Giáo trình bài tập chương 2 trạng thái rắn

Môn học : GIẢI TÍCH 1
CHƯƠNG 1: GIỚI HẠN DÃY SỐ
(Học trong giờ Bài tập)

CHƯƠNG 2: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
2.1 Giới thiệu các lọai hàm : Hàm hợp, hàm ngược,
các hàm lượng giác ngược, các hàm hyperbol
2.2 Giới hạn hàm số - Hàm liên tục
2.3 Vô cùng lớn – Vô cùng bé


CHƯƠNG 3: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN
3.1 Đạo hàm hàm y=f(x), hàm ngược, hàm cho bởi
phương trình tham số
3.2 Đạo hàm cấp cao
3.3 Vi phân, vi phân cấp cao
3.4 Công thức Taylor – Maclaurint. Ứng dụng tính
giới hạn hàm
3.5 Quy tắc L’Hospital
3.6 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm y=f(x)
3.7 Giới thiệu phần mềm MatLab để giải bài toán
giải tích


CHƯƠNG 4: TÍCH PHÂN HÀM 1 BIẾN
4.1 Tích phân bất định
4.2 Tích phân xác định – Công thức NewtonLeibnitz
4.3 Tích phân suy rộng: Tích phân với cận vô tận
và Tích phân hàm không bị chặn

4.4 Ứng dụng của tích phân

CHƯƠNG 5: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
5.1 Phương trình vi phân cấp 1: 5 dạng
5.2 Phương trình vi phân cấp 2: Pt giảm cấp được
và Pt tuyến tính
5.3 Hệ Phương trình vi phân tuyến tính


CHƯƠNG 2: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC


2.1 Giới hạn và liên tục – Nhắc lại các hàm đã học
Hàm số mũ: y = ax
Nếu a=1 thì a x  1, x , nên ta chỉ tính khi a≠1

Điều kiện : a>0, a≠1
MXĐ: (-∞,+∞),

MGT: (0,+∞)

Khi 0• Hàm nghịch biến

lim a x  0, lim a x  

x

x


2.1 Giới hạn và liên tục – Nhắc lại các hàm đã học

Khi a>1:
Hàm đồng biến

lim a x  , lim a x  0

x

So sánh 3 hàm y=2x,
y=ex, y=3x

x


2.1 Giới hạn và liên tục – Nhắc lại các hàm đã học
Hàm logarit: y=logax , a>0, a ≠1
MXĐ : (0,+∞), MGT: (- ∞,+∞)
a>1:
Hàm đồng biến

lim log a x  

x 0 

lim log a x  

x 


2.1 Giới hạn và liên tục – Nhắc lại các hàm đã học
0

Hàm nghịch biến

lim log a x  

x 0 

lim log a x  

x 

Tính chất:

y  log a x  x  a y
log a (a )  x, x
x

a log a x  x, x  0

log a ( x. y )  log a x  log a y
x
log a  log a x  log a y
y
log a ( x r )  r log a x, r  R


2.1 Giới hạn và liên tục – Nhắc lại các hàm đã học
So sánh một số hàm
logarit với a>1 cụ thể

Đặc biệt: khi a=e, ta kí hiệu đơn giản logex=lnx

ln b
và ta có công thức
log a b 
ln a


2.1 Giới hạn và liên tục – Nhắc lại các hàm đã học
Hàm lũy thừa : y=xa
MXĐ, MGT : Tùy thuộc vào a

a=2, 4, 6: MXĐ: (- ∞,+∞),
MGT: [0,+∞)

a=3, 5: MXĐ: (- ∞,+∞),
MGT: (- ∞,+∞)


2.1 Giới hạn và liên tục – Nhắc lại các hàm đã học

y x

a = -1: MXĐ: R*=R\{0},
MGT: R*. Ta còn gọi đây là
đường Hyperbol

a=1/2: MXĐ [0,+∞),
MGT [0,+∞)


2.1 Giới hạn và liên tục – Hàm hợp và hàm ngược

Hàm hợp : Cho 2 hàm g : X  Y , f : Y  Z
Ta gọi hàm hợp của 2 hàm trên là h  f g
Được xác định như sau : h : X  Z , h( x)  f ( g ( x))


2.1 Giới hạn và liên tục – Hàm hợp và hàm ngược
Ví dụ : Cho 2 hàm f ( x)  2 x  1, g ( x)  x 2  1
Tìm f g , g f và tính giá trị của chúng tại x = 2

f g ( x)  f ( g ( x))  f ( x 2  1)  2 x 2  1  1
 f g (2)  2 5  1

g f ( x)  g (2 x  1)  (2 x  1) 2  1  4 x 2  4 x  2
 g f (2)  26

Lưu ý : Nói chung 2 hàm f

g , g f không bằng nhau


2.1 Giới hạn và liên tục – Hàm hợp và hàm ngược
Ví dụ : Cho 2 hàm f ( x)  x , g ( x)  3 x  1
Tìm các hàm và MXĐ của chúng f g , g f , f
f g ( x)  f ( g ( x))  f ( 3 x  1)  6 x  1

g f ( x)  g ( x )  3 x  1
f

g g ( x)  g ( g ( x))  g ( x  1) 

MXĐ là [1,+∞)
MXĐ là [0, +∞)

f ( x)  f ( f ( x))  f ( x ) 
3

f ,g g

x  4 x MXĐ là [0, +∞)
33

x  1  1 MXĐ là R


2.1 Giới hạn và liên tục – Hàm hợp và hàm ngược
Hàm 1-1 : Hàm f : X  Y , f ( x)  y
được gọi làm hàm 1-1 nếu x1  x2 : f ( x1 )  f ( x2 )

X        Y

Hàm 1-1

X        Y
Không là hàm 1-1


2.1 Giới hạn và liên tục – Hàm hợp và hàm ngược

Hàm

y=x3 là

hàm 1-1

Hàm y=x2 không là hàm 1-1

Hàm 1-1 có đồ thị chỉ cắt mọi đường thẳng y = C,
với C thuộc MGT của hàm tại duy nhất 1 điểm.


2.1 Giới hạn và liên tục – Hàm hợp và hàm ngược
Hàm ngược : Cho hàm 1-1

f : X  Y , f ( x)  y

hàm ngược của hàm, đựơc kí hiệu là y = f -1(x),
f 1 : Y  X

sao cho

f 1 ( y )  x  y  f ( x)

Như vậy : f(f -1(y))=y và f -1(f(x))=x

Ta có: MXĐ của hàm f -1 là MGT của hàm f và MGT
của hàm f -1 là MXĐ của hàm f


2.1 Giới hạn và liên tục – Hàm hợp và hàm ngược
Ví dụ: Tìm hàm ngược của hàm y = x3 - 1

Ta sẽ tìm hàm y = f-1(x) bằng cách tính x theo y

y  x 1  x  3 y  1
3

Thay x bởi y, y bởi x, ta được hàm ngược

y f
f

f

1

1

( x)  3 x  1

( x)  f ( f

1

( x ))  f ( x  1) 
3



3

x 1



3

1  x

MXĐ và MGT của cả 2 hàm f và f -1 đều là R


2.1 Giới hạn và liên tục – Hàm hợp và hàm ngược
Ví dụ: Hàm y=x2 không làm hàm 1-1 trên (-∞,+∞)
Tuy vậy, nếu ta giới hạn bớt
MXĐ của hàm là (0 ,+∞) thì
ta được hàm 1-1  y  x 2 ,

x  0
Khi đó, ta vẫn có hàm ngược

y  x, x  0

, x≥0


Giới hạn và liên tục – Hàm hợp và hàm ngược
Với mọi a thuộc MXĐ của hàm y = f(x), đặt b = f(a)
thì a = f-1(b) tức là điểm (a,b) thuộc đồ thị hàm f(x)
thì điểm (b,a) thuộc đồ thị hàm f-1(x).

Đồ thị của hàm y = f(x) và hàm y=f-1(x) đối xứng
nhau qua đường thẳng y = x


Giới hạn và liên tục – Hàm hợp và hàm ngược
Điều kiện để tồn tại hàm ngược
Mệnh đề 1: Hàm f : X  Y có hàm ngược khi và
chỉ khi f là ánh xạ 1-1 từ X vào Y
Mệnh đề 2: Hàm f : X  Y
có hàm ngược trên
khoảng (a,b) nếu f là đơn điệu tăng chặt trên (a,b)
x1, x2  (a, b) : x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) 

hoặc f là đơn điệu giảm chặt trên (a,b)

x1, x2  (a, b) : x1  x2  f ( x1 )  ( x2 ) 


Giới hạn & liên tục – Hàm lượng giác ngược & hàm hyperbol
Hàm ngược của hàm y = sinx : hàm y=arcsinx

 

Trên đọan  ,  Hàm y = sinx là hàm 1-1
 2 2
Tồn tại hàm ngược là hàm y=arcsinx
Hàm y=arcsinx có MXĐ là [-1.1]
 
MGT là   , 
 2 2

2.1 Giới hạn & liên tục – Hàm lượng giác ngược

  
y  arcsin x  x  sin y , y    , 
 2 2
  
arcsin(sin x)  x, x    , 
 2 2
sin(arcsin x)  x, x   1,1



1

arcsin(1)   ,arcsin(
)
2
4
2

3 
arcsin(0)  0,arcsin( ) 
2
3


2.1 Giới hạn & liên tục – Hàm lượng giác ngược

Hàm ngược của hàm y = cosx : hàm y=arccosx

Trên đoạn [0,π], hàm
y=cosx là hàm 1-1, tồn tại
hàm ngược

y=arccosx, MXĐ là
[-1,1], MGT là [0,π]

y  arccos x  x  cos y

1

1
2
arccos(0)  ,arccos( )  ,arccos( ) 
2
4
2
3
2


2.1 Giới hạn & liên tục – Hàm lượng giác ngược

Hàm ngược của hàm y = tanx : hàm y=arctanx

y  tan x  x  arctan y
Hàm y=arctanx, MXĐ là R,
MGT là    ,  

  
Trên khoảng   2 , 2 



Hàm y=tanx là hàm 1-1






 2 2

2
1

arctan()   ,arctan(1)  ,arctan( 3) 
,arctan( )  
2
4
3
6
3