
O

A

B

C

h

• Không có ma sát ⇒ cơ
năng bảo toàn.
• Cơ năng ban đầu :

y
y

E0 = 12 mv02 + mgy0

y

E0 = 0

y

• và ở một vị trí bất kỳ y:
h

E = 12 mv 2 + mgy

h

Trả lời bài tập 7 (tt)
• Cơ năng bảo toàn: E0 = E ⇔ 0 = 12 mv 2 + mgy
• Vận tốc ở vị trí y: v = 2 g y
• Ở A và C:

y1 = y2 = h

• Ở vị trí B: y1 = h,

⇒ v1 = v2

y <0

Bài tập 8
Một người trượt không vận tốc đầu xuống

một dốc tuyết không ma sát có độ cao 20m. Ở
cuối dốc là một mặt phẳng ngang có hệ số ma
sát trượt 0,21.
Tìm quãng đường người ấy đi được trên mặt
ngang cho đến khi dừng lại.

y2 = 2h ⇒ v1 < v2

v=0

h
• Ai sẽ về đích trước? Minh họa

d=?


Tóm tắt – Công và năng lượng

Trả lời bài tập 8
EA = mgh
y

A
EC = 0
B

h

vC = 0

EC −EA = Wms

Wms =−fmsd =−μmgd

−mgh =−μmgd

d = h/μ = 95,2 m

Tóm tắt – Công của các loại lực
Ma sát: W =−fmsd
Lực bảo toàn: W =−ΔU
ܷ = ݉݃‫ ݕ‬+ ‫ܥ‬

trọng lực đều, y ↑

ܷ = −‫ܩ‬

lực hấp dẫn

ܷ = ଵଶ݇‫ ݔ‬ଶ + ‫ܥ‬

ܹ݀ = ‫ܨ‬Ԧ ∙ ݀‫ݎ‬Ԧ

Động năng

dK = dWtot

C
d

‫݉ܯ‬
+‫ܥ‬
‫ݎ‬

Công

lực đàn hồi lò xo

ܹ = න ܹ݀

ΔK = Wtot
Thế năng

dWbảo toàn =−dU
Wbảo toàn =−ΔU

Cơ năng

ΔE = Δ(K + U) = Wkhông bảo toàn