Giáo trình bài tập 408008 dd2322 cq diem bt ktgk

Nội dung
1. Khối tâm
2. Định luật 2 Newton cho hệ chất điểm
3. Momen động lượng

Hệ chất điểm
Lê Quang Nguyên
www4.hcmut.edu.vn/~leqnguyen


1b. Khối tâm

1a. Chuyển động của hệ chất điểm
• Ví dụ 1: cây thước.
• Ví dụ 2: vận động viên vượt rào.

• Trong các ví dụ : cây thước, vận động viên
vượt rào…
• Có một vị trí chuyển động theo định luật 2
Newton: khối tâm của hệ
rCM =

Chuyển động của mỏ lết

CM: center
of mass

1
( m1r1 + m2r2 + ... + mN rN )
M

Khối lượng hệ
rCM =

1
∑ miri
M i


Câu hỏi 1
Khối tâm của vành tròn?

Bài tập 1
Một hệ gồm ba chất
điểm có vị trí như trên
hình vẽ, với m1 = m2 =
1,0 kg và m3 = 2,0 kg.
Hãy tìm khối tâm của
hệ.

rCM =

m1r1 + m2r2 + m3r3
m1 + m2 + m3

Câu hỏi 2

Một cây gậy bóng chày
được cưa tại vị trí khối
tâm làm hai phần như
trên hình vẽ. Phần nào

có khối lượng lớn hơn?
(a) Phần bên phải.
(b) Phần bên trái.
(c) Hai phần bằng nhau.
(d) Không xác định
được.

X
CM

Trả lời bài tập 1

‫ݎ‬Ԧଷ

‫ݎ‬Ԧଵ

‫ݎ‬Ԧଶ

xCM =

m1 x1 + m2 x2 + m3 x3
m1 + m2 + m3

yCM =

m1 y1 + m2 y2 + m3 y3
m1 + m2 + m3

xCM =

1 + 2 + 2× 0 3
= = 0,75( m )
1+1+2
4

yCM =

1 × 0 + 1 × 0 + 2× 2 4
= = 1,0( m )
1+1+2
4

ൈ ‫ݎ‬Ԧ஼ெ


Bài tập 2

Trả lời bài tập 2

Hãy chứng tỏ rằng khối tâm của một thanh có
khối lượng M và chiều dài L nằm ở trung điểm
của nó. Giả sử khối lượng trên một đơn vị dài
của thanh là hằng số.

Trả lời bài tập 2 (tt)

L

xCM

L

λ=

M
L

• Tích phân trên cho ta:
1 2 L L
x  =
2L   0 2
• Vật đối xứng: khối tâm trùng với tâm đối
xứng.
xCM =

x

dx

Bài tập 3

• Suy ra:
λ
1
= ∫ xdx = ∫ xdx
M0
L0

• Chọn trục x theo chiều
dài thanh. Đoạn vi

phân dx ở vị trí x có
• khối lượng dm = λdx.
• λ là khối lượng trên
một đơn vị dài.
• Khối tâm có tọa độ cho
bởi:
1
xCM = ∫ xdm
M

Xét một thanh không đồng nhất, có khối lượng
trên một đơn vị dài thay đổi theo vị trí x:
λ = αx, α là hằng số
Tìm vị trí khối tâm theo chiều dài L của thanh.


Trả lời bài tập 3
• Làm tương tự như bài tập 2 ta có:
L

xCM

L

• Khối lượng của thanh được xác định bởi:
M = ∫ dm = ∫ λdx

α
1
= ∫ xλdx = ∫ x 2dx

M0
M0

• Thay thế biểu thức của λ ta có:

• Tích phân cho ta:
xCM

Trả lời bài tập 3 (tt)

L

α 2 L α L2
M = α ∫ xdx =  x  =
0
2
2
0

α
α L3
3 L
x  =
=
3M   0 3M

• Do đó:
xCM

2a. Động lượng hệ chất điểm

rCM

1
= ∑ mi ri
M i

dr
1
dr
⇒ CM = ∑ mi i
dt
M i
dt

vận tốc khối tâm
vCM =

i

2b. Định luật 2 cho hệ
1
1
= ∑ mi vi
⇒ aCM = ∑ mi ai
M i
M i

MaCM = m1a1 + m2a2 + ... + mN aN = F1 + F2 + ... + FN

vận tốc chất điểm thứ i

1
∑ mivi
M i

MvCM = ∑ mi vi = Psystem

vCM

α L3 2
=
= L
3M 3

tổng các ngoại lực tác động lên hệ

MaCM = Ftot
Psystem = MvCM

dPsystem
dt

= Ftot

MaCM = M

dvCM d ( MvCM )
=
dt
dt

2b. Định luật 2 cho hệ (tt)

Ftot = 0
aCM = 0

Psystem = const

Khối tâm đứng yên
hay chuyển động
thẳng đều

Câu hỏi 3
Hai vận động viên trượt băng đứng trên mặt
băng không ma sát, nắm hai đầu của một
thanh nhẹ nằm ngang. Sau đó họ dùng tay kéo
để di chuyển lại gần nhau.
Khối tâm của họ sẽ chuyển động thế nào?

Động lượng hệ
bảo toàn
Nếu Ftot,x = 0 động
lượng hệ chỉ bảo
toàn trên phương x

Câu hỏi 4

Bài tập 5

Hai vận động viên trượt băng đứng trên mặt
băng không ma sát, nắm hai đầu của một
thanh nhẹ nằm ngang. Sau đó họ dùng tay kéo
để di chuyển lại gần nhau.
Họ sẽ gặp nhau ở đâu?

Hai xe trượt trên đệm khí đến va chạm hoàn
toàn đàn hồi.
(a) Tìm vận tốc của chúng sau va chạm.
(b) Tìm vận tốc khối tâm của hệ hai xe trước
và sau va chạm.
v = 1 m/s

v = 0 m/s


Trả lời bài tập 5(a)

Trả lời bài tập 5(b)

‫ܨ‬௧௢௧,௫ = 0 → ܲ௫ = ܿ‫ݐݏ݊݋‬
• Động lượng trên x bảo toàn:
m1v = m1v1 x + m2v2 x
⇒ 1 = v1 + 0,7v2
• Va chạm hoàn toàn đàn hồi ⇔ động năng
bảo toàn:
1
2

m1v 2 = 12 m1v12 + 12 m2v22

⇒ 1 = v12 + 0,7v22

v1 = 0,18 m s

‫ܨ‬௧௢௧,௫ = 0 → ‫ݒ‬஼ெ,௫ = ܿ‫ݐݏ݊݋‬
MvCM ,x = Px

• Trước va chạm:
Px = 1
⇒ vCM ,x = 1 1,7 = 0,59 m s

• Sau va chạm vận tốc khối tâm không thay
đổi.

v2 = 1,18 m s

• Minh họa

Bài tập 6

Trả lời bài tập 6

Một banh bi-da có vận tốc 5 m/s va chạm với
một trái banh đứng yên cùng khối lượng. Sau
đó nó có vận tốc 4,33 m/s lệch một góc 30° so
với phương ban đầu. Va chạm là hoàn toàn
đàn hồi, tìm vận tốc trái banh thứ hai sau va
chạm.

• Vì va chạm hoàn toàn đàn hồi nên động năng
hệ bảo toàn:

⇒ v2 = v 2 − v12

mv 2 2 = mv12 2 + mv22 2
v2 = 52 − 4,332 = 2,5 m s

v1

v1
v

v

θ

θ
v2

v2


3a. Momen động lượng của chất điểm

Bài tập 6 – mở rộng

L =r ×p
v1
θ

v2

L

L = rp sinϕ

kg.m2/s

• ⏊ mặt phẳng (‫ݎ‬Ԧ, ‫݌‬Ԧ).
• chiều: quy tắc bàn tay
phải.
• đặc trưng cho chuyển
động quay.

v

y

r
x

φ

p

Trả lời bài tập 8

Bài tập 8
Một chất điểm chuyển
động trong mặt phẳng

xy trên một đường tròn
bán kính r tâm O.
Tìm độ lớn và chiều
momen động của chất
điểm đối với tâm O, nếu
vận tốc chất điểm là v.

z

• Momen động của chất
điểm đối với gốc O

Tìm góc lệch của trái banh thứ hai sau va
chạm.

y

‫ݒ‬Ԧ
‫ݎ‬Ԧ

O

m
x

z

• L ⏊ mặt phẳng xy và
hướng theo chiều dương
trục z.

• Trong chuyển động tròn
động lượng vuông góc với
vectơ vị trí, do đó ta có:

L = rp sinϕ = rp = rmv

L
y

r
x

φ

p


3b. Momen lực

Bài tập 9
z

• Momen của lực F đối với
gốc O

τ

τ = rF sinϕ

τ = r ×F

N.m

• ⏊ mặt phẳng (‫ݎ‬Ԧ, ‫ܨ‬Ԧ ).
• chiều: quy tắc bàn tay
phải.
• đặc trưng cho chuyển
động quay.

Trả lời bài tập 9
x

θ

y

r
x

F

φ

Một con lắc gồm một vật
khối lượng m chuyển động
trên một quỹ đạo tròn nằm
ngang. Trong suốt chuyển
động dây treo chiều dài l
hợp một góc không đổi θ
với phương thẳng đứng.

Tìm momen của trọng lực
đối với điểm treo O.

3c. Định lý momen động

O

τ

r×F = r×
r

O

dp
dt

r

r×

dp d
dr
= (r × p) − × p
dt dt
dt

dr
× p = v × mv = 0
dt

mg

r ×F =
θ

τ = rmg sinθ = lmg sinθ

τ =
mg

dL
dt

d (r × p)
dt

Momen ngoại lực

Hệ chất điểm
τ tot =

dLsystem
dt


3c. Định lý momen động (tt)
• Minh họa: bánh xe quay, con quay.
• Khi tổng momen ngoại lực bằng không thì
momen động của hệ được bảo toàn.